On sums of S-integers of bounded norm
Christopher Frei, Robert F. Tichy, Volker Ziegler
本文证明了数域K中S-整数个数的一个渐近公式，该数域K可由n个有界范数的S-整数之和表示。
We prove an asymptotic formula for the number of S-integers in a number field K that can be represented by a sum of n S-integers of bounded norm.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sums of Kloosterman sums over square-free and smooth integers
本文受近期关于 Kloosterman 和的双线性型及扭曲和的研究启发，研究了由无平方因子整数和光滑整数参数化的 Kloosterman 和之和的若干新问题。
A note on the alternating sums of powers of consecutive integers
根据欧拉的一个思想，我们计算了构造整数的幂的交错和。
Several explicit formulae of sums and hyper-sums of powers of integers
本文利用Stirling数和广义伯努利多项式给出了一般等差数列第一（n+1）项幂的和与超和的几个显式公式.
Smooth arithmetical sums over k-free integers
本文利用部分zeta函数分析了光滑无k整数上某些光滑算术和的渐近性态。
q-analogues of the sums of powers of consecutive integers
根据J. Bernoulli的一个想法，我们探索了连续整数的幂和的q-模拟。
Bernoulli numbers and sums of powers of integers of higher order
利用高阶Bernoulli数给出了高阶整数幂和多项式的一个表达式。
Sums of powers of consecutive q-integers
给出了k-1以内的正整数的n次幂和的q-模拟。
Expressing three consecutive integers as sums of three cubes
本文研究将连续整数表示为三个立方数之和的问题，给出三个连续整数的若干参数化解，并讨论五至七个连续整数的平凡解，最后提出四个及以上连续整数的开放问题。
On the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了$q$ -Genocchi数和多项式。利用这些数和多项式，我们研究了欧拉给出的连续整数的交替幂和的$q$ -模拟。
Representations of integers as sums of primes from a Beatty sequence
研究了由固定的Beatty序列$B_{α,β}$表示整数为素数和的问题，其中$α>1$是无理的有限型.
Multiple harmonic sums and multiple harmonic star sums are (nearly) never integers
众所周知，对于$n>1$，调和和$H_n(1)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$从来不是整数。1946年，Erdens和Niven证明了嵌套多重调和和$H_n(\{1\}^r)=\sum_{1\le k_1<\dots<k_r\le n}\frac{1}{k_1\cdots k_r}$只能对有限个正整数$n$取整数值。在2012年，Chen和Tang通过证明$H_n(\{1\}^r)$仅对$(n,r)=(1,1)$和$(n,r)=(3,2)$是整数来改进这一结果。本文研究了任意重调和和重调和星和的积分问题，证明了除了上述自然例外，这些和都不是整数。
A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了一个新的q-欧拉数和多项式。利用这些数和多项式，我们根据Euler的一个思想，给出了连续q-整数的交错幂和的有趣公式。
Positive alternating sums of integer partitions
我们结合了一个扩展版本的贝利变换与身份的Bressoud和一些身份的Berkovich和Warnaar证明了各种积极的结果涉及分拆函数交替和。
Note on the sums of powers of consecutive $q$-integers
本文对正偶数构造了Barnes的Bernoulli数和二次多项式的$q$ -模拟，这是对Schlosser问题的一部分的回答.对于正的奇数，Schlosser的问题仍然是开放的。最后，我们将处理的$q$ -模拟的权力和连续整数。
Integer ratios of consecutive alternating power sums
本文给出了正整数对$(k,n)$的一个特征，对$(k,n)$，两个连续的交替幂和之比$$ \frac{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n+1} n^k}{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n}(n-1)^k} $$是一个整数。
Signed harmonic sums of integers with $k$ distinct prime factors
我们给出了一些理论和计算结果的“随机”调和和素数，更一般地说，为整数与一个固定数量的素因子。
On a conjecture for representations of integers as sums of squares and double shuffle relations
本文证明了Chan和Chua关于整数表示为8s整平方和的个数的一个猜想。证明使用了Imamoglu和Kohnen的一个定理，以及2级的二重爱森斯坦级数所满足的二重洗牌关系。
Finite sequences of integers expressible as sums of two squares
本文构造了无穷多组满足特定间隔条件的整数序列，使其各项均可表示为两个非零整数平方和，并给出连续三项、四项、五项及公差为4的五项算术级数等参数化结果。
On Integer Sequences Associated To Two Distinct Sums
本文证明了存在长度至少为3（7除外）的整数序列，使得对于位置$i\equiv 1\pmod{4}$（分别为位置$j\equiv 3\pmod{4}$）上的每个整数，从左到右计数，该整数与相邻整数之和为常数$x$（分别为$y$）与$x\ne y$ .
Sums of integers and sums of their squares
假设一个正整数$n$被写为$m$整数的平方和。关于这些$m$整数之和本身的值$T$，我们能说些什么呢？如果把$n$的所有可能表示都看作是$m$整数的平方和，那么可以得到哪个$T$？Goldmakher和Pollack用$\mathscr{S}_m(n)$表示所有可能的$T$的集合，并使用初等参数给出了$\mathscr{S}_4(n)$的简单特征。他们的结果可以重新解释的莫德尔的理论表示的二元整二次型的平方和积分线性型。基于这种方法，我们的特点$\mathscr{S}_m(n)$的所有$m\leq 11$，并提供了一些部分结果，任意$m$。我们还展示了如何莫德尔的结果可以用来研究原来的问题，其中整数的总和是由这些整数的线性型取代的变化。这样，我们恢复和推广了Z.W. Sun et. al..
Exploring the Representation of Large Positive Integers as Sums of Prime Powers and Integer Powers: Analysis with Positive Density Subsets
本文利用转换原理研究大正整数表示为素数幂与整数幂之和的问题，其中素数和整数幂分别取自正密度子集，拓展了加法数论中的表示理论。
A note on the sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了Barnes Bernoulli数和二次多项式的q-模拟，回答了Schlosser问题的一部分.最后，我们处理的q-模拟的权力和连续积分。
More on Faulhaber's theorem for sums of powers of integers
本文考虑arXiv：1912.07171中建立的关于第一个$n$正整数的幂和$S_k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$的定理，并证明了它可用于证明Faulhaber的经典定理对于奇数和偶数$k$的情形.
On integers which are representable as sums of large squares
证明了集合$\{n^2,(n+1)^2,\ldots \}$中不可表示为元素的整系数线性组合的最大正整数是渐近的$O(n^2)$，从而验证了Dutch和Rickett的一个猜想.此外，我们问一个问题的代表性的整数作为总和的四个大广场。
Integer Powers Expressed as Nested Sums of Lower Powers modulo 2, 3
本文探索将正整数幂表示为较小正整数幂嵌套和的恒等式，建立了连续递减幂的基础恒等式并以此证明 Fermat 小定理，随后推导并严格证明了模2和模3的整数幂表示恒等式。
Sums of squares of integers except for a fixed one
本文研究除固定整数外的整数平方和问题，对任意非负整数$n$找到了能表示所有相关正整数的最小平方数数量，推广了Dubouis在$n=0$时的结果。
Conjectures of Sun about sums of polygonal numbers
本文证明了某些广义$m$ -正整数的和表示每个正整数当且仅当它们表示直到显式界$C_m$的每个正整数，验证了Sun对充分大的正整数的一个猜想.
Congruences for sums of powers of an integer
对于互质正整数$q$和$e$，令$m(q,e)$表示最小正整数$t$，使得存在$q$的$t$幂之和，其可被$e$整除。我们证明了$m(q.e)$的上界，并调查的情况下，$m(q,e)$是“大”。我们还特别注意$e$是素数幂的情况。
Sums over Vanishing Determinants
本文研究了高斯整数上的算术函数的求和问题，这些算术函数的坐标是一个奇异系统。
On certain sums concerning the gcd's and lcm's of $k$ positive integers
我们使用初等的参数证明结果的数量级上的某些款项有关的gcd的和lcm的$k$正整数，其中$k\ge 2$是固定的。我们改进和推广了Bordellès（2007）的一个渐近公式，并推广了Hilberdink和Tóth（2016）的某些相关结果。我们还提出了一些新的问题和有待解决的问题。
A sum of three nonunit squares of integers
我们说一个正整数是三个非单位平方的和，如果它是三个非1整数的平方和。本文在广义黎曼假设（GRH）成立的条件下，求出了所有三个非单位平方和的整数。作为应用，我们在GRH下求出了$k=3$为唯一时的所有整数，它们分别是对任意整数$k\ge 3$的$k$非零三角数之和，$k$非零广义五边形数之和，$k$非零广义八边形数之和.
Rational integers as sums of units -- the quadratic case
本文研究了二次数域中自然数作为k个单位和的渐进行为，解决了Jarden和Narkiewicz在2007年提出的问题。
Sums of squares in $S$-integers
在全实数域上，我们刻画了$S$ -整数环（通过反转一个有理整数$m$得到），使得它们的全正元素都表示为平方和.我们进一步得到部分答案的问题：当所有的全正代数整数，可整除的$m$表示为平方和？
Sums of powers of integers and hyperharmonic numbers
本文给出了包含超调和数和第二类Stirling数的第一类$n$正整数的幂和公式$S_k(n)$.然后，利用超调和数的显式表示，将此公式推广到任意等差数列的幂和。此外，我们还将伯努利多项式表示为超调和多项式和第二类Stirling数。最后，我们将所得到的$S_k(n)$的公式推广到$n$的负值。
Representations of integers as sums of four polygonal numbers and partial theta functions
研究整数作为最多四个不同m边形数之和的表示，证明非负参数下的表示数与任意整数参数下的表示数在渐进行为上相同。
Euler's and the Taxi Cab relations and other numbers that can be written twice as sums of two cubed integers
我们证明了欧拉关系和Taxi-Cab关系都是同一方程的解。计算了两个连续立方之和等于另外两个立方之和的通解。在两个连续立方的和与另外两个立方的和之间，以两个族的形式存在着无限多的关系。计算了它们的递推方程和参数方程。
The cardinality of a set containing the pairwise sums of a fixed number of integers
研究显示，当集合A的大小超过n+1.2×10⁸时，存在五个不同整数的pairwise和均在A中。通过调整常数，可保证三个或四个整数的pairwise和也在A中。
Integers that are sums of two rational sixth powers
证明了$164634913$是两个有理数六次幂之和而不是两个整数六次幂之和的最小正整数。如果$C_{k}$是曲线$x^{6} + y^{6} = k$，我们使用从$C_{k}$到椭圆曲线的态射的存在性，以及Mordell-Weil筛，来排除对于各种$k$在$C_{k}$上存在有理点。
Representations of integers as quotients of sums of distinct powers of three
本文研究哪些整数可表示为不同三的幂之和的商，提出必要且几乎充分的条件和生成所有表示的算法，并基于0,1-多项式对表示进行分类，完整描述了不超过364的整数及若干无限族。
A new characterization for the Lucas-Carmichael Integers and sums of base-$p$ digits
本文通过基-$p$ 位数和给出 Lucas-Carmichael 整数的充分必要刻画，研究其相关性质，并在素数 $k$-元组猜想下证明其无穷性。
Uniform Distribution of Hardy Sums
利用Eisenstein级数的谱理论，证明了经典Dedekind和的整数值类似Hardy和，对任意整数$m > 1$，均在$\mathbf{Z} / m \mathbf{Z}$中均匀分布.
Congruence conditions on the number of terms in sums of consecutive squared integers equal to squared integers
考虑寻找$M$连续整数平方和的所有整数解的问题，从$a^{2}$开始等于平方整数$s^{2}$，它表明，如果$M\equiv3,5,6,7,8$或$10 (mod\,12)$没有解决方案，并有整数解，如果$M\equiv0,9,24$或$33 (mod\,72)$ ;或$M\equiv1,2$或$16 (mod\,24)$ ;或$M\equiv11 (mod\,12)$。$M$的所有允许值都使用必要条件来表征。如果$M$本身是一个正方形，那么$M\equiv1 (mod\,24)$和$(M-1)/24$都是五边形数，除了前两个。
Multiplicative functions supported on the $k$-free integers with small partial sums
我们提供了在$k$自由整数上支持的乘性函数$f$的例子，使得在素数$f(p)=\pm 1$处，并且使得$f$到$x$的部分和是$o(x^{1/k})$ .此外，如果我们假设广义黎曼假设，那么我们可以改进指数$1/k$：有这样的例子，部分和$x$是$o(x^{1/(k+\frac{1}{2})+ε})$，对所有$ε>0$。这推广到$k$ -自由整数的结果Aymone，"A note on乘性函数similar the {M}öbius function '“，J. Number Theory，212（2020），pp. 113--121.
General solutions of sums of consecutive cubed integers equal to squared integers
通过将$\left(a+M-1\right)$和$\left(a-1\right)$的三角数的差与和的乘积分解为它们的最大公约数$g$和剩余平方因子$δ^{2}$和$σ^{2}$的乘积，得到$c=gδσ$，从而找到$M$连续立方整数$\left(a+i\right)^{3}$（$a>1$，$0\leq i\leq M-1$）的和等于平方整数$c^{2}$的问题的所有整数解$\left(M,a,c\right)$。此外，$g$必须是整数的几个特定的和一般的情况下产生广义佩尔方程的解决方案允许找到所有整数解决方案$\left(M,a,c\right)$，这些解决方案出现递归的条件。特别是，发现对于$M$的所有奇数值、$a$的所有奇数整数平方值以及$M$的所有偶数值等于整数平方的两倍的情况，总是存在至少一个解。
Alternating Euler sums at the negative integers
研究了与黎曼ζ函数有关的三个特殊的狄利克雷级数，其中两个级数是交替的.这些系列被证明有扩展到整个复杂的平面，我们发现他们的价值观在负整数（或残留在极点）。这些值以伯努利数和欧拉数给出。
Sums of products involving power sums of $φ(n)$ integers
引入了一个有理数序列作为Bernoulli数列的推广.然后使用Faà di Bruno公式的应用程序获得涉及这个广义序列的项的产品和。这些乘积和类似于高阶Bernoulli数，并且用于开发涉及幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$的乘积和的封闭形式表达式，所述幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$通过默比乌斯函数$μ$和实变量或复变数$x.$的通常幂和$\displaystyle S_k(x):=\frac{B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}.$来定义。
Representing integers as sums of mixed powers of primes
该研究证明了每个足够大的奇整数可以表示为素数的混合次幂之和，其中包含平方、立方和更高次幂的组合。
Arithmetic progressions of integers that are relatively prime to their digital sums
本文研究了$b$-反尼文数等差数列的最大长度，探讨了其在不同基底下的性质和特征。
Exponential sums over integers without large prime divisors
本文通过更精确地利用无大素因子整数的因数分解并结合Type I和Type II界，改进了此类整数及其 $ν$ 次幂上的指数和的现有界限。
Universal sums of generalized heptagonal numbers
在本文中，我们考虑整数表示为广义七边形数的和，其中每个七边形数的重复出现在和中的规定数量。特别是，我们调查的分类，这样的总和是普遍的，即，表示每个正整数的那些。我们证明了一个显式的有限界，使得一个给定的和是泛的当且仅当它在给定的界之前表示正整数。
Sums of squares of integer-multiple of an integral element on real bi-quadratic fields
本文在实双二次域中构造全正代数整数，给出其正整数倍不能表示为整数平方和的必要条件，并分两类整数以表格示例验证。
Counting functions for sums of rational powers of integers
计数函数是为整数的正有理数幂和构造的。即，给定由$u_1^{j/k} + u_2^{j/k} + ... + u_l^{j/k}$、$u_i \in \mathbb{Z}^+$形成的值，确定小于或等于给定$w>0$的值的数量。开发的计数功能的卷积指数方面的框架，并密切相关的黎曼zeta函数。在结论中，几个估计，特别强调的情况下，平方根，即$j=1$，$k=2$。
Almost universal ternary sums of pentagonal numbers
对于每个整数$x$，第$x$个广义五边形数由$P_5(x)=(3x^2-x)/2$表示。给定奇数正整数$a,b,c$和非负整数$r,s$，我们利用三元二次型的理论来确定何时和$aP_5(x)+2^rbP_5(y)+2^scP_5(z)$表示除了100个正整数之外的所有正整数.
Weyl sums over integers with digital restrictions
本文给出了二进制数和固定或受某种同余条件限制的整数上的Weyl和的估计。在我们的证明中，我们使用的思想可以追溯到Banks，Conflitti和第一作者（2002）的一篇论文。此外，我们应用了Bourgain，Demeter和Guth（2016）以及Wooley（2016，2019）建立的Vinogradov中值定理的“主要猜想”。我们使用我们的结果给出的点集的差异，定义的多项式的值在参数有二进制数字的总和以不同的方式限制的估计。
On Sets of Integers where Each Pair Sums to a Square
我们讨论的问题，找到不同的整数集$\{x_1,x_2,...,x_n\}$，其中每个总和$x_i+x_j, i \ne j$是一个平方，和$n \le 7$。我们确认最小的结果拉格朗日和尼古拉斯为$n=5$和三元组的相关问题。我们为$n=6$提供新的解决方案集，以添加到单个已知集。这为Guy的{ \it Unsolved Problems in数论}中的问题D15提供了新的信息
Numbers represented by restricted sums of four squares
本文利用Lipschitz整数环上的四元数算术证明了四元数限制平方和的一些结果。例如，我们证明了每个非负整数$n$都可以写成$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$，其中$x,y,z,t$是整数，$x+y+2z+2t$是正方形或立方体。
Conjectures involving a generalization of the sums of powers of integers
考虑一类自然包含整数幂和的和。关于这些款项的代表性的一些说明。
On certain sums involving the largest prime factor over integer sequences
本文研究了整数序列中最大素因子相关的求和问题，推导了两个求和的渐进行为。
On squares of sums of three cubes
我们证明，几乎每个正整数都可以表示为四个整数的平方和，这些整数表示为三个正立方体的和。
Forbidden integer ratios of consecutive power sums
令$S_k(m):=1^k+2^k+\cdots+(m-1)^k$表示幂和。在2011年，Bernd Kellner提出了一个猜想：对于$m\ge 4$，两个连续幂和之比$S_k(m+1)/S_k(m)$永远不是整数。我们将开发一些技术，允许一个排除许多整数$ρ$作为一个比率，并将它们结合起来，以排除整数$3\le ρ\le 1501$，并假设一个猜想非正则素数是真的，一组密度$1$的比率$ρ$。为了排除比率$ρ$，必须证明Erdens-Moser型方程$(ρ-1)S_k(m)=m^k$没有非平凡解。
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