On the index conjecture in zero-sum theory: singular case
设$S=(a_1)\cdots(a_k)$是有限循环群$G$上的极小零和序列.索引猜想指出，如果$k=4$和$\gcd(|G|,6)=1$，则$S$具有索引$1$。本文证明了如果$S$是奇异的，则$S$的指数是$1$ .
2017-09-14 math.CO math.NT
Distinct Lengths Modular Zero-sum Subsequences: A Proof of Graham's Conjecture
令$n$为正整数，且令$S$为区间$[0,n-1]$中的$n$整数序列。如果存在一个$r$，使得任何具有和$\equiv 0$ $\pmod n$的非空子序列具有长度$=r,$，则$S$最多有两个不同的值。这证明了R. L.格雷姆本文报道了P.Erdens和E. Szemerédi证明了这个猜想的有效性，如果$n$是一个大的素数。
2009-02-27 math.CO math.NT
On a conjecture of Dekking : The sum of digits of even numbers
设$q\geq 2$，用$s_q$表示以$q$为基的数字和函数。对于$j=0,1,...,q-1$，考虑$$# \{0 \le n < N : \;\;s_q(2n) \equiv j \pmod q \}.$$。M. Dekking指出，对于无穷多个$N$，这个量分别大于$N/q$和小于$N/q$，从而声称不存在漂移（或纽曼）现象。本文证明了他的猜想。
2013-05-08 math.CO math.NT
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
2019-10-29 math.CO math.NT
Partition Inequalities and Applications to Sum-Product Conjectures of Kanade-Russell
我们考虑一个和两个变量的有限产品的差异，并提供某些系数的非负性的组合证明。由于乘积可以被解释为某些整数划分的生成函数，这相当于显示了划分不等式。这扩展了Berkovich-Garvan和McLaughlin的结果。然后，我们应用第一不等式和Andrews的反伸缩方法，给出了一个最近被证明的Kanade-Russell和积恒等式的“Escherapreis问题”的一个解。也就是说，我们提供了一些证据，Kanade-Russell的证明，通过显示非负系数的产品方面的差异，安德鲁斯-巴克斯特和Kadell没有产品方面的罗杰斯-拉马努金身份。
2019-04-18 math.CO math.NT
Approaching Cusick's conjecture on the sum-of-digits function
Cusick猜想的二进制数字和$s(n)$的一个非负整数$n$国家如下：对于所有非负整数$t$我们有\[ c_t=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac 1N\left\lvert\{n<N:s(n+t)\geq s(n)\}\right\rvert>1/2. \]我们证明，对于给定的$\varepsilon>0$我们有\[ c_t+c_{t'}>1-\varepsilon \]如果二进制扩展$t$包含足够的块连续$\mathtt 1$ s（取决于$\varepsilon$），其中$t'=3\cdot 2^λ-t$和$λ$的选择，使$2^λ\leq t<2^{λ+1}$。
2019-04-18 math.CO math.NT
Proof of some conjectures of Z.-W. Sun on the divisibility of certain double-sums
Z.- W. Sun介绍了三种数字：\begin{align*}S_n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}(2k+1),\qquad s_n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}\frac{1}{2k-1}, \end{align*}和$S_n^{+}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}(2k+1)^2$。本文主要通过建立一些二项式系数恒等式，如\begin{align*} 4\sum_{k=0}^{n-1}kS_k=n^2\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}{2k\choose k}(6k{n-1\choose k}^2+{n-1\choose k}{n-1\choose k+1}). \end{align*}，证明了\begin{align*} 4\sum_{k=0}^{n-1}kS_k\equiv \sum_{k=0}^{n-1}s_k\equiv \sum_{k=0}^{n-1}S_k^{+}\equiv 0\pmod{n^2}\quad\text{for $n\geqslant 1$}, \end{align*}，从而证实了Z.- W.太阳
2014-12-10 math.CO math.NT
Proofs of Some Kanade--Russell Mod 12 Conjectures
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
本文用线性递推、q-差分方程、q-级数求和及围道积分与留数演算等方法，证明了Kanade--Russell模12猜想中剩余的六个恒等式，包括两个三重和与四个四重和恒等式。
2026-09-09 math.CO math.NT
Improved Bounds for the Index Conjecture in Zero-Sum Theory
本文研究零和理论中的指标猜想，通过理论证明将参数 $n$ 的上界从 $10^{20}$ 降至 $4.6\cdot10^{13}$，并利用高性能计算验证了 $n<1.8\cdot10^6$ 时猜想成立。
2025-10-13 math.CO math.NT
Restricted sumsets in $\mathbb{Z}$
设$k\geqslant 3$，设$A=\{0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{k-1}\}$与$\gcd(A)=1$。Freiman-Lev猜想[V.F.列弗，群中的限制集加法，I。经典的设置，J. London Math.Soc.62（2000），27-40]是一个著名的猜想，它涉及到限制和集。到目前为止，Freiman-Lev猜想对所有的$a_{k-1}\geqslant 2k-2$都是开放的.本文证明了Freiman-Lev猜想对$a_{k-1}\geqslant 2k-2$和$a_{k-2}<2k-4$是成立的.也就是说，Freiman-Lev猜想对于$a_{k-1}\geqslant 2k-2$和$a_{k-2}\geq 2k-4$的情况仍然是开放的。
2024-09-02 math.CO math.NT
Restricted sumsets and a conjecture of Lev
设A，B，S是阿贝尔群G的有限子集.假设限制和集C={a+b：a在A中，b在B中，a-b不在S中}非空，并且C中的某个c可以写成a+b，其中a在A中，b在B中，至多有m种方式。证明了若G是无挠的或初等阿贝尔的，则|C| \geq |A| + |B| - |S| -m.证明了若G的挠子群是循环的，则|C| \geq |A| + |B| -2 |S| -m.在S={0}的情况下，这提供了一个关于列弗猜想的进展。
2006-10-29 math.CO math.NT
Visualizing the Sum-Product Conjecture
本文构建覆盖 $n\le32$ 时至少 $84\\%$ 和积对的百万级数据集以可视化和积现象，未发现支持 Erdős 和积猜想的证据，并证明 $n\le6$ 时 $SPP(n)$ 的确切值。
2025-03-16 math.CO math.NT
Proof of some conjectures of Z.-W. Sun on congruences for Apery polynomials
对于所有非负整数$n$，由$A_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{n+k\choose k}^2 x^k$定义的April多项式。我们确认了Z的几张照片W. Sun关于和$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k(2k+1) A_k(x)$与$x\in Z$的同余。
2012-04-01 math.CO math.NT
Proof of Sun's conjectures on integer-valued polynomials
最近，Z W. Sun引入了两类与Delannoy数有关的多项式，并证明了涉及这两类多项式的和的超同余。我们推导出新的求和公式平方的多项式，并使用它们来证明，某些合理的总和，这些多项式的权力，甚至是整数，每当他们被评估为整数。这证实了Z的两个版本。W.太阳我们还推测，许多这些结果有整洁的$q$ -类似物。
2017-02-21 math.CO math.NT
Counterexamples to Zagier's Duality Conjecture on Nahm Sums
针对Nahm问题中Zagier提出的模形式Nahm和的对偶也为模形式的猜想，构造出秩为4的模形式Nahm和反例，其对偶不具备模形式性质，从而证伪该对偶猜想。
2025-01-14 math.CO math.NT
Stolarsky's conjecture and the sum of digits of polynomial values
令$s_q(n)$表示整数$n$的$q$进制展开中的数字之和。在1978年，Stolarsky表明，$$ \liminf_{n\to\infty} \frac{s_2(n^2)}{s_2(n)} = 0. $$他解释说，作为$n^2$，这个极限下确界应该是0的更高权力的$n$。我们证明和推广这个猜想表明，任何多项式$p(x)=a_h x^h+a_{h-1} x^{h-1} + ... + a_0 \in \Z[x]$与$h\geq 2$和$a_h>0$和任何基$q$，\[ \liminf_{n\to\infty} \frac{s_q(p(n))}{s_q(n)}=0.\]对于任何$ε> 0$，我们给出了一个最小$n$的界限，使比率$s_q(p(n))/s_q(n) < ε$。进一步，我们给出了$n < N$的个数的下界，使得$s_q(p(n))/s_q(n) < ε$ .
2010-01-23 math.CO math.NT
On The Energy Variant of the Sum-Product Conjecture
我们证明了新的指数的能量版本的Erdens-Szemerédi和产品猜想，提出了Bessel和Wooley。它们与以前为问题的标准制定所建立的里程碑值相匹配，无论是对于一般领域还是实数或复数的特殊情况，并且似乎是目前可用技术中可达到的最佳值。进一步得到了加法移位的乘性能量和Elekes与Ruzsa的“少和多积”不等式的能量加强形式。后者的不等式使我们能够获得一个轻微的改善，国家的最先进的和产品指数的实数由于Konyagin和第二作者，高达$\frac{4}{3}+\frac{1}{1509}$。给出了能量估计在素剩余域算术增长问题中的一个应用。
2017-06-05 math.CO math.NT
On the Markov numbers: fixed numerator, denominator, and sum conjectures
马尔可夫数是丢番图方程$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$的正整数解。早在1880年，马尔可夫表明，所有这些解决方案可以产生沿二叉树。因此，用0和1之间的有理数来索引马尔可夫数变得非常常见（也很有用），这些有理数在Stern-Brocot二叉树中位于同一位置。Frobenius猜想声称每个马尔可夫数在树中最多出现一次。特别是，如果猜想是真的，马尔可夫数的顺序将建立一个新的严格顺序的有理数。艾格纳提出了三个建议，以更好地理解这一秩序。第一个问题已经解决了几个月。我们证明了另外两个命题也成立。在此过程中，我们将马尔可夫数推广到任何一对（p，q）非负整数（不仅当它们是互素时），并推测一旦$p \leq q$，唯一性仍然成立。最后，我们证明了这三个命题实际上是真的这个超集。
2020-10-20 math.CO math.NT
Proof of some congruence conjectures of Guo and Liu
令$n$和$r$为正整数。用$S_n^{(r)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2\binom{2k}{k}(2k+1)^r.$定义数$S_n^{(r)}$本文证明了Guo和Liu的几个定理，它们推广了Z. W. Sun \cite{Su1}，例如：存在与$n$无关的整数$a_{2r-1}$和$b_r$，使得$$a_{2r-1}\sum_{k=0}^{n-1}S_k^{(2r-1)}\equiv0\pmod{n^2}\ \mbox{and}\ b_r\sum_{k=0}^{n-1}kS_k^{(r)}\equiv0\pmod{n^2}.$$通过Zeilberger算法，我们发现对所有的$0\leq j<n$，$$(2j+1)\binom{2j}j\sum_{k=j}^{n-1}(2k-j+1)\binom kj^2\equiv0\pmod{n^2}.$$
2018-12-10 math.CO math.NT
Proof of a conjecture of Z.-W. Sun on the divisibility of a triple sum
定义数$R_n$和$W_n$为\begin{align*} R_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}\frac{1}{2k-1},\ \text{and}\ W_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}\frac{3}{2k-3}. \end{align*}，证明了对任意正整数$n$和奇素数$p$，存在\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)R_k^2 &\equiv 0 \pmod{n}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)R_k^2 &\equiv 4p(-1)^{\frac{p-1}{2}} -p^2 \pmod{p^3}, \\ 9\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)W_k^2 &\equiv 0 \pmod{n}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)W_k^2 &\equiv 12p(-1)^{\frac{p-1}{2}}-17p^2 \pmod{p^3}, \quad\text{if $p>3$.} \end{align*}。W.太阳我们的证明是基于多变量Zeilberger算法和以下观察：$$ {2n\choose n}{n\choose k}{m\choose k}{k\choose m-n}\…
2015-01-03 math.CO math.NT
On a classical zero-sum invariant II: Disproof of a long-standing conjecture
University of Graz（格拉茨大学）；Tiangong University（天津工业大学）；Nankai University（南开大学）
本文推翻 Gao 于 2000 年提出的关于零和自由序列不变量 $\nu(G)$ 等于小 Davenport 常数减一的猜想，通过构造反例证明该猜想并非普遍成立。
2026-10-28 math.CO math.NT
Proof of two conjectures of Z.-W. Sun on congruences for Franel numbers
对所有非负整数n，定义Franel数为$$ f_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}^3.$$.我们证明了Z的两个定理. W.太阳对弗兰纳数的同余：\sum_{k=0}^{n-1}（3 k +2）（-1）^k f_k & \equiv 0 \pmod{2n^2}，\sum_{k=0}^{p-1}（3 k +2）（-1）^k f_k & \equiv 2p^2（2^p-1）^2 \pmod{p^5}，其中n是正整数，p>3是素数。
2012-07-21 math.CO math.NT
On a conjecture related to integer-valued polynomials
利用下面的$_4F_3$变换公式$$ \sum_{k=0}^{n}{-x-1\choose k}^2{x\choose n-k}^2=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}^2{x+k\choose 2k}, $$（它可由Zeilberger算法证明），我们证实了Z.- W.太阳在整数值多项式。
2020-03-23 math.CO math.NT
Some results and conjectures about recurrence relations for certain sequences of binomial sums
本文给出了某些二项式和序列的递推关系的一些结果和定理。
2006-11-07 math.CO
A counterexample to Strassen's direct sum conjecture
张量的秩相对于直和是不可加的。
2017-12-22 math.CO
A Conjecture on Zero-sum 3-magic Labeling of 5-regular Graphs
本文证明了每个5-正则图都有一个零和3-幻标号，从而肯定地回答了Saieed Akbari，Farhad Rahmati和Sanaz Zare在$Electron.$ $J.$ $Combin.$中提出的一个猜想.
2014-06-26 math.CO
On two conjectures on sum of the powers of signless Laplacian eigenvalues of a graph
设$G$是单图，$Q(G)$是$G$的无符号拉普拉斯矩阵.令$S_α(G)$为$Q(G)$的非零特征值的$α$次幂之和。本文证明了尤和杨关于二部图和有界连通图之间的$S_α(G)$极值的两个定理是错误的。
2014-08-04 math.CO
Conjectured bounds for the sum of squares of positive eigenvalues of a graph
一个众所周知的上界的谱半径的图，由于洪，是$μ_1^2 \le 2m - n + 1$。证明了对于连通图$n - 1 \le s^+ \le 2m - n + 1$，其中$s^+$表示正特征值的平方和.猜想证明了各种类别的图，包括二部，定期，完全$q$ -particular，超能量，和杠铃图。各种研究都没有发现反例。本文最后简要讨论了证明一般的猜想明显的困难。
2015-09-18 math.CO
On sums of coefficients of polynomials related to the Borwein conjectures
最近，李文辉得到了第一Borwein猜想中多项式系数的某个部分和的一个渐近公式。结果，他证明了这笔款项的积极性。他的结果是基于他和万发现的一个筛分原理。事实上，李在他的论文中指出，他的方法可以推广到证明任何素数$p>3$的系数的一般部分和的渐近公式。本文推广了Li的方法，得到了一个非常一般的多项式的系数部分和的渐近公式。我们发现在特殊情况$p=3, 5$下，这些和的符号与三个著名的Borwein定理一致. Zaharescu以前用完全不同的方法研究过类似的求和。我们还改进了李和Zaharescu的渐近公式中的误差项。使用最近的结果Borwein，我们还获得了一个渐近估计的最大值的绝对值，这些系数的素数$p=2, 3, 5, 7, 11, 13$和$p>15$，我们得到了一个下界的最大绝对值，这些系数足够大的$n$。
2020-11-09 math.CO math.GR math.NT
Autonomous disproofs of the sum-product conjecture over $\mathbb R$ with GPT-5.5 Pro
本文借助GPT-5.5 Pro构建智能体，通过三阶段提示管道，对实数上的和积猜想进行自主反证，8次试验中7次成功生成正确证明，每次试验平均用132.4k推理令牌，还发布相关内容供重现研究。
2026-07-27 cs.AI math.CO math.NT
Proof of Tomaszewski's Conjecture on Randomly Signed Sums
我们证明了Tomaszewski（1986）的猜想：设$X= \sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$，其中$\sum_i a_i^2=1$和每个$x_i$是一致随机符号.然后是$\Pr[|X|\leq 1] \geq 1/2$。我们的主要新工具是局部浓度不等式和改进的Berry-Esseen不等式的Rademacher和。
2021-08-03 math.CO math.PR
On a Conjecture of Cusick Concerning the Sum of Digits of n and n + t
对于非负整数$t$，令$c_t$是自然数$n$的渐近密度，其中$s(n + t) \geq s(n)$，其中$s(n)$表示$n$在基$2$中的数字之和。本文证明了在渐近密度$1$集合中，对$t$的$c_t > 1/2$，从而部分地解决了T. W. Cusick指出，$c_t > 1/2$对所有t。有趣的是，这个问题有几个等价的公式，例如，多项式$X(X + 1)\cdots(X + t - 1)$具有小于$2^t$的零模$2^{t+1}$。主要结果的证明是基于切比雪夫不等式和三元有理函数的渐近分析，使用分析组合学的方法。
2016-05-02 cs.SC math.CO math.NT
Sum index, difference index and exclusive sum number of graphs
本文研究了Harrington，Henninger-Voss，Karhadkar，Robinson和Wong关于图的和指数、差指数与图的排他和数之间关系的两个最新结果。一个猜想假定前两个不变量之间的确切关系，我们表明，实际上预测值可能是任意远离真理的任何方向。在这个过程中，我们建立了一些新的和和差指标的界限。另一个猜想，即异和数可以超过和指数任意大的量，从已知的，但非建设性的结果，我们给出了一个明确的结构证明它。然而，它们的反例仅给出1的差异，并且仅在一个方向上。因此，他们修改了猜想从一个平等的不平等;我们的结果表明，这仍然是错误的一般。
2023-02-06 math.CO
On the number of sum-free subsets of the square grid
本文证明了Elsholtz和Rackham关于二维方格中无和子集数量的猜想，即数量为$2^{0.6n^2+O(n)}$。
2025-10-17 math.CO
A Proof of a Conjecture of Móricz and Nagy on Rational-Value Sums
Guangzhou University（广州大学）
本文证明了Móricz和Nagy关于有理数值和猜想的猜想，结合序理论反链论证和精确的二项式表达式最大化，确定了非零整数序列中r项零和子序列的最大数量。
2026-03-19 math.CO
A conjecture on square roots of Laplacian and signless Laplacian eigenvalues of graphs
我们猜想一个图的拉普拉斯特征值的平方根之和不超过它的无符号拉普拉斯特征值的平方根之和。
2009-09-06 math.CO
The gold partition conjecture and the Lexicographic sum of posets
Yonsei Univeristy（延世大学）；Kyungpook National University（庆北国立大学）；Thomas J. Watson Research Center, IBM（IBM 托马斯·J·沃森研究中心）；Pusan National University（釜山国立大学）
本文证明了若有限偏序集Q满足Gold划分猜想，则其与任意有限偏序集P的字典序和也满足该猜想。
2026-09-29 math.CO
Polynomial Gyárfás-Sumner conjecture for graphs of bounded boxicity
本文证明了对于任意正整数 $d$ 和森林 $F$，在 $\mathbb{R}^d$ 中无导出 $F$ 子图的轴对齐框相交图类是多项式 $χ$-有界的。
2024-07-23 cs.CG math.CO
A proof of a sumset conjecture of Erdős
本文证明了对于$\mathbb{N}$的无限子集的$B,C$对，每个正密度集$A \subset \mathbb{N}$都包含$B+C$，从而解决了Erdens的一个猜想.证明功能两个不同的分解成一个结构化的组件和一个伪随机组件的任意有界序列。我们的方法是相当普遍的，使我们能够证明这个猜想的一个版本可数顺从群体。
2019-06-13 math.CO math.DS
An Optimization-Based Sum-of-Squares Approach to Vizing's Conjecture
Vizing猜想（1968年公开）将两个图的控制集的大小与它们的笛卡儿积图的控制集的大小联系起来。在本文中，我们制定Vizing的猜想本身作为一个Positivstellenestimate存在性问题。特别地，我们将猜想编码为理想/多项式对，使得多项式是非负的当且仅当猜想为真。我们演示了如何使用半定优化技术来计算获得数字平方和证书，然后展示了如何将这些数字证书转换为符号证书批准我们的多项式的非负性。在概述了这个基于计算机的证明Vizing猜想的理论结构，我们提出了计算和理论结果。特别是，我们提出了确切的低度稀疏平方和证书的特定家庭的图形。
2019-05-06 cs.SC math.AC math.AG
Around the Razumov-Stroganov conjecture: proof of a multi-parameter sum rule
我们证明了在2n长的周期带上具有周期边界条件的O（1）圈模型的适当归一化基态矢量的元素之和等于n × n交替符号矩阵的总数.这是通过在具有畴壁边界条件的n × n正方形网格上识别具有非齐次六顶点模型的配分函数的O（1）模型的多参数非齐次版本的状态和来完成的。
2006-03-07 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
