Explicit approximation of the sum of the reciprocal of the imaginary parts of the zeta zeros
Soheila Emamyari, Mehdi Hassani
本文给出了求和$\sum_{0<γ\leq T}\frac{1}γ$的一些显式上、下界，其中$γ$是$ζ(s)$的非平凡零点$ρ=β+iγ$的虚部.
In this note, we give some explicit upper and lower bounds for the summation $\sum_{0<γ\leq T}\frac{1}γ$, where $γ$ is the imaginary part of nontrivial zeros $ρ=β+iγ$ of $ζ(s)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The reciprocals of tails of the alternating Riemann zeta function
利用几个新的不等式和初等方法，给出了交错黎曼ζ函数在$s=1,2,3,4$上尾部倒数的整数部分.
A reciprocal sum related to the Riemann zeta function at s=6
我们介绍了一个明确的公式的倒数和有关的黎曼ζ函数在s=6，并提出一个问题有关的计算公式，为更大的值s。
On criteria related to the reciprocal of the Riemann zeta function
我们探讨的黎曼ζ函数，有连接到RH的倒数的傅立傅里叶变换。一个最近提出的问题的部分答案是探索利用的事实，即$ζ(s)\neq0$时，$\Re(s)=1.$
Discrete mean square of the Riemann zeta-function over imaginary parts of its zeros
假设黎曼假设。在临界带的右侧，我们得到了黎曼ζ函数在其零点的虚部上的离散均方的渐近公式。
Both real and imaginary parts of the function F(s)=zeta(s)*Gamma(s/2)*pi**(-s/2)=xi(s)/(s*(s-1)), whose zeroes exactly coincide with the non-trivial zeroes of the Riemann zeta-function, have infinitely many zeroes for any value of Re(s)
下面的定理被证明：函数F（s）的实部和虚部定义为F（s）=zeta（s）*Gamma（s/2）*pi**（-s/2）=xi（s）/（s*（s-1）），并且其零点与黎曼ζ函数的非平凡零点完全一致，对于任何Re（s）值，都有无穷多个零点。
Yet another representation for the sum of reciprocals of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function
标题中的和的正性是X提出的黎曼假设有效性的著名判据中的第一个条件。J. Li.在本文中，这个值被表示为一个具有正和项的无穷和。
On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function
我们调查的分数部分的分布的ag，其中a是一个固定的非零实数和g运行在虚部的非平凡零的黎曼ζ函数。修订包括几处小的更正。
On the integer part of the reciprocal of the Riemann zeta function tail at certain rational numbers in the critical strip
证明了$ζ(s)$在有理数$s=\frac{1}{p}$（对于任意整数）或$p \geq 5$（对于任意奇数）处的尾部倒数的整数部分本质上可以描述为与之对应的显式量的整数部分.为了处理当$s=\frac{2}{p},$时的情形，我们利用了关于$\mathbb{Q}$上某些曲线的积分点的有限性的一个结果.
A Sequence of Cauchy Sequences Which Is Conjectured to Converge to the Imaginary Parts of the Zeros of the Riemann Zeta Function
证明了柯西数列的收敛性，如果证明为真，就可以用LeClair和França的超越方程准则证明黎曼假设.
Explicit identities on zeta values over imaginary quadratic field
本文研究了虚二次域上戴德金ζ函数的特殊值。戴德金ζ函数在任意全实数域上的任意偶数处的值在文献中是众所周知的。事实上，在一篇著名的文章中，Zagier得到了戴德金ζ函数在点2处的一个显式公式，并证明了在任意数域上任意偶数值处的一个恒等式。我们在这里展示的身份为偶数和奇数值的戴德金ζ函数在一个虚二次域这是类似于拉马努金的身份为偶数和奇数zeta值在$\Q$。此外，虚二次域上的任何复zeta值也可以由我们的恒等式计算。
Shuffle Product for Multiple Dedekind Zeta Values over Imaginary Quadratic Fields
第二作者最近定义了多个Dedekind zeta值。在另一篇论文中，第二作者在某些情况下构建了双重洗牌关系，以回答理查德·海恩和亚历山大·贡恰罗夫提出的问题。在本文中，我们开发的技术，以获得更多的洗牌关系，并产生了许多例子的洗牌产品在一个虚二次域。我们还定义了（多个）戴德金zeta值的自洗牌的概念，并在许多情况下使用它。我们定义了一个细化的多个戴德金zeta值。我们的关键例子是2和3处的戴德金zeta的自洗牌，2倍于自身的戴德金zeta的洗牌产品，以及2倍于3处的戴德金zeta的戴德金zeta的洗牌产品。我们得到了一个意想不到的结果，即多重Dedekind zeta在（1，2）处的自混洗减去扭曲（具有置换）多重Dedekind zeta值在（1，2）处的自混洗是一个非常简单的表示形式。
On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function, II
我们继续我们的调查的$a γ$，其中$a$是一个固定的非零实数和$γ$运行在虚部的非平凡零的黎曼ζ函数的分数部分的分布。我们建立了对相关函数和素数在短区间内的素数分布之间的一些联系。我们还讨论了更一般的L-函数的类似结果。这是纸上数学的续集。NT/0405459。
Self-reciprocal functions, powers of the Riemann zeta function and modular-type transformations
雅可比的θ函数的经典变换承认一个简单的证明，通过产生一个整表示，产生这种不变性明显。这个想法似乎最早出现在S。拉马努金Koshlyakov、Ferrar、Guinand、Ramanujan和其他人提出了几个关于这一想法的例子。一个统一的程序来分析这些例子和自然的推广。
On the sums of series of reciprocals
此译本已发表在Stephen Hawking（ed.）上，《God Created the Integers》，2007年由Running Press出版。最终发布的版本和本副本可能有一些更改。这是从拉丁原文“De summis serierum reciprocarum”（1735）翻译而来的。Enestrom指数中的E41。在本文中，欧拉找到了正整数倒数平方和的精确表达式，即π ^2/6。他表明这一点适用牛顿的身份有关的根源和系数多项式的幂级数的正弦函数。实际上，换句话说，这个结果是zeta（2）=pi^2/6，欧拉还计算出zeta（4），zeta（6），.，zeta（12）。他的方法将工作zeta（2n）的所有n，但他没有给出一个一般表达式zeta（2n），他给了一个一般表达式涉及伯努利数在后面的文件。
Rational Approximations for Reciprocals of Multiple Zeta Values and Trivariate Cauchy Numbers
本文通过多重对数倒数的Laurent展开定义三变量Cauchy数，证明高阶Gregory系数有零点且序列最终交错，并猜想及部分证实其最终正性，同时给出zeta值倒数的新恒等式族。
Class number zeta function of imaginary quadratic fields
本文引入一个通过类数计数虚二次数域的ζ函数，证明该函数仅依赖于八次单位根，从而得到素数类数的下界。方法基于动力系统周期点的研究。
Series of Reciprocal Powers of k-almost Primes
将半素数和k-几乎素数的逆s次幂和转化为普通素zeta函数的幂积和。从置换群的循环分解中已知的多项式系数起展开系数的作用。建立在普通素zeta函数的已知收敛加速的基础上，对于指数k=2，.，6和整数幂s=2，...，8.
Explicit estimates for the logarithmic derivative and the reciprocal of the Riemann zeta function
本文通过三角多项式论证，改进了黎曼ζ函数在接近1处的对数导数和倒数的显式界，并在经典无零区域和科罗波夫-文诺格拉夫无零区域中取得了新的无条件界。
Explicit formula in a imaginary quadratic number field
本文将Haran基于Riesz位势、平等处理所有位的Riemann zeta函数显式公式推广到Q的虚二次扩张，通过定义完全分歧与复情形的Riesz核，揭示其与Dedekind zeta函数各位贡献的自然联系。
Some Order-Theoretic Properties of the Zeros of the Zeta Function
研究了具有正虚部的zeta函数的非平凡零点的（偏序）集。顺序是从$\mathbb{C}$继承的坐标顺序。证明了该偏序集的极小元的一些有趣性质。
New explicit bounds for Mertens function and the reciprocal of the Riemann zeta-function
本文在经典、Littlewood和Korobov--Vinogradov零自由区域内证明了Riemann zeta函数倒数的新显式上界，并由此推导出Mertens函数的新显式上界，方法上采用计算平滑以获得强数值结果。
Zeros of Dedekind zeta functions under GRH
假设GRH，我们证明了一个显式的上界的戴德金ζ函数的虚部在$[T-a,T+a]$的零点的数量。我们还证明了一个界的多重零。
Landau-Siegel zeros and zeros of the derivative of the Riemann zeta function
我们表明，如果衍生的黎曼ζ函数有足够多的零点接近临界线，那么zeta函数有许多紧密间隔的零点。这给出了zeta函数导数的零点的一个条件，该条件隐含了虚二次域类数的一个下界。
Bounding zeta on the 1-line under the partial Riemann hypothesis
本文假设Riemann假设直至高度$T$成立，给出了Riemann zeta-函数在$\Re{s}=1$直线上的显式界，并改进了对数导数及其倒数在有限区域内的界。
Zeta elements for $p$-ordinary modular forms over imaginary quadratic fields and applications
本文在虚二次域上构造高权模形式的 zeta 元素并证明显式互反律，从而在弱假设下证明了 Kato 岩泽主猜想，推广了椭圆曲线情形。
Koshliakov kernel and identities involving the Riemann zeta function
研究了涉及黎曼ζ函数和函数倒数在Bessel函数$J_{z}(x), Y_{z}(x)$和$K_{z}(x)$核中的积分恒等式.有趣的特殊情况下，这些身份的推导，其中之一是连接到一个众所周知的转换由于拉马努金，和Guinand。
Lehmer's conjecture for matrices over the ring of integers of some imaginary quadratic fields
设$R=\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{d})}$为$d<0$，无平方，$d\neq -1,-3$。证明了关于$R$ -矩阵的相关互反多项式的Lehmer猜想，即任何非分圆$R$ -矩阵至少有$λ_0=1.176...$的Mahler测度.
On certain sums over ordinates of zeta zeros
令$γ$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$的复零点的虚部。通过使用函数$G(s) = \sum_{γ>0}γ^{-s}$和其他技术来评估$γ$上的某些和。还考虑了涉及函数$S(T) = (1/π)\argζ(1/2+iT)$的一些积分。
The second shifted moment of the Riemann zeta function
我们证明了一个渐近公式的二阶矩（高度$T$）的黎曼ζ函数与两个移位。我们处理的情况是，对于任何$ε>0.$，移位的实部非常接近于零，虚部可以增长到$T^{2-ε}$
On sums of squares of the Riemann zeta-function on the critical line
讨论了$\sum_{0<γ\le T} |ζ(1/2+iγ)|^2$的求和问题，其中$γ$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$的复零点的虚部.证明了涉及与此和有关的某些积分的三个定理，并无条件地证明了此和是$\ll T\log^2T\log\log T$。
On the Gram's Law in the Theory of Riemann Zeta Function
建立了关于Riemann zeta函数零点的虚部分布的一些命题。这些断言与所谓的“格拉姆定律”或“格拉姆规则”有关。特别是，我们给出了几个塞尔伯格公式的证明，他说，没有证明他的论文“的Zeta函数和黎曼假设”（1946年），和他们的一些等价物。
Simultaneous distribution of fractional parts of Riemann zeta zeros
研究了$\{α_1 γ, α_2γ, \cdots, α_nγ\}$的分数部分的同时分布，其中$n\geq 2$，$α_1$，$α_2$，$\ldots$，$α_n$是固定的不同正实数，且$γ$遍历黎曼ζ函数的非平凡零点的虚部.
Nearest neighbor spacing distributions for zeros of the real or imaginary part of the Riemann xi-function on vertical lines
我们证明了在垂直线上的Riemann xi-函数的实部或虚部的零点的最近邻间距分布的密度函数可以用在垂直线上的黎曼ζ函数的对数导数的值分布中出现的M-函数来描述。
Some graph properties determined by edge zeta functions
Stark和Terras在1996年引入了有限图的边zeta函数。边缘zeta函数是多项式的倒数，其变量是图中边缘的两倍，并且可以在多项式时间内计算。我们看看我们可以使用边缘zeta函数确定的图形属性。特别地，边zeta函数足以推断团数、哈密顿圈的数目以及图是完美图还是弦图。实际上计算这些属性需要指数级的时间。最后，我们提出了一个新的例子，说明Ihara zeta函数不一定能做到这一点。
A further generalisation of sums of higher derivatives of the Riemann Zeta Function
本文证明了$ζ^{(n)} (ρ)X^ρ$和的一个渐近性，其中$ζ^{(n)} (s)$表示黎曼ζ函数的$n$阶导数，$X$是正实数，$ρ$表示黎曼ζ函数的非平凡零点.和是在零上的，虚部达到高度$T$，作为$T \rightarrow \infty$。我们还指定当$X$是一个正整数时，渐近公式会变成什么样，突出显示当$X$改变其算术性质时渐近展开式的差异。
Exponential moments of the argument of the Riemann zeta function on the critical line
本文在黎曼假设下给出了临界线上黎曼ζ函数对数虚部指数矩的一个上界。我们的结果，它提供了信息的波动的分布的零$ζ$，具有相同的精度，由Soundararajan在他的论文中获得的结果，题为“时刻的黎曼ζ函数“。
A note on a conjecture of Gonek
我们推导出一个二阶矩的倒数的导数的黎曼ζ函数平均超过零点的ζ函数，这是一半的大小的限制值。我们的结果是以黎曼假设和zeta函数的零点是单的猜想为条件的。
On the meromorphic continuation of Beatty Zeta-Functions and Sturmian Dirichlet series
对于正无理数$α,$，我们研究了普通狄利克雷级数$ζ_α(s) = \sum\limits_{n\geq1} \lfloorαn\rfloor^{-s}$和$S_α(s) = \sum\limits_{n\geq1} (\left\lceilαn\right\rceil - \left\lceil α(n-1)\right\rceil){n^{-s}}.$，证明了它们与$J_{\boldsymbolα}(s)=\sum\limits_{n\geq1}\left(\lbraceαn\rbrace-\frac{1}{2}\right)n^{-s}.$之间的关系。受Hardy和Littlewood，Hecke等人关于$J_{\boldsymbolα},$的工作的启发，我们证明了$ζ_α$和$S_α$除了在$s=1.$上的一个简单极点外，可以在虚轴之外解析地连续。我们还证明了除了在$s=1.$处的一个简单极点外，级数$ζ_α(s;β)=\sum\limits_{n\geq0}\left(\lfloorαn\rfloor+β\right)^{-s}$在虚轴之外可以解析地连续
Prime zeta function statistics and Riemann zero-difference repulsion
我们提出了一个推导的数值现象，黎曼zeta函数的非平凡的零之间的差异往往避免等于零本身的虚部，一个属性称为统计“排斥”之间的零和他们的差异。我们的推导依赖于素zeta函数的统计特性，其奇异性结构指定的黎曼零点的位置。我们表明，总理zeta函数的临界线是渐近正态分布的协方差函数，是密切接近的对数的黎曼zeta函数的幅度上的1线。这在近似等于黎曼零点的虚部的间隔处产生显著的负协方差。该协方差函数和素zeta函数的奇异性结构相结合，以在黎曼零点的位置处创建预测零差排斥效应的条件统计偏差。我们的方法很容易推广到描述类似的效果在相关的L-函数的零点。
Sum Rules for Functions of the Riemann Zeta Type
我们考虑Riemann zeta型的解析函数，如果$s$是零，那么$1-s$也是零。我们使用这些函数的无穷乘积表示，假设它们的零点是一阶的。我们使用指数因子来加速收敛，并通过比较指数因子与原函数关于$s=0$的泰勒级数系数，将这些系数与零点倒数的幂和以求和规则的形式联系起来.这样的总和规则以前已考虑由Lehmer和Keiper，但这里采取的方法和应用更普遍。在相关的工作中，找到了黎曼假设成立的一个新的充分条件，并讨论了该条件成立的依据。
On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients
本文研究二次ζ函数在s=1处的展开系数，推导新公式并验证其精度，同时应用Brent定理提升收敛性。
A weighted one-level density of the non-trivial zeros of the Riemann zeta-function
我们计算了黎曼ζ函数的非平凡零点的一级密度的加权$|ζ(\frac12+it)|^{2k}$的$k=1$和测试功能与傅立叶支持$(-\frac12,\frac12)$，为$k=2$。因此，对于$k=1,2$，我们在黎曼假设下推导出$ζ$的$T(\log T)^{1-k^2+o(1)}$非平凡零点，直到$T$的虚部，使得$ζ$在距离零点$O(1/\log T)$内的点处达到大小为$(\log T)^{k+o(1)}$的值。
On certain sums over ordinates of zeta-zeros II
令$γ$表示$ζ(s)$的复零点$ρ= β+iγ$的虚部。研究了函数$G(s) := \sum\limits_{γ> 0}γ^{-s}$在直线$\Re s = -1$左侧的解析延拓问题，得到了它在极点$s=1$处的Laurent展开式.对临界线$\int_1^T|G(1/2+it)|^2\,dt$的二阶矩估计进行了重新讨论。本文是第二作者在2001年开始的工作的延续。
Jost function, prime numbers and Riemann zeta function
截断势对s波散射的复波数平面中Jost函数的大复零点（S矩阵的极点）与大素数的分布以及临界线上Riemann zeta函数零点虚部的渐近行为有关。一个变种的希尔伯特和波利亚猜想提出和狄拉克海的考虑作为“虚共振”进行了简要讨论。
On the Imaginary Part of $ζ'/ζ$
该研究推导了黎曼ζ函数对数导数光滑截断项虚部的显式零点侧公式，结合Anthropic的Claude模型进展，探讨了实部恒等式转矩阵问题以克服零点聚类障碍，并分析虚部恒等式的聚类信息。
Explicit zero density for the Riemann zeta function
设$N(σ,T)$表示实部大于$σ$、虚部介于$0$和$T$之间的黎曼ζ函数的非平凡零点个数。我们提供明确的上界$N(σ,T)$通常被称为零密度的结果。1937年，Ingham证明了以下渐近结果$N(σ,T)=\mathcal{O} ( T^{\frac83(1-σ)} (\log T)^5 )$。Ramaré最近证明了这个估计的一个明确版本。我们讨论了在这两个结果中使用的方法的推广，它产生了一个明确的边界类似的形状，同时也提高了常数。
Asymptotic expansion of Fourier coefficients of reciprocals of Eisenstein series
本文给出了模群$\func{SL}_2(\mathbb{Z})$的权为$k$的Eisenstein级数的倒数的$q$ -展开式$E_k$的渐近展开式的分类.甚至对于$k \geq 12$，一方面利用圆方法推广了Hardy和Ramanujan，Berndt，Bialek和Yee的结果，另一方面推广了Petersson，Bringmann和Kane的结果，发展了亚纯Poincar{é}级数的理论.我们遵循一个统一的方法，基于最大虚部的爱森斯坦级数的零点。这些特殊零点提供了关于$1/E_k(z)$相对于$q = e^{2 πi z}$的傅立叶展开的奇点的信息。
Some Evaluations of Parametric Euler Type Sums of Harmonic Numbers
建立了Euler相关和的一些恒等式.利用这些恒等式，通过参数调和数、移位调和数和带正整数自变量的黎曼ζ函数，讨论了调和数和倒数参数二项式系数和的封闭形式表示.特别是，我们调查产品的二次和三次谐波数和倒数参数二项式系数。一些说明性的特殊情况以及直接后果的主要结果也被认为是。
Discrete $Ω$-results for the Riemann zeta function
本文将共振方法离散化，证明 ζ(s) 在临界带右半部分沿垂直等差数列的下界与连续情形仅相差指数常数。
A note on some constants related to the zeta-function and their relationship with the Gregory coefficients
本文得到了第一、第二Stieltjes常数（也称为广义欧拉常数）以及一些密切相关的常数的新级数。这些级数只包含有理数项，并涉及所谓的格雷戈里系数，也被称为（倒数）对数，第一类柯西数和第二类伯努利数。此外，还给出了Euler常数和常数ln（2*pi）的两个有理项的有趣级数，并提出了Euler常数的另一种推广，得到了计算这些常数的各种公式。最后，在本文中，我们提到，几乎所有的常数在这项工作中考虑承认通过拉马努金求和简单的表示。
On the distribution of the zeros of the derivative of the Riemann zeta-function
建立了描述黎曼ζ函数导数零点水平分布的无条件渐近公式。对于满足$(\log T)^{-1/3+ε} \leq (2σ-1) \leq (\log \log T)^{-2}$的$\Re(s)=σ$，证明了虚部在0和$T$之间，实部大于$σ$的$ζ'(s)$的零点个数渐近于$T/(2π(σ-1/2))$为$T \rightarrow \infty$ .这与Mezzadri的随机矩阵理论的预测一致。因此，对于在该范围内的$σ$，$ζ'(s)$的零点水平分布，就像随机酉矩阵的特征多项式的导数的零点径向分布一样。
Transfer operators and dynamical zeta functions for a class of lattice spin models
本文研究了M。卡奇转移算子方法允许我们证明该函数在实直线上存在无穷非平凡零点。对于某些参数值，在平行于虚轴的直线上也存在无穷多个平凡的等距零点。因此，对于这种动力学zeta函数，某种黎曼假设似乎也成立。
Horizontal Monotonicity of the Modulus of the Riemann Zeta Function and Related Functions
它表明，黎曼zeta函数和两个相关的功能严格减少时，虚部的参数是固定的任何数字，绝对值至少为8和实部的参数是负的，并增加到0;扩展这种单调性的实部增加到1/2被证明是等价于黎曼假设。另一个结果是一个双重不等式的实部的对数导数的三个功能正在考虑。
A Product Identity For Dirichlet Series Satisfying Hecke's Functional Equation
本文为满足Hecke函数方程的Dirichlet级数建立了Wilton乘积公式的类似物，并应用于多种L-函数与zeta函数，还给出了Riemann zeta函数的4项乘积恒等式。
Generalized hypergeometric expansion related to the Hurwitz zeta function
研究了由仿射复映射构成的分数部分及其对数正弦函数的不完全Mellin变换。我们评估相应的积分在两种不同的方式，产生的等式与系列的超几何函数的每一边。这些等式捕获了Hurwitz zeta函数的基本分析性质，如亚纯扩张和函数方程。我们给出所涉及的系列的收敛速度。作为一种特殊情况，我们发现，指数收敛速率的变形的对数正弦的分数部分的虚部进行这些等式。
A Central limit theorem for the Birkhoff sum of the Riemann zeta-function over a Boolean type transformation
我们证明了一个中心极限定理的实部和虚部和绝对值的黎曼ζ函数采样沿垂直线在临界带关于遍历变换类似于布尔变换。这一结果补充了Steuding的一个结果，Steuding证明了同一系统的强大数律。作为一个附带结果，我们陈述了一个一般的中心极限定理的一类无界可观的实线上相同的遍历变换。证明是基于转移算子方法。
Zeros of a polynomial of $ζ^{(j)}(s)$
我们给出了$ζ(s),ζ'(s),\ldots,ζ^{(k)}(s)$的多项式的零点的结果。首先，我们给出了一个零自由区域，并证明了存在与黎曼ζ函数的平凡零点相对应的零点。接下来，我们估计虚部在$(1,T)$中的零的数量。最后，我们分别研究了零点实部和虚部的分布。
Consecutive moderate gaps between zeros of the Riemann zeta function
本文研究了Riemann zeta函数非平凡零点纵坐标间的间隙问题，探讨了在给定条件下是否无限次存在连续的“中等”间隙。
Bounds for the residue of Dedekind zeta functions under GRH and applications
该研究在GRH下给出戴德金ζ函数留数的显式上下界，改进了此前结果，其下界可检测类数≤2000的虚二次域，上界对固定非平凡域扩张可显著缩小。
On the series expansion of the secondary zeta function
本文研究次级 zeta 函数 $Z(s)$，通过基于素数 zeta 函数的新显式公式建立非平凡零点与素数的联系，并给出新级数展开、高精度系数计算及解析延拓算法。
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