A note on congruences modulo 7 and 11 for two restricted partition functions
Institute of Mathematics, University of the Philippines Diliman（菲律宾大学迪利曼大学数学研究所）
本文通过q级数技术研究了某些受限划分函数在7和11模下的同余关系，并推广了之前使用模形式方法得到的结果。
2026-09-18 math.CO math.NT
Counting solutions of quadratic congruences in several variables revisited
令$N_k(n,r,\boldsymbol{a})$表示二次同余方程式$a_1x_1^2+\ldots+a_kx_k^2\equiv n$（mod $r$）的非全等解的个数，其中$\boldsymbol{a}=(a_1,\ldots,a_k)\in {\Bbb Z}^k$，$n\in {\Bbb Z}$，$r\in {\Bbb N}$ .我们给简短的直接证明某些鲜为人知的紧公式$N_k(n,r,\boldsymbol{a})$，有效的$r$奇，这可以追溯到闵可夫斯基，巴赫曼和科恩的工作。我们还推导了一些文献中没有的相关恒等式和渐近公式。
2014-11-20 math.NT
Bijections between Variants of Dyck Paths and Integer Compositions
本研究建立了特定长度的Dyck路径变体与整数分拆间的双射关系，二者均由$4^{n-1}$计数，并借此得到了如同余结果等新的数学联系。
2024-06-24 math.CO math.NT
Counting permutations by congruence class of major index
考虑S_n，n个字母上的对称群，设maj pi表示置换pi在S_n中的主指数.给定正整数k，l和非负整数i，j，定义m_n^{k，l}（i，j）：= S_n中π的个数使得maj pi = i（mod k）和maj pi^{-1} = j（mod l）。我们证明了：如果k，l是互素且至多为n，则m_n^{k，l}（i，j）= n！/ (kl)令人惊讶的是，它不依赖于i和j。等式，如果m_n^{k，l}（i，j）被解释为矩阵m_n^{k，l}的（i，j）项，则这是在所述条件下的常数矩阵。推广了这个双射，得到了更一般的结果：当d至少为1且k，l互素时，矩阵m_n^{kd，ld}允许块分解，其中每个块是矩阵m_n^{d，d}/（kl）.我们还给出了m_n^{n，n}的一个显式公式，并证明了如果p是素数，则m_{np} ^{p，p}有一个简单的块分解.为了证明这些结果，我们使用了对称群的表示论和某些限制性洗牌。
2005-12-30 math.CO math.NT
2-Elongated Plane Partitions and Powers of 7: The Localization Method Applied to a Genus 1 Congruence Family
本文针对亏格为正的模曲线场景调整现有技术，研究2-拉长平面分拆菱形计数函数$d_2(n)$关于7的幂的亏格1同余族，对比相关方法并猜想另一适用类似技术的同余族。
2025-06-05 math.NT
Congruence preserving functions in the residue class rings of polynomials over finite fields
本文类似于整数情形，定义了有限域上多项式的剩余类环上的同余保持函数。建立了这类保同余函数的计数公式，确定了所有保同余函数都是多项式函数的充要条件，并刻画了这类函数.
2019-10-21 math.NT
Congruences for an analogue of Lin's partition function
Institute of Mathematics, University of the Philippines Diliman（菲律宾大学达曼数学研究所）
研究了林受限分区函数类比B(n)的算术性质，通过q级数技术和模函数建立模2、3、5、7和9的拉马努金型同余式。
2026-01-08 math.CO math.NT
Congruences Modulo Powers of 7 for the Reciprocal Crank Parity Function
Shanghai University（上海大学）；Newtouch Center for Mathematics of Shanghai University（上海大学新触数学中心）
本文研究了 reciprocal crank 奇偶函数在 7 的幂次模下的新 congruences，扩展了之前关于 crank 奇偶函数算术性质的研究。
2025-12-26 math.CO math.NT
Uniform congruence counting for Schottky semigroups in $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$
设$Γ$是$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$中的一个Schottky半群，对于$q\in \mathbf N$，设$Γ(q):=\{γ\in Γ: γ= e \text{ (mod $ q $)}\}$是它的同馀子半群.我们证明了以下关于半径为$R$的$M_2(\mathbf{R})$中的欧几里德范球族$B_R$的一致同余计数定理：对于所有不具有小素因子的$q$，对于某些独立于$q$的$c_Γ>0, C>0, ε>0$，$ (Γ(q) \cap B_R )= c_Γ\frac{R^{2δ}}{ (\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}))} +O(q^C R^{2δ-ε})$作为$R\to \infty$。我们的技巧也适用于给出$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$的连分数半群的一个类似的计数结果，这是在研究关于连分数的Zaremba猜想中出现的。
2017-09-07 math.DS math.NT
Congruences modulo powers of $3$ for generalized Frobenius partitions $CΨ_{6,0}$
Shanghai University（上海大学）
本文研究了$(6,0)$彩色弗罗贝尼乌斯划分函数$cψ_{6,0}(n)$，通过阿特金-勒文纳逆运算建立生成函数关系，并证明其对3的幂次的同余式。
2026-04-16 math.CO math.NT
A Family of Congruences for Rogers--Ramanujan Subpartitions
在2015年，Choi、Kim和Lovejoy研究了一个加权分拆函数$A_1(m)$，它计算了具有与罗杰斯-拉马努金恒等式相关的结构的子分区。他们证明了$A_1(m)$模幂为5的无穷类同余的存在性。我们给出了这个猜想的一个显式形式，并证明了它的所有权力的5。
2020-04-05 math.NT
Decay of weighted cusp counts for congruence subgroups of $SL_2$ over number fields
Université Paul Sabatier（图卢兹第三大学）；Institut de Mathématiques de Toulouse（图卢兹数学研究所）
研究数字段上 $SL_2$ 合同子群的加权尖点计数，证明总加权尖点计数与群指数的比值被合同水平范数的负幂所限制，推广了 Cox--Parry 关于有理数域的结果，并支持尖点项在拓扑、算术和表示论公式中为次主导项的猜想。
2026-07-28 math.AG math.GR math.NT
Elementary Proofs and Generalizations of Recent Congruences of Thejitha and Fathima
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
本文针对Thejitha和Fathima提出的、计数特定着色分拆的函数$a_5(n)$的类Ramanujan同余式，用生成函数运算与初等$q$-级数分拆的纯初等方法给出证明，并将结果推广为无穷族可除性性质。
2025-10-02 math.CO math.NT
New Congruences Modulo 2, 4, and 8 for the Number of Tagged Parts Over the Partitions with Designated Summands
最近，Lin引入了两个新的分拆函数PD $_t(n)$和PDO $_t(n)$，它们计算在$n$的所有分区上具有指定被加数的标记部分的总数，以及在$n$的所有分区上具有指定被加数的标记部分的总数，其中所有部分都是奇数。Lin还证明了PD $_t(n)$和PDO $_t(n)$的模3和模9的一些同余，并证明了模8的一些同余.最近，Adansie，Chern和Xia发现了PD $_t(n)$的两个新的模9同余无限族。本文证明了Lin所证明的模8同余，并发现了许多新的模2的小幂同余和无穷族。
2018-10-25 math.NT
Counting linear congruence systems with a fixed number of solutions
本文研究模 $p^s$ 环上具有恰好 $p^j$ 个齐次解的 $n \times m$-矩阵计数问题，提出递归方法并给出 $j\le s$ 且 $n\ge m$ 时的显式公式，推广了经典域情形的结果。
2025-07-07 math.CO math.NT
Some congruences for $(\ell, k)$ and $(\ell, k, r)$-regular partitions
令$b_{\ell, k}(n), b_{\ell, k, r}(n)$分别计数$(\ell, k)$、$(\ell, k, r)$ -规则分区的数目。本文给出了当$ (\ell, k) = (3,8), (4, 7)$为$b_{\ell, k}(n)$模$2$时，$b_{\ell, k}(n)$模$8$，模$9$和模$12$当$(\ell, k) = (4, 9)$时，$b_{\ell, k, r}(n)$模$2$当$(\ell, k, r) = (3, 5, 8)$时的无穷族同余式.
2023-03-24 math.NT
Some congruences for $(s,t)$-regular bipartitions modulo $t$
在这项工作中，我们研究的功能$B_{s,t}(n)$，它计数的$(s,t)$ -定期二分区的$n$。最近，许多作者证明了$B_{3,11}(n)$的模$11$同余、$B_{3,s}(n)$的模$3$同余和$B_{5,s}(n)$的模$5$同余的无穷族.最近，Kathiravan证明了几个无穷族的同余模$11$，$13$和$17$的$B_{5,11}(n)$，$B_{5,13}(n)$和$B_{81,17}(n)$。本文证明了$B_{2,15}(n)$的模$5$、$B_{7,11}(n)$的模$11$、$B_{27,11}(n)$的模$11$和$B_{243,17}(n)$的模$17$的同余的无穷族.
2019-10-15 math.NT
A Family of Congruences Modulo 7 for Partitions with Monochromatic Even Parts and Multi--Colored Odd Parts
School of Mathematics, UNSW（新南威尔士大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校数学与统计系）
本文推广了Amdeberhan和Merca的整数划分函数a(n)，定义了一个无限族，并通过生成函数和q级数恒等式证明了该族函数满足无穷多个模7同余式。
2026-06-08 math.CO math.NT
Counting factorisations of monomials over rings of integers modulo $N$
一个尖锐的界限，获得的方式来表达单式$X^n$作为一个产品的线性因子超过$\mathbb{Z}/p^α\mathbb{Z}$。证明依赖于一个归纳规模的程序，这是用来估计的解决方案的数量，以一定的系统多项式同余。该方法也适用于更一般的系统的多项式同余，满足非退化假设。
2017-11-15 math.CA math.NT
Congruences for Overcubic Partition $k$-Tuples
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
利用生成函数证明超立方分拆 $k$ 元组的新同余式族，包括模 2 的幂和奇数模的同余性质，如 $\OL{b}_{4}(22m+11)\equiv0\pmod{11}$ 和 $\OL{b}_{9l+2}(9m+3)\equiv0\pmod{3}$。
2026-09-30 math.CO math.NT
Congruences for the Andrews--Uncu partition function $\mathcal{EO}_u(n)$
Tezpur University（特普尔大学）；B. Borooah College (Autonomous)（B·博鲁阿学院（自治））；Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）；Assam Skill University（阿萨姆技能大学）
本文研究 Andrews--Uncu 分拆函数 $\mathcal{EO}_u(n)$，证明了模 $2$ 幂的多个同余式、无限同余式族及递推关系，方法结合初等、算法与模形式技术。
2026-09-30 math.NT
Integer sequences counting periodic points
提出了数论与动力系统之间的对话。一个组合装置给出了一列非负整数对动力系统中的周期点计数的充要条件。本文将其应用于研究具有周期点的线性递归序列。研究了整数序列的$p$ -部分本身计数周期点的方法.梅森序列提供了一个例子，伯努利数的乘法器提供了另一个例子。该方法给出了许多经典同余的动力学解释，如矩阵的Euler-Fermat，并建议伯努利数满足的经典Kummer同余。
2002-04-13 math.DS math.NT
The Combinatorics of Weighted Vector Compositions
向量$\mathbf{\ell}$的向量合成是矩阵$\mathbf{A}$，其行的和为$\mathbf{\ell}$。我们将加权向量合成定义为其中$\mathbf{A}$的列值可以以不同颜色出现的向量合成。我们从不同的角度研究向量合成：（1）我们展示了它们如何与随机向量的和相关，以及（2）它们如何允许推导出复合函数的偏导数的公式。(3)我们研究了加权向量合成数的同余性质，对于固定和任意数目的部分，其中许多类似于普通的二项式系数和相关量。利用中心极限定理及其多元母函数，（4）研究了加权向量复合数的几种特殊情形的渐近性质。最后，（5）在加权向量合成的背景下，我们猜想了Mann和Shanks的素性准则的一个推广。
2018-08-25 cs.DM math.CO math.NT
Euler-type Recurrence Relations for Partition Functions with Congruence Conditions
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
该研究针对模$\delta$同余于0或$\pm g$的分拆函数$p_{\delta,g}(n)$，利用广义戴德金η函数与Rankin-Cohen括号推导欧拉型递推关系，还得到$\delta=5$的显式递推、拉马努金型同余及拉德马赫型公式。
2026-07-31 math.NT
Universal Shift Congruences for Weighted Permutation Sequences
Northeastern University（东北大学）
本文提出加权置换序列的通用移位同余规则，确定其适用最大模数，证明素数2的特殊性，应用该规则证明Bala猜想及多个OEIS序列的同余与整除性，涉及101个OEIS序列。
2026-10-14 math.CO math.NT
The Weyl law for congruence subgroups and arbitrary $K_\infty$-types
设$G$是$\mathbb{Q}$上的约化代数群，$Γ\subset G(\mathbb{Q})$是算术子群.设$K_\infty\subset G(\mathbb{R})$是极大紧子群.研究了固定$σ$型$K_\infty$的$L^2(Γ\backslash G(\mathbb{R}))$中$G(\mathbb{R})$正则表示的尖点谱和剩余谱的计数函数的渐近行为.由Sarnak提出的一个猜想指出，$σ$型尖形谱的计数函数满足外尔定律，剩余谱是低阶增长的。利用Arthur迹公式，我们把这个猜想归结为一个关于$L$ -函数出现在Eisenstein级数常数项中的问题.如果$G$满足Finis和Lapid提出的性质（L），我们建立了猜想.这包括数域上的经典群。
2023-02-04 math.NT math.RT
Colored compositions, Invert operator and elegant compositions with the "black tie"
本文展示了如何研究整数的有色合成揭示了一些意想不到的和原始的连接与反运算符。Invert操作符成为解决直接计算任何着色的着色组合的数量的问题的重要工具。从这种关系中产生的有趣的结果也给出了一个直接和简单的标准，以确定一个整数序列是否计数的一些彩色组合物的数量。加泰罗尼亚和斐波那契数的应用自然出现，允许明确回答一些开放的问题。此外，有色成分的定义与“黑领带”提供了简单的组合证明一个新的身份，涉及多项式系数和一个新的闭公式的反演运算符。最后，带“黑领结”的彩色合成给出了卷积算子的一种新的组合解释，并给出了一种新的计算彩色合成份数的简便方法。
2014-09-23 math.CO math.NT
Congruences and density results for partitions into distinct even parts
本文研究偶数部分互异的分拆函数 ped(n)，利用 Radu 算法、Newman 结果及 Hecke 算子幂零性，证明了模 192、24 及任意 2 的幂的无限族同余式，并证明 ped(9n+7) 关于若干模数是缺项的。
2025-03-08 math.NT
Some Observations on Modulo 5 Congruences for 2-Color Partitions
2色分区可以被认为是自然数$n$的常规分区的扩展，其中$p_{k}(n)$被定义为$n$的2色分区的数量，其中2种颜色中的一种仅出现在是$k$的倍数的部分中。在本文中，我们记录的模5同余关系$p_{k}(25n + 24 - k) \equiv 0 \pmod{5}$的$k \in \{1, 2, \ldots, 24\}$的完整的特征，与2色配分函数$p_k(n)$，提供参考现有的结果$k \in \{1, 2, 3, 4, 7, 8, 17\}$，简单的证明$k \in \{5, 10, 15, 20\}$为了完整性，并在所有剩余的情况下反例。我们还在$k = 4$的情况下提出了另一种证明，不使用Rogers-Ramanujan比率，从而使证明与Ahmed，Baruah和Ghosh Dastidar的证明相比简单得多（JNT 2015）。
2018-01-28 math.NT
Weak approximation results for quadratic forms in four variables
令$F$是四个变量的二次型，令$m\in\mathbb{N}$和令$\mathbf{k}\in \mathbb{Z}^4$。我们用$\mathbf{x}\equiv \mathbf{k}\:\mathrm{mod}(m)$计算$F(\mathbf{x})=0$的整数解。我们可以将其与计算$F(\mathbf{x})=0$的解的类似问题进行比较，而不需要同余条件。事实证明，添加同余条件有时会得到与齐次情况非常不同的主项。特别地，存在问题的原始解的数量为$0$，而非限制解的数量为非零的示例。
2017-04-03 math.NT
On $t$-core towers and $t$-defects of partitions
我们研究生成函数计数的大小$t$核心分区，更一般地说，更高的行在$t$核心塔的大小。然后，我们使用这些结果来获得的平均大小的$t$缺陷的分区，以及一些好奇的同余式的渐近。
2015-09-22 math.CO math.NT
$p$-adic model theory, $p$-adic integrals, Euler products, and zeta functions of groups
本文综述了Denef关于$p$ -adic积分的合理性定理，它在$p$中的一致性，相关的模型论，以及在局部域的整数环上Chevalley群的同余式中计算群生成的幂零群的子群和共轭类的一些应用.然后，我们的状态结果的分析性质的欧拉产品，这样的$p$ -进积分在所有$p$，和应用程序计数共轭类的同余式的某些代数群的有理数。然后，我们简要地讨论了zeta函数所产生的可定义的等价关系和$p$ -进消除imginaries，其中有应用程序的计数表示的群体。
2020-07-17 math.LO math.NT
Weak Weyl's law for congruence subgroups
设$G$是$\Bbb Q$上的连通和单连通半单代数群，$Γ\subset G(\Bbb Q)$是一个算术子群.设$K_\infty\subset G(\Bbb R)$是极大紧子群，$d$是对称空间$G({\mathbb R})/K_\infty$的维数.设$σ$是$K_\infty$的不可约酉表示.证明了对每个$Γ$，存在一个有限指标的正规子群$Γ_1\subset Γ$，使得$Γ_1$ -权$σ$和$T^{d/2}$的尖谱的计数函数的商有一个正下界为$T\to\infty$ .
2004-04-02 math.NT math.RT math.SP
Congruences for the partition function $\text{PDO}_t(n)$ modulo powers of $2$ and $3$
本文针对 Lin 关于 $\text{PDO}_t(n)$ 的猜想，提出新方法研究其关于 $3$ 的幂和 $2$ 的幂的同余式，建立了无穷多个模 $8$、$32$ 的同余式并证明若干小幂次同余式。
2023-07-10 math.NT
A congruence family modulo powers of 5 for generalized cubic partitions via the localization method
本文利用 Banerjee-Smoot 局部化方法，在模曲线 X_0(10) 上证明了广义三次分拆函数 a_3(n) 模 5 幂的同余族，推广了 Watson-Atkin 方法。
2025-08-07 math.NT
The congruence kernel of an arithmetic lattice in a rank one algebraic group over a local field
设k是一个整体域，k_v是k关于v的完备化，k的非阿基米德位置。设\mathbf{G}是k上的连通单连通代数群，它是k_v-秩1的绝对几乎单的.设G= \mathbf{G}（k_v）.设Γ是G中的一个算术格，C=C（Γ）是它的同余核. Lubotzky证明了C是无限的，证实了塞尔的一个早期猜想。本文通过确定C的结构，给出了\Gamm $的同余子群问题的完全解.证明了C是一个自由profinite积，其因子之一是可数生成元上的自由投射有限群\hat{F}_ω.从我们的结果中最令人惊讶的结论是，C的结构只取决于k的特征。C的结构在一些特殊情况下是已知的。其中最重要的例子可能是（非均匀）例子Γ=SL_2（\mathcal{O}（S）），其中\mathcal{O}（S）是k中的S-整数环，S=\{v\}，它在德林费尔德模理论中起着核心作用。证明利用了Lubotzky的分解定理，该定理产生于Γ在与G相关联的Bruhat-Tits树上的作用。
2007-10-22 math.GR math.NT
Sums of two squares and a power
本文推广了Jagy和Kaplansky以及本文作者的结果，证明了对于所有的$k\geq 3$，存在无穷多个正整数$n$，对于正整数$x,y,z$，不能写成$x^2+y^2+z^k=n$，其中对于$k\not\equiv 0 \bmod 4$，对$z$施加了一个同余条件.这些例子是有趣的，因为对于这些$n$的表示本身没有一致性障碍。这样，我们提供了一个新的家庭的反例哈塞原则或强逼近。
2016-07-09 math.NT
On Ruzsa's conjecture on congruence preserving functions
Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet, ICJ UMR5208（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、里昂中央理工学院、里昂国立应用科学学院、让·莫奈大学、ICJ联合研究单位5208）
本文证明了在生成函数在x=0处至多有两个奇向量方向时，保持同余的整数序列必为多项式序列，从而推进了鲁兹猜想的研究。
2026-03-10 math.NT
Expanding maps and continued fractions
我们得到了与连分数有关的半群同余格点计数的误差项的能量节省。这是通过调整Oh和Winter（2014）最近工作中的参数来完成的，这些参数在同余方面为某些转移算子提供了统一的界限。我们的论点也建立在Naud（2005）和Bourgain，Gamburd和Sarnak（2011）的工作基础上。我们得到的结果，以及我们在续集中强调的关于$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$的乘法组合数学的某些猜想，可以用来改进Bourgain和Kontorovich（2014）关于Zaremba猜想的工作中的例外集的大小。
2015-02-08 math.DS math.NT
