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关于有限循环群随机子集中所含无零和序列的研究

On zero-sum free sequences contained in random subsets of finite cyclic groups

Sang June Lee, Jun Seok Oh

备注：
15 pages
发表信息：
Discrete Appl. Math. 330 (2023), 118 - 127
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AI总结：

本文研究有限循环群随机子集中无零和序列的计数问题，给出了长度接近群阶的无零和序列数量及其按不同元素数分类的期望公式，并在参数固定时证明了相应的集中性结果。

摘要：

设 $C_n$ 为 $n$ 阶循环群。$C_n$ 上长度为 $\ell$ 的序列 $S$ 是指 $C_n$ 中 $\ell$ 个元素构成的序列 $S = a_1\boldsymbol\cdot a_2\boldsymbol\cdot \ldots\boldsymbol\cdot a_{\ell}$，其中允许元素重复且不考虑元素顺序。若 $\Sigma_{i=1}^{\ell} a_i = 0$，则称 $S$ 为零和序列；若 $S$ 不含任何零和子序列，则称 $S$ 为无零和序列。设 $R$ 为 $C_n$ 的随机子集，其获得方式是以概率 $p$ 独立选取 $C_n$ 中的每个元素。设 $N^R_{n-1-k}$ 为 $R$ 中长度为 $n-1-k$ 的无零和序列的个数。又设 $N^R_{n-1-k,d}$ 为 $R$ 中长度为 $n-1-k$ 且具有 $d$ 个不同元素的无零和序列的个数。对于 $0\leq k\leq \big\lfloor \frac{n}{3} \big\rfloor$，我们得到了 $N^R_{n-1-k}$ 和 $N^R_{n-1-k,d}$ 的期望。当 $k$ 固定时，我们还证明了关于 $N^R_{n-1-k}$ 和 $N^R_{n-1-k,d}$ 的集中性结果。

英文摘要：

Let $C_n$ be a cyclic group of order $n$. A sequence $S$ of length $\ell$ over $C_n$ is a sequence $S = a_1\boldsymbol\cdot a_2\boldsymbol\cdot \ldots\boldsymbol\cdot a_{\ell}$ of $\ell$ elements in $C_n$, where a repetition of elements is allowed and their order is disregarded. We say that $S$ is a zero-sum sequence if $Σ_{i=1}^{\ell} a_i = 0$ and that $S$ is a zero-sum free sequence if $S$ contains no zero-sum subsequence. Let $R$ be a random subset of $C_n$ obtained by choosing each element in $C_n$ independently with probability $p$. Let $N^R_{n-1-k}$ be the number of zero-sum free sequences of length $n-1-k$ in $R$. Also, let $N^R_{n-1-k,d}$ be the number of zero-sum free sequences of length $n-1-k$ having $d$ distinct elements in $R$. We obtain the expectation of $N^R_{n-1-k}$ and $N^R_{n-1-k,d}$ for $0\leq k\leq \big\lfloor \frac{n}{3} \big\rfloor$. We also show a concentration result on $N^R_{n-1-k}$ and $N^R_{n-1-k,d}$ when $k$ is fixed.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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