A counterexample to a strong variant of the Polynomial Freiman-Ruzsa conjecture in Euclidean space
多项式Freiman-Ruzsa猜想是可加组合数学中的中心公开问题之一。如果是真的，它将给出紧密的数量界限有关的组合和代数概念的近似子群。本文主要研究欧几里得空间的子集。在这种情况下，原来的猜想认为近似代数子群作为一个凸体的格点的集合。格林在2007年提出了这样一个问题：是否可以将其简化为一个广义的等差数列，同时在基本参数中不损失超过一个多项式因子。我们给出了一个否定的答案，这个问题的基础上，最近的反向闵可夫斯基定理结合随机格的估计。
2017-05-09 math.CO math.NT
An algorithmic Polynomial Freiman-Ruzsa theorem
University of Cambridge（剑桥大学）；Centrum Wiskunde & Informatica (CWI)（数学与计算机科学中心）；Leiden University（莱顿大学）；IBM Research, Silicon Valley Lab（IBM硅谷实验室）；IBM Research, Cambridge（IBM剑桥研究中心）
本文提出多项式自由-鲁茨萨定理的算法版本，提供多项式时间算法以找到子空间，用于覆盖给定集合的翻译。还提供了多项式Gowers逆定理等等效形式的高效算法。
2026-04-06 cs.DS math.CO
Improved Bounds for the Freiman-Ruzsa Theorem
Department of Mathematics, University of California, Los Angeles (UCLA)（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文改进了弗雷米安-鲁兹萨定理的界，通过熵方法和傅里叶分析相结合，证明了在特定条件下有限子集可被有限个凸余集进展覆盖，并接近多项式猜想的结论。
2026-02-26 math.CO math.NT
New bounds in the Bogolyubov-Ruzsa lemma
该研究建立了Bogolyubov-Ruzsa引理的新界，给出有限阿贝尔群中密度为α的子集A对应的3A-3A所含Bohr集的秩与半径界，推进了多项式Freiman-Ruzsa猜想研究并改进了Freiman定理的界。
2023-11-09 math.CO math.NT
The Polynomial Freiman-Ruzsa (Marton) Conjecture in Integers and Finite Fields via Spectral Stability
本文通过谱稳定性二元性与弗里曼建模，解决了整数和有限域中的多项式弗里曼-鲁兹萨猜想，并扩展了其在有限域中的应用。
2025-12-09 math.CO math.NT
Polynomial Freiman-Ruzsa, Reed-Muller codes and Shannon capacity
Mathematics Institute, EPFL（EPFL数学研究所）
本文通过极化理论为Reed-Muller码建立框架，证明其在容量以下的局部误差趋于消失，并与多项式Freiman-Ruzsa猜想证明建立联系，同时提出新的组合学猜想。
2026-02-25 cs.IT math.CO math.IT
Strong Sparsification for 1-in-3-SAT via Polynomial Freiman-Ruzsa
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Marburg（马尔堡大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出强稀疏化概念，通过多项式弗里曼-鲁萨定理实现1-in-3-SAT的稀疏化算法，改进了3-uniform超图线性有序着色的近似算法。
2026-05-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Finding a low-dimensional piece of a set of integers
我们发现，一个有限的整数集$A \subseteq \mathbb{Z}$与$|A+A| \le K |A|$包含一个大的一块$X \subseteq A$与Fredericman维数$O(\log K)$，其中大的手段$|A|/|X| \ll \exp(O(\log^2 K))$。这可以被认为是一个重大的定量改进Freecomman的维数引理，或作为一个"弱" Freecomman-Ruzsa定理与几乎多项式的界限。所使用的方法，围绕着一个“附加能量增量战略”，不同于在这一领域的常用工具，并可能有进一步的潜力。我们的大部分争论都发生在$\mathbb{F}_2^n$上，这本身就很奇怪。假设在有限域上的多项式Fredericman-Ruzsa猜想的精神中有足够强的结果，上述界限有可能得到改进。
2016-06-03 math.CO math.NT
Freiman's theorem in an arbitrary nilpotent group
证明了任意幂零群幂零群中的一个Freiman-Ruzsa型定理.具体地说，我们证明了s阶幂零群G的K-近似子群A包含在一个陪集幂零级数中，其中f和g多项式只依赖于G的阶数s，且其秩至多为f（K），基数至多为exp（g（K））|A|.为了激励这一点，我们给出了一个直接的证明Breuillard和Green的类似结果的挠自由幂零群，避免使用Mal'cev的嵌入定理。
2014-04-13 math.CO math.GR
On Doubling and Volume: Chains
众所周知的Freiman-Ruzsa定理提供了整数集合$A$的结构描述，其中$|2A|\le c|A|$作为具有$|P|\le c'|A|$的$d$-维算术级数$P$的子集，其中$d$和$c'$仅依赖于$c$。在陈述中涉及的常数$d$和$c'$的估计一直是深入研究的对象。弗赖曼在2008年提出了一个计算这类集合中最大数量的公式。在本文中，我们证明了猜想的一般类集称为链。
2017-01-17 math.CO math.NT
Small sumsets in real line : a continuous 3k-4 theorem
利用Ruzsa关于$\mathbb{R}$中和集的测度的工作中的一些思想以及集合的密度函数的一些图形表示，证明了$\mathbb{R}$中小和集的连续Freiman $3k-4$定理.从而得到了当$λ(A+B)<λ(A)+λ(B)+\min(λ(A),λ(B))$时$A$、$B$和$A+B$的一些结构性质。我们也给出了一些结构信息的集合的大密度与小的和集和刻画的极值集的等式成立的下界$λ(A+B)$。
2016-05-15 math.CO
On a conjecture of Marton
本文证明了特征 2 下的多项式 Freiman–Ruzsa 猜想（Marton 猜想），并指出其方法可扩展至奇特征。
2023-12-12 math.CO math.NT
Equivalence of polynomial conjectures in additive combinatorics
本文研究了加法组合学中的两个代数。第一个是多项式Freiman-Ruzsa猜想，它涉及具有小加倍的集合的结构。第二个是$U^3$的逆Gowers猜想，它涉及到局部看起来像二次函数的函数。在这两种情况下，一个弱的形式，与指数衰减的参数是已知的，和一个强的形式，只有一个多项式损失的参数被证明。我们的主要结果是，这两个图实际上是等价的。
2010-01-19 math.CO math.NT
Improved Exponent for Marton's Conjecture in $\mathbb{F}_2^n$
针对已被证明的Marton猜想（多项式Freiman-Ruzsa猜想）在$\mathbb{F}_2^n$中的界，通过简单修改将覆盖陪集数的指数常数从12优化至9。
2024-04-15 math.CO
Marton's conjecture in polynomial time
IBM Research（IBM研究院）；Columbia University（哥伦比亚大学）；MIT（麻省理工学院）
本文给出Marton猜想的多项式时间算法，利用均匀采样和成员查询，输出覆盖集合的子空间，并应用于多种学习问题的多项式时间求解。
2026-09-18 cs.CC math.CO quant-ph
Marton's Conjecture in abelian groups with bounded torsion
本研究证明了带有限挠率的任意阿贝尔群中具多项式界的Freiman--Ruzsa型定理，完全证实了Marton猜想，给出了满足和集增长条件的子集的子群陪集覆盖界，论证基于F₂ⁿ情形论证的变体。
2024-05-20 math.CO math.NT
On iterated product sets with shifts II
本文的主要结果是：对所有的$b \in \mathbb Z$，存在$k=k(b)$，使得对任意有限的$A \subset \mathbb Q$和任意非零的$u \in \mathbb Q$，有\[ \max \{ |A^{(k)}|, |(A+u)^{(k)}| \} \geq |A|^b, \].这里，$|A^{(k)}|$表示$k$ -折叠乘积集$\{a_1\cdots a_k : a_1, \dots, a_k \in A \}$ .此外，我们的证明方法还给出了以下$l_{\infty}$和积估计。对于所有的$γ>0$，存在一个常数$C=C(γ)$，使得对于任何具有$|AA| \leq K|A|$和任何$c_1,c_2 \in \mathbb Q \setminus \{0\}$的$A \subset \mathbb Q$，最多有\[ c_1x + c_2y =1 ,\,\,\,\,\,\,\, (x,y) \in A \times A. \]的$K^C|A|^γ$解。特别地，当$K=|A|^ε$时，这个结果给出了一个强界，只要$ε>0$足够小，从而改进了以前通过子空间定理获得的界。在进一步的应用中，我们给出了一个部分结构定理的点集，确定许多发病率，并证明了和集增长任意大，采取足够多的产品。我们利用了Zhelezov和Pálvölgyi提出的多项式Freiman-Ruzsa猜…
2020-09-21 math.CA math.CO math.NT
On Graham's rearrangement conjecture over $\mathbb{F}_2^n$
本文研究群元素子集的有效排序问题，针对G=F_2^n情形给出本质完全解答：证明存在绝对常数C，使所有大小至少为C的子集均可有效排序；证明结合Freiman–Ruzsa定理与吸收方法，并借助Cayley图的拟随机分解结构。
2025-08-25 math.CO math.GR math.NT
