On a List Variant of the Multiplicative 1-2-3 Conjecture
1-2-3猜想询问是否几乎所有的图都可以用$1,2,3$（边）标记，使得没有两个邻顶点与相同的标记之和关联。在过去的几十年里，这个问题的几个方面已经在文献中进行了研究，包括更一般的版本和轻微的变化。值得注意的这种变体包括列表1-2-3猜想变体，其中边缘必须从三个标签的专用列表中分配标签，以及乘法1-2-3猜想变体，其中标签$1,2,3$必须分配给边缘，使得邻顶点与标签的不同乘积关联。对这两个变种获得的几个结果导致观察到一些行为是远离那些原来的猜想。在这项工作中，我们考虑乘法1-2-3猜想的列表版本，提出了第一个专门研究这个问题。特别地，给定任何图$G$，我们想知道最小的~ $k$，使得当它的边必须从大小为~ $k$的专用列表中分配标签时，$G$可以根据需要被标记。利用我们的问题和列表1-2-3猜想之间的关系，当$G$属于特定的图类时，我们给出了~ $k$的上界。我们通过专门的参数进一步改进了其中的一些界限。
2021-02-16 math.CO
On Bialostocki's conjecture for zero-sum sequences
令$n$是正偶数，并且令$a_1,...,a_n$和$w_1, ..., w_n$是满足$\sum_{k=1}^n a_k\equiv\sum_{k=1}^n w_k =0 (mod n)$的整数。Bialostocki的一个猜想指出，在{1，...，n}，使得$\sum_{k=1}^n w_k a_{σ(k)}=0 (mod n)$ .本文证明了当$w_1,...,w_n$构成具有偶公差的等差数列时的猜想。
2009-12-16 math.CO math.NT
Solution to the index conjecture in zero-sum theory
零和理论中的一个问题是确定所有对$(k,n)$，对于这些对，长度为$k$模$n$的每个最小零和序列具有索引$1$。虽然所有其他情况已经解决了十多年前，情况下，当$k$等于$4$和$n$互质$6$仍然开放。准确地说，指数猜想在这个主题的国家，如果$n$互质$6$然后每个最小的零和序列的长度$4$模$n$有指数$1$。在本文中，我们证明了这个猜想的一个等价版本的所有$n>N$的某些绝对常数$N$。
2020-11-18 math.CO math.NT
Lattice Variant of the Sensitivity Conjecture
1994年提出的灵敏度猜想指出，布尔函数f的灵敏度和块灵敏度的基本度量，分别是s（f）和bs（f），是多项式相关的。已知bs（f）与计算机科学中的重要度量多项式相关，包括决策树深度、多项式次数和f的并行RAM计算时间，但很少知道灵敏度如何比较; s（f）和bs（f）之间的分离至少是二次的，最多是指数的。我们分析了Aaronson的一个有希望的变体，它暗示了灵敏度猜想，指出对于d维格$\mathbb{Z}^d$的所有两种着色，d和灵敏度s（C）是多项式相关的，其中s（C）是一个点的不同颜色邻居的最大数量。我们构造了一个着色，其中d和s（C）之间的最大已知的分离，$d=O(s(C)^2)$，并证明它是最佳的一大类着色。我们还给出了从格变量到灵敏度猜想的逆约化，并利用它证明了s（C）的第一个非常数下界.这些结果表明，格变量可以帮助进一步的敏感性猜想的有限进展。
2012-07-07 cs.CC math.CO
Loop-augmented forests and a variant of the Foulkes' conjecture
循环扩充森林是一个在某些根上有循环的带标记有根森林。利用幂零部分函数与标记根森林之间的相互作用，研究了循环增广森林上对称群的置换作用。此外，我们还描述了Foulkes猜想的一个推广，并证明了一个特例。在其他重要的成果，我们的分析是一个完整的描述的稳定子群的幂等元的半群的部分变换和推广的（克努特-萨根）钩长公式。
2017-08-09 math.CO math.RT
Proof of a conjecture of Andrews and Bachraoui on a Hecke sum
University of Cologne（科隆大学）
本文证明了安德鲁斯和巴赫拉乌伊关于两种颜色划分生成函数与Hecke型双和关系的猜想，采用Zwegers的不定theta函数理论及模假theta函数的模变换性质。
2026-05-11 math.CO math.NT
On the index conjecture in zero-sum theory: singular case
设$S=(a_1)\cdots(a_k)$是有限循环群$G$上的极小零和序列.索引猜想指出，如果$k=4$和$\gcd(|G|,6)=1$，则$S$具有索引$1$。本文证明了如果$S$是奇异的，则$S$的指数是$1$ .
2017-09-14 math.CO math.NT
Distinct Lengths Modular Zero-sum Subsequences: A Proof of Graham's Conjecture
令$n$为正整数，且令$S$为区间$[0,n-1]$中的$n$整数序列。如果存在一个$r$，使得任何具有和$\equiv 0$ $\pmod n$的非空子序列具有长度$=r,$，则$S$最多有两个不同的值。这证明了R. L.格雷姆本文报道了P.Erdens和E. Szemerédi证明了这个猜想的有效性，如果$n$是一个大的素数。
2009-02-27 math.CO math.NT
On a conjecture of Dekking : The sum of digits of even numbers
设$q\geq 2$，用$s_q$表示以$q$为基的数字和函数。对于$j=0,1,...,q-1$，考虑$$# \{0 \le n < N : \;\;s_q(2n) \equiv j \pmod q \}.$$。M. Dekking指出，对于无穷多个$N$，这个量分别大于$N/q$和小于$N/q$，从而声称不存在漂移（或纽曼）现象。本文证明了他的猜想。
2013-05-08 math.CO math.NT
A Ramsey variant of the Brown-Erdős-Sós conjecture
如果一个$r$ -均匀超图（简称$r$ -图）的每对顶点最多属于一条边，则该超图称为线性的。一个线性$r$ -图是完全的，如果每对顶点恰好在一条边上。著名的Brown-Erdens-Sós猜想指出，对于每个固定的$k$和$r$，每个具有$Ω(n^2)$边的线性$r$ -图包含至多由$(r-2)k+3$点张成的$k$边.作为这个猜想的中间步骤，Conlon和Nenadov最近建议证明它的自然Ramsey松弛。也就是说，对于每个固定的$k$，$r$和$c$，在完全线性$r$ -图的每个$c$ -着色中，可以找到至多由$(r-2)k+3$顶点所跨越的$k$单色边.我们证明，这拉姆齐版本的猜想下，额外的假设，$r \geq r_0(c)$，我们表明，$c=2$，它适用于所有$r\geq 4$。
2021-04-21 math.CO
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
2019-10-29 math.CO math.NT
Polyhedral graph abstractions and an approach to the Linear Hirsch Conjecture
本文提出了一种新的多面体图的组合抽象。新的抽象是一个灵活的框架定义的组合属性，每个集合的属性提供了一个变量，用于研究多面体图的直径。一个特定的变体具有满足多面体直径的最佳已知上界的直径。另一个变式具有超线性渐近直径，并结合一些组合运算，给出了一个具体的证明线性赫希猜想的方法。
2012-10-23 math.CO math.OC
Partition Inequalities and Applications to Sum-Product Conjectures of Kanade-Russell
我们考虑一个和两个变量的有限产品的差异，并提供某些系数的非负性的组合证明。由于乘积可以被解释为某些整数划分的生成函数，这相当于显示了划分不等式。这扩展了Berkovich-Garvan和McLaughlin的结果。然后，我们应用第一不等式和Andrews的反伸缩方法，给出了一个最近被证明的Kanade-Russell和积恒等式的“Escherapreis问题”的一个解。也就是说，我们提供了一些证据，Kanade-Russell的证明，通过显示非负系数的产品方面的差异，安德鲁斯-巴克斯特和Kadell没有产品方面的罗杰斯-拉马努金身份。
2019-04-18 math.CO math.NT
Approaching Cusick's conjecture on the sum-of-digits function
Cusick猜想的二进制数字和$s(n)$的一个非负整数$n$国家如下：对于所有非负整数$t$我们有\[ c_t=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac 1N\left\lvert\{n<N:s(n+t)\geq s(n)\}\right\rvert>1/2. \]我们证明，对于给定的$\varepsilon>0$我们有\[ c_t+c_{t'}>1-\varepsilon \]如果二进制扩展$t$包含足够的块连续$\mathtt 1$ s（取决于$\varepsilon$），其中$t'=3\cdot 2^λ-t$和$λ$的选择，使$2^λ\leq t<2^{λ+1}$。
2019-04-18 math.CO math.NT
Asymptotic Equivalence of Hadwiger's Conjecture and its Odd Minor-Variant
Hadwiger猜想指出，每个$K_t$ -子自由图都是$(t-1)$ -可着色的.由Gerards和Seymour提出的这个猜想的一个定性加强，被称为奇Hadwiger猜想，类似地说，每个没有奇$K_t$ -子图的图是$(t-1)$ -可着色的。对于这两种结构，它们的渐近松弛仍然是开放的，即，对于某个常数$C>0$，$Ct$形式的色数是否存在上界。我们证明了如果每个没有$K_t$ -子图的图都是$f(t)$ -可着色的，那么每个没有奇数$K_t$ -子图的图都是$2f(t)$ -可着色的.利用这一点，Delcourt和Postle最近对$K_t$-minor自由图的色数的$O(t\log\log t)$-上界直接推广到奇$K_t$ -minor自由图的色数.这（稍微）改进了Delcourt和Postle对这个问题的$O(t(\log \log t)^2)$的上界。
2021-09-06 cs.DM math.CO
A counterexample to Strassen's direct sum conjecture
张量的秩相对于直和是不可加的。
2017-12-22 math.CO
Disturbing the $q$-Dyson Conjecture
本文讨论了Andrews的$q$-Dyson猜想的一些变体的计算方法。
2018-12-18 math.CO
A Conjecture on Zero-sum 3-magic Labeling of 5-regular Graphs
本文证明了每个5-正则图都有一个零和3-幻标号，从而肯定地回答了Saieed Akbari，Farhad Rahmati和Sanaz Zare在$Electron.$ $J.$ $Combin.$中提出的一个猜想.
2014-06-26 math.CO
Generalizations and variants of Knuth's old sum
我们扩展了Reed Dawson恒等式的Knuth的老和一个复杂的参数，我们提供了两个单独的超几何级数为基础的证明，这种推广，我们应用这种推广，介绍二项式调和和身份。我们还提供了另一个${}_{2}F_{1}(2)$ -推广的里德道森身份涉及一个自由参数。然后，我们应用傅里叶-勒让德理论，以获得一个身份，涉及奇调和数，类似于公式克努特的老总和，和修改后的阿贝尔引理求和的部分也适用。
2022-05-12 math.CO math.CV
Discretized sum-product type problems: Energy variants and Applications
本文研究加性离散化能量的估计问题，基于集合非集中性条件，改进并优化 Guth-Katz-Zahl 方法，并讨论其在相关领域的若干应用。
2024-03-28 math.CA math.CO math.NT
On two conjectures on sum of the powers of signless Laplacian eigenvalues of a graph
设$G$是单图，$Q(G)$是$G$的无符号拉普拉斯矩阵.令$S_α(G)$为$Q(G)$的非零特征值的$α$次幂之和。本文证明了尤和杨关于二部图和有界连通图之间的$S_α(G)$极值的两个定理是错误的。
2014-08-04 math.CO
The Honeycomb Conjecture in normed planes and an alpha-convex variant of a theorem of Dowker
University of Szeged（塞格德大学）
本文研究了normed平面中的蜂窝猜想，证明了正凸平铺的平均平方周长最小，并探讨了与Dowker定理α-凸变种相关的联系，进一步给出了关于平铺单元等周比的问题解答。
2025-12-12 math.CO math.MG
Conjectured bounds for the sum of squares of positive eigenvalues of a graph
一个众所周知的上界的谱半径的图，由于洪，是$μ_1^2 \le 2m - n + 1$。证明了对于连通图$n - 1 \le s^+ \le 2m - n + 1$，其中$s^+$表示正特征值的平方和.猜想证明了各种类别的图，包括二部，定期，完全$q$ -particular，超能量，和杠铃图。各种研究都没有发现反例。本文最后简要讨论了证明一般的猜想明显的困难。
2015-09-18 math.CO
A combinatorial divisibility question from noncommutative algebra
我们提出了一个一般性猜想的整除的某一表达式的Kostka数及其密切的变化。这个猜想与非交换代数的周期指数问题的一个变体密切相关，在两个方向上都有部分含义。我们提出了一个描述这两个问题之间的联系，通过舒伯特微积分的动机和证据的猜想，然后再转向证明的猜想在一个家庭的情况下。
2016-11-23 math.AG math.CO math.RA
Proof of Tomaszewski's Conjecture on Randomly Signed Sums
我们证明了Tomaszewski（1986）的猜想：设$X= \sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$，其中$\sum_i a_i^2=1$和每个$x_i$是一致随机符号.然后是$\Pr[|X|\leq 1] \geq 1/2$。我们的主要新工具是局部浓度不等式和改进的Berry-Esseen不等式的Rademacher和。
2021-08-03 math.CO math.PR
Analogues of Bermond-Bollobás Conjecture for Cages Yield Expander Families
本文将 1981 年 Bermond-Bollobás 猜想改造为笼图的三个变体，并证明任一变体获肯定回答即可构造扩张子族，从而建立笼图与扩张图的联系。
2024-09-10 cs.DM math.CO
An approximate version of Sumner's universal tournament conjecture
萨姆纳的普适竞赛图猜想指出，任何$2n-2$顶点上的竞赛图都包含任何$n$顶点上的有向树的副本。我们证明了这个猜想的一个渐近版本，即$(2+o(1))n$顶点上的任何竞赛包含$n$顶点上的任何有向树的副本。此外，我们证明了一个渐近最好的可能结果，即对于任何固定的$Δ$，任何竞赛的$(1+o(1))n$顶点包含一个副本的任何有向树的最大程度上$Δ$的$n$顶点。
2010-10-21 math.CO
Falconer conjecture in the plane for random metrics
我们证明了下面的变体Falconer猜想在平面上。如果紧平面集的维数大于1，则几乎每个椭圆的距离集都有正的勒贝格测度。
2003-05-09 math.CA math.CO
Clustered Variants of Hajós' Conjecture
Hajós证明了每个不包含完全图$K_{s+1}$的细分的图都是正确的$K_{s+1}$-可着色的。这个猜想被卡特林推翻了。事实上，此类图的最大色数是$Ω(s^2/\log s)$。我们证明，$O(s)$颜色是足够的削弱这个猜想，只需要每个单色组件有界的大小（所谓的聚类着色）。我们的方法带来更多的结果。称一个图是图$H$的几乎$(\leq 1)$ -细分，如果它可以通过细分边从$H$获得，其中至多一条边被细分多次。请注意，每个没有$H$ -细分的图都不包含$H$的几乎$(\leq 1)$ -细分。本文证明了（其中$s \geq 2$）：（1）树宽有界且$K_{s+1}$不具有几乎$(\leq 1)$ -剖分的图是有界聚簇的$s$ -可选图. (2)对图$H$，如果没有$H$ -minor，也没有$K_{s+1}$的几乎$(\leq 1)$ -细分，则图是有界聚$(s+1)$ -可着色的. (3)对于每个最大度至多为$d$的图$H$，没有$H$ -细分和没有几乎$(\leq 1)$ -细分的$K_{s+1}$的图是$\max\{s+3d-5,2\}$ -可着色的，具有有界聚类。(4)对于每个最大度为$d$的图$H$，没有$K_{s,t}$子图和没有$H$ -剖分的图是有界聚类的$\max\{s+3d-4,2\}$ -可着色图. (5)没有$K_{s+1}$ -细分的图是有界聚类的$(…
2021-09-07 cs.DM math.CO
An Optimization-Based Sum-of-Squares Approach to Vizing's Conjecture
Vizing猜想（1968年公开）将两个图的控制集的大小与它们的笛卡儿积图的控制集的大小联系起来。在本文中，我们制定Vizing的猜想本身作为一个Positivstellenestimate存在性问题。特别地，我们将猜想编码为理想/多项式对，使得多项式是非负的当且仅当猜想为真。我们演示了如何使用半定优化技术来计算获得数字平方和证书，然后展示了如何将这些数字证书转换为符号证书批准我们的多项式的非负性。在概述了这个基于计算机的证明Vizing猜想的理论结构，我们提出了计算和理论结果。特别是，我们提出了确切的低度稀疏平方和证书的特定家庭的图形。
2019-05-06 cs.SC math.AC math.AG
