AI 中文总结
研究证明对于足够大的n，存在长度为c n log n的区间不包含前n个正整数的不同倍数系统，利用了平滑数障碍和局部鞍点估计。
AI 中文摘要
对于正整数\(n\)和\(m\)，令\(f(n,m)\)为最小整数\(h\geq0\)，使得\((m,m + h]\)包含满足\(i\mid a_i\)（\(1\leq i\leq n\)）的不同整数\(a_1,\ldots,a_n\)，并设\(F(n)=\max_{m\in\mathbb{N}} f(n,m)\)。范·多恩的一个定理给出了对于足够大的\(n\)，\(F(n)-f(n,n)>0.36n\log n / \log\log n\)。我们证明了\(\liminf_{n\to\infty} \frac{F(n)-f(n,n)}{n\log n} \geq \frac{1}{\mathrm{e}}\)。这意味着对于每个固定的\(c < 1/\mathrm{e}\)和所有足够大的\(n\)，某个长度为\(c n\log n\)的区间不包含\(1,2,\ldots,n\)的两两不同倍数的系统。证明在起始点\(m\asymp n\log n\)处应用了埃尔德什 - 波默兰斯平滑数障碍，并使用了希尔德布兰德和特嫩鲍姆的局部鞍点估计。
英文摘要
For positive integers $n$ and $m$, let $f(n,m)$ be the least integer $h\ge0$ such that $(m,m+h]$ contains distinct integers $a_1,\ldots,a_n$ satisfying $i\mid a_i$ for $1\le i\le n$, and put $F(n)=\max_{m\in\mathbb{N}} f(n,m)$. A recent theorem of van Doorn [INTEGERS, 2026; arXiv:2601.16972] gives $F(n)-f(n,n)>0.36\,n\log n/\log\log n$ for sufficiently large $n$. We prove \[ \liminf_{n\to\infty} \frac{F(n)-f(n,n)}{n\log n} \ge \frac{1}{\mathrm{e}}. \] Thus, for every fixed $c<1/\mathrm{e}$ and all sufficiently large $n$, some interval of length $c\,n\log n$ contains no system of pairwise distinct multiples of $1,2,\ldots,n$. The proof applies an Erdős--Pomerance smooth-number obstruction at starting points $m\asymp n\log n$, using local saddle-point estimates of Hildebrand and Tenenbaum.
Comments19 pages
