A Sequence of Cauchy Sequences Which Is Conjectured to Converge to the Imaginary Parts of the Zeros of the Riemann Zeta Function
Stephen Crowley
证明了柯西数列的收敛性，如果证明为真，就可以用LeClair和França的超越方程准则证明黎曼假设.
The convergence of a sequence of Cauchy sequences is conjectured; which if shown to be true, would prove the Riemann hypothesis by way of LeClair and França's transcendental equation criteria.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Discrete mean square of the Riemann zeta-function over imaginary parts of its zeros
假设黎曼假设。在临界带的右侧，我们得到了黎曼ζ函数在其零点的虚部上的离散均方的渐近公式。
Both real and imaginary parts of the function F(s)=zeta(s)*Gamma(s/2)*pi**(-s/2)=xi(s)/(s*(s-1)), whose zeroes exactly coincide with the non-trivial zeroes of the Riemann zeta-function, have infinitely many zeroes for any value of Re(s)
下面的定理被证明：函数F（s）的实部和虚部定义为F（s）=zeta（s）*Gamma（s/2）*pi**（-s/2）=xi（s）/（s*（s-1）），并且其零点与黎曼ζ函数的非平凡零点完全一致，对于任何Re（s）值，都有无穷多个零点。
On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function
我们调查的分数部分的分布的ag，其中a是一个固定的非零实数和g运行在虚部的非平凡零的黎曼ζ函数。修订包括几处小的更正。
Shuffle Product for Multiple Dedekind Zeta Values over Imaginary Quadratic Fields
第二作者最近定义了多个Dedekind zeta值。在另一篇论文中，第二作者在某些情况下构建了双重洗牌关系，以回答理查德·海恩和亚历山大·贡恰罗夫提出的问题。在本文中，我们开发的技术，以获得更多的洗牌关系，并产生了许多例子的洗牌产品在一个虚二次域。我们还定义了（多个）戴德金zeta值的自洗牌的概念，并在许多情况下使用它。我们定义了一个细化的多个戴德金zeta值。我们的关键例子是2和3处的戴德金zeta的自洗牌，2倍于自身的戴德金zeta的洗牌产品，以及2倍于3处的戴德金zeta的戴德金zeta的洗牌产品。我们得到了一个意想不到的结果，即多重Dedekind zeta在（1，2）处的自混洗减去扭曲（具有置换）多重Dedekind zeta值在（1，2）处的自混洗是一个非常简单的表示形式。
On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function, II
我们继续我们的调查的$a γ$，其中$a$是一个固定的非零实数和$γ$运行在虚部的非平凡零的黎曼ζ函数的分数部分的分布。我们建立了对相关函数和素数在短区间内的素数分布之间的一些联系。我们还讨论了更一般的L-函数的类似结果。这是纸上数学的续集。NT/0405459。
Explicit identities on zeta values over imaginary quadratic field
本文研究了虚二次域上戴德金ζ函数的特殊值。戴德金ζ函数在任意全实数域上的任意偶数处的值在文献中是众所周知的。事实上，在一篇著名的文章中，Zagier得到了戴德金ζ函数在点2处的一个显式公式，并证明了在任意数域上任意偶数值处的一个恒等式。我们在这里展示的身份为偶数和奇数值的戴德金ζ函数在一个虚二次域这是类似于拉马努金的身份为偶数和奇数zeta值在$\Q$。此外，虚二次域上的任何复zeta值也可以由我们的恒等式计算。
Explicit approximation of the sum of the reciprocal of the imaginary parts of the zeta zeros
本文给出了求和$\sum_{0<γ\leq T}\frac{1}γ$的一些显式上、下界，其中$γ$是$ζ(s)$的非平凡零点$ρ=β+iγ$的虚部.
Rational Approximations for Reciprocals of Multiple Zeta Values and Trivariate Cauchy Numbers
本文通过多重对数倒数的Laurent展开定义三变量Cauchy数，证明高阶Gregory系数有零点且序列最终交错，并猜想及部分证实其最终正性，同时给出zeta值倒数的新恒等式族。
Explicit formula in a imaginary quadratic number field
本文将Haran基于Riesz位势、平等处理所有位的Riemann zeta函数显式公式推广到Q的虚二次扩张，通过定义完全分歧与复情形的Riesz核，揭示其与Dedekind zeta函数各位贡献的自然联系。
Cauchy laws for zeta logarithmic derivatives and stationary Stieltjes transforms
本文证明Riemann zeta函数零点及有限域簇zeta函数对数导数的Cauchy极限定律，给出显式误差界，并建立平稳点测度Stieltjes变换的收敛定理。
Ihara zeta functions and class numbers
将Bruhat-Tits建筑物中圈的素测地线定理应用于除代数的单位群，得到了关于虚二次域中阶的类数的新的渐近断言.
Class number zeta function of imaginary quadratic fields
本文引入一个通过类数计数虚二次数域的ζ函数，证明该函数仅依赖于八次单位根，从而得到素数类数的下界。方法基于动力系统周期点的研究。
Some Order-Theoretic Properties of the Zeros of the Zeta Function
研究了具有正虚部的zeta函数的非平凡零点的（偏序）集。顺序是从$\mathbb{C}$继承的坐标顺序。证明了该偏序集的极小元的一些有趣性质。
Zeros of Dedekind zeta functions under GRH
假设GRH，我们证明了一个显式的上界的戴德金ζ函数的虚部在$[T-a,T+a]$的零点的数量。我们还证明了一个界的多重零。
Landau-Siegel zeros and zeros of the derivative of the Riemann zeta function
我们表明，如果衍生的黎曼ζ函数有足够多的零点接近临界线，那么zeta函数有许多紧密间隔的零点。这给出了zeta函数导数的零点的一个条件，该条件隐含了虚二次域类数的一个下界。
Zeta elements for $p$-ordinary modular forms over imaginary quadratic fields and applications
本文在虚二次域上构造高权模形式的 zeta 元素并证明显式互反律，从而在弱假设下证明了 Kato 岩泽主猜想，推广了椭圆曲线情形。
On certain sums over ordinates of zeta zeros
令$γ$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$的复零点的虚部。通过使用函数$G(s) = \sum_{γ>0}γ^{-s}$和其他技术来评估$γ$上的某些和。还考虑了涉及函数$S(T) = (1/π)\argζ(1/2+iT)$的一些积分。
The second shifted moment of the Riemann zeta function
我们证明了一个渐近公式的二阶矩（高度$T$）的黎曼ζ函数与两个移位。我们处理的情况是，对于任何$ε>0.$，移位的实部非常接近于零，虚部可以增长到$T^{2-ε}$
Riemann Zeta Function. Chi(s)via analytic Continuation inside an infinite Loop
本文研究与黎曼ζ函数Zeta（s）密切相关的解析整函数Chi（s）。在所谓的临界带内得到了一个关于Chi（s）的公式。这是通过将柯西积分公式应用于围绕临界带的无限循环来实现的。在所得到的公式中，一种特殊类型的复变函数（称为不完全Γ函数）起着显著的作用。数值例子验证所得到的公式。
On sums of squares of the Riemann zeta-function on the critical line
讨论了$\sum_{0<γ\le T} |ζ(1/2+iγ)|^2$的求和问题，其中$γ$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$的复零点的虚部.证明了涉及与此和有关的某些积分的三个定理，并无条件地证明了此和是$\ll T\log^2T\log\log T$。
On the Gram's Law in the Theory of Riemann Zeta Function
建立了关于Riemann zeta函数零点的虚部分布的一些命题。这些断言与所谓的“格拉姆定律”或“格拉姆规则”有关。特别是，我们给出了几个塞尔伯格公式的证明，他说，没有证明他的论文“的Zeta函数和黎曼假设”（1946年），和他们的一些等价物。
Simultaneous distribution of fractional parts of Riemann zeta zeros
研究了$\{α_1 γ, α_2γ, \cdots, α_nγ\}$的分数部分的同时分布，其中$n\geq 2$，$α_1$，$α_2$，$\ldots$，$α_n$是固定的不同正实数，且$γ$遍历黎曼ζ函数的非平凡零点的虚部.
Nearest neighbor spacing distributions for zeros of the real or imaginary part of the Riemann xi-function on vertical lines
我们证明了在垂直线上的Riemann xi-函数的实部或虚部的零点的最近邻间距分布的密度函数可以用在垂直线上的黎曼ζ函数的对数导数的值分布中出现的M-函数来描述。
A further generalisation of sums of higher derivatives of the Riemann Zeta Function
本文证明了$ζ^{(n)} (ρ)X^ρ$和的一个渐近性，其中$ζ^{(n)} (s)$表示黎曼ζ函数的$n$阶导数，$X$是正实数，$ρ$表示黎曼ζ函数的非平凡零点.和是在零上的，虚部达到高度$T$，作为$T \rightarrow \infty$。我们还指定当$X$是一个正整数时，渐近公式会变成什么样，突出显示当$X$改变其算术性质时渐近展开式的差异。
Barnes multiple zeta-functions, Ramanujan's formula, and relevant series involving hyperbolic functions
在本文的前半部分，我们给出了Barnes多重zeta-函数的函数方程，并考虑了一些相关结果。特别是，我们表明，Ramanujan的经典公式的黎曼zeta值可以从函数方程巴恩斯zeta函数。后半部分利用伯努利多项式推广了某些含双曲函数的级数的计算公式。最初的公式是由柯西、梅林、拉马努金经典地给出的，后来由伯恩特恢复并公式化。根据我们的考虑，我们给出了这些已知公式的多个版本。
On the meromorphic continuation of Beatty Zeta-Functions and Sturmian Dirichlet series
对于正无理数$α,$，我们研究了普通狄利克雷级数$ζ_α(s) = \sum\limits_{n\geq1} \lfloorαn\rfloor^{-s}$和$S_α(s) = \sum\limits_{n\geq1} (\left\lceilαn\right\rceil - \left\lceil α(n-1)\right\rceil){n^{-s}}.$，证明了它们与$J_{\boldsymbolα}(s)=\sum\limits_{n\geq1}\left(\lbraceαn\rbrace-\frac{1}{2}\right)n^{-s}.$之间的关系。受Hardy和Littlewood，Hecke等人关于$J_{\boldsymbolα},$的工作的启发，我们证明了$ζ_α$和$S_α$除了在$s=1.$上的一个简单极点外，可以在虚轴之外解析地连续。我们还证明了除了在$s=1.$处的一个简单极点外，级数$ζ_α(s;β)=\sum\limits_{n\geq0}\left(\lfloorαn\rfloor+β\right)^{-s}$在虚轴之外可以解析地连续
On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients
本文研究二次ζ函数在s=1处的展开系数，推导新公式并验证其精度，同时应用Brent定理提升收敛性。
Hyperbolic-sine analogues of Eisenstein series, generalized Hurwitz numbers, and $q$-zeta functions
本文考虑一类双曲-正弦函数的Eisenstein型二重级数.我们定义了某些广义Hurwitz数，并利用这些数来计算这些二重级数。我们的主要结果可以看作是Hurwitz，Herglotz，Katayama等人的著名结果的某种推广，我们的结果还包括第三位作者最近关于某些含双曲函数的狄利克雷级数的公式，这些公式是Cauchy，Mellin，Ramanujan，Berndt等人公式的双重类似.作为应用，我们给出了$q$ -zeta函数在正整数处的一些计算公式.
A weighted one-level density of the non-trivial zeros of the Riemann zeta-function
我们计算了黎曼ζ函数的非平凡零点的一级密度的加权$|ζ(\frac12+it)|^{2k}$的$k=1$和测试功能与傅立叶支持$(-\frac12,\frac12)$，为$k=2$。因此，对于$k=1,2$，我们在黎曼假设下推导出$ζ$的$T(\log T)^{1-k^2+o(1)}$非平凡零点，直到$T$的虚部，使得$ζ$在距离零点$O(1/\log T)$内的点处达到大小为$(\log T)^{k+o(1)}$的值。
On certain sums over ordinates of zeta-zeros II
令$γ$表示$ζ(s)$的复零点$ρ= β+iγ$的虚部。研究了函数$G(s) := \sum\limits_{γ> 0}γ^{-s}$在直线$\Re s = -1$左侧的解析延拓问题，得到了它在极点$s=1$处的Laurent展开式.对临界线$\int_1^T|G(1/2+it)|^2\,dt$的二阶矩估计进行了重新讨论。本文是第二作者在2001年开始的工作的延续。
On the Imaginary Part of $ζ'/ζ$
该研究推导了黎曼ζ函数对数导数光滑截断项虚部的显式零点侧公式，结合Anthropic的Claude模型进展，探讨了实部恒等式转矩阵问题以克服零点聚类障碍，并分析虚部恒等式的聚类信息。
Explicit zero density for the Riemann zeta function
设$N(σ,T)$表示实部大于$σ$、虚部介于$0$和$T$之间的黎曼ζ函数的非平凡零点个数。我们提供明确的上界$N(σ,T)$通常被称为零密度的结果。1937年，Ingham证明了以下渐近结果$N(σ,T)=\mathcal{O} ( T^{\frac83(1-σ)} (\log T)^5 )$。Ramaré最近证明了这个估计的一个明确版本。我们讨论了在这两个结果中使用的方法的推广，它产生了一个明确的边界类似的形状，同时也提高了常数。
Ruelle type L-functions versus determinants of Laplacians for torsion free abelian groups
研究了秩为$\n\ge 2$的无挠的阿贝尔群$\G$的Ruelle型zeta函数和$L$ -函数.当$\n=2,4$和8时，虚轴是该zeta函数的自然边界，特别是该zeta函数没有行列式表达式。因此，相反地，研究了通过zeta正则化定义的环面$\bR^{\n}/\G$的拉普拉斯行列式的欧拉乘积等表达式。此外，由Ruelle型zeta函数产生的算术函数的极限行为进行了观察。
Discrete $Ω$-results for the Riemann zeta function
本文将共振方法离散化，证明 ζ(s) 在临界带右半部分沿垂直等差数列的下界与连续情形仅相差指数常数。
Exponential moments of the argument of the Riemann zeta function on the critical line
本文在黎曼假设下给出了临界线上黎曼ζ函数对数虚部指数矩的一个上界。我们的结果，它提供了信息的波动的分布的零$ζ$，具有相同的精度，由Soundararajan在他的论文中获得的结果，题为“时刻的黎曼ζ函数“。
On the distribution of the zeros of the derivative of the Riemann zeta-function
建立了描述黎曼ζ函数导数零点水平分布的无条件渐近公式。对于满足$(\log T)^{-1/3+ε} \leq (2σ-1) \leq (\log \log T)^{-2}$的$\Re(s)=σ$，证明了虚部在0和$T$之间，实部大于$σ$的$ζ'(s)$的零点个数渐近于$T/(2π(σ-1/2))$为$T \rightarrow \infty$ .这与Mezzadri的随机矩阵理论的预测一致。因此，对于在该范围内的$σ$，$ζ'(s)$的零点水平分布，就像随机酉矩阵的特征多项式的导数的零点径向分布一样。
Bernoulli Operator and Riemann's Zeta Function
引入一个Bernoulli算子，用$\mathbf{B}$表示算子符号，对n= 0，1，2，3，.设${\mathbf{B}^n}: = {B_n}$（其中${B_n}$是伯努利数，${B_0} = 1,B{}_1 = 1/2,{B_2} = 1/6,{B_3} = 0$.）。本文给出了Riemann Zeta函数、Euler常数和一个与Bernoulli算子有关的数论函数的计算公式。例如，我们证明了\[{\mathbf{B}^{1 - s}} = ζ(s)(s - 1),\] \[γ= - \log \mathbf{B},\]，其中$γ$是Euler常数。此外，我们还得到了Riemann假设的一个类似形式（函数$ξ(\mathbf{B} + s)$的所有零点都位于虚轴上）。这个假设可以推广到Dirichlet L-函数、Dedekind Zeta函数等。特别地，我们得到了Hardy定理（函数$ξ(\mathbf{B} + s)$在虚轴上有无穷多个零点）的类似物。另外，利用Bernoulli算子得到了$\log Π(\mathbf{B}s)$的函数方程和$\log ζ(\mathbf{B} + s)$的函数方程。
A Product Identity For Dirichlet Series Satisfying Hecke's Functional Equation
本文为满足Hecke函数方程的Dirichlet级数建立了Wilton乘积公式的类似物，并应用于多种L-函数与zeta函数，还给出了Riemann zeta函数的4项乘积恒等式。
Zeta functions enumerating subforms of quadratic forms
本文构造枚举二次形式满秩子形式等价类的 Dirichlet 级数，建立其与相关虚二次域理想类计数级数的联系，并给出方格、六角格等情形的显式公式及解析性质。
Zeros of a polynomial of $ζ^{(j)}(s)$
我们给出了$ζ(s),ζ'(s),\ldots,ζ^{(k)}(s)$的多项式的零点的结果。首先，我们给出了一个零自由区域，并证明了存在与黎曼ζ函数的平凡零点相对应的零点。接下来，我们估计虚部在$(1,T)$中的零的数量。最后，我们分别研究了零点实部和虚部的分布。
Consecutive moderate gaps between zeros of the Riemann zeta function
本文研究了Riemann zeta函数非平凡零点纵坐标间的间隙问题，探讨了在给定条件下是否无限次存在连续的“中等”间隙。
Bounds for the residue of Dedekind zeta functions under GRH and applications
该研究在GRH下给出戴德金ζ函数留数的显式上下界，改进了此前结果，其下界可检测类数≤2000的虚二次域，上界对固定非平凡域扩张可显著缩小。
A few equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function and equivalent to the Riemann hypothesis II
本文是我们最近的论文相同的标题，arXiv：0806.1596v1 [math.NT]，其中一些积分等式涉及积分的对数的黎曼ζ函数的介绍，它表明，其中一些是等价的黎曼假设。建立了一些新的这种类型的等式;与前面的论文相反，现在的重点是积分涉及的参数的黎曼ζ函数（虚部的对数），而不是对数的模块（实部的对数）。使用这些等式进行数值研究，以测试黎曼假设的初步结果。我们的积分等式，连同在以前的文件中给出的等式，包括所有早期已知的这种标准，即王，Volchkov和Balazard-Saias-Yor标准，这是某些特殊情况下的一般方法提出。
A note on some constants related to the zeta-function and their relationship with the Gregory coefficients
本文得到了第一、第二Stieltjes常数（也称为广义欧拉常数）以及一些密切相关的常数的新级数。这些级数只包含有理数项，并涉及所谓的格雷戈里系数，也被称为（倒数）对数，第一类柯西数和第二类伯努利数。此外，还给出了Euler常数和常数ln（2*pi）的两个有理项的有趣级数，并提出了Euler常数的另一种推广，得到了计算这些常数的各种公式。最后，在本文中，我们提到，几乎所有的常数在这项工作中考虑承认通过拉马努金求和简单的表示。
The third moment of the logarithm of zeta and a twisted pair correlation conjecture
本文在黎曼假设及零点关联猜想下，证明了黎曼zeta函数对数三次矩的精确条件估计，与Keating-Snaith预测一致，并部分证明了所提出的扭曲对关联猜想。
Spirals of Riemann's Zeta-Function --Curvature, Denseness, and Universality--
本文将Voronin普适性定理应用于黎曼ζ函数，证明固定σ∈(1/2,1)时ζ(σ+it)生成的曲线可近似任意平面光滑曲线，揭示其曲率与ζ’(σ+it)零点的关联，并阐明ζ函数实部与虚部的联合普适性条件。
On the series expansion of the secondary zeta function
本文研究次级 zeta 函数 $Z(s)$，通过基于素数 zeta 函数的新显式公式建立非平凡零点与素数的联系，并给出新级数展开、高精度系数计算及解析延拓算法。
Prime zeta function statistics and Riemann zero-difference repulsion
我们提出了一个推导的数值现象，黎曼zeta函数的非平凡的零之间的差异往往避免等于零本身的虚部，一个属性称为统计“排斥”之间的零和他们的差异。我们的推导依赖于素zeta函数的统计特性，其奇异性结构指定的黎曼零点的位置。我们表明，总理zeta函数的临界线是渐近正态分布的协方差函数，是密切接近的对数的黎曼zeta函数的幅度上的1线。这在近似等于黎曼零点的虚部的间隔处产生显著的负协方差。该协方差函数和素zeta函数的奇异性结构相结合，以在黎曼零点的位置处创建预测零差排斥效应的条件统计偏差。我们的方法很容易推广到描述类似的效果在相关的L-函数的零点。
Indefinite zeta functions
我们定义广义zeta函数与签名（g-1，1）的不定二次型-更一般地说，复杂的对称矩阵的虚部有签名（g-1，1）-我们调查他们的性质。这些不确定的zeta函数被定义为梅林变换的不确定θ函数的意义上的Zwegers，这反过来又推广到西格尔模块设置。证明了不定zeta函数的一个解析延拓和函数方程。我们还表明，不定zeta函数在2维专门的差异射线类zeta函数的实二次域，其领先的泰勒系数在s=0的预测是代数单位的Stark代数。
The Hurwitz Zeta Function at the Positive Integers
本文通过分别求解实部和虚部并合并，得到 Hurwitz Zeta 函数在正整数 k 处的公式，并给出了生成函数的解析延拓。
On the number variance of zeta zeros and a conjecture of Berry
本文在黎曼假设下证明 zeta 函数对数短区间方差估计，并基于 Chan 猜想证明 Berry 关于零点数量方差在非普适区域的猜想，同时计算临界线上二阶矩低阶项，从而在 Montgomery 对关联猜想下验证 Keating-Snaith 猜想的特殊情形。
Laurent series expansions for the Barnes multiple zeta function
本文研究Barnes多重zeta函数的Laurent系数，在最高极点给出显式极限公式，在较低极点建立与Taylor系数的全阶关系，并利用整函数性质分析大阶行为，推广了常数项的有限部分表示。
On Schur multiple zeta functions: A combinatoric generalization of multiple zeta functions
我们引入了Schur多重zeta函数，它可以组合插值Euler-Zagier型的多重zeta函数和多重zeta-star函数。我们首先研究了它们的基本性质，包括绝对收敛的区域和所有变量相同的情况。然后，利用Schur函数的Macdonald第九变式，在变量的假设下，建立了Schur函数理论中的一些行列式公式，如Jacobi-Trudi公式、Giambelli公式和对偶Cauchy公式。此外，我们还研究了Schur多重zeta函数所对应的拟对称函数。我们得到了与上述结果类似的结果，并利用拟对称函数的霍普夫代数的对极明确地刻画了它们的象.最后，我们建立了带状型Schur多重zeta值的迭代整表示，在某些情况下它们具有对偶性。
Jost function, prime numbers and Riemann zeta function
截断势对s波散射的复波数平面中Jost函数的大复零点（S矩阵的极点）与大素数的分布以及临界线上Riemann zeta函数零点虚部的渐近行为有关。一个变种的希尔伯特和波利亚猜想提出和狄拉克海的考虑作为“虚共振”进行了简要讨论。
On the uniform distribution modulo $1$ of zeros and $a$-points of zeta functions
本文给出适用于更广泛序列类模1均匀分布的四个充分条件，方法依赖计数函数渐近行为，证明了包括黎曼zeta函数导数非平凡a点等序列的模1均匀分布，并通过埃尔德什 - 图兰不等式得到序列偏差上界。
Apéry-Type Series with Summation Indices of Mixed Parities and Colored Multiple Zeta Values, I
本文研究中心二项式系数作为被加数的一部分的Aéry型级数。令$b_n=4^n/\binom{2n}{n}$。设$s_1,\dots,s_d$是正整数，其中$s_1\ge 2$。我们考虑序列\begin{align*} \sum_{n_1>\cdots>n_d>0} \frac{b_{n_1}}{n_1^{s_1}\cdots n_d^{s_d}} \end{align*}和一些或所有索引$n_j$被$2n_j\pm 1$替换，以及一些或所有“$>$“被“$\ge$“替换的变体，只要序列被定义。当$s_1\ge 3$时，我们也可以在上面的级数中用它的平方来代替$b_{n_1}$。主要结果是，所有这样的系列是$\mathbb{Q}$ -水平4的一些有色多重zeta值的实部和/或虚部的线性组合，即，在单位的第四根处评估的多个多项式。
Sampling the Lindelöf Hypothesis with the Cauchy Random Walk
研究了当自变量的虚部被柯西随机游动采样时，黎曼ζ函数在临界线上的行为。我们开发了一个完整的二阶理论相应的系统的随机变量，并表明它的行为几乎像一个系统的不相关变量。利用这一事实与已知的标准几乎必然收敛允许调查其几乎必然渐近行为。
Selberg's Central Limit Theorem weighted by Linear Statistics of Zeta Zeros
本文研究以 zeta 零点局部统计量加权的黎曼 zeta 函数对数值分布，证明其在 Fourier 支撑足够小时满足复中心极限定理，并在 Riemann 假设下将虚部支撑条件推广到自然障碍，同时刻画了 log ζ 与单层密度相关性的缓慢衰减。
An incomplete Riemann Zeta function as a fractional integral
本文将不完全 Riemann zeta 函数表示为带下界的反常 Riemann–Liouville 分数阶积分，建立其与 Dirichlet eta 函数的关系，并揭示半群性及微分自关系等独特性质。
Horizontal Monotonicity of the Modulus of the Riemann Zeta Function and Related Functions
它表明，黎曼zeta函数和两个相关的功能严格减少时，虚部的参数是固定的任何数字，绝对值至少为8和实部的参数是负的，并增加到0;扩展这种单调性的实部增加到1/2被证明是等价于黎曼假设。另一个结果是一个双重不等式的实部的对数导数的三个功能正在考虑。
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