Kasteleyn theorem, geometric signatures and KP-II divisors on planar bipartite networks in the disk
在具有规定边界条件的圆盘计数二聚体配置中，平面二分图上Kasteleyn符号矩阵的最大子矩阵，以及此类矩阵的加权版本提供了实格拉斯曼的完全非负部分的自然参数化（参见参考文献1）。[54，43，44，58，7]）。本文给出了Kasteleyn定理的一个几何解释：一个签名是Kasteleyn当且仅当它在参考文献[5]的意义下是几何的。我们应用这个几何特征显式地解决了相关的关系系统，并提供了一个新的证明，由Kasteleyn加权矩阵诱导的正拟胞的参数化与Postnikov边界测量映射相一致。最后，我们使用Kasteleyn系统的关系相关联的代数几何数据的KP多孤子解。事实上，KP波函数解决了这样的系统的关系在节点处的频谱曲线，如果后者的对偶图表示孤子数据。因此，除数的构造是自动不变的，最后它与参考文献中的一致。[4，6]对于目前的图类。
2021-08-24 math-ph math.CO math.MP
Trapezoidal numbers, divisor functions, and a partition theorem of Sylvester
正整数$n$的划分是将$n$表示为有限个正整数（称为部分）的和。梯形数是一个正整数，它有一个分区，其部分是连续整数的递减序列，或者更一般地说，其部分形成一个有限的等差数列。本文综述了梯形数、划分和正整数的因子集之间的关系。也有一个完整的证明定理西尔维斯特，产生分层的分区的整数奇数部分和分区成不相交的numerids。
2017-08-02 math.CO math.NT
On zero-divisor graph of the ring of Gaussian integers modulo $2^n$
本文研究了模 $2^n$ 的高斯整数环的零因子图结构，通过因子的相伴类确定了图的大小、色数、团数、独立数和匹配数，并求得了相关拓扑指标。
2025-04-03 math.AC math.CO math.NT
Dimension, depth and zero-divisors of the algebra of basic $k$-covers of a graph
我们研究基本的$k$ -覆盖的二部图$G$ ;代数$\AG$，他们的跨度，首先研究了赫尔佐格，是纤维锥的亚历山大对偶的边缘理想。当$\AG$是一个域的$G$的组合学方面，我们的特点，如果从Hochster的结果，当$\AG$是一个域，它也是科恩-麦考利。通过引入二部图的一个几何不变量--“图维数”，研究了$\AG$的维数.我们发现，$G$的图形尺寸不大于$\dim(\AG)$，并在许多情况下（例如，当$G$是一棵树，或循环）的平等持有。最后，我们讨论了这一理论在算术秩中的应用。
2009-01-25 math.AC math.CO
The Maximum Number of Subset Divisors of a Given Size
如果$s$是一个正整数，$A$是一组正整数，我们说$B$是$s$ -除数的$A$，如果$\sum_{b\in B} b\mid s\sum_{a\in A} a$。本文研究了$n$ -元素集的能成为$s$ -因子的$k$ -子集的最大个数.我们提供了一个反例Huynh的猜想，$s=1$，答案是$\binom{n-1}{k}$，只有100多个例外，但证明，增加一个必要条件，使这为真。此外，我们表明，在一个类似的条件下，答案是$\binom{n-1}{k}$只有100多个例外，每个$s$。
2015-05-20 math.CO
On Certain Bounds for Multiset Dimensions of Zero-Divisor Graphs Associated with Rings
该研究针对环相关零因子图的多重集维数展开，建立了通用界，考察多类交换环及代数运算下的维数性质，还讨论了基于直径和最大度的界，深化了对代数结构图形表示的认知。
2024-06-21 math.CO
Bipartite powers of k-chordal graphs
设k为整数，且k \geq为3。一个图G是k-弦的，如果G不存在长度大于k的诱导圈.从定义中可以清楚地看出，3-弦图正是弦图的一类。Duchet证明了，对于每一个正整数m，如果G^m是弦，那么G^{m+2}也是弦。Brandstädt等人，载于[Andreas Brandstädt，Van Bang Le，and Thomas Szymczak.无HHD图的幂的Duchet型定理。离散数学，177（1-3）：9-16，1997。证明了如果G^m是k弦的，那么G^{m+2}也是。给一个二部图赋能并不能保持它的二部性。为了保持二部图的二部性，在给图赋权的过程中，Reichran等人引入了二部赋权的概念。引入这个概念是为了帮助他们研究弦二部图的盒性。给定一个二部图G和一个奇正整数m，我们定义图G^{[m]}是一个二部图，使得V（G^{[m]}）=V（G），E（G^{[m]}）={（u，v）|u，v \in V（G），d_G（u，v）是奇数，且d_G（u，v）\leq m}.图G^{[m]}称为G的m次二部幂。本文证明了，给定一个二部图G，如果G是k-弦的，则G^{[m]}也是k-弦的，其中k，m是正整数，使得k \geq 4，m是奇数.
2012-01-29 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number $BR_m(H_1,H_2)$
在图$G$的$(G^1,G^2)$染色中，$G$的每条边都在$G^1$或$G^2$中。对于两个二部图$H_1$和$H_2$，二部Ramsey数$BR(H_1, H_2)$是最小整数$b\geq 1$，使得对于完全二部图$K_{b,b}$的每个$(G^1, G^2)$着色，都导致$H_1\subseteq G^1$或$H_2\subseteq G^2$。作为另一种观点，对于二部图$H_1$和$H_2$以及正整数$m$，$H_1$和$H_2$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(H_1, H_2)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个子图$G$导致$H_1\subseteq G$或$H_2\subseteq \overline{G}$。迄今为止，已有几篇文章计算了$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{2,2})$的大小、$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的大小和$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$的大小.在本文中，我们确定的精确值$BR_m(K_{2,2}, K_{4,4})$为每个$m\geq 2$。
2022-02-10 math.CO
Zero-Divisor Graphs of $\mathbb{Z}_n$, their products and $D_n$
本文讨论了模$n$的整数环$\mathbb{Z}_n$的零因子图的一些性质。交换环$R$的零因子图是一个无向图，其顶点是$R$的非零零因子，其中两个不同的顶点相邻，如果它们的乘积为零。用$Γ(R)$表示$R$的零因子图。从完备性、k-部结构、完备k-部结构、正则性、弦性、$γ- β$完备性、单纯顶点等方面讨论了$Γ(\mathbb{Z}_n)$的性质。本文还研究了有限积环$Γ(\mathbb{Z}_n)$的相关性质，并将某些结果推广到积环上。我们发现所有的$Γ(\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_k})$都是完美的。其次，本文讨论偏序集$Γ(\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n)$的正因子集$D_n$的零因子图的一些性质。
2020-09-28 math.CO
Extremal Problems for Subset Divisors
令$A$是$n$正整数的集合。我们说$A$的子集$B$是$A$的除数，如果$B$中元素的和除以$A$中元素的和。我们感兴趣的是下面的极值问题。对于每个$n$，一组$n$正整数的最大约数是多少？我们对$n$的所有值都精确地确定了这个函数。此外，对于每个$n$，我们的特点是所有集，达到最大值。我们还证明了我们的问题的$k$子集模拟的结果。对于这种变体，我们确定的功能正是在特殊情况下，$n=2k$。我们还描述了所有集，达到这个界限时，$n=2k$。
2014-09-19 math.CO
Completing Partial Packings of Bipartite Graphs
给定一个二部图$H$和一个整数$n$，设$f(n;H)$是最小整数，使得$H$在$n$顶点上的任何边不相交副本集，可以扩展为至多$n+f(n;H)$顶点上的$H$ -设计.我们建立了$f(n;H)$作为$n \rightarrow \infty$的增长的严格界限。特别地，我们证明了Füredi和Lehel的\cite{FuLe}猜想：$f(n;H) = o(n)$ .这解决了一个长期悬而未决的问题。
2010-08-18 math.CO
Etude du graphe divisoriel 6
本文研究除数图在有限整数区间上的两两不相交简单路径覆盖问题，证明 F(x,y) 在 x≥2y≥2 时同阶于 x/log(x/y)，回答了 Erdös 的问题。
2025-02-17 math.CO math.NT
Another view of Bipartite Ramsey numbers
对于二部图$G$和$H$以及正整数$m$，$G$和$H$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G, H)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个红-蓝着色都导致红色$G$或蓝色$H$。毕振明、Gary Chartrand和Ping Zhang在\cite{bi2018another}中对所有正整数$m$当$G= K_{2,2}$和$H \in \{K_{2,3}, K_{3,3}\}$，特别是在一个长而硬的论证中，他们证明了$BR_5(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_6(K_{2,2}, K_{3,3}) = 12$和$BR_7(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_8(K_{2,2}, K_{3,3}) = 9$。在本文中，我们通过简短的论证来确定每个$m\geq 1$的$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的确切值。
2022-01-30 math.CO
On $m$-step competition graphs of bipartite tournaments
本文完全刻画了任意整数$m \ge 2$的二部竞赛图的$m$ -步竞争图.此外，我们还计算了二部竞赛图的竞争指数和竞争周期。
2019-03-13 math.CO
On main eigenvalues of zero-divisor graphs of reduced rings
Savitribai Phule Pune University（萨维特里拜·普莱·浦那大学）
本文研究了简化解环零因子图的主要特征值，证明了此类图构成一个无限家族，具有恰好s个主要特征值，并且某些诱导双分子图也具有恰好s个主要特征值。
2026-05-08 math.AC math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number of the $K_{2,2}$ versus $K_{6,6}$
给定二部图$G_1, \ldots, G_n$，二部Ramsey数$BR(G_1,\ldots, G_n)$是最后一个整数$b$，使得任何边着色为$1,2,\ldots,n$的完全二部图$K_{b,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都着色为$i$。作为二部Ramsey数的另一种观点，对于给定的二部图$G_1, \ldots, G_n$和正整数$m$，$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G_1, \ldots, G_n)$被定义为最小整数$b$，使得任何具有颜色$1,2,\ldots,n$的边的完全二部图$K_{m,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都具有颜色$i$。$BR_m(G_1, G_2)$的大小，其中$G_1=K_{2,2}$和$G_2\in \{K_{3,3}, K_{4,4}\}$用于每个$m$和$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$和$BR_m(K_{2,2}, K_{5,5})$的大小用于$m$的特殊值，已经在几篇文章中确定到现在。在这篇文章中，我们计算了一些$m\geq 2$的$BR_m(K_{2,2}, K_{6,6})$的大小。
2022-02-26 math.CO
Cochordal zero divisor graphs and Betti numbers of their edge ideals
本文通过引入类型序列计算 cochordal 图边理想的分级 Betti 数，并分类了使 $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ 零因子图为 cochordal 的正整数 $n$，确定了其边理想的 Betti 数。
2024-11-12 math.AC math.CO
The boxicity of the compressed zero divisor graph of the ring of integers modulo N
Indian Institute of Science（印度科学学院）
该研究确定了模N整数环的压缩零因子图的精确盒维数，解答了相关开放问题，给出了盒维数为a-1、0或a的不同条件。
2026-08-25 cs.DM math.CO
Maximally additively reducible subsets of the integers
本文研究整数集合的加法因子，证明了包含0或不包含0的特定区间在对应子集中具有最多因子，并利用 lunar 乘法解决了相关猜想。
2019-08-14 math.CO math.NT
Note on the Rainbow $k$-Connectivity of Regular Complete Bipartite Graphs
边着色图$G$中的一条路径，如果没有两条边着色相同，则称为彩虹路径，其中相邻边可以着色相同。对于$κ$ -连通图$G$和具有$1\leq k\leq κ$的整数$k$，定义$G$的彩虹$k$ -连通度$rc_k(G)$为存在$G$的$j$ -边染色使得$G$的任意两个不同顶点通过$k$内部不相交的彩虹路连接的最小整数$j$.用$K_{r,r}$表示$r$ -正则完全二部图. Chartrand等人在“G.沙特朗约翰，K.A. McKeon，P. Zhang，The rainbow connectivity of a graph，Networks 54（2009），75-81”留下了确定整数$g(k)$的未决问题，其中对于每个整数$r\geq g(k)$，$K_{r,r}$的彩虹$k$ -连通性是3。这个简短的说明是为了解决这个问题，通过证明$rc_k(K_{r,r})=3$对于每个整数$r\geq 2k\lceil\frac{k}{2}\rceil$，其中$k\geq 2$是一个正整数。
2010-04-14 cs.DM math.CO
Wiener index of the Cozero-divisor graph of a finite commutative ring
设$R$是有单位元的环.环$R$的余零因子图，记作$Γ'(R)$，是一个无向简单图，其顶点是$R$的所有非零和非单位元素的集合，两个不同的顶点$x$和$y$相邻当且仅当$x \notin Ry$和$y \notin Rx$ .本文将文[24]中的一些结果推广到任意环上。在这方面，我们导出了有限交换环$R$的余零因子图的Wiener指标的封闭式公式.作为应用，当$R$是整数环模$n$的乘积或约化环时，我们计算了$Γ'(R)$的Wiener指标.在本文的最后部分，我们给出了一个SageMath代码来计算这类环的余零因子图的Wiener指标，包括整数模$n$的环$\mathbb{Z}_{n}$.
2022-10-04 math.CO math.RA
On interval edge-colorings of bipartite graphs of small order
如果使用所有颜色，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成整数区间，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的边染色是区间$t$ -染色。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.判定一个二部图是否是区间可着色的问题是NP-完全的。区间不可着色二部图的最小已知例子有$19$顶点。另一方面，已知在至多$14$顶点上的二部图是区间可着色的。在这项工作中，我们观察到几类小阶二部图具有区间着色。特别地，我们证明了所有在$15$顶点上的二部图都是区间可着色的。
2015-08-12 cs.DM math.CO
Periodicity of bipartite walk on biregular graphs with conditional spectra
本文研究了一类离散量子游动，称为二部游动。其中包括著名的Grover's Walks。任何离散量子行走都是由酉矩阵$U$的幂给出的，该酉矩阵由底层图的弧或边索引。如果对某个正整数$k$有$U^k=I$，则游动是周期性的。Kubota在正则二部图上定义了Grover游动，当游动的特征值不超过5个时，给出了Grover游动的周期性的一个刻画.我们推广了Kubota的结果--如果一个双正则图$G$的特征值的平方是次数不超过2的代数整数，我们用它的谱来刻画在$G$上的二部游动的周期性.利用二部游动的周期性结果，得到了正则图上Grover游动周期性的一个刻画.
2022-12-14 math.CO quant-ph
