Around matrix-tree theorem
推广了经典的矩阵树定理，给出了具有固定2-核的图的子图计数公式。我们使用这个推广得到一个模拟的矩阵树定理的根系$D_n$（经典的定理对应于$A_n$的情况）。几个副产品的开发技术，如一个新的公式的多元Tutte多项式的专业化，是独立的利益。
2006-02-12 math.CO
Matrix tree theorem for the net Laplacian matrix of a signed graph
对于具有邻接矩阵$A$和净度矩阵$D^{\pm}$的简单符号图$G$，净拉普拉斯矩阵是$L^{\pm}=D^{\pm}-A$。我们引入了一个新的有向关联矩阵$N^{\pm}$，它可以跟踪符号以及$G$的每条边的方向。也叫$L^{\pm}=N^{\pm}(N^{\pm})^T$。利用这种分解，我们找到了由$L^{\pm}$的主子式表示的$G$的正生成树和负生成树的个数，推广了无符号图的矩阵树定理。我们提出了类似的结果，无符号网拉普拉斯矩阵$Q^{\pm}=D^{\pm}+A$随着其行列式的组合公式。
2023-01-30 math.CO
A colourful path to matrix-tree theorems
在这个简短的说明中，我们重温Zeilberger的证明经典矩阵树定理，并给出一个统一的简明证明这个定理的变种，一些已知的和一些新的。
2019-10-25 math.CO
Matrix Quasi-tree Theorem
本文提出了一种适用于所有嵌入图的矩阵准树定理，通过引入符号偏斜邻接矩阵和约简映射，证明了特定多项式能编码所有生成准树，拓展了拓扑图论中的矩阵树定理。
2025-11-30 math.CO
An Analog of Matrix Tree Theorem for Signless Laplacians
图的生成树是指在所有顶点上具有最少边数的连通子图。利用矩阵树定理给出了图$G$的生成树的个数，它是由图$G$的拉普拉斯矩阵的主子式表示的.我们显示了一个类似的组合解释的主子式的无符号拉普拉斯$Q$。我们还证明了$G$中的奇圈数小于或等于$\frac{\det(Q)}{4}$，其中等式成立当且仅当$G$是二部图或奇单圈图.
2018-05-12 math.CO
From Chio Pivotal Condensation to the Matrix-Tree theorem
MIT（麻省理工学院）
本文证明了一个行列式恒等式，它同时推广了Chio关键凝聚定理和矩阵树定理。
2026-06-17 math.CO
Abstract matrix-tree theorem
由G.Kirchhoff在1847年发现的经典矩阵树定理将nxn拉普拉斯矩阵的主子式与由具有n个顶点和单个汇点的有向树索引的矩阵元素的单项式的特定和联系起来。在本文中，我们认为这一声明的推广：对于任何k \ge n，我们定义了一个度k多项式det_{n,k}的矩阵元素，并证明了这一多项式适用于拉普拉斯矩阵给出了一个和单项式索引的无圈图与n个顶点和k条边。
2017-03-01 math.CO
The ancestral matrix of a rooted tree
给定一个具有叶子$v_1,v_2,\ldots,v_n$的有根树$T$，我们定义$T$的祖先矩阵$C(T)$为$n \times n$矩阵，其中$i$第行、$j$第列中的条目是$v_i$和$v_j$的第一共同祖先的级别（距根的距离）。我们研究这个矩阵的性质，特别是关于它的频谱：我们得到几个上限和下限的特征值的其他树参数。我们还发现了一个组合的解释$C(T)$的特征多项式的系数，并表明，对于$d$ -ary树，一个特定的值的特征多项式是独立的树的精确形状。
2018-09-10 math.CO
On distance and Laplacian matrices of trees with matrix weights
简单连通图$G$的\emph{distance matrix}是$D(G)=(d_{ij})$，其中$d_{ij}$是$G$中顶点$i$和$j$之间的距离。我们考虑一个在$n$顶点上的加权树$T$，其边权是相同大小的方阵。顶点$i$和$j$之间的距离$d_{ij}$是从$i$到$j$的唯一路径中的边的权重矩阵之和。本文利用矩阵加权Laplacian矩阵的秩给出了树的一个特征，然后给出了带权的距离矩阵$D$可逆的充要条件以及$D$的逆矩阵存在的条件.本文还研究了矩阵加权树的距离矩阵与Laplacian矩阵、g-逆和特征值的关系。
2017-10-27 math.CO
A Combinatorial Formula for Principal Minors of a Matrix with Tree-metric Exponents and Its Applications
设$T$是一个顶点集为$\{ 1,2,\dots, N \}$的树。用$d_{ij}$表示顶点$i$和$j$之间的距离。本文给出了矩阵$(t^{d_{ij}})$的主子式的一个显式组合公式，及其在热带几何、多元稳定多项式研究和赋值拟阵表示中的应用.对于与$T$相关的反对称矩阵，我们也给出了一个类似的公式.
2014-11-15 math.CO
An elementary proof of a matrix tree theorem for directed graphs
本文给出了Kirchoff矩阵树定理推广到有向赋权图的一个初等证明。该证明基于与图相关联的拉普拉斯矩阵的特定因式分解，其仅涉及捕获图的拓扑的两个关联矩阵。我们还指出如何利用这个结果来计算拉普拉斯矩阵的主特征向量。
2019-04-27 math.CO
Squared distance matrices of trees with matrix weights
设$T$是一棵树，树的$n$顶点的边权是$s$阶正定矩阵。$T$的平方距离矩阵，记为$Δ$，是具有$Δ_{ij}=d(i,j)^2$的$ns \times ns$分块矩阵，其中$d(i,j)$是唯一$(i,j)$ -路中边的权和.本文给出了$Δ$的行列式公式，并在一定条件下求出了$Δ^{-1}$.
2022-05-03 math.CO
Squared distance matrix of a weighted tree
令$T$是一棵树，其顶点集为$\{1, \ldots, n\}$，使得每条边都被分配一个非零权重。用$Δ,$表示的$T,$的平方距离矩阵是具有$(i,j)$ -元素$d(i,j)^2,$的$n \times n$矩阵，其中$d(i,j)$是$(ij)$ -路上边的权和，我们得到了$Δ.$的行列式公式，在一定条件下得到了$Δ^{-1}$的公式.结果推广了已知的公式为unweighted情况。
2018-10-15 math.CO
A Polyhedral Proof of the Matrix Tree Theorem
经典的矩阵树定理将连通图的生成树的个数与其Laplacian矩阵的非零特征值的乘积联系起来。正则拟阵类是图拟阵类的推广，矩阵树定理的推广也适用于这个更广泛的类。我们给出了一个新的，几何证明这一事实，通过解剖和重新排列的参数，两个组合不同zonotopes相关联的一个经常拟阵有相同的体积。一路上，我们证明了，对于一个正规定向拟阵表示的幺模矩阵，其余圈所张成的格与表示矩阵的行所张成的格重合。最后，通过将我们的设置扩展到加权的情况下，我们给出了新的证明安等人最近的结果。加权图，并将它们扩展到覆盖正则拟阵。没有使用的柯西-比奈定理，也没有除数理论的图形。
2014-05-09 math.CO
Spectral faux trees
该研究针对不同矩阵探讨谱伪树（非树但与树同谱的图）的存在性与构造，给出拉普拉斯矩阵无伪树、邻接矩阵几乎所有树都有同谱伪树等结论，并构造了规范化邻接矩阵下规模指数增长的伪树族。
2022-09-07 math.CO
Harmonic vectors and matrix tree theorems
本文给出了具有任意边权的有向图的拉普拉斯算子的调和向量的一个显式组合公式。这一结果是由数理经济学的问题所激发的，该公式在作者即将发表的关于交换经济中价格和货币的出现的联合著作中起着至关重要的作用。事实证明，该公式与图论中研究得很好的问题密切相关，特别是与W. Tutte和独立于R.博特和J。梅伯里。作为进一步的应用，我们得到了矩阵树定理及其推广的一个简短的新证明。柴肯
2013-09-16 math.CO
Abstract matrix-tree theorem and Bernardi polynomial
本文是arXiv：1612.03873的延续。我们证明了一个三参数族的身份（定理1.1），涉及版本的Tutte多项式的有向图介绍Awan和Bernardi在arXiv：1610.01839。这个族的一个特殊情况（推论1.6）是arXiv：1612.03873中证明的矩阵树定理的高阶推广，因此它得到了一个新的证明，比原来的证明更短（也更不直接）。这个理论对于无向图也有一个类似的版本（定理1.2）。
2017-03-12 math.CO
A weighted cellular matrix-tree theorem, with applications to complete colorful and cubical complexes
我们提出了一个版本的加权细胞矩阵树定理，适用于计算显式生成函数的高度结构化的家庭的单纯和胞腔复形的生成树。我们应用这个结果给出了Adin关于完全彩色复形的树计数公式和Duval、Klivans和Martin关于超立方体的树计数公式的加权推广。我们进一步研究了后者通过一个对数生成函数的加权树计数，并推导出另一个计数公式使用的无符号欧拉示性数的超立方体和Crapo $β$ -一致拟阵的不变量。
2018-03-15 math.CO
Spectral properties of the deformed Laplacian matrix of trees and H-join graphs
本文研究了树和H-连接图的变形拉普拉斯矩阵的谱性质，推导了树的特征值定位结果，并计算了H-连接图的谱。
2025-12-03 math.CO
Inverting non-invertible trees
如果图具有非奇异邻接矩阵，则可以使用逆矩阵来定义一个（标记的）图，该图可以被认为是原始图的逆图。已知树的邻接矩阵是非奇异的当且仅当树有唯一的完美匹配;在这种情况下，矩阵的行列式是$\pm 1$，树的逆被证明是"交换等价"于一个单图[C. Godsil，Inverses of Trees，Combinatorica 5（1985），33 - 39].使用广义逆的对称矩阵（这符合摩尔彭罗斯，Drazin，和群逆的对称情况下），我们证明了一个公式，确定一个"广义逆"的树。
2017-12-30 math.CO
Simplicial matrix-tree theorems
本文将图的生成树的定义和计数推广到任意维单纯复形$Δ$的生成树的定义和计数，推广了G.卡莱我们证明了一个单纯的版本的矩阵树定理，计数单纯的生成树，加权的阶的平方，其顶维整同调群，在拉普拉斯矩阵的$Δ$。在图形的情况下，人们可以获得一个更精细的加权生成函数的单纯生成树分配一个不定的每个顶点的$Δ$和取代的条目拉普拉斯与劳伦单项式。当$Δ$是移位复形时，我们给出了其加权Laplacian特征值的组合解释，并证明了它们唯一地决定其面集，推广了关于移位复形的阈值图和非加权Laplacian特征值的已知结果.
2008-08-21 math.CO
Oriented Hypergraphic Matrix-tree Type Theorems and Bidirected Minors via Boolean Order Ideals
保关联路径映射的约束条件给出了Laplacian矩阵和邻接矩阵的有向超图全次矩阵树定理。这些地图的图像产生一个本地签署的图形，发病率概括，周期覆盖和基本数字，对应于发病率-k-森林。当仅限于双向图时，映射的自然偏序导致不相交的符号布尔格，其次要计算对应于主阶理想。作为应用，（1）恢复了符号图Laplacian的行列式公式，并证明其由极大正无圈元决定;（2）生成树等价于单元阶理想.
2017-10-03 math.CO
Chip-Firing Games, $G$-Parking Functions, and an Efficient Bijective Proof of the Matrix-Tree Theorem
Kirchhoff矩阵树定理指出，图G的生成树的数目等于$G$的约化拉普拉斯算子的行列式的值。通过研究一个标准有限阿贝尔群，它附着在$G$上，其阶等于同一矩阵行列式的值，我们给出了这个定理的一个有效的双射证明。更具体地说，我们展示了如何可以有效地计算群元素和图的生成树之间的双射。用于计算双射的主要成分是用于在由芯片发射游戏定义的线性等价类中找到唯一的$G$ -停车函数（简化除子）的有效算法。我们也给出了应用，包括一个新的和完全代数算法生成随机生成树。其他应用包括与芯片射击游戏和沙堆群定律相关的算法，以及有关图上Riemann-Roch理论的某些算法问题。
2012-07-25 math.CO
Combinatorial Identities Using the Matrix Tree Theorem
本文利用矩阵树定理，探讨了完全图和完全二分图中生成树分布的组合解释，并推导出新的恒等式。
2025-11-25 math.CO
Generalized Matrix polynomials of Tree Laplacians indexed by Symmetric functions and the GTS poset
本文利用任意对称函数定义矩阵的广义矩阵函数，并将树拉普拉斯矩阵多项式系数在GTS偏序集上的不等式从Schur函数推广到单项式和被遗忘对称函数情形。
2019-12-06 math.CO
The level matrix of a tree and its spectrum
本文研究有根树的层级矩阵的谱性质，给出特征值及重数的界并确定极值结构，同时证明层级谱可刻画某些树，并肯定回答了关于层级能量的一个近期猜想。
2023-09-20 math.CO
Non-intersecting paths and the determinant of the distance matrix of a tree
本文通过符号反转对合与Lindström-Gessel-Viennot引理，首次给出了树的距离矩阵行列式的Graham-Pollak公式的组合证明，并为理解其现有推广与$q$-模拟提供了统一框架。
2025-05-30 math.CO
Principal minors of the distance matrix of a tree
本文针对树的距离矩阵主子式计算问题，首次给出一个组合证明，推广了 Graham 和 Pollak 等人的经典结果。
2024-07-02 math.CO
A family of matrix-tree multijections
对于一类自然的$r \times n$整数矩阵，我们构造了一个周期性平铺$\mathbb R^n$的非凸多胞体.从这个瓷砖，我们提供了一个家庭的几何意义的映射从一个广义的沙堆组的一组广义生成树，给出多射证明几个高维矩阵树定理。特别是，这些多重射可以应用于图，正规拟阵，胞腔复形与挠自由生成森林，和表示算术拟阵的多重一个基础。这推广了Backman、Baker和Yuen给出的双射，并扩展了Duval、Klivans和Martin的工作。
2021-04-26 math.CO
Average mixing matrix of trees
我们研究了树的平均混合矩阵的秩，所有的特征值不同。具有$n$不同特征值的$n$顶点上的树的平均混合矩阵的秩的上界为$\frac{n}{2}$。在树上直到$20$顶点的计算表明，秩在大多数情况下达到这个上界。我们给一个无限家庭的树，其平均混合矩阵的秩有界远离这个上界。我们还给出了树的平均混合矩阵的秩的一个下界。
2017-09-22 math.CO quant-ph
The signless Laplacian spectral radius of graphs without trees
设$Q(G)=D(G)+A(G)$是阶单图$n$的无符号拉普拉斯矩阵，其中$D(G)$和$A(G)$分别是$G$的度对角矩阵和邻接矩阵.本文给出了无树的$G$的无符号谱半径的一个精确上界，并刻画了所有达到该上界的极图，它可以看作是著名的Erdens-Sós猜想的谱极版本.
2022-09-07 math.CO
On Minimum Terminal Distance Spectral Radius of Trees with Given Degree Sequence
对于给定顶点度序列的树，其终端距离矩阵的谱半径由BFS-树（也称为贪婪树）的终端距离矩阵的平均行和从下向上限定.这个下界通常不是紧的;然而，由于BFS-树的终端距离矩阵的谱半径是自然的上界，数值模拟表明上界和下界之间的相对差距不超过3%（我们也朝着分析证明这一事实迈出了一步）。因此，BFS树在给定度序列的所有树中具有最小终端距离谱半径的猜想是正确的，其正确率至少为97%。同样的技术可以应用于树的距离谱半径，这是一个更流行的拓扑指数。
2015-07-08 math.CO
Linear algebraic techniques for weighted spanning tree enumeration
图$G$的加权生成树枚举数是图$G$中所有生成树上的边权的乘积之和。在所有边权重等于$1$的特殊情况下，加权生成树枚举器对$G$中的生成树的数量进行计数。加权矩阵树定理断言，加权生成树枚举数可以从$G$的简化加权拉普拉斯矩阵的行列式计算。然而，这个行列式并不总是容易计算的。在本文中，我们展示了如何从线性代数，矩阵行列式引理和Schur补的方法，两个著名的结果，可以用来优雅地计算几个家庭的图的加权生成树计数器。
2019-09-02 math.CO
An Explicit Formula for the Eigenvectors of Acyclic Matrices and Weighted Trees
设$A$是$n$阶非循环对称矩阵。存在加权森林$F$，其邻接矩阵为$A$。本文利用匹配多项式的一些结果，给出了$A$的特征向量的一个显式公式。
2016-09-08 math.CO
Distorted metrics on trees and phylogenetic forests
我们研究扭曲的度量二叉树的系统发育重建的背景下。给定$n$上的二叉树$T$，具有路径度量$d$，考虑叶子之间的成对距离$\{d(u,v)\}$。众所周知，这些决定了树和所有边的$d$长度。在这里，我们考虑$d$的失真$\d$，使得对于所有叶$u$和$v$，如果$d(u,v) < M$或$\d(u,v) < M$，则$|d(u,v) - \d(u,v)| < f/2$成立，其中$d$对于所有边$e$满足$f \leq d(e) \leq g$。鉴于这种扭曲，我们将展示如何在多项式时间内重建森林$T_1,...,T_α$，这样，真正的树$T$可以从该森林通过添加$α-1$边缘和$α-1 \leq 2^{-Ω(M/g)} n$。度量失真自然出现在协方差矩阵中，其中$d(u,v)$由与$u$和$v$相关联的协方差矩阵的log-det定义。与$u$和$v$相关的协方差矩阵。当$u$和$v$是“远”时，协方差矩阵的项是小的，因此由相关经验相关矩阵的log-det定义的$\d(u,v)$可能是$d(u,v)$的差估计，即使相关矩阵“接近”协方差矩阵。我们的度量结果，以显示如何重建系统发育森林的树的大小对数长度的序列的树的数量少。我们的方法也产生了一个独立的证明，系统发育树可以重建在多项式时间的多项式长度的序列下的标准假设在系统发育。度量结果及其在遗传学中的应用几乎是紧密的。
2004-03-30 math.CO
The Smith normal form of Laplacian matrices of simplicial annuli and high dimensional trees
Banco de México（墨西哥银行）；Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）；Cinvestav（墨西哥国立理工学院先进研究中心）；Facultad de Economía, Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学经济学院）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
研究单纯复形拉普拉斯矩阵的史密斯标准型，通过建立邻接图沙堆群与该标准型的关系，计算单纯环面和\(k -\)树的相关标准型，经数值实验可视化其区分\(k -\)树的效果，并指出相关矩阵在拉普拉斯矩阵中的应用。
2026-07-28 math.CO
Digraphs whose m-step competition graphs are trees
本文完全刻画了$m$阶竞争图是正整数$2\leq m < n$的星图的$n$阶有向图.矩阵形式的这个结果标识了矩阵方程$X^m(X^T)^m= Λ_n+I_n$对于正整数$2\leq m < n$的解集，其中$I_n$是$n$阶的单位矩阵，$Λ_n$是$(0,1)$布尔矩阵，使得第一行和第一列由除了$(1,1)$ -条目之外的$1$组成，其余条目是$0$，它是$n$阶的星图的邻接矩阵.我们还得到了有向图的$m$ -步竞争图是树的有意义的性质。在此过程中，我们推广了Helleloid~[Connected triangle-free $m$ -step competition graphs，Discrete Appl.]数学。145（2005）376--383]通过示出对于所有正整数$m \geq 2$和$n$，在$n$顶点上的连通无三角形$m$ -步竞争图是树。
2022-09-03 math.CO
Bilinear matrix equation characterizes Laplacian and distance matrices of weighted trees
由代数图论可知，若$L$是某棵树$G$的拉普拉斯矩阵，其顶点度序列为$\mathbf{d}=(d_1, ..., d_n)^\top$，$D$是它的距离矩阵，则有$LD+2I=(2\cdot\mathbf{1}-\mathbf{d})\mathbf{1}^\top$，其中$\mathbf{1}$是全一列向量.我们证明了如果这个矩阵恒等式对某个具有度序列$\mathbf{d}$的图$G$的拉普拉斯矩阵和某个矩阵$D$成立，则$G$本质上是一棵树，而$D$是它的距离矩阵.这个结果立即推广到加权图。如果矩阵$D$是对称的，则该矩阵单位元的下三角部分是冗余的并且可以被省略。因此，$L$、$D$和$\mathbf{d}$中的上述双线性矩阵方程根据树的拉普拉斯矩阵和距离矩阵来表征树。应用极值图论（特别是拓扑指数优化和最优树问题）和道路拓扑设计进行了讨论。
2021-01-22 cs.DM math.CO
On the covariances of outdegrees in random plane recursive trees
在2005年，Janson扩展了Mahmoud、Smythe和Szymapski的早期工作，建立了随机平面递归树的出度的联合渐近正态性。特别是，他给出了明确的描述限制协方差阵。本文的目的是为极限协方差阵提供一个基本上简化的表达式。
2014-11-21 math.CO
Unimodality and peak location of the characteristic polynomials of two distance matrices of trees
本文将树的距离矩阵特征多项式系数的单峰性结果推广到Min-4PC矩阵和2-Steiner距离矩阵，证明其系数序列单峰且对数凹，并确定了Min-4PC矩阵的峰值位置及其在$\ell_1$范数空间中的等距嵌入性质。
2024-07-03 math.CO
Grassmann-Berezin Calculus and Theorems of the Matrix-Tree Type
我们证明了矩阵树定理的两个推广。第一个，一个结果基本上是由于月球，我们提供了一个新的证明，扩展了“所有未成年人”矩阵树定理的“无条件”的情况下，行或列的总和是强加的。第二个推广是新的，它将Masbaum和Vaintrob最近发现的Pffestan-tree定理扩展为“Hyperpfestan-cactus”定理。我们的方法是非归纳的，明确的，并严格使用格拉斯曼-Berezin演算，是为现代理论物理的需要。
2003-07-08 math.AT math.CO
On the eccentricity matrices of trees: Inertia and spectral symmetry
连通图$G$的\textit{eccentricity matrix} $\mathcal{E}(G)$是从$G$的距离矩阵中获得的，通过在每行和每列中保留最大的非零项，并在剩余的1中保留零。$\mathcal{E}(G)$的特征值是$G$的\textit{$\mathcal{E}$-eigenvalues}。本文给出了树的偏心矩阵的惯性。有趣的是，任何一棵树在多于一个$4$的奇数直径顶点上都有两个正的和两个负的$\mathcal{E}$ -特征值（与树的结构无关）。一棵直径为偶数的树具有相同数量的正、负$\mathcal{E}$ -特征值，这等于“直径可区分的”顶点的数量（见定义3.1）。此外，我们还证明了树的偏心矩阵的谱关于原点对称的充要条件是树的直径为奇数。作为一个应用，我们用三个不同的$\mathcal{E}$ -特征值来刻画树。
2022-03-31 math.CO
Foata's Bijection for Tree-Like Structures
我们提出了双射枚举（k，m）-树，k-gon树，边标记（2，1）-树，和其他树状结构。我们的构造是基于Foata（1971）对无圈函数的双射，在这里进行了简化。
2000-07-25 math.CO
An improved lower bound for the Seidel energy of tree graphs
设$G$是一个顶点集为$ \lbrace v_1,\ldots,v_n \rbrace$的图. $G$的Seidel矩阵是对角元素为零的$n\times n$矩阵，如果$ v_{i} $和$ v_{j} $相邻，则第$ij$个元素是$-1$，否则是$ 1 $。定义$G$的Seidel能量（记为$ \se{G} $）为$G$的Seidel矩阵的所有特征值的绝对值之和。在\cite{aekn}中，作者证明了任意$n$阶图的Seidel能量至少为$2n-2$ .在这项研究中，我们改进了上述树图的下界。
2021-09-10 math.CO
On trees with extremal extended spectral radius
设G是n阶简单连通图，di是G中顶点v i的度。定义G的扩展邻接矩阵，使得如果顶点v_i和v_j在G中相邻，则ij项为1/2（d_i/d_j + d_j/d_i），否则为0。该矩阵最初是为了开发用于QSPR/QSAR研究的新型拓扑指数而引入的。本文考虑树的扩展邻接矩阵（也称为扩展谱半径）的最大特征值极值问题。我们证明了在所有阶数n>= 5的树中，星Sn）唯一地最小化（分别，最大化）扩展的谱半径。我们还确定了最大扩展谱半径的前五棵树。
2021-11-18 math.CO
Inertia and spectral symmetry of eccentricity matrices of some clique trees
连通图$G$的偏心率矩阵$\mathcal E(G)$是由$G$的距离矩阵得到的，保持每行和每列中最大的非零元素不变，并将剩余的1替换为0。本文考虑块至多有两个割点的团树集合$\mathcal C \mathcal T$ \textcolor{blue}{of the clique tree}。在证明了$\mathcal C \mathcal T$中团树的偏心矩阵的不可约性并求出了它的惯性指数之后，我们证明了$\mathcal C \mathcal T$中每一个顶点数大于$4$且直径为奇数的图都有两个正的和两个负的$\mathcal E$ -特征值.正的$\mathcal E$ -特征值和负的$\mathcal E$ -特征值在数量上是相等的，即使对于$\mathcal C \mathcal T$中直径为偶数的图也是如此;共享的基数也计算了\textcolor{blue}{`diametrally distinguished'}的顶点。最后，证明了$\mathcal C \mathcal T$中团树$G$的偏心矩阵的谱关于原点对称的充要条件是$G$具有奇数直径且恰好有两个相邻的中心顶点.
2022-09-12 math.CO
Pseudo-orientable ribbon graphs: Matrix--Quasi-tree Theorem and log-concavity
School of Mathematics, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院数学学院）
本文研究了伪可定向带图的性质，推导出矩阵-准树定理和对数凹性结果，并展示了非伪可定向带图的实例。
2026-08-03 math.CO
On a conjecture involving Laplacian eigenvalues of trees
受经典树算法的启发，我们在1995年设计了一个自底向上的$O(n)$算法来计算树的邻接矩阵的行列式$A$。在2010年，发现了一种$O(n)$算法，用于构造与$A + xI_n$全等的对角矩阵，$x \in \mathbb{R}$，使得人们能够容易地计算任何间隔中的特征值的数量。该算法的一个变体允许计算树中的拉普拉斯特征值。我们猜想，对于任何树$T$的顺序$n \geq 2$，至少有一半的拉普拉斯特征值小于$\bar{d} = 2 - \frac{2}{n}$，它的平均顶点度。
2017-11-08 math.CO
On the $A_α$-spectra of trees
设$G$是一个具有邻接矩阵$A(G)$的图，$D(G)$是$G$的度的对角矩阵.对于每个实数$α\in\left[ 0,1\right],$，定义矩阵$A_α\left(G\right) $为\[ A_α\left(G\right) =αD\left(G\right) +(1-α)A\left(G\right) \]，其中$0\leqα\leq1$。本文给出了树的$A_α$ -矩阵的几个结果。特别是，它表明，如果$T_Δ$是一棵树的最大程度$Δ,$，然后$A_α(T_Δ)$的谱半径满足紧不等式\[ ρ(A_α(T_Δ))<αΔ+2(1-α)\sqrt{Δ-1}. \]这个界限延伸以前的界限Godsil，Lovász，和Stevanović。证明是基于Bethe树和广义Bethe树的$A_α$ -矩阵的一些新结果。此外，还证明了一般图的$A_α$的谱半径的几个界，其中包含路和Bethe树的紧界。
2016-09-03 math.CO
A New Matrix-Tree Theorem
经典的矩阵树定理允许人们通过矩阵行列式的展开式中的单项式列出图的生成树。我们证明了在三图的情况下（即，超图的边正好有三个顶点）的生成树是由一个适当定义的矩阵的Pfidian。这个结果可以被拓扑地解释为代数分裂链接的Alexander-Conway多项式的最低阶项的表达式。我们还证明了我们的Pfwean-tree多项式的一些代数性质。
2002-02-28 math.CO math.GT math.QA
The Kirchhoff's Matrix-Tree Theorem revisited: counting spanning trees with the quantum relative entropy
通过重新讨论Kirchhoff矩阵树定理，我们给出了一个图的生成树个数的精确公式，它是由图的最大混合态与另一个态之间的量子相对熵来表示的.我们使用量子相对熵的性质来证明紧边界的基本参数，如度和顶点数的生成树的数量。
2011-02-11 cs.IT math.CO math.IT
Determinants, their applications to Markov processes, and a random walk proof of Kirchhoff's matrix tree theorem
基尔霍夫矩阵树定理是一个著名的结果，它给出了一个公式的数量的支撑树在有限的，连通图在图形拉普拉斯矩阵。一个密切相关的结果是威尔逊的算法把均匀分布的集的生成树。我们将表明，当一个遵循格雷格劳勒的战略证明威尔逊的算法，基尔霍夫定理几乎立即适用于一些基本线性代数。我们还表明，同样的想法可以适用于其他有关的一般马尔可夫链和过程的有限状态空间的计算。
2013-06-09 math.CO math.PR
Saturated Fully Leafed Tree-Like Polyforms and Polycubes
我们提出了递归公式，给出了最大数量的叶子在树状polyforms生活在二维规则晶格和树状polycubes在三维立方晶格。我们称这些树状多形和多立方体为\emph{fully leafed}。证明依赖于一个组合算法，枚举有根有向树，我们称之为丰富。在最后一部分中，我们集中讨论了多形和多立方体的特殊情况，我们称之为\emph{saturated}，它是使比率$\mbox{(number of leaves)}/\mbox{ (number of cells)}$最大化的全叶结构族。在多角情形下，我们给出了一个大小为$4k+1$的饱和树状多角集合与大小为$k$的树状多角集合之间的双射。我们表现出一个类似的双射集的饱和树状polycubes的大小$41k+28$和一个家庭的polycubes，称为$4$树，大小$3k+2$。
2018-03-24 math.CO
Minimizers for the energy of eccentricity matrices of trees
连通图$G$的偏心率矩阵，记作$\mathcal{E}(G)$，是由$G$的距离矩阵通过保留每行和每列中最大的非零元素并在其余的元素中保留零而得到的. $\mathcal{E}(G)$的特征值是$G$的$\mathcal{E}$ -特征值。$G$的偏心率能量（或$\mathcal{E}$ -能量）是$G$的所有$\mathcal{E}$ -本征值的绝对值之和。在这篇文章中，我们确定的唯一树中的最小第二大$\mathcal{E}$ -特征值的$n$以外的明星顶点的所有树。此外，我们还刻画了在所有树的$n$顶点中具有最小$\mathcal{E}$ -能量的树。
2022-08-29 math.CO
