On partitions with even parts below odd parts
最近，安德鲁斯给了一个详细的研究分区的偶数部分低于奇数部分，其中只有最大的偶数部分出现了奇数倍。在本文中，我们提供了一个组合证明的生成函数单位的这种划分。我们还对最大的偶数部分进行了进一步的调查。最后，我们给出了一个有趣的加权超划分推广。
2017-10-23 math.CO math.NT
Some Elementary Partition Inequalities and Their Implications
我们证明了各种不等式之间的分区与最大的部分上的限制和部分的出现的一些限制的数量。我们探讨了许多有趣的后果，这些分区不平等。特别是，我们表明，对于$L\geq 1$，分区与$l-s \leq L$和$s=1$的数量大于分区与$l-s\leq L$和$s>1$的数量。这里，$l$和$s$分别是分区的最大部分和最小部分。
2017-08-07 math.CO math.NT
A curious identity and its applications to partitions with bounded part differences
在本说明中，我们提出了一个奇怪的$q$系列的身份与应用程序，某些分区有界部分的差异。
2018-05-22 math.CO math.NT
Finite analogs of partition bias related to hook length two and a variant of Sylvester's map
本文研究带最大部分上界的奇划分与不同划分中长度为二的钩子数量的偏差，利用西尔维斯特映射的变体推广已有不等式，并提出并部分证明加权计数的有限偏差猜想。
2025-04-11 math.CO math.NT
Large $p$-core $p'$-partitions and walks on the additive residue graph
本文研究了既没有可被$p$整除的部分也没有可被$p$整除的钩长度的划分，称为$p$ -核心$p'$ -划分.我们发现，最大的$p$ -核心$p'$ -分区对应于最长的步行与顶点$\{0, 1, \ldots, p-1\}$和标记的边定义通过添加模$p$的图。我们还展示了一个明确的家庭大$p$ -核心$p'$ -分区，给出了一个下界的大小最大的这样的分区是相同程度的上界发现的McSpirit和小野。
2022-11-29 math.CO math.NT
A polyhedral model of partitions with bounded differences and a bijective proof of a theorem of Andrews, Beck, and Robbins
本文的主要结果是一个双射证明，证明了最大和最小部分之间的差有界的分区的生成函数是一个有理函数。这一结果是类似的密切相关的情况下，分区固定差异之间的最大和最小的部分，最近已研究通过分析方法安德鲁斯，贝克和罗宾斯。我们的方法是几何的：我们模型分区有界的差异，在一个无限的多面体圆锥体联盟的格点。令人惊讶的是，这个无限的联合平铺一个单一的单纯锥。这种构造然后导致可以在纯组合水平上解释的双射。
2015-05-01 math.CO math.NT
On the maximal part in unrefinable partitions of triangular numbers
如果一个划分为不同部分的部分之一$a$可以被两个不属于该划分的整数替换，并且其和是$a$，则该划分是可细化的，否则它是不可细化的。显然，不可精化的条件对划分施加了对最大部分的大小和部分的可能分布的非平凡限制。我们证明了$n$的不可加细划分中最大部分的一个$O(n^{1/2})$ -上界，我们称达到这个上界的最大部分为极大的。我们展示了一个完整的分类的最大不可加细分区的三角数，证明了如果$n$是偶数，只有一个最大不可加细分区的$n(n+1)/2$，如果$n$是奇数，这样的分区的数量等于分区的数量$\lceil n/2\rceil$到不同的部分。在第二种情况下，提供了显式双射。
2022-05-23 math.CO math.NT
Integer partitions with large Dyson rank
整数分区的戴森秩是它的最大部分与它包含的部分的数量之间的差。利用Fine-Dyson对称性，给出了n中秩大于n/2的分拆个数的计算公式，并证明了固定剩余类中大秩分拆个数的恒等式.
2022-06-28 math.CO math.NT
Core Partitions With d-Distinct Parts
在本文中，我们研究了$(s,s+1)$ -核心分区与$d$ -不同部分。我们得到的结果的数量和最大的大小，这样的分区，因此，我们推广熊的文件中获得的结果有关$(s,s+1)$ -核心分区与不同的部分。此外，我们提出了一个猜想$(s,s+r)$ -核心分区与$d$ -不同的部分$1 \le r \le d$。
2018-03-05 math.CO math.NT
A double bounded key identity for Goellnitz's (big) partition theorem
给定整数i，j，k，L，M，我们建立了一个新的双有界q-级数恒等式，当L，M趋于无穷大时，由该恒等式导出了Goellnitz（大）定理的Alladi-Andrews-Gordon三参数（i，j，k）关键恒等式.当L = M时，恒等式产生了Goellnitz定理的一个强精化，其中L给出的部分上有界。这是第一次有界版本的Goellnitz的（大）定理已被证明。这导致了新的有界版本的雅可比的三重产品身份的θ函数和其他基本身份。
2000-09-22 math.CO math.NT math.QA
Intersecting integer partitions: star bounds and counterexamples at every scale
Technische Universität Ilmenau（埃尔福特工业大学）；Technische Hochschule Rosenheim（罗森海姆应用技术大学）
本文研究整数分拆的最大t-相交族，证明在n≥Ak^3时典范t-星最大，并构造了Borg猜想在各尺度的反例。
2026-10-27 math.CO math.NT
Connections between colored restricted $b$-ary and ordinary partitions
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
该研究建立了带色有界普通分拆与带色二元、$b$元分拆间的联系，基于特殊递推关系得到带色$b$元分拆的恒等式及合成分拆相关结果。
2026-09-04 math.CO math.NT
A Double Bounded Version of Schur's Partition Theorem
舒尔分割定理指出，将n分割成不同部分的次数等于将n分割成相差>= 3的部分的次数，其中如果部分是3的倍数，则不等式是严格的。我们建立了一个双重有界的改进版本的这个定理强加一个界限上的部分全等0，1（mod 3）和另一个部分全等2（mod 3），并保持跟踪的数量的部分在每个剩余类（mod 3）。尽管舒尔定理的历史悠久，我们的结果是新的，并扩展了早期的工作安德鲁斯，Alladi-Gordon和Bressoud。我们给出了我们的结果的组合和q-理论证明。特殊情况下L=M导致表示的生成函数的基本分区的q-三项式系数扩展类似的先前表示的安德鲁斯。
2000-10-22 math.CO math.NT math.QA
Euler's Partition Theorem with Upper Bounds on Multiplicities
我们证明了n的具有交替和k的分区的数目，使得每个部分的重数由2m+1限定，等于n的具有k个奇数部分的分区的数目，使得每个偶数部分的重数由m限定。第一个证明依赖于与Boulet的四参数公式相关的两个具有两个参数的公式。我们还给出了一个组合证明，这一结果使用西尔维斯特的双射，这意味着一个更强的划分定理。当m=0时，我们的结果归结为Bessenrodt对Euler定理的改进。如果交替和奇数部分的数量不考虑在内，我们导致连接到一个推广的欧拉定理，这可以推导出一个定理的安德鲁斯等价的上界序列的多重性。类似地，我们证明了n的具有交替和k的分区的数目，使得每个偶数部分的重数由2m+1限定，等于n的具有k个奇数部分的分区的数目，使得每个偶数部分的重数也由2m+1限定。我们还提供了一个组合证明。
2012-08-22 math.CO math.NT
Fixed perimeter analogues of some partition results
本文受 Euler 奇偶分拆恒等式及 Straub 固定周长结果启发，研究若干经典分拆结论在固定最大 hook（周长）条件下的类比形式。
2025-02-18 math.CO math.NT
Combinatorial Extensions on Andrews and El Bachraoui's Almost-Distinct Partitions
针对Andrews和El Bachraoui提出的最小部分重复、其他部分不同的整数分拆相关恒等式，本文给出其无限族的组合证明，还研究仅最大部分可重复的类似分拆，得到不同部分分拆数的无限族不等式。
2025-08-24 math.CO math.NT
On the maximal weight of $(p,q)$-ary chain partitions with bounded parts
$(p,q)$ -ary链是一种特殊类型的整数的链划分，其中对于某些固定整数$p$和$q$，部分具有$p^aq^b$的形式。在本文中，我们感兴趣的是当它们的部分是不同的，不能超过一个给定的界限$m$的最大重量的分区。在贪婪选择失败的情况下，我们证明了这个最大的重量，作为$m$的函数，渐近独立的$\max(p,q)$，我们提供了一个有效的算法来计算它。
2013-10-22 cs.DM math.NT
Overpartitions with bounded part differences
我们推广了最近的结果Breuer和Kronholm，陈省身分区和超分区之间的最大和最小的部分有界差异。我们证明我们的推广分析和组合。
2018-05-22 math.CO math.NT
On Euler's Theorem
本文在欧拉定理的基础上，证明了互异部分分拆数与奇数部分分拆数还等于两类新定义分拆的计数，从而给出欧拉定理的推广恒等式。
2025-11-06 math.CO math.NT
Moments of partition statistics, Bell polynomials and Eisenstein-type series
Kangwon National University（江原国立大学）；Seoul National University of Science and Technology（首尔科学技术大学）
本文通过完全Bell多项式及其反演公式和Faà di Bruno公式，发展了一种将组合统计量矩的生成函数表示为划分迹的系统方法，并应用于整数划分的最大部分、划分crank和rank以及单峰序列rank等统计量。
2026-05-29 math.CO math.NT
Identities involving the number of missing integers in partitions - combinatorial proofs
St. Mary’s University（圣玛丽大学）；College of the Holy Cross（圣十字学院）
针对Bhoria等人关于分拆中缺失整数个数的相关结果，本文提供了组合证明，丰富了分拆组合学领域的研究内容。
2026-08-04 math.CO math.NT
Refinements of Beck-type partition identities
富兰克林的恒等式推广了欧拉恒等式，并指出，具有$j$不同部分的$n$可被$r$整除的分区数等于具有$j$重复部分的$n$的分区数。在这篇文章中，我们给出了当$j=1$ .我们证明了富兰克林的身份时，$j=1$，$r=2$分区与固定周长，即，固定最大的钩子。我们还推导出一个贝克型恒等式的分区与固定的周长：部分的数量在所有分区成奇数部分周长$M$超过部分的数量在所有分区成不同部分周长$M$等于分区的周长$M$的偶数部分的集合是一个单例。我们提供分析和组合证明我们的结果。
2022-03-31 math.CO math.NT
Using Periodicity to Obtain Partition Congruences
在本文中，我们推广了Mizuhara、Sellers和Swisher最近的工作，该工作给出了一种基于有界数量的计算来建立限制平面划分同余的方法。使用周期性的分拆函数，我们的扩展技术可能是一个有用的工具来证明某些类型的组合函数的基础上有限数量的计算同余。作为结果的应用，我们建立了新的和已有的限制平面分拆同余、限制平面超分拆同余以及限制分拆同余的几个例子。
2017-04-13 math.NT
Sequentially congruent partitions and related bijections
我们研究一类奇怪的分区，其中的部分服从一个非常严格的同余条件，我们称之为“顺序同余”：$m$第th部分是全等的$(m+1)$第th部分模$m$，与最小的部分全等为零模的分区的长度。事实证明，这些看起来模糊的物体是以一种自然的方式嵌入在划分理论中的。我们证明了具有最大部分$n$的序列全等划分与$n$的划分是双射的。此外，我们证明了顺序全等划分诱导了$n$的划分和长度为$n$的划分之间的双射，其部分服从严格的“频率全等”条件-每个部分的频率（或重数）可被该部分整除-并证明了与G有关的类似双射的族。E.安德鲁斯的理想分割理论。
2020-06-06 math.CO math.NT
Congruences for Partition Pairs with Conditions
我们证明了同余的分区对$(π_1,π_2)$的数量，使$π_1$是非空的，$s(π_1)\le s(π_2)$，和$\ell(π_2)< 2s(π_1)$其中$s(π)$是最小的部分和$\ell(π)$是最大的部分的分区。证明使用贝利引理和广义兰伯特系列身份的陈。我们还讨论了如何分区对曲柄给这些同余的组合加细。
2015-04-09 math.NT
Core partitions into distinct parts and an analog of Euler's theorem
Anderson的一个优美结果的一个特例证明了$(s,s+1)$ -核划分的个数是有限的，并且由Catalan数$C_s$给出。Amdeberhan最近证实，划分为不同部分的$(s,s+1)$核心分区的数量等于斐波那契数$F_{s+1}$。我们证明了这一猜想枚举，更一般地说，$(s,ds-1)$核心分区到不同的部分。我们通过将它们与嵌套的无孪生集的某些元组相关联来做到这一点。作为我们的结果的副产品，我们得到了一个双射分区成不同的部分和分区成奇数部分，这保持了周长（即，最大的部分加上部分的数量减去$1$）。欧拉定理的这个简单但奇怪的类比似乎在关于划分的文献中找不到。
2016-01-26 math.CO math.NT
On partitions with fixed number of even-indexed and odd-indexed odd parts
这篇文章是一个广泛的研究与固定数量的奇数和偶数索引奇数部分的划分。我们利用这些划分推广了C. Savage和A.席尔斯此外，我们推导出显式公式的生成函数的分区上的最大部分，部分的数量和BG-秩的固定值或与一个固定值的交替和的部分上的界限。我们推广了C. Boulet的方法，并由此得到了高斯二项式系数的四变量推广。此外，我们提供了组合解释的Rogers-Szego多项式的Berkovich-Warnaar身份。
2016-04-09 math.CO math.NT
Statistics for Unimodal Sequences
我们证明了一些限制分布的统计单峰序列的正整数适应的概率框架Fristedt介绍的整数分区。将Fristedt技术的直接模拟应用于单峰序列的困难在于，划分的生成函数是无穷乘积，而单峰序列的生成函数不是。从本质上讲，我们通过对最大部分的大小进行调节并统一处理贡献的被加数来解决这个问题。我们的框架可以用来推导出许多分布，我们的结果包括最大部分的联合分布和小部分的多重性。我们也讨论等级。我们进一步得到了强单峰序列的类似结果。
2022-01-19 math.CO math.NT
A Comparison of Integer Partitions Based on Smallest Part
对于正整数$n, L$和$s$，考虑以下两个集合，这两个集合都包含$n$的分区，其最大部分和最小部分之间的差由$L$界定：第一个集合包含具有最小部分$s$的分区，而第二个集合包含具有至少$s+1$的最小部分的分区。设$G_{L,s}(q)$为生成序列，其$q^n$的系数为上述两组划分的大小之差。该发电系列由Berkovich和Uncu于2019年推出。先前的结果集中在病例$s=1$和$s=2$中的$G_{L,s}(q)$非阴性。在本文中，我们证明了$G_{L,s}(q)$对一般s的最终正性，并找到了$s=3$的精确非负性结果。
2022-05-16 math.CO math.NT
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
2023-08-17 math.CO math.NT
Asymptotics of Reciprocal Supernorm Partition Statistics
本文研究整数划分上超范数倒数之和的统计量，在大小、周长和最大部分三个系综下，证明其累积统计量均渐近于 e^γ log n。
2023-08-29 math.CO math.NT
Asymptotics for the twisted eta-product and applications to sign changes in partitions
我们证明了渐近公式的复系数的$(ζq;q)_\infty^{-1}$，其中$ζ$是一个根的单位，并应用我们的结果来确定二级条款的渐近$p(a,b,n)$，整数分区的$n$与最大部分全等$a$模$b$。我们的结果意味着，作为$n \to \infty$，差异$p(a_1,b,n)-p(a_2,b,n)$为$a_1 \neq a_2$振荡像余弦，当重整化的初等函数。此外，我们给出了$\{p(a,b,n)\}_{1 \leq a \leq b}$的任意线性组合的渐近公式。
2022-08-29 math.CO math.NT
Races among products
我们将重新审视1987年拉比埃什普雷斯的问题。其中，我们将给出对任意L，n>0和任意奇数y>1，P_1（L，y，n）>=P_2（L，y，n）的一个初等内射证明。这里，P_1（L，y，n）表示将n划分为与1、y+2或2 y mod 2（y+1）全等的部分的数目，其中最大部分不超过2（y+1）L-2，P_2（L，y，n）表示将n划分为与2、y或2 y +1 mod 2（y+1）全等的部分的数目，其中最大部分不超过2（y+1）L-1。
2012-07-12 math.CO math.NT
Fixed Perimeter Analogues of Several Partition Results Related to Parity
University of Dayton（代顿大学）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
该研究将奇偶性偏差不等式等分拆相关结果扩展至固定周长场景，推导了两类特殊分拆的递归公式，推广了经典分拆理论的相关结论。
2026-08-04 math.CO math.NT
Bounded Lüroth expansions: applying Schmidt games where infinite distortion exists
我们证明了具有有界Lüroth展开（或有界Lüroth级数）的数的集合是获胜的和强获胜的。从任何一个获胜的性质，它立即遵循的集合是密集的，有完整的豪斯多夫维数，并满足可数交集性质。我们的结果匹配著名的类似结果有界连分数扩展，或等价地，严重逼近的数字。我们注意到Lüroth展开有一个可数无限的马尔可夫分割，这导致了无限失真的概念（在马尔可夫分割的意义上）。
2012-10-24 math.DS math.NT
The butterfly sequence: the second difference sequence of the numbers of integer partitions with distinct parts, its pentagonal number structure, its combinatorial identities and the cyclotomic polynomials 1-x and 1+x+x^2
在作者以前关于扭相对顶点算子代数和扭相对顶点算子模的雅可比恒等式以及仿射李代数的生成函数恒等式的基础上，我们解释了不同部分整数分拆个数序列的二阶差序列（严格划分）作为n的严格划分的序列，至少有三个部分，三个最大的部分是连续的，而最小的部分至少是两个。蝴蝶这个名字既描述了序列的解释，也描述了正整数m的两个最大部分连续的严格划分的集合与m+1的同类严格划分的子集之间的基本双射。利用分圆多项式1-x和1+x+x^2，计算了蝴蝶序列及其相关序列的生成函数恒等式，它们既是无穷乘积，又是按相应分块的部分数过滤的级数，并且我们看到，正整数n的奇数部分大于或等于5的分块数是蝴蝶序列的三个连续项之和.我们还确定了一个微妙的合并和分裂建设的蝴蝶序列作为一个序列的一些分区的奇数部分大于或等于3，我们提供了一个相关的详细解释的蝴蝶序列作为一个序列，我们定义为广义五边形，五边形与多米诺骨牌，和非五边形蝴蝶分区。最后，欧拉的五边形数定理和Jacobi三重积的稍微不同的特殊化导致递归算法来计算蝴蝶序列和使用五边形数序列和三角幂级数的相关序列。
2018-04-26 math.NT
On partitions into squares of distinct integers whose reciprocals sum to 1
本文研究将整数分拆为不同正整数平方且倒数之和为1的问题，证明了8542是最大的不可分拆整数，从而确定了Graham猜想中分拆存在性的精确界限。
2018-04-23 cs.DM math.NT
