On the minimum size of subset and subsequence sums in integers
令$\mathcal{A}$是由$k$不同整数组成的$rk$项序列，每个整数在$\mathcal{A}$中精确地出现$r$次。$\mathcal{A}$的子序列的所有项之和称为$\mathcal{A}$的子序列和。对于非负整数$α\leq rk$，令$Σ_α (\mathcal{A})$为对应于长度为$α$或更长的序列的$\mathcal{A}$的所有子序列和的集合。当$r=1$时，我们将子序列和称为子集和，并将$Σ_α (\mathcal{A})$写成$Σ_α (A)$。在这篇文章中，使用一些简单的组合参数，我们建立$Σ_α (A)$和$Σ_α (\mathcal{A})$的大小的最佳下界。作为特例，我们也得到了一些已知的结果。
2022-11-23 math.CO math.NT
Every finite set of integers is an asymptotic approximate group
一个集合$A$是加法阿贝尔群$G$中的一个$(r,\ell)$ -近似群，如果$A$是$G$的一个非空子集，并且存在$G$的一个子集$X$使得$|X| \leq \ell$和$rA \subseteq X+A$ .集合$A$是渐近$(r,\ell)$ -近似群，如果和集合$hA$对于所有充分大的整数$h$是$(r,\ell)$-近似群。证明了整数的每一个有限集对于每一个整数$r \geq 2$都是渐近$(r,r+1)$ -近似群.
2016-01-14 math.CO math.NT
Integer Subsets with High Volume and Low Perimeter
我们考虑一个特定的变化的“等周问题”采用的子集的非负整数。更具体地说，我们探索了OEIS A186053中描述的序列P（n）。我们提供了P（n）的第一个精确公式，包括涉及辅助函数的多重递归关系，以及简洁而令人满意的表示，甚至是准显式公式。我们还讨论了一些复杂的分形对称的序列，以及计算P（n）的算法的发展。最后，我们提出了一些有待进一步研究的开放性问题。注意，这是一个更先进的，但更简洁的版本，以前的arXiv论文arXiv：1107.2954的名称为“集与高容量和低周长”。
2012-02-07 math.CO math.NT
An efficient Algorithm to partition a Sequence of Integers into Subsets with equal Sums
将一个n个整数序列划分成具有指定和的子集是一个NP困难问题。在本文中，我们提出了一个有效解的齐次版本的这个问题，即在每个子集中的元素加起来相同的总和。
2018-07-16 math.CO
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
2011-04-05 math.CO math.NT
The number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords提出了$\{1, \dots , n\}$中有多少个极大和自由集的问题，给出了$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的下界。本文证明了在$\{1, \dots , n\}$中实际上至多存在$2^{(1/4+o(1))n}$极大和自由集。我们的证明利用了Green的容器引理和移除引理，以及Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin关于无和集结构的结果。
2014-09-19 math.CO math.NT
Generalization of Ramanujan's formula for sums of half-integer powers of consecutive integers via formal Bernoulli series
The George Washington University（乔治华盛顿大学）；Lehman College of the City University of New York（纽约市立大学莱曼学院）；Icahn School of Medicine at Mount Sinai（西奈山伊坎医学院）；Medgar Evers College of the City University of New York（纽约市立大学梅加尔埃弗斯学院）
本文通过形式Bernoulli级数推广了Ramanujan关于连续整数半整数次幂求和的公式，扩展了原有结果到所有正半整数次幂。
2026-02-10 math.CO math.NT
Sharp bound on the number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords问，在$\{1, \dots , n\}$中，\emph{maximal}无和集的数量是否比无和集的数量小小于。在同一篇论文中，他们给出了极大自由和集个数的$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的一个下界。在这里，我们证明了以下几点：对于每个$1\leq i \leq 4$，有一个常数$C_i$，使任何$n\equiv i \mod 4$，$\{1, \dots , n\}$包含$(C_i+o(1)) 2^{n/4}$最大和自由集。我们的证明利用了Green的容器和移除引理，Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin的结构结果，以及Green和Morris最近关于小和集整数子集的数量的限制。讨论了阿贝尔群的极大无和子集个数的相关结果和公开问题。
2018-05-11 math.CO math.NT
Integer Sets of Large Harmonic Sum Which Avoid Long Arithmetic Progressions
本研究给出数字受限整数集不含k项算术级数的条件，通过大规模搜索找到不含4项与10项算术级数且调和和优于传统贪心构造的整数集，可高效计算相关集合与调和和。
2025-09-04 math.CO math.NT
A Salem-Spencer-Type Construction for Large Subsets of Integer Grids with No Isosceles Right Triangles
HUN–REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Eötvös University（厄特沃什大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Óbuda University（奥比达乌斯大学）
研究整数格子集规模\(F(n)\)，通过改进的塞勒姆 - 斯宾塞型构造证明\(F(n)=\Omega(n^{1.3})\)，虽最佳上界为\(F(n)\ll n^2/(\log n)^{1 + c}\)，但两者差距仍大。
2026-07-28 math.CO math.NT
On the Largest Integer that is not a Sum of Distinct Positive $n$th Powers
已知对于任意正整数\(n\)，序列\(S(x^n)=(1^n, 2^n, \ldots)\)是完备的，这意味着每个足够大的整数是正整数的不同\(n\)次幂的和。证明了每一个整数\(m\geq (b-1)2^{n-1}(r+\frac{2}{3}(b-1)(2^{2n}-1)+2(b-2))^n-2a+ab\)，其中\(a=n!2^{n^2}\)，\(b=2^{n^3}a^{n-1}\)，\(r=2^{n^2-n}a\)是正整数的不同\(n\)次幂之和.
2017-07-09 math.CO math.NT
Sums of Finite Sets of Integers, II
设$\mathcal{A}$是有限整数集，$h\mathcal{A}$表示$\mathcal{A}$的$h$ -折叠和集.令$(h\mathcal{A})^{(t)}$是$h\mathcal{A}$的子集，其由至少具有作为$\mathcal{A}$的$h$元素之和的$t$表示的所有整数组成。集合$(h\mathcal{A})^{(t)}$的结构对于所有的$h \geq h_t$是完全确定的。
2020-07-20 math.CO math.NT
Consecutive integers in high-multiplicity sumsets
锐化（一个特殊的情况下）的结果Szemeredi和Vu和扩展早期的结果萨科齐和我们自己，我们发现，受到一些技术限制，一个尖锐的阈值整数集的数量需要其和集包含一个块的连续整数的长度，可比的长度设置和。我们主要结果的一个推论如下。令$k,l\ge 1$和$n\ge 3$是整数，并假设$A_1,...,A_k\subset[0,l]$是大小至少为$n$的整数集合，其中没有一个包含在差大于1的等差数列中。如果为$k\ge 2\lceil(l-1)/(n-2)\rceil$，则和集$A_1+...+A_k$包含长度为$k(n-1)$的连续整数块。
2008-06-27 math.CO math.NT
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
2003-09-03 math.CO math.NT
The Postage Stamp Problem and Essential Subsets in Integer Bases
Plagne最近确定了函数E（h）的渐近行为，该函数计算了h阶N的加法基中基本元素的最大可能数量。在这里，我们通过研究函数E（h，k）的渐近行为来扩展他的调查，该函数在h阶的基础上计算大小为k的本质子集的最大可能数量。对于固定的k，当h趋于无穷大时，证明了E（h，k）= Θ_{k}（[h^{k}/ \log h]^{1/（k+1）}）.一个更精确的渐近公式的确定取决于有限循环群中著名的“邮票问题”的解决方案。另一方面，当h固定且k趋于无穷大时，证明了E（h，k）\sim（h-1）{ \log k \over \log \log k}.
2008-07-02 math.CO math.NT
On the construction of a family of sets of positive integers closed under taking subsets
本文构造了字母表{0,1}上的单侧无穷序列与一类在取子集运算下封闭的正整数集合族之间的显式双射及其逆映射，并利用该双射通过离散动力系统刻画了特定集合族的极值性质。
2024-12-30 math.CO math.NT
Asymptotic complements in the integers
令$W\subseteq \mathbb{Z}$为整数的非空子集。一个非空集$C\subseteq \mathbb{Z}$称为$W$的渐近补，如果$W+C$包含除有限大小的集合之外的几乎所有整数。如果$C$是渐近补，则称$C$是最小渐近补，但$C\setminus \lbrace c\rbrace$不是渐近补$\forall c\in C$。渐近补已经研究的背景下表示的整数，因为时间的Erdens，Hanani，洛伦兹和其他人，而概念的最小渐近补是由于内桑森。本文研究了$\mathbb{Z}$中的极小渐近补，并讨论了Nathanson关于极小渐近补的存在性和不存在性问题.
2019-12-10 math.CO math.NT
On the Gap-sum and Gap-product Sequences of Integer Sequences
在本文中，我们探讨了与合适的整数序列相关联的两类序列：间隙和序列和间隙积序列。这些是不在原始序列中的连续数的和与积。我们给出了封闭的形式，在原始序列，并在Horadam序列的情况下，我们发现的间隙和序列的生成函数。对于某些初等序列，我们指出了缺口积序列是由Fuss-Catalan-Raney数给出的。
2021-04-07 math.CO math.NT
The upper logarithmic density of monochromatic subset sums
我们表明，在任何两个着色的正整数有一种颜色，可以表示为不同的元素与这种颜色的总和的正整数的集合具有上对数密度至少$(2+\sqrt{3})/4$，这是最好的可能。这回答了一个40年前的Erdos问题。
2022-09-22 math.CO math.NT
Subset sums, completeness and colorings
我们开发了新的技术，使我们能够证明各种各样的结果有关的子集和完整的序列的正整数，包括解决方案，一些长期存在的开放问题。其中包括：Burr和Erdés关于Ramsey完全序列的三个问题的解决方案，Erdés后来提供了350美元的合并总额;密度完全序列的新概念的类似结果; Alon和Erdés关于着色小于$n$的正整数所需的最小颜色数的猜想的解决方案，因此$n$不能被写为单色和;确切确定的极值功能介绍了Erdés和格雷厄姆的整数集，避免了一个给定的子集和，并回答了一个问题，重申了几个作者，一个均匀的加强一个开创性的结果Szemerédi和武对长期等差数列的子集和。
2021-04-30 math.CO math.NT
Simplex--center configurations in dense subsets of Euclidean spaces and the integer lattice
该研究针对欧几里得空间及整数格的稠密子集，证明了含单形及其重心的构型的密度拉姆齐定理，在特定条件下推广了相关度量下的等距副本存在性结果。
2026-08-21 math.CO math.MG math.NT
Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers
阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
2020-07-09 math.CO math.NT
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
2013-10-08 math.CO math.NT
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
2021-09-29 math.CO math.NT
The Polychromatic Number of Small Subsets of the Integers Modulo $n$
如果$S$是阿贝尔群$G$的子集，则$G$中的$S$的多色数是最大整数$k$，使得$G$的元素存在$k-$着色，使得$G$中的$S$的每个平移都得到所有$k$颜色。我们确定模n整数群中所有大小为2或3的集合的多色数。
2020-07-28 math.CO math.GR
Large sum-free subsets of sets of integers via $L^1$-estimates for trigonometric series
针对Erdős提出的加法组合学长期问题，通过三角级数的$L^1$估计证明：任意$n$元整数集含大小至少为$n/3+c\boldsymbol{\text{log log}}n$的无和子集，解决了该领域经典难题。
2025-02-12 math.CA math.CO math.NT
Forbidden arithmetic progressions in permutations of subsets of the integers
避免长度为$5$的等差数列的正整数排列在（Davis et al，1977）中被构造，这意味着避免长度为$7$的等差数列的整数排列的存在。我们构造了一个整数的置换，避免了长度为$6$的等差数列。我们还证明了$\frac{1}{2}$在正整数子集的较低密度上的下界，可以进行置换以避免长度$4$的等差数列，锐化来自（LeSaulnier和Vijay，2011）的$\frac{1}{3}$的下界。此外，我们还推广了关于禁用等差数列的几个结果，构造了避免广义等差数列的置换。
2018-03-15 cs.DM math.CO
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
2018-12-22 math.CO math.GR math.NT
A Marstrand theorem for subsets of integers
本文提出了Z的子集的计数维数，并证明了在一定的条件下，对几乎每个实λ，在两个这样的子集E和F上，E+[λF]的计数维数至少是1与E和F的计数维数之和之间的最小值.此外，若E和F的计数维数之和大于1，则E+[λF]几乎对每个λ都有正的上Banach密度.当E、F是算术集合时，例如具有整数系数的多项式的整数值，结果具有直接后果。
2013-09-23 math.CO math.DS
Twisted patterns in large subsets of $\mathbb{Z}^N$
设$E \subset \mathbb{Z}^N$是一个正的上Banach密度集，$Γ< \operatorname{GL}_N(\mathbb{Z})$是一个强不可约子群，其在$\operatorname{GL}_N(\mathbb{R})$中的Zeromki闭包是一个Zeromki连通半单群，不含紧因子.设$Y$为任意集合，并假定$Ψ: \mathbb{Z}^N \rightarrow Y$是$Γ$不变函数.证明了对任意正整数$m$，存在正整数$k$，并证明了对任意具有$|F| = m$的有限集$F \subset \mathbb{Z}^N$，存在\[ Ψ(kF) \subset Ψ(E-b) \quad \textrm{for some $b \in E$}. \].作为这个结果的一个应用，我们证明了如果$E_o \subset \mathbb{Z}$具有正的上Banach密度，那么对于任何整数$m$，存在一个具有\emph{every}有限集$F \subset \mathbb{Z}$性质的整数$k$，我们可以找到$x,y,z \in E_o$使得\[ k^2 F \subset \big\{ (u-x)^2 + (v-y)^2 - (w-z)^2 \, : \, u,v,w \in E_o \big\}. \]特别地，如果$E_o \subset \mathbb{Z}$是…
2015-12-06 math.CO math.DS math.NT
Maximum $k$-sum $\mathbf{n}$-free sets of the 2-dimensional integer lattice
对于正整数$n$，令$[n]$表示$\{1, \ldots, n\}$。对于2维整数格点$\mathbf{b}$和正整数$k\geq 2$和$n$，$[n]\times [n]$的\textit{$k$-sum $\mathbf{b}$-free set}是$[n]\times [n]$的子集$S$，使得在$S$中没有满足${\mathbf{a}}_1+\cdots+{\mathbf{a}}_k =\mathbf{b}$的元素${\mathbf{a}}_1, \ldots, {\mathbf{a}}_k$。对于二维整数格点$\mathbf{b}$和正整数$k\geq 2$和$n$，我们确定了$[n]\times [n]$的{ $k$ -sumPDMATHABMP-free set}的最大密度.这是第一次调查的非齐次和自由集问题在更高的层面。
2019-03-12 math.CO
Frieze patterns over integers and other subsets of the complex numbers
我们研究（驯服）frieze模式的复数的子集，特别强调相应的quiddity循环。我们提供了新的一般变换的quiddity周期的中楣图案。作为一个应用程序，我们提出了一个组合模型，用于获得所有驯服frieze模式的quiddity周期的整数（零条目允许），推广经典的康威-考克斯特理论。因此，这个模型也是Dynkin型$A$的簇代数的特化集合的模型，其中所有簇变量都是整数。此外，我们解决的问题，对于一个给定的高度是否只有1000多个非零frieze模式在一个给定的子集$R$的复数。在$R$上，在一定条件下，给出了实圈中项的绝对值的上界.因此，我们得到，如果$R$是复数的离散子集，那么对于每个高度，$R$上只有有限个非零饰带图案。利用这一点，我们反驳了Fontaine的一个猜想，证明了对于一个复的$d$ -th单位根$ζ_d$，在$R=\mathbb{Z}[ζ_d]$上对于给定的高度只有1000个非零的镶边图案当且仅当$d\in \{1,2,3,4,6\}$。
2018-12-13 math.CO
Tight lower bound on $|A+λA|$ for algebraic integer $λ$
本文证明代数整数 λ 下集合和 |A+λA| 的渐近紧下界，结合 Freiman 定理、格点结构定理及连续结果的推广。
2023-11-15 math.CO
Asymptotic enumeration of symmetric integer matrices with uniform row sums
研究了对角为零的非负整数的对称矩阵的个数，使得每行和相同。等价地，这些是零对角对称列联表，具有均匀的边缘，或无环的正则重图。当矩阵的大小趋于无穷大时，我们确定这个数的渐近值，只要行和足够大。我们猜想，我们的答案是有效的所有行和。
2013-01-21 math.CO
A Short Proof of Jacobi's Formula for the Number of Representations of an Integer as a Sum of Four Squares
一个简短的初等证明和有限形式的推广，给出了雅可比公式的数量的方式写一个整数作为一个四个平方和（这意味着拉格朗日著名的1777年定理。
1992-06-03 math.CO
Bipartite divisor graphs for integer subsets
灵感来自马克·L. Lewis，在公因数图$\Ga(X)$和素顶点图$Δ(X)$之间，对于正整数的集合$X$，我们定义了二分因子图$B(X)$，并表明这些连接中的许多连接自然地从$B(X)$的性质流出。特别是，我们建立这三个图的参数之间的联系，如组件的数量和直径，我们将出现的二部图，作为$B(X)$的一些$X$。此外，我们得到的充要条件，在$B(X)$的子配置方面，一个$Γ(X)$或$Δ(X)$，以包含一个完全的子图的大小为3或4。
2009-10-28 math.CO math.GR
An Improved Upper Bound for the Sum-free Subset Constant
我们证明了Erdös无和子集定理中的最优常数不能大于$11/28 \approx .393$。
2010-07-16 math.CO
On the structure of zero-sum free set with minimum subset sums in abelian groups
设$G$是加法阿贝尔群，$S\subset G$是加法阿贝尔群的子集.令$Σ(S)$表示可以表示为$S$的非空子集之和的群元素的集合。如果$0 \not\in Σ(S)$满足，我们说$S$是零和自由的。被R.B.拍到了~ Eggleton和P.~ Erdös在1972年提出，并由W.~ Gao et.等人在2008年提出了$|Σ(S)|\geq 19$，其条件是$S$是具有$|S|=6$的阿贝尔群$G$的零和自由子集。本文确定了零和自由集$S$的结构，其中$|S|=6$和$|Σ(S)|=19$。
2017-12-30 math.CO
On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums
令$f(n,r)$表示具有$r$颜色的$A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n\rbrace$的着色的最大数目，使得每个颜色类是无和的。这里，和是子集$\lbrace x,y,z\rbrace$，使得$x+y=z$。我们证明了$f(n,2) = 2^{\lceil n/2\rceil}$，并描述了极值子集。此外，使用线性优化，我们渐近地确定了$r \leq 5$的$f(n,r)$的对数。Hàn和Jiménez在有限阿贝尔群的情况下也得到了类似的结果。
2017-10-16 math.CO
Integer colorings with no rainbow $k$-term arithmetic progression
本文研究了$k$项等差数列的彩虹Erdens-Rothschild问题。对于一个正整数集合$S \subseteq [n]$，$S$的一个$r$ -着色是\emph{rainbow $k$-AP-free}，如果它不包含彩虹$k$ -项等差数列.令$g_{r,k}(S)$表示$S$的彩虹$k$ -无AP $r$ -着色的数目。对于足够大的$n$和固定整数$r\ge k\ge 3$，我们证明了$g_{r,k}(S)<g_{r,k}([n])$对于任何真子集$S\subset [n]$。进一步证明了$\lim_{n\to \infty}g_{r,k}([n])/(k-1)^n= \binom{r}{k-1}$ .我们的结果是渐近最佳可能的，并意味着，几乎所有的彩虹$k$ -AP-免费$r$ -着色的$[n]$只使用$k-1$颜色。
2022-03-23 math.CO
On sum-intersecting families of positive integers
本文研究 {1,…,n} 上任意两子集交集均含 x+y=z 的和相交族规模，猜想上界为 2^n/4，并证明了 0.32·2^n 的上界。
2023-04-27 math.CO
A zero-sum theorem over Z
零和整数序列是一个非零项的序列，其总和为0。令$k>0$为整数，并且令$[-k,k]$表示$-k$和$k$之间的所有非零整数的集合。令$\ell(k)$是最小整数$\ell$，使得任何具有来自$[-k,k]$的元素且长度大于$\ell$的零和序列包含适当的非空零和子序列。在本文中，我们证明了一个更一般的结果，这意味着$\ell(k)=2k-1$为$k>1$。
2012-12-12 math.CO
Zero-sum subsets of decomposable sets in Abelian groups
阿贝尔群的子集$D$是$decomposable$，如果$\emptyset\ne D\subset D+D$。本文部分回答了阿贝尔群的有限可分解子集$D$是否包含一个非空子集$Z\subset D$且$\sum Z=0$的公开问题。对于每一个$n\in\mathbb N$，我们提出了一个可分解的子集$D$的基数$|D|=n$在循环群的顺序$2^n-1$，使$\sum D=0$，但$\sum T\ne 0$的任何真非空子集$T\subset D$。另一方面，我们证明了每个基数$|D|\le 7$的可分解子集$D\subset\mathbb R$包含一个基数$|Z|\le\frac12|D|$的非空子集$Z\subset D$，其中$\sum Z=0$ .对于每个$n\in\mathbb N$，我们提出了一个基数$|D|=2n$的子集$D\subset\mathbb Z$，使得对于基数$|Z|=n$的某个子集$Z\subset D$，$\sum Z=0$;对于基数$|T|<n=\frac12|D|$的任何非空子集$T\subset D$，$\sum T\ne 0$。证明了阿贝尔群的每个有限可分解子集$D$都包含两个非空子集$A,B$，使得$\sum A+\sum B=0$ .
2019-05-02 math.CO math.GR
On sum-free subsets of abelian groups
本文讨论了阿贝尔群的无和子集的一些重要性质。我们的讨论是为了更广泛的读者群而设计的，因此并不过于技术性。我们考虑这样的问题的答案：有多少无和子集在一个给定的阿贝尔群$G$？它的最大基数的无和子集是什么这些无和子集的最大基数是多少？$G$的典型无和子集是什么样子的？还有其他的
2023-03-27 math.CO math.GR
Integer decomposition property of free sums of convex polytopes
设$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^{d}$和$\mathcal{Q} \subset \mathbb{R}^e$分别是包含$\mathbb{R}^e$和$\mathbb{R}^{d}$原点的$d$和$e$的整凸多胞体.本文在一定的假设下，给出了$\mathcal{P}$与$\mathcal{Q}$的自由和具有整数分解性质的充要条件.
2014-10-20 math.AC math.CO
Subset sum problem in polycyclic groups
我们考虑一个经典的子集和问题的群论模拟。每个虚幂零群都存在多项式时间可判定的子集和问题。本文利用子群偏差证明了每个多环非虚幂零群都存在NP-完全子集和问题。
2017-03-21 cs.CC math.CO math.GR
On the complexity of finding and counting solution-free sets of integers
给定一个线性方程$\mathcal{L}$，一个整数集合$A$是$\mathcal{L}$-free的，如果$A$不包含任何$\mathcal{L}$的"非平凡"解。这个概念包含了组合数论中的许多中心主题，如无和集和无级数集。在本文中，我们开始研究（参数化）的复杂性问题，涉及$\mathcal{L}$-免费的整数集。我们考虑的主要问题涉及到决定一个有限的整数集$A$是否有一个给定大小的$\mathcal{L}$自由子集，并计算所有这样的$\mathcal{L}$自由子集。我们还提出了一些悬而未决的问题。
2017-04-12 cs.CC math.CO
Random sum-free subsets of Abelian groups
刻画了阿贝尔群$G$的随机子集的最大无和子集的结构。特别地，我们确定阈值$p_c \approx \sqrt{\log n / n}$，在该阈值之上，以高概率作为$|G| \to \infty$，每当$q$用$q \equiv 2 \pmod 3$除$|G|$以得到某个（固定）素数$q$时，每个这样的子集都包含在$G$的最大大小的无和子集中。此外，在特殊情况下，$G = \ZZ_{2n}$，我们确定了一个尖锐的阈值，上述性质。证明使用最近的“转移”定理的康伦和高尔斯，连同稳定性定理的总和自由子集的阿贝尔群。
2012-11-16 math.CO math.GR math.PR
