Recurrences for certain sequences of binomial sums in terms of (generalized) Fibonacci and Lucas polynomials
本文给出了某些二项式和序列用（广义）Fibonacci和Lucas多项式表示的递归性的一些结果。
2022-12-05 math.CO math.NT
Recurrences for some sequences of binomial sums II: A simpler approach
由于John P.D. Angelo和Dusty Grundmeier关于CR-映射的一些结果，我2001年关于某些二项式和序列的递归性的论文的主要结果可以被简化。
2013-02-18 math.CO math.NT
Cullen numbers in sums of terms of recurrence sequence
令$(U_n)_{n\geq 0}$是阶至少为二的整数的固定线性递归序列，并且对于任何正整数$\ell$，令$\ell \cdot 2^{\ell} + 1$是卡伦数。最近在\cite{bmt}中，在某些弱假设下研究了线性递归序列$(U_n)_{n\geq 0}$表示的广义Cullen数.然而，他们的证明有一个错误。本文推广了他们的工作，并修正了他们的错误.特别地，对于给定的多项式$Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$，我们考虑了丢番图方程$U_{n_1} + \cdots + U_{n_k} = \ell \cdot x^{\ell} + Q(x)$，并证明了有效的有限性结果。此外，我们通过一个例子来证明我们的方法。
2020-10-20 math.NT
Sums of Reciprocals of Recurrence Relations
关于具有常系数和固定深度的递归关系的多项式函数的倒数和的文献越来越多，例如Fibonacci和Tribonacci数，这些数的乘积，以及平衡数（对于被称为$n$的平衡器的某些$r$，数字$n$使得小于$n$的整数之和等于紧接其后的$r$整数之和;如果$n$包含在求和中，我们就得到了共平衡数，$r$称为$n$的共平衡数）。我们将以前的工作推广到具有任意系数和Tribonacci数的深度为2的递归序列的倒数和，并证明我们的方法提供了一些现有结果的另一种证明。我们定义了$(a,b)$平衡数和共平衡数，其中$a$和$b$是分别乘以左边和右边的常数，并推导出描述这些序列的递归关系。证明了平衡数的系数$(3,1)$是唯一的，使得每一个整数都是$(3,1)$平衡数，并证明了不存在类似的平衡数系数集.我们还发现了某些系数的模式，这些系数没有平衡数或共平衡数。
2023-02-01 math.NT
Machine-Guided Recurrence Boundary Theory for Nahm Sums
University of Texas Rio Grande Valley（德克萨斯大学里奥格兰德河谷分校）
该研究开发了机器引导的递推边界理论，结合符号搜索与Q学习发现关键结果，证明了Shi和Wang的猜想3.8，得到Zagier第十二个三阶秩示例对偶纳姆和的二阶递推与五单元证明。
2026-08-11 math.NT
Linear combinations of prime powers in sums of terms of binary recurrence sequences
设$\{ {U_{n}\}_{n \geq 0} }$是具有正判别式的非退化二元递归序列。设$\{p_1,\ldots, p_s\}$为固定素数，$\{b_1,\ldots ,b_s\}$为固定非负整数.本文在一定的假设条件下得到了丢番图方程$U_{n_{1}} + \cdots + U_{n_{t}} = b_1 p_1^{z_1} + \cdots+ b_s p_s^{z_s} $解的有限性结果。此外，我们显式求解方程$F_{n_1}+ F_{n_2}= 2^{z_1} +3^{z_2}$，在非负整数$n_1, n_2, z_1, z_2$与$z_2\geq z_1$。在这项工作中使用的主要工具是下限的线性形式的矩阵和Baker-Davenport减少方法。
2016-12-18 math.NT
$S$-parts of sums of terms of linear recurrence sequences
设$S= \{ p_1, \ldots, p_s\}$是一个有限的、非空集的不同素数和$(U_{n})_{n \geq 0}$是一个线性递归序列的整数顺序$r$。对于任何正整数$k,$，我们定义$(U_j^{(k)})_{j\geq 1}$为由$U_{n_k} +\cdots + U_{n_1}, \ n_k>\cdots >n_1$形式的整数组成的递增序列。在一定的假设下，我们证明了，对于任何$ε>0,$存在一个整数$n_{0}$，使$[U_j^{(k)}]_S < \left(U_j^{(k)}\right)^ε,$为$ j > n_0,$其中$[m]_S$表示的$S$ -正整数$m$的一部分。在对$(U_{n})_{n \geq 0},$的进一步假设下，我们还计算了$[U_j^{(k)}]_S$的形式为$\left(U_j^{(k)}\right)^{1-c}$的有效界，其中$c $是一个正常数，仅取决于$(U_{n})_{n \geq 0}$和$S.$
2020-04-15 math.NT
Recurrence Relations for k-Fold Nested Power Sums
本文推导了k重嵌套幂和的递推关系，并讨论了其与已有研究成果的关联。
2025-11-17 math.CO math.NT
Zeros and $S$-units in sums of terms of recurrence sequences in function fields
本文利用Brownawell-Masser结果，证明函数域上非退化线性递推序列项之和属于S-单位的丢番图方程解有限性，并研究三个简单递推序列之和为零的有限性结果。
2025-02-10 math.NT
On Certain Sums Related to the Largest Odd Divisor
本文考虑与“最大奇因子”有关的有限和，利用简单的思想和递推关系，得到了这类和的精确上界和下界.
2011-03-10 math.NT
Euler-type Recurrence Relations for Partition Functions with Congruence Conditions
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
该研究针对模$\delta$同余于0或$\pm g$的分拆函数$p_{\delta,g}(n)$，利用广义戴德金η函数与Rankin-Cohen括号推导欧拉型递推关系，还得到$\delta=5$的显式递推、拉马努金型同余及拉德马赫型公式。
2026-07-31 math.NT
The virtual periods of linear recurrence sequences in cyclotomic fields
分圆域中的线性递归序列产生每项的生成域序列。我们证明了去掉第一有限项后的序列是周期的，并给出了其周期的一个界。这可以应用于指数和。
2021-10-04 math.NT
Sum of terms of recurrence sequences and $S$-units in the solution sets of norm form equations
本文研究范数型方程解的结构，证明线性递推序列项之和及固定项数$S$-单位之和表示的解均具有有限性。
2024-10-02 math.NT
Exponential sums in prime fields for modular forms
本文的主要目的是研究与支持于具有一组固定素因子的数的模形式的傅里叶系数相关的指数和。这是通过建立在有限域上的某些递归序列的指数和的Shparlinski界的改进。
2020-11-23 math.NT
Anti-recurrence sequences
本文研究反递归序列的结构猜想，并在生成反递归的线性形式满足特定限制时，证明其可表示为线性等差数列与自动序列之和。
2025-06-16 math.NT
On several kinds of sums of balancing numbers
平衡数$B_n$（$n=0,1,\cdots$）是二元递归$B_n=6B_{n-1}-B_{n-2}$（$n\ge 2$）与$B_0=0$和$B_1=1$的解。本文给出了两个$\sum_{m=0}^n B_{k m+r}B_{k(n-m)+r}$型平衡数的乘积和（$k>r\ge 0$）与平衡数的倒数交错和$\left\lfloor\left(\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{B_{l k}}\right)^{-1}\right\rfloor$的几个关系。对于Lucas平衡数$C_n$（$n=0,1,\cdots$）也得到了类似的结果，满足$C_0=1$和$C_1=3$的二元递归$C_n=6C_{n-1}-C_{n-2}$（$n\ge 2$）.一些二项式和涉及这些数字也探讨。
2021-07-16 math.NT
Character sums over Bohr sets
我们证明了加性玻尔子集模素数的特征和估计。这些估计是类似于经典的字符和界限的Polya-Vinogradov和伯吉斯。这些估计被应用于特殊元素的递推模$p$的结果。
2015-04-28 math.NT
Picturesque convolution-like recurrences and partial sums' generation
本文针对已知非零首项数列${\pmb b}$，提出求解满足类卷积递推关系的数列${\pmb a}$的方法，证明其极限与前$m$项的关联，展示${\pmb a}$的空间图案特性，并可构造出黎曼zeta函数部分和等著名数列。
2025-07-31 math.NT
Algebraic Degree Periodicity in Recurrence Sequences
证明了代数线性递归序列中代数数的度序列是虚周期的。这是使用Skolem-Mahler-Lech定理证明的。它对有限域上指数和的度序列和极小多项式序列都有应用。对于一些更复杂的非线性递归序列，度周期性也成立。我们给出一个例子，从一个多项式映射的迭代。这取决于已在某些情况下证明的动态Mordell-Lang猜想。
2020-09-30 math.NT
Weighted sums of some second-order sequences
我们得到了由$w_0 = a,\,w_1 = b;\,w_n = pw_{n - 1} - qw_{n - 2}\, (n \ge 2)$定义的二阶递归序列$\{w_n\} =\{ w_n(a,b; p, q)\}$的加权和恒等式，其中$a$，$b$，$p$和$q$是任意复数，有$p\ne 0$和$q\ne 0$ .
2018-04-11 math.NT
Parameterized Telescoping Proves Algebraic Independence of Sums
通常创造性的伸缩是用来推导递归的总和。在这篇文章中，我们表明，不存在一个创造性的伸缩解决方案，更一般地说，参数化的伸缩解决方案，证明代数独立的某些类型的总和。结合这一事实与求和理论表明超越整个类的总和。此外，这一结果对为什么，例如，Zeilberger的算法无法找到最小阶的递归。
2008-08-19 cs.SC math.CO math.NT
Recurrences for Hypergeometric Moments and Binomial-Harmonic Sums
University of North Texas（北德克萨斯大学）
研究系数特定的超几何级数，通过在分母引入移位参数，利用欧拉超几何微分方程推导递归，求解得到普通和与交错和化简及正分母幂公式，还应用于乘积二项式情形与调和数和，给出处理多种相关和式的统一框架。
2026-08-07 math.CA math.NT
Glaisher's divisors and infinite products
拉马努金给出了一个递归关系的分拆函数的总和的除数函数$σ(n)$。1885年，J.W. Glasgow认为七个除数和密切相关的总和的除数函数。我们开发了一个演算，将生成函数与这些除数和中的每一个相关联。这产生了类似的拉马努金的递归关系的几个分区理论的功能，以及$r_k(n)$和$t_k(n)$，功能计数的方式写一个数的平方和（分别为三角形）的数字。作为这种关联的副产品，我们得到了除数函数的几个卷积、递归和同余。我们给出两个经典定理的交替证明，一个是由于勒让德和其他-拉马努金的同余$p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5$。
2022-08-02 math.NT
Sums of powers of binomials, their Apéry limits, and Franel's suspicions
本文显式确定了二项式系数幂和的Apéry极限，并在假设递归可通过创造性望远镜法获得的前提下，证明了关于这些序列递归阶的Franel猜想的最小阶版本。
2022-03-19 math.CA math.CO math.NT
On Higher Dimensional Fibonacci Numbers, Chebyshev Polynomials and Sequences of Vector Convergents
我们研究高维交错Fibonacci序列，通过切比雪夫型函数和$m$维递归关系产生。对于每个整数$m$，存在这些序列的有理数和整数版本，其中有理数序列分解器的底层素同余结构使得整数序列能够被恢复。从有理或整数序列中，我们构造了$\mathbb{Q}^m$中的向量序列，这些序列收敛到$\mathbb{R}^m$中的无理代数点。有理序列项可以表示为简单递归、三角和、二项式多项式、平方和以及正则单位$n$ -gon的有符号对角线的幂比之和。这些序列也表现出“彩虹型”的质量，并对应于负指数的Fleck数，导致一些组合的身份涉及二项式系数。证明了定义递推关系的正交生成多项式族可被某些代数数的极小多项式整除，并导出了这些多项式的三项递推关系和微分方程.进一步讨论了与Christoffel-Darboux公式、Rodrigues公式和升降算子有关的结果。此外，还证明了这些多项式的梅林变换满足形式为$p_n(s)=\pm p_n(1-s)$的函数方程，并且只在临界线Re上有零点$s=1/2$ .
2016-05-20 math.NT
Sums of powers of integers via differentiation
对于整数$k \geq 0$，令$S_k$表示第一个$n$正整数$1^k + 2^k + \cdots + n^k$的$k$次幂之和。对于任何给定的$k$，幂和$S_k$原则上可以通过对$k$乘以（相对于$x$）相关联的指数生成函数$\sum_{k=0}^{\infty}S_k x^k/k!$求微分来确定，然后当$x$接近$0$时取所得微分函数的极限。在本文中，我们利用这种方法来建立一对夫妇似乎新颖的递归关系，其中之一涉及偶数索引的功率和$S_2, S_4,\ldots, S_{2k}$，和其他的奇数索引的功率和$S_{1}, S_3, \ldots, S_{2k-1}$，与两个递归关系依赖于参数$N = n + \frac{1}{2}$明确。由此，我们得到一个行列式公式的顺序$k$产生$S_{2k}$ [ $S_{2k-1}$ ]在Faulhaber形式，即，作为一个奇[偶]多项式在$N$。作为一个副产品，我们发现了一个新的伯努利数$B_{2k}$的行列式公式。此外，我们表明，$S_{2k}$和$S_{2k-1}$可以得到相应的高阶导数的第二类Chebyshev多项式。
2023-03-23 math.NT
Double-Recurrence Fibonacci Numbers and Generalizations
令$(F_n)_{n\geq 0}$是由递归$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$给出的斐波那契序列，对于$n\geq 0$，其中$F_0=0$和$F_1=1$。这个序列有几种推广，也有几个有趣的恒等式。本文研究了由${F(m,n) = F(m-1, n-1)+F (m-2, n-2)}$给出的一个齐次递推关系，它在某种程度上推广了二元Fibonacci数列的线性递推关系，称为{ \it双递推斐波那契数}，其中$F (m, 0) = F_m$，$F (m, 1) = F_{m+1}$，$F (0, n) = F_n$和$F (1, n) = F_{n+1}$ .我们展示了一个公式来计算这个双重递归的值，只有在斐波那契数，如某些身份的总和概述。最后，研究了一个一般的案例。
2019-03-18 math.NT
Counting solvable $\mathcal S$-unit equations and linear recurrence sequences with zeros
本文基于模技巧与Erdős的经典思想，证明了数域乘法群固定有限生成子群中可解线性方程比例极小，并给出了取零值的线性递推序列数量的紧致上界。
2025-03-06 math.NT
Greatest common divisors for polynomials in almost units and applications to linear recurrence sequences
本文利用 Schmidt 子空间定理界定互素多元多项式在代数数处取值的最大公因子，并将其应用于改进两类线性递推序列项间 gcd 的已有结果。
2023-09-22 math.NT
On unit root formulas for toric exponential sums
从一个经典的生成系列的贝塞尔函数由于Schlomilch，我们使用Dwork的相对对偶理论，广泛推广单位根Dwork的Kloosterman和Sperber的结果上hyperkloosterman和。特别地，我们用A-超几何函数之比的p-adic解析延拓的特殊值来表示环面上任意指数和的（唯一）p-adic单位根.与早期的作品相比，我们使用noncohomological方法，并获得的结果是有效的任意指数和没有任何假设的nondegeneracy。
2010-12-07 math.NT
Sum of terms of recurrence sequences in the solution sets of generalized Pell equations
本文针对广义佩尔方程正整数解的坐标递推序列，刻画了其两项和有无穷多组的情形，并给出有限时的数量上界，拓展了相关数论研究。
2024-09-18 math.NT
Multiple sums involving the terms of a general second order sequence of numbers
我们评估嵌套和$\sum_{a_{n - 1} = c}^{a_n } {\sum_{a_{n - 2} = c}^{a_{n - 1} } { \cdots \sum_{a_0 = c}^{a_1 } {x^{a_0 } } } }$，其中$a_n$和$c$是任何整数，$x$是实变量或复变量。因此，我们评估涉及一般二阶序列的项的多个和，Horadam序列$(W_j(a,b;p,q))$，由递归关系$W_0 = a,\,W_1 = b;\,W_j = pW_{j - 1} - qW_{j - 2}\, (j \ge 2)$为所有非负整数$j$定义;其中$a$，$b$，$p$和$q$是任意复数，具有$p\ne 0$，$q\ne 0$。
2022-08-22 math.NT
The most concise recurrence formula for the sums of integer powers
本文回顾了整数幂和的最简递推关系，并讨论了通过递推关系确定幂和的方法，同时给出了伯努利数的行列式公式。
2026-01-29 math.HO math.NT
Sums of units in function fields
设R是完满域上的代数函数域（单变量）的S-整数环，其中S是有限的非空的.证明了对每一个正整数N，R中存在不能写成至多N个单位之和的元素.
2013-11-19 math.NT
A note on the sign (unit root) ambiguities of Gauss sums in index 2 and 4 cases
近年来，已有文献给出了指数2和指数4情形下高斯和的显式估计（见[2，3，7，8]）。在求值过程中，符号（或单位根）歧义是不可避免的。本文给出了不同于[7]和[8]的另一种方法，用以确定指数为2的高斯和的sign（单位根）模糊度，以及非循环指数为4的奇数阶高斯和的sign（单位根）模糊度。并且我们注意到本文的方法比[8]和[7]更简洁有效。
2009-12-08 math.NT
Rational integers as sums of units -- the quadratic case
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文研究了二次数域中自然数作为k个单位和的渐进行为，解决了Jarden和Narkiewicz在2007年提出的问题。
2026-01-14 math.NT
Note on vanishing power sums of roots of unity
对于给定的正整数$m$和$\ell$，给出了正整数$n$的完整列表，对于该正整数，存在$m$的单位根$x_1,\dots,x_n \in \mathbb{C}$使得$x_1^{\ell} + \cdots + x_n^{\ell}=0$ .这推广了Lam和Leung关于单位根的消失和的早期结果。进一步证明了对于具有$2 \leq n \leq m$的整数$n$，存在不同的$m$次单位根$x_1,\dots,x_n \in \mathbb{C}$使得$x_1^{\ell} + \cdots + x_n^{\ell}=0$ .
2016-03-03 math.NT
Power sums in hyperbolic Pascal triangles
本文给出了用$q\ge5$确定对应于$\{4,q\}$的双曲杨辉三角形行元素的幂和的方法。该方法是基于线性递归的理论，并证明了结果通过评估的$k^{th}$功率和范围$2\le k\le 11$。
2017-03-15 math.CO math.NT
Binary polynomial power sums vanishing at roots of unity
设$c_1(x),c_2(x),f_1(x),f_2(x)$为有理系数多项式。除了明显的例外，在多项式$c_1(x)f_1(x)^n+c_2(x)f_2(x)^n$和$n=1,2\ldots$的零点之间最多可以有200个单位根。我们估计这些根的阶数和多项式$c_i$和$f_i$的高度的单位。
2020-11-22 math.NT
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院皮拉尼校区）
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
2026-05-27 math.NT
A demonstration of a theorem on the order observed in the sums of divisors
欧拉的《Demonstratio theoretical circa ordinem in summis divisorum observatum》（1760）。Enestroem指数中的E244。在他以前的论文E243中，欧拉陈述了五边形数定理，并假设它证明了因子函数和的递归关系。在E244中，欧拉证明了五边形定理，然后重复了递归的证明。在命题1中，欧拉证明了$\prod_{n=1}^\infty (1-a_n)=1-\sum_{n=1}^\infty a_n(1-a_1)...(1-a_{n-1})$。在命题2中，他明确地陈述了$a_n=x^n$的情况。然后在命题3中，欧拉应用命题2，然后收集项：每次从序列$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$中留下两项。这是详细解释在一份文件中，我的工作约欧拉的工作，五边形数定理。
2009-07-30 math.HO math.NT
Small sums of roots of unity
研究\(k\)项\(N\)次单位根非零和的最小值问题，给出\(N^{-\alpha_k}\)形式上界，\(\alpha_k\)随\(k\)增大，还探讨对部分\(N\)改进界的方法。
2026-07-08 math.NT
Short Recurrences and Straight-Line Programs for Primes
Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）
该研究提出从初始值8生成奇素数的短自主递推式，将素数计数函数表示为整数的2-adic赋值，还构造出对应素数相关函数的固定算术直线程序。
2026-10-12 math.NT
On the sumsets of exceptional units in $\mathbb{Z}_n$
设$R$是一个交换环，其中$1\in R$和$R^{\ast}$是它的单位乘法群. 1969年，Nagell引入了特殊的单位$u$，如果$u$和$1-u$都属于$R^{\ast}$。设$\mathbb{Z}_n$是模$n$剩余类的环.本文给出了整数$k\ge 2$，$ \mathbb{Z}_n$中每个元素表示为$k$例外单位之和的方法的精确公式.这推广了J.W.用于$k=2$的砂光机。
2015-09-21 math.NT
L-functions of symmetric powers of Kloosterman sums (unit root L-functions and p-adic estimates)
经典Kloosterman和的对称幂的L-函数是一个多项式，它的次数以及根的复绝对值现在都是已知的。在本文中，我们提供了这些根的p-adic绝对值的估计。我们的方法是间接的。首先建立了二元无限次对称幂L-函数的Dwork型p-adic上同调理论，然后研究了Frobenius特征值的p-adic估计.然后，连续性参数提供所需的p-adic估计。
2016-05-18 math.NT
On the sums of squares of exceptional units in residue class rings
令$n\ge 1, e\ge 1, k\ge 2$和$c$为整数。整数$u$称为剩余类模$n$环$\mathbb{Z}_n$中的单元，如果$\gcd(u, n)=1$。如果$\gcd(1-u,n)=1$，则单元$u$称为环$\mathbb{Z}_n$中的例外单元。我们用$\mathcal{N}_{k,c,e}(n)$表示同余$x_1^e+...+x_k^e\equiv c \pmod n$的解$(x_1,...,x_k)$的个数，其中所有$x_i$都是环$\mathbb{Z}_n$中的例外单位。在2017年，Mollahajiaghaei提出了一个关于同余式$x_1^2+...+x_k^2\equiv c\pmod n$的解$(x_1,...,x_k)$的个数的公式，其中所有$x_i$都是环$\mathbb{Z}_n$中的单元。同时，Yang和Zhao给出了$\mathcal{N}_{k,c,1}(n)$的精确公式。本文利用Hensel引理、指数和及二次Gauss和，给出了数$\mathcal{N}_{k,c,2}(n)$的一个显式公式.我们的结果推广了Mollahajiaghaei定理以及Yang和Zhao定理。
2021-09-27 math.NT
Sums of units in function fields II - The extension problem
2007年，Jarden和Narkiewicz提出了以下问题：是否每个代数数域都有一个有限扩张L，使得L的整数环由它的单位生成（作为环）？在这篇文章中，我们回答了函数域情况下的类似问题。更确切地说，它表明，对于任何有限的非空集S的地方，一个代数函数域F|存在一个有限扩张F'|F，使得F的S-整数环在F'中的整闭包由其单位生成（作为环）。
2013-11-19 math.NT
Finite $q$-multiple harmonic sums at roots of unity: Symmetrized identities for $1$-$2$ index multisets
Soochow University（苏州大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文研究了在 $2-\cdots-2,1-\cdots-1$ 指数下 $q$-多重调和和的显式表达式，探讨了指数组比值变化时的更一般结果。
2026-08-26 math.NT
Sums of two ${s}$-units via frey-hellegouarch curves
本文提出了一种新的方法来求所有可表示为两个有理S-单位之和的完全幂，其中S是一个有限集素数。我们的方法是基于模块化的伽罗瓦表示，并在大多数情况下，不需要下界的线性型的矩阵。它的主要优点是，它使执行这样一个程序明确，至少对某些小的素数集S;我们这样做S ={2，3}和S ={3，5，7}。
2016-05-24 math.NT
Sums of four and more unit fractions and approximate parametrizations
我们证明了新上界的有理数$\frac{m}{n}$的表示数的总和$4$单位分数，给出五个不同的区域，根据$n$方面的大小$m$。特别是，我们改进了最相关的情况，当$m$很小，当$m$接近$n$。这些改进不仅来自于对解集的完全参数化的研究，而且还来自于对解集的适当简化。所有参数的某些子集定义了所有解的集合，直到除数函数的应用，这对解的数量的上界几乎没有影响。这些“近似参数化”是使计算机程序能够过滤大量方程和不等式的关键点。此外，这一结果导致了新上界的有理数表示为超过$4$单位分数的总和。
2020-12-10 math.NT
New Recurrence Relations and Matrix Equations for Arithmetic Functions Generated by Lambert Series
我们认为对序列之间的关系，$(f, g_f)$，产生的朗伯级数展开，$L_f(q) = \sum_{n \geq 1} f(n) q^n / (1-q^n)$，在$q$。特别是，我们证明了新形式的递归关系和矩阵方程定义这些序列的所有$n \in \mathbb{Z}^{+}$。这些结果的证明的关键成分是由欧拉的五边形数定理的陈述给出的，该定理扩展了无限$q$ -Pochhammer乘积$(q; q)_{\infty}$和部分乘积$(q; q)_n$的第一个$n$项的级数，形成了$L_f(q)$的有理$n^{th}$部分和的分解子。文章中给出的新结果的例子包括新的精确公式和应用欧拉phi函数，$ϕ(n)$，莫比乌斯函数，$μ(n)$，和除数函数，$σ_1(n)$和$σ_α(n)$，为$α\geq 0$，并刘维的lambda函数，$λ(n)$。
2017-07-05 math.NT
An observation on the sums of divisors
从欧拉的“观察summis divisorum”（1752年）的拉丁文翻译。Enestroem指数中的E243。五边形数定理是$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$。本文假定了五角数定理，并利用它证明了因子函数和的一个递推关系。“五边形数”一词来源于多边形数。欧拉求两边的对数导数。然后将两边乘以$-x$后，左边等于$\sum_{n=1}^\infty σ(n) x^n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，例如$σ(6)=12$。这就产生了$σ(n)$的递归关系。我一直在详细研究所有欧拉的工作五边形数定理，更普遍的无穷乘积。我特别有兴趣看看是否还有其他人在欧拉和雅可比之间研究过类似的产品和系列，我很乐意听到任何对此有所了解的人的声音。
2009-07-18 math.HO math.NT
Wilson's theorem modulo higher prime powers I: Fermat and Wilson quotients
该研究利用Bell多项式与Newton恒等式，证明威尔逊定理及威尔逊商可由含费马商幂和项的任意更高素数幂模超同余式描述，还给出相关多元多项式的递推公式与更多性质，推进了数论中超同余问题的研究。
2025-09-05 math.NT
Linear Combinations of Factorial and $S$-unit in a Ternary recurrence sequence with a double root
本文证明三元递推序列中 $u_n=n2^n\pm 1$ 与阶乘组合的最大素因子趋于无穷，并确定方程 $u_n\pm m!=2^a3^b5^c7^d$ 的最大解为 $n=8$。
2025-04-20 math.NT
