Sum-full sets are not zero-sum-free
Vsevolod F. Lev, Janos Nagy, Peter Pal Pach
设$A$是阿贝尔群的有限非空子集。我们证明了如果$A$的每个元素都是另外两个元素的和，那么$A$有一个非空的零和子集.也就是说，一个阿贝尔群的（有限的，非空的）满和子集不是零和自由的。
Let $A$ be a finite, nonempty subset of an abelian group. We show that if every element of $A$ is a sum of two other elements, then $A$ has a nonempty zero-sum subset. That is, a (finite, nonempty) sum-full subset of an abelian group is not zero-sum-free.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On sets free of sumsets with summands of prescribed size
我们研究极值问题的整数集，不包含规定大小的和项的和集。我们分析有限集和无穷序列。我们还研究了这些问题与图和超图的极值问题的联系。
On sum sets of sets, having small product set
本文改进了Solymosi关于R中和积的一个结果，即证明了max{|A+A|，|AA| } \gg |A| ^{4/3+c}，其中c>0是绝对常数。得到了具有小积集的集合和的新的下界，有效地改进了已有的关于集合A from R的|AA| \le |A| ^{4/3}的结果.
On the regular sum-free sets
卡梅隆引入了一个双射之间的一组和自由集和一组的所有零一序列。本文研究了含有Cantor型序列和置换序列等的0 - 1序列所对应的自然数的无和集，这些无和集作为整数序列是2-正则的。我们还证明了对应于某些和自由集的序列是自动的。
Integer Sets of Large Harmonic Sum Which Avoid Long Arithmetic Progressions
本研究给出数字受限整数集不含k项算术级数的条件，通过大规模搜索找到不含4项与10项算术级数且调和和优于传统贪心构造的整数集，可高效计算相关集合与调和和。
Groups with few maximal sum-free sets
我们发现，在整数设置相反，几乎所有的偶数阶阿贝尔群$G$有指数更少的最大和自由集比$2^{μ(G)/2}$，其中$μ(G)$表示的大小，最大和自由集$G$。这证实了Balogh，Liu，Sharifzadeh和Treglown的猜想。
N-graphs, modular Sidon and sum-free sets, and partition identities
使用一个新的图形表示分区，作者获得了一个家庭的分区身份与分区成不同的部分的算术级数，或者，更一般地说，与分区成不同的部分的一组，这是一个有限的工会的等差数列与模块化的和免费西顿集。划分单位也构造与模块和自由集的集合。
Some examples of sets of large exponential sums
令$A$是$\mathbb{Z} / N\mathbb{Z}$的子集，并且令$\mathcal{R}$是$A$的大傅里叶系数的集合。$\mathcal{R}$的性质已经在M. C.昌湾，澳-地格林和作者在本文中，我们得到了关于大指数和集的一些新结果。
Arithmetic progressions in sets with small sumsets
本文给出了一个初等证明：如果$A$是一个有限的数集，且$A+_GA$的和集$|A+_GA|\leq c|A|$沿稠密图$G$很小，则$A$包含$k$ -项等差数列.
Double Character Sums with Intervals and Arbitrary Sets in Finite Fields
我们得到了某些乘法特征标双和的一个新的界，改进了已有结果的范围。这种改进来自于有限域中共线三元组数目的新界，这是加法组合学的经典研究对象。
On popular sums and differences of sets with small products
给出了实数子集$A$的小积$AA$，得到了$A$的加性能量的一个新的上界.该证明利用了$A$的特征函数的卷积的水平集与$A$的乘积较小的自然观察。
Siegel's Lemma and Sum-Distinct Sets
我们给出了Siegel引理w的一个锐化形式。R. t.最大的标准。这意味着一个新的下界的最大元素的总和不同的正整数（Erdös-Moser问题）。主要工具是闵可夫斯基定理连续极小和Busemann定理从凸几何。
Refined bound for sum-free sets in groups of prime order
改进早期的结果Freiman和本作者，我们表明，如果$p$是一个足够大的素数和$A$是一个无和子集的组顺序$p$，使$n:=|A|>0.318p$，然后$A$包含在膨胀的区间$[n,p-n]\pmod p$。
On Thin Sets of Primes Expressible as Sumsets
设P是素数的无限集，使得P = A + B + C，其中A，B，C是至少有两个元素的集合。我们证明了，如果P（x）> c x/log^d x（其中P（x）= P中<= x的元素的个数），并且如果A，B，C是一个“正则”三元组，则|A+B| <= d，或|B+C| <= d，或|A+C| <= d.
An application of the sum-product phenomenon to sets having no solutions of several linear equations
我们证明了对于任意的$κ\le \frac{1}{3}$，$\mathbf{F}_p$的任何子集，避免$t$线性方程与三个变量的大小小于$O(p/t^κ)$。我们还发现一些应用程序的问题，所谓的非平均集，共线三元组和混合能量的数量。
Sums and differences of sets: a further improvement over AlphaEvolve
本文提出集合和差问题的新进展，通过构造 $U$ 集合序列，在极限下确立了 $θ= 1.173077$ 的新下界，改进了 AlphaEvolve 及后续显式构造的近期结果。
Sums of sets of lattice points and unimodular coverings of polytopes
如果$P$是一个格多面体（即，$\mathbf{R}^n$中格点的有限集的凸包），则$P$中$h$格点的每个和都是$h$ -fold和集$hP$中的格点.然而，$h$折叠和集$hP$中的格点不一定是$P$中的$h$格点之和.证明了：若多胞形$P$是幺模单形的并，则$h$ -fold和集$hP$中的每个格点都是$P$中$h$格点的和.
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
Sets with more sums than differences
设A是整数的有限子集，或者更一般地，是任何阿贝尔群的有限子集，可加地写。集合A的和大于差，如果|A+A|>| A-A|.具有此属性的集合称为MSTD集合。本文给出了整数MSTD集族的显式构造。
Counting sum-free sets in Abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群中$m$阶的和自由集。我们证明了3-一致超图的一个一般定理，它使我们能够从稠密设置中的稳定性结果推导出稀疏设置中的结构结果。因此，对于每个$m \ge C(q) \sqrt{n \log n}$，我们确定了阿贝尔群$G$中阶$q$的无和集的典型结构和渐近数，从而推广和改进了Green和Ruzsa的一个定理.特别是，我们证明了几乎所有的无和子集的大小$m$包含在一个最大大小的无和子集的$G$。我们还给出了一个完全自包含的证明，这一声明的阿贝尔群的偶数阶，它使用谱方法和一个新的界限上的数量的独立集的大小$m$在$(n,d,λ)$ -图。
Sums of Finite Sets of Integers, II
设$\mathcal{A}$是有限整数集，$h\mathcal{A}$表示$\mathcal{A}$的$h$ -折叠和集.令$(h\mathcal{A})^{(t)}$是$h\mathcal{A}$的子集，其由至少具有作为$\mathcal{A}$的$h$元素之和的$t$表示的所有整数组成。集合$(h\mathcal{A})^{(t)}$的结构对于所有的$h \geq h_t$是完全确定的。
Some explicit constructions of sets with more sums than differences
本文给出了整数的有限集合A的和集A+A大于差集A-A的各种新结果，即所谓的MSTD（more sums than differences）集合.首先，我们表明，有，直到仿射变换，一个唯一的MSTD子集的{ \bf Z}的大小为8。其次，我们从一些大小为9的例子出发，给出了MSTD集无限族的几个新的构造。第三，我们证明了对于每个固定的非负整数序偶（j，k），当n -> \infty时，{0，1，2，.，n}满足|A+A| =（2n+1）- j，|A-A| =（2n+1）- 2k。
On sets with small sumset and m-sum-free sets in Z/pZ
在群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的$3k-4$猜想对于$p$素数陈述，如果$A$是满足$2A\neq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$和$|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$的$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的非空子集，则$A$被大小至多为$|A|+r+1$的等差数列覆盖。Serra和Zémor的一个定理证明了由$r\leq 0.0001|A|$提出的猜想，而对$|A|$没有任何附加的约束.受温和的额外约束$|2A|\leq 3p/4$（这是最佳的在某种意义上解释的文件），我们的第一个主要结果提高了对$r$的约束，允许$r\leq 0.1368|A|$。我们还证明了一个变体，进一步提高了这个约束$r$提供$A$是足够密集的。然后我们给出几个应用程序。首先，我们应用上述变体来给出$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中$m$ -无和集的最大密度的新上界，即，将没有解$(x,y,z)\in A^3$的$A$设置为方程$x+y=mz$，其中$m\geq 3$是固定整数。之前最大密度的最佳上限是$1/3.0001$（使用塞拉-泽莫尔定理）。我们将其改进为$1/3.1955$。我们还提出了一个建设以下的Schoen的想法，这产生了一个下界的形式$1/8+o(1)_{p\to\infty}…
Sum-free sets in abelian groups
设A是阿贝尔群G的子集.我们说A是无和的，如果在满足x + y = z的A中不存在x，y和z。对于任意G，我们确定G的最大无和子集的基数。这等于c（G）|G|，其中c（G）是依赖于G的常数，位于区间[2/7，1/2]中。我们还估计了G的无和子集的个数。结果是这个数的log_2是c（G）|G| + o（|G|），它紧到o项。对于某些阿贝尔群，即其阶可被3 k + 2形式的小素数整除的群，我们可以得到无和集的个数的渐近式。
$L$--functions and sum--free sets
对于由${\mathsf{sf}}(A)$定义的集合$A\subset {\mathbb {F}_p}^*$，Alon和Kleitman证明了$A.$的最大无和子集的大小${\mathsf{sf}} (A) \ge |A|/3+O(|A|/p).$.我们证明了：如果${\mathsf{sf}} (A)-|A|/3$很小，则集合$A$一定均匀分布在每个大乘法子群的陪集上.我们的论证依赖于${\mathbb {F}_p}$中乘法子群在一定区间上分布的不规则性。
Sidon sets with $Δ$-separated sumsets in additive number theory
该研究针对整数区间内最大Δ-分离西顿集的基数，推导了其上下界，属于加法数论中西顿集相关的理论研究。
On sum sets of convex functions
本文证明了凸或凹函数和的新的界。具体来说，我们证明了，对于所有的$A,B \subseteq \mathbb R$有限集，并为所有的$f,g$凸或凹函数，我们有$$|A + B|^{38}|f(A) + g(B)|^{38} \gtrsim |A|^{49}|B|^{49}.$$这个结果可以用来获得一些两个变量的扩展的利益，以及非对称和产品问题的界限。我们还调整我们的技术，也证明了三个变量的扩展结果\[ |AB+A|\gtrsim |A|^{\frac32 +\frac3{170}}\,. \]我们的方法遵循一系列最近的发展和产品的文献，提出了一个统一的图片。特别感兴趣的是一个适应的正规化技术的薛，使我们能够找到积极的比例子集与某些理想的性能。
Classifications of $\ell$-Zero-Sumfree Sets
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有$\ell$ -零和自由子集的集合是由$Δ_{n,\ell}$表示的单纯复形。我们通过定义一组整数分区来创建一个算法，我们称之为$(n,\ell)$ -全等分区，以便为中等大小的参数$n$和$\ell$计算该复形。我们还从理论上确定了几个参数无限族的$Δ_{n,\ell}$，并计算了相应的坐标子空间排列的交格和特征多项式。
Følner sequences and sum-free sets
Erdwords表明，每一组$n$正整数包含一个子集的大小至少$n/(k+1)$不包含解决方案，以$x_1 + \cdots + x_k = y$。我们证明，常数$1/(k+1)$在这里是最好的可能性表明，如果$(F_m)$是一个乘法Følner序列在$\mathbf{N}$然后$F_m$没有$k$ -无和子集的大小大于$(1/(k+1)+o(1))|F_m|$。这提供了一个新的证明和推广最近定理的埃伯哈德，绿色，和方式。
Difference sets and positive exponential sums II: cubic residues in cyclic groups
本文通过构造非负指数和，给出了循环群中差集避免三次剩余的集合基数的上界。
New lower bounds for cardinalities of higher dimensional difference sets and sumsets
令$d \geq 4$是自然数，并且令$A$是$\mathbb{R}^d$的有限非空子集，使得$A$不包含在超平面的平移中。在这种情况下，我们表明，\[ |A-A| \geq \bigg(2d - 2 + \frac{1}{d-1} \bigg) |A| - O_{d}(|A|^{1- δ}), \]的一些绝对常数$δ>0$，只依赖于$d$。这提供了一个尖锐的主项，因此回答了Ruzsa和Stanchescu的问题，直到$O_{d}(|A|^{1- δ})$错误项。我们还证明了$\mathbb{R}^d$中限制型差集和非对称和集的新的下界。
On Sums of Sets of Primes with Positive Relative Density
本文证明了如果$A$是具有正相对密度$δ$的素数子集，则$A+A$在$\mathbb{N}$中必有正上密度$C_1δe^{-C_2(\log(1/δ))^{2/3}(\log\log(1/δ))^{1/3}}$.我们的论点适用的技术开发的绿色和绿色陶用来找到等差数列的素数，结合结果的总和子集的乘法分组的整数模$M$。
The structure of large sum-free sets in $\mathbb{F}_p^n$
如果$A+A$不与$A$相交，则集合$A\subset \mathbb{F}_p^n$是无和的。如果是$p\equiv 2 \mod 3$，则已知$\mathbb{F}_p^n$中无和的最大大小为$(p^n+p^{n-1})/3$。证明了如果一个无和集$A\subset \mathbb{F}_p^n$的大小至少为$p^n/3-p^{n-1}/6+p^{n-2}$，则存在余维为1的子空间$V<\mathbb{F}_p^n$，使得$A$包含在$V$的$(p+1)/3$陪集中.对于$p=5$具体来说，我们证明了更强的结果，即每一个大小大于$1.2\cdot 5^{n-1}$的无和集都具有这种性质，从而改进了Lev.
Notes on sum-free sets in abelian groups
本文通过容器方法，渐近确定了大多数偶数阶阿贝尔群中极大无和子集的数量，并提出了若干开放问题。
Triangular and tetrahedral number differences of sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集合sumset大小的完整范围，发现在大小为4的集合流行sumset大小分布中存在与三角数和四面体数相关的意外模式。
Sums of inverses in thin sets of finite fields
本文给出了有限域的高次扩张中适当定义的短区间元素的倒数的$k$ -折叠和集的基数的下界。将所得结果与多重线性特征和的界相结合，得到了有限域上不完全多重线性Kloosterman和的新结果。
Symmetric Complete Sum-free Sets in Cyclic Groups
给出了一般有限循环群中对称完全和自由集的构造。它表明，相对大小的集合是密集的$[0,\frac{1}{3}]$，回答了卡梅隆的问题，并在循环群中所包含的顺序$n$的数量是指数在$n$。对于素数$p$，我们给出了$\mathbb{Z}_p$的对称完全无和子集的完整刻画，其大小至少为$(\frac{1}{3}-c) \cdot p$，其中$c>0$是一个普适常数.
The number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords提出了$\{1, \dots , n\}$中有多少个极大和自由集的问题，给出了$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的下界。本文证明了在$\{1, \dots , n\}$中实际上至多存在$2^{(1/4+o(1))n}$极大和自由集。我们的证明利用了Green的容器引理和移除引理，以及Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin关于无和集结构的结果。
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
A problem on sumset sizes of sets of lattice points
研究加法阿贝尔半群有限子集\(h\)重和集大小问题，证明整数有限集与\(n\)维格点有限集的“和集大小范围”相同，并探讨用格点计算和集大小集合是否比整数更高效。
Character sums over Bohr sets
我们证明了加性玻尔子集模素数的特征和估计。这些估计是类似于经典的字符和界限的Polya-Vinogradov和伯吉斯。这些估计被应用于特殊元素的递推模$p$的结果。
On sets of integers which are both sum-free and product-free
我们考虑集合的正整数不包含两个元素的总和在集合中，也没有产品的两个元素。我们证明了这样一个集合的上密度严格小于小于1/2，这是最好的可能。此外，我们还找到了这样的集，也是周期模一些正整数的密度的极大序模。
Parametrization of Kloosterman sets and $\mathrm{SL}_3$-Kloosterman sums
我们分层的$\mathrm{SL}_3$大细胞Kloosterman集使用减少字分解的外尔群元素，灵感来自Bott-Samelson分解。因此，$\mathrm{SL}_3$长字Kloosterman和分解成更精细的部分，我们写它作为一个有限的两个经典Kloosterman和的产品。在同余子群$Γ_0(N)\subseteq \mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$上的Bruggman-Kuznetsov迹公式中，精细的Kloosterman求和最终成为正确的部分。另一个应用是一个新的明确的公式，表示三重因子和函数的双重狄利克雷级数的指数和，推广拉马努金公式。
Restricted-sum-dominant sets
设$A$是加法阿贝尔群$G$的非空有限子集.定义$A + A := \{a + b : a, b \in A\}$和$A \dotplus A := \{a + b : a, b \in A~\text{and}~ a \neq b\}$。如果$|A + A| > |A - A|$，则集合$A$被称为{ \em和支配（SD）集合}，如果$|A \dotplus A| > |A - A|$，则集合$A$被称为{ \em限制和支配（RSD）集合}。本文证明了对无穷多个正整数$k$，存在无穷多个基数整数的RSD集$k$ .给出了RSD集的无穷序列的一个显式构造。
Inverse problems for sumset sizes of finite sets of integers
本文研究了有限整数集的和集大小序列的反问题，探讨了不同集之间的关系及增长速率。
Solution-free sets for sums of binary forms
我们得到了二维整数格的子集的渐近密度的定量估计，其中只包含平凡的解决方案，涉及二进制形式的添加剂方程。在这个过程中，我们开发了一个类似的维诺格拉多夫的中值定理适用于二进制形式。
The largest $(k, \ell)$-sum-free sets in compact abelian groups
本文将这一概念推广到紧阿贝尔群，并研究了可测$kA \cap \ell A=\emptyset.$-sum-free集可以有多大的问题.对于整数$1 \leq k <\ell$和紧交换群$G$，令$$λ_{k,\ell}(G)=\sup\{ μ(A): kA \cap \ell A =\emptyset \}$$是$G$的无$(k,\ell)$和子集的最大可能大小。证明了若$G=\mathbb{I} \times M$，其中$\mathbb{I}$是$G$的单位分量，则有$$λ_{k, \ell}(G)=\max \left\{ λ_{k, \ell}(M), λ_{k, \ell}(\mathbb{I}) \right\}.$$.此外，若$\mathbb{I}$非平凡，则有$λ_{k,\ell}(\mathbb{I})=\frac{1}{k+\ell}$ .最后，我们讨论了这个问题如何激发一个新的框架研究$(k,\ell)$ -无和集有限群。
Sum of elements in finite Sidon sets II
一个集合$S\subset\{1,2,...,n\}$称为西顿集合，如果所有的和$a+b~~(a,b\in S)$都不同。令$S_n$是$\{1,2,...,n\}$中Sidon集的最大基数。在前一篇文章中，作者证明了以下渐近公式$$\sum_{a\in S,~|S|=S_n}a=\frac{1}{2}n^{3/2}+O(n^{111/80+\varepsilon}),$$，其中$\varepsilon>0$是任意小常数。本文给出了上述公式的一个推广.证明了对任意正整数$\ell$，都有$$\sum_{a\in S,~|S|=S_n}a^{\ell}=\frac{1}{\ell+1}n^{\ell+1/2}+O\left(n^{\ell+61/160}\right)$$.此外，我们还考虑了其它类型的包含Sidon集的求和的渐近公式.证明是在更一般的情况下建立的，即当$t$接近于$n^{1/2}$时，我们得到了含有$t$元素的Sidon集的渐近公式.
The Maximum Size of $(k,l)$-Sum-Free Sets in Cyclic Groups
有限阿贝尔群群$G$的子集$A$称为$(k,l)$ -无和，如果$A$的$k$（不一定相异）元素之和不等于$A$的$l$（不一定相异）元素之和.我们找到了一个明确的公式的最大尺寸的一个$(k,l)$ -无和的子集在$G$的所有$k$和$l$的情况下，当$G$是循环的证明，它足以考虑$(k,l)$ -无和的间隔在分组的$G$。这简化和推广了Hamidoune和Plagne以及Bajnok的早期结果。
When Sets Can and Cannot Have MSTD Subsets
一个整数的有限集$A$是一个和支配（也称为和大于差或MSTD）集合，如果$|A+A| > |A-A|$。虽然$\{0, \dots, n\}$的几乎所有子集都不是和显性的，但有趣的是，一小部分正的百分比是。我们探讨了正整数的无限集合上的充分条件，使得没有和-支配子集，至多有100多个和-支配子集，或有无限多个和-支配子集。特别是，我们证明了没有子集的斐波那契数是一个和优势集，建立条件，使解决方案的递归关系只有1000多个和优势子集，并显示有无穷多个和优势子集的素数。
Higher convexity and iterated sum sets
设$f$是具有严格单调一阶$k$导数的光滑实函数.我们表明，对于一个有限集$A$，与$|A+A|\leq K|A|$，$|2^kf(A)-(2^k-1)f(A)|\gg_k |A|^{k+1-o(1)}/K^{O_k(1)}$。我们推导出几个新的和产品类型的影响，例如，$A+A$小意味着无限增长的多次迭代积集$A \cdots A$。
A note on triangulations of sum sets
对于平面上的有限集合A和B，我们写A+B来表示A和B的元素的和的集合。另外，我们写tr（A）来表示以A的点为顶点的A的凸包的任何三角剖分中的三角形的公共数目。本文考虑猜想：tr（A+B）^{1/2} \geq tr（A）^{1/2}+tr（B）^{1/2}.如果是真的，这个猜想将是一个离散的，二维的Brunn-Minkowski不等式。我们证明了三个特殊情况下的猜想。
Additive double character sums over some structured sets and applications
研究了有限域上两个子集上的可加双特征标和。证明了如果集合$D$存在一个适当的小度有理自映射，则该集合包含一个大的子集$U$，对于该子集，$U$和任何子集$C$（满足其大小$|C|$的某些限制）上特征和的绝对值的标准界都可以得到改进.这种合适的自映射的示例是反演和平方。然后，我们将这个新的界限应用到迹积和和积方程，并改进了第一作者和Gyarmati和Sárközy的结果。
Sum-free sets which are closed under multiplicative inverses
设$A$是有限域$\mathbb{F}$的子集。当$\mathbb{F}$具有素数阶时，证明了存在一个绝对常数$c > 0$，使得如果$A$是无和的且等于其乘法逆的集合，则$|A| < (0.25 - c)|\mathbb{F}| + o(|\mathbb{F}|)$为$|\mathbb{F}| \rightarrow \infty$ .我们将此与当$\mathbb{F}$具有特征性$2$时这样的集合存在大小至少为$0.25|\mathbb{F}| - o(|\mathbb{F}|)$的结果进行对比。
Sum-free sets in $Z_5^n$
众所周知，对于素数$p\equiv 2\pmod 3$和整数$n\ge 1$，初等阿贝尔群$\mathbb Z_p^n$的无和子集的最大可能大小是$\frac13\,(p+1)p^{n-1}$。我们建立了一个匹配的稳定性结果的情况下$p=5$：如果$A\subseteq\mathbb Z_5^n$是一个无和子集的大小$|A|>\frac32\cdot5^{n-1}$，那么有一个子群$H<\mathbb Z_5^n$的大小$|H|=5^{n-1}$和一个元素$e\notin H$，使$A\subseteq(e+H)\cup(-e+H)$。
On the representation of large even integers as the sum of eight primes from positive density sets
本文证明若素数子集 A 在素数中的下密度大于 1/2，则每个充分大的偶数均可表示为 A 中八个素数之和，且常数 1/2 是最佳的。
Additional Constructions of Sequences of Alternating Sum and Difference Dominated Sets
本文解决了 Samuel Allen Alexander 提出的关于构造在 MSTD 和 MDTS 之间交替的无限集合序列的问题，提出了一种更具挑战性的“非填补”方法，确保集合间的缺失整数在后续集合中始终缺失。
Asymptotic formula for sum-free sets in abelian groups
设A是有限阿贝尔群G的子集.我们说A是无和的，如果方程x + y = z没有解，其中x，y，z属于集合A。令SF（G）表示$G$的所有无和子集的集合，$σ(G)$表示数$ n^{-1}(\log_2 |SF(G)|) $.本文将改进最近由Ben Green和Ruzsa得到的$σ(G)$的渐近公式中的误差项。所使用的方法是本·格林和鲁萨开发的方法的轻微改进。
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
Generalized More Sums Than Differences Sets
和大于差（MSTD，或和占优）集是一个有限集$A\subset \mathbb{Z}$，使得$|A+A|<|A-A|$。虽然人们认为$\{0,...,n\}$的子集中和显性的百分比趋于零，但在2006年Martin和O 'Bryant \cite{MO}证明了正百分比是和显性的。我们把他们的结果推广到求集合的和与差的许多不同方法。我们证明，$|ε_1A+...+ε_kA|>|δ_1A+...+δ_kA|$的积极的百分比的时间为所有非平凡的选择$ε_j,δ_j\in \{-1,1\}$。以前的方法证明了存在无限多个这样的集合，但是，没有方法来构造这样的集合。我们开发了一个新的，明确的建设这样的一组，然后扩展到一个积极的百分比集。我们进一步扩展这些结果，发现集表现出不同的行为，因为更多的总和/差异。例如，我们证明了对于任何$m$，$|ε_1A + ... + ε_kA| - |δ_1A + ... + δ_kA| = m$的时间百分比为正。我们发现的限制行为的$kA=A+...+A$为任意集$A$为$k\to\infty$和一个上限的$k$这样的行为安定下来。最后，我们说$A$是$k$ -代和显性，如果$A$，$A+A$，.，$kA$都是和显性的。数值搜索甚至无法找到两代的集合（数学分析表明概率最多为$10^{-9}$，几乎可以肯定的是，概率要小得多）。我们证明了令人惊讶的结果，对于任…
On sets with sum and difference structure
对于非负整数的非空集$A,B$和一个整数$n$，令$r_{A,B}(n)$是$n$表示为$a+b$的个数，$d_{A,B}(n)$是$n$表示为$a-b$的个数，其中$a\in A, b\in B$。本文确定了集合$A,B$，使得对每个非负整数$n$有$r_{A,B}(n)=1$.我们还考虑了\emph{difference}结构，并证明了：存在非负整数集合$A$和$B$，使得对于所有大的$r_{A,B}(n)\ge 1$，$A(x)B(x)=(1+o(1))x$和任何给定的非负整数$c$，我们有$d_{A,B}(n)=c$，对于无穷多个正整数$n$ .其他相关结果也包含在内。
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