AI 中文总结
研究系数特定的超几何级数，通过在分母引入移位参数，利用欧拉超几何微分方程推导递归，求解得到普通和与交错和化简及正分母幂公式，还应用于乘积二项式情形与调和数和，给出处理多种相关和式的统一框架。
AI 中文摘要
我们研究系数为\(a_n(\alpha)=\frac{(\alpha)_n(1 - \alpha)_n}{(n!)^2}\)（其中\(0 < \alpha < 1\)）的超几何级数。主要思路是在线性分母中引入一个移位参数并考虑\(\Phi_{m,\varepsilon}(\lambda;\alpha)=\sum_{n = 0}^{\infty}\varepsilon^n\frac{a_n(\alpha)}{n + m + 1+\lambda}\)，\(\varepsilon\in\{1, - 1\}\)。将其按\(\lambda\)的幂展开会产生分母幂为\((n + m + 1)^{-K}\)的和。首先讨论分母指数的解析插值，解释正整数指数为何导致终止递归。利用欧拉超几何微分方程，推导\(\Phi_{m,\varepsilon}\)关于\(m\)的一阶递归。求解此递归得到普通和与交错和的有限化简，系数提取得出所有正分母幂的公式。该框架还通过将\(m\)按模\(d\)的剩余类分离来处理任意正参数的线性分母\((dn + m + 1)^K\)。然后将结果专门应用于乘积二项式情形，特别是\(\alpha = 1/R\)（\(R = 2,3,4\)）。最后，通过对较低超几何参数求导将相同框架应用于调和数和。
英文摘要
Let \[ F(a,b;c;x)={}_2F_1(a,b;c;x), \qquad Φ_{m,\varepsilon}(λ;a,b,c) = \int_0^1 x^{m+λ}F(a,b;c;\varepsilon x)\,dx, \quad \varepsilon=\pm1. \] We study these moments by deriving and solving a first-order recurrence in $m$. This recurrence leads to formulas for higher powers of the denominator and for denominators of the form $(dn+m+1)^K$, with applications to product-binomial series and moments of complete elliptic integrals. Differentiation with respect to $c$ gives corresponding recurrences for harmonic-number weights, whose initial values are described using Bell polynomials, logarithms, zeta values, and Dirichlet $L$-values. Finally, comparison with a terminating ${}_3F_2(1)$ formula also gives finite hypergeometric and binomial--harmonic identities.
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