An improved finite bound for oriented trees in tournaments
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院和LPMC）；Center for Combinatorics and LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心和LPMC）
该研究针对锦标赛中有向树的有限界问题，改进中位数排序方法，结合多叶子与少叶子情况的界，将通用界系数从21/8降至18/7。
2026-08-13 math.CO
Improved Bounds for Codes over Trees
本文改进树上码的上下界，利用图论与代数工具给出A(n,d)更紧的渐近估计，并构造出达到多项式大小的显式码。
2025-04-09 math.CO
Improved Integrality Gap for Multicommodity Flow on Trees
本文改进树上加权单位需求多商品流整数性间隙下界至2/5，通过简单打包引理和归纳着色论证分两阶段证明。
2026-09-09 cs.DS math.CO
An improved planar graph product structure theorem
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt和Wood [J. ACM 2020]证明了对于每个可平面图$G$，存在树宽不超过8的图$H$和路径$P$使得$G\subseteq H\boxtimes P$。我们通过将“树宽至多为8”替换为“简单树宽至多为6”来改进这个结果。
2021-07-31 cs.DM math.CO
The spanning tree spectrum: improved bounds and simple proofs
本文研究 n 顶点图中生成树数目 τ(G) 的可能取值个数，给出简洁组合证明将下界从 1.1103^n 改进到 1.55^n，并证明正则图可实现指数增长，同时建立了生成树数目的模对偶结果。
2025-08-23 math.CO
On Improved Bounds on Bounded Degree Spanning Trees for Points in Arbitrary Dimension
在任意维数的欧氏空间中，给定点，证明了存在一棵没有度大于3的顶点的生成树，其权至多为最小生成树权的1.559倍.我们还证明了，有一组点，使得没有最大程度的3的生成树存在，有这个比例小于1.447。我们的中心结果是基于以下主张的证明：给定欧氏空间中的$n$点和一个特殊点$V$，存在端点在$V$的Hamilton路径，该路径至多比点到$V$的距离之和长1.559倍。这些证明也导致了一种方法来找到树在线性时间给定的最小生成树。
2014-01-05 cs.CG math.CO
Improved Universal Graphs for Trees
LMU Munich（慕尼黑大学）；Munich, Germany（德国慕尼黑）
本文改进了树 universal 图的上界，提出了一种将树分为三部分的策略，并扩展到具有有限树宽的图。
2026-03-26 math.CO
Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth
树深是一个比树宽和路宽更严格的图宽参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明了存在一个常数$C$使得对于每个正整数$a,b$和一个图$G$，如果$G$的树深至少为$Cab$，则$G$的树宽至少为$a$或$G$包含一个次立方（即，树深度至少为$b$的树作为子图。作为一个直接推论，我们得到每个树深为$Ω(k^3)$的图要么树宽至少为$k$，要么包含一个深度为$k$的满二叉树的剖分，要么包含一条长度为$2^k$的路.这提高了Kawarabayashi和Rossman的$Ω(k^5 \log^2 k)$的界限[SODA 2018]。我们还展示了我们的技术的树深度的近似算法的应用：给定一个图$G$的树深度$k$和树宽度$t$，可以在多项式时间计算的树深度分解$G$的宽度$\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了源于已知结果之间的折衷的$\mathcal{O}(kt^2 \log t)$的界限。在我们的结果中的主要技术成分是一个证明，树深度$d$的每棵树包含一个子立方体树的树深度至少$d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$。
2019-09-18 cs.DM cs.DS math.CO
An improved spectral lower bound of treewidth
本研究提出了基于图的最大度和第二小拉普拉斯特征值的改进树宽谱下界，该下界优于已有结果且几乎紧，同时还给出了基于拉普拉斯最大、第二小特征值的树宽下界。
2024-04-12 cs.DS math.CO
Improved lower bounds on parity vertex colourings of binary trees
顶点着色称为\emph{parity vertex colouring}，如果在$G$中的每条路径包含奇数个出现的某种颜色。令$χ_{p}(G)$是$G$的奇偶顶点着色中的最小颜色数。我们表明，$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d} + \frac{1}{4} \log_2(d) - \frac{1}{2}$，其中$B^*$是一个细分的完全二叉树$B_d$。这改进了先前已知的界$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d}$，并增强了用于证明下界的技术。我们使用这个结果来证明$χ_{p}(T) > \sqrt[3]{\log{n}}$，其中$T$是任何具有$n$顶点的二叉树。这些下界也是无冲突着色的下界。我们还证明了$χ_{p}(G)$是不单调的未成年人，并确定其价值的周期。此外，我们还研究了计算奇偶点色数$χ_{p}(G)$的复杂性。我们证明了检查顶点着色是否是奇偶顶点着色是coNP-完全的。然后利用Courcelle定理证明了关于$k$和$G$的树宽，判断$χ_{p}(G) \le k$是否是固定参数可处理的问题.
2019-10-09 cs.DM math.CO
An improved isomorphism test for bounded-tree-width graphs
我们给出了一个新的FPT算法测试$n$ -树宽$k$的顶点图在时间上的同构$2^{k\operatorname{polylog} (k)}\operatorname{poly} (n)$，改进了Lokshtanov，Pilipczuk，Pilipczuk和Saurabh（FOCS 2014）的FPT算法，它在时间上运行$2^{\mathcal{O}(k^5\log k)}\operatorname{poly} (n)$。基于Lokshtanov等人提出的同构不变图分解技术的改进版本，证明了树宽为$k$的图的自同构群的结构上的限制。然后，我们的算法大量使用了Luks（JCSS 1982）在有界度图的同构测试中引入的群论技术，以及Babai（STOC 2016）在准多项式同构测试中引入的群论技术。事实上，我们甚至在一个地方使用Babai的算法作为黑盒。我们还给出了第二个算法，在价格稍差的运行时间$2^{\mathcal{O}(k^2 \log k)}\operatorname{poly} (n)$，避免了使用Babai的算法，更重要的是，有额外的好处，它也可以用作一个标准化算法。
2018-03-19 cs.DM cs.DS math.CO
An improved bound on the treewidth of planar graphs excluding a grid minor
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、克莱贝尔·贝尔纳·里昂第一大学）
本文改进了不含网格子式的平面图的树宽上界至4t+4，优于此前9/2t-11/2的界，并证明了一个关于2-连通平面图树分解的关键引理。
2026-09-15 cs.DM math.CO
Sharp bound on the threshold metric dimension of trees
图的阈值$k$度量维数（$\mathrm{Tmd}_k$）是当传感器的测量半径为$k$时，唯一地识别图中的任何顶点所需的传感器的最小数量-顶点集的子集，仅基于其与传感器的距离。本文给出了树的$\mathrm{Tmd}_k$的一个精确下界，它只依赖于树的顶点数$n$和测量半径$k$ .这个尖锐的下界在具有首项系数$3/(k^2+4k+3+\mathbf{1}\{k\equiv 1\pmod 3\})$的$n$中线性增长，反驳了Tillquist等人在arXiv：2106.14314中的早期假设，该假设怀疑$n/(\lfloor k^2/4\rfloor +2k)$是主阶项。我们提供了一个最大的可能的树与给定的$\mathrm{Tmd}_k$值的建设。证明我们的最佳结构不能得到改善依赖于任意（次优）树与任意解析集的边缘重新布线过程，这揭示了传感器的小子集如何测量和解析树中的某些区域的结构，我们称之为这些传感器的吸引力。“传感器吸引力”的概念在树木以外的其他情况下可能有助于解决相关问题。我们还提供了一个改进的下界上的任意树的$\mathrm{Tmd}_k$，考虑到树的结构特性，特别是，简单的路径的数量和长度的度2顶点终止于叶顶点。这个界限补充了arXiv：2106.14314，其中只考虑了没有2度顶点的树，除了单一路径的简单情况。
2021-11-16 math.CO
Improved bounds on the number of numerical semigroups of a given genus
改进了亏格G的数值半群的个数N_g的已知下界和上界。从一个已知的递归描述的树T的数值半群，我们分析了它的一些性质，并使用它们来构造近似的T生成树的节点标记的某些参数的半群。然后，我们将这些树的继承规则转化为生成函数的函数方程，并求解这些方程，以获得其边界。我们的一些边界涉及到斐波那契数，而其他的则表示为生成函数。给出了T中具有无穷多个后代的数值半群个数的上界。
2009-05-04 math.AC math.CO
Improved bounds for multipass pairing heaps and path-balanced binary search trees
我们重新审视多遍配对堆和路径平衡二叉搜索树（BST），两个经典的算法数据结构维护。配对堆是一种简单而有效的“自调整”堆，由Fredman、Sedgewick、Sleator和Tarjan在1986年提出。在多通道变体（Fredman等人描述的原始配对堆变体之一）中，最小项目是通过重复的配对循环提取的，在该循环中，相邻的兄弟被链接。Sleator（Subramanian，1996）提出的路径平衡BST是Splay树（Sleator和Tarjan，1983）的自然替代品。在路径平衡的BST中，每当访问一个项时，指向该项的搜索路径被重新排列到一个平衡树中。尽管它们很简单，但这两种算法都很难分析。Fredman等人表明，多遍配对堆中的操作需要分摊的$O(\log{n} \cdot \log\log{n} / \log\log\log{n})$时间。为了在路径平衡的BST中搜索，Balasubramanian和Raman在1995年使用不同的参数展示了$O(\log{n} \cdot \log\log{n} / \log\log\log{n})$相同的摊销时间界限。在本文中，我们显示了这两个算法之间的显式连接，并提高了两个边界$O\left(\log{n} \cdot 2^{\log^{\ast}{n}} \cdot \log^{\ast}{n}\right)$，分别为$O\left(\lo…
2018-06-22 cs.DS math.CO
The Salesman's Improved Paths: 3/2+1/34 Integrality Gap and Approximation Ratio
给出了度量$s-t$路径TSP的一个新的强多项式时间算法和改进的分析。它发现一个巡回赛的成本小于1.53倍的最佳的子巡回赛消除LP，而已知的例子表明，1.5是一个下界的完整性差距。一个关键的新想法是删除一些边的Christofides'树，这是伴随着新的论点的分析：边删除断开的树，然后部分重新连接的“奇偶校验校正”。我们表明，所产生的“连接校正”可以实现一个小的额外成本。一方面，该算法和分析扩展了以前的工具，如最佳的许多Christofides算法。另一方面，寻求强大的新工具，如分析重连成本的流问题，和越来越多的限制性的生成树，其中每一个仍然可以找到的贪心算法的建设。我们表明，这些树可以取代最好的可能Christofides算法中的凸组合的生成树。这些新方法可以将完整性比和近似保证提高到1.53以下，正如FOCS 2016上出现的本文的初步缩短版本中所述。在本文中，算法和分析已被显著简化，并添加了证明和解释的细节。
2018-08-28 cs.DM cs.DS math.CO
An improved algorithm for the vertex cover $P_3$ problem on graphs of bounded treewidth
针对有界树宽图上的顶点覆盖P_3问题，提出改进的动态规划算法，将时间复杂度从4^p·n^{O(1)}降至3^p·n^{O(1)}，并利用Cut&Count技术给出连通变体的随机算法。
2019-10-24 cs.DS math.CO
Hamiltonian chromatic number of trees
设$G$是阶为$n$的简单有限连通图.由$D(u,v)$表示的两个不同顶点$u$和$v$之间的迂回距离是$G$中的最长$uv$路径的长度。阶为$n$的图$G$的哈密尔顿着色$h$是一个映射$h : V(G) \rightarrow \{0,1,2,...\}$使得对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，$D(u,v) + |h(u)-h(v)| \geq n-1$.用$span(h)$表示的$h$的跨度是$\max\{|h(u)-h(v)| : u, v \in V(G)\}$。定义了$G$的Hamilton色数为$hc(G) := \min\{span(h)\}$，其中$G$的所有Hamilton染色$h$取最小值。本文给出了树的Hamilton色数的一个改进下界，并给出了达到改进下界的一个充要条件。利用这个结果，我们确定了两个树族的Hamilton色数。
2020-12-14 cs.DM math.CO
On Balanced Separators, Treewidth, and Cycle Rank
我们研究了图的不同宽度参数之间的关系，特别是平衡分隔数，树宽和圈秩。我们的主要结果表明，一个平衡分隔数为k的图的树宽至少为k，但圈秩至多为k（1 + log（n/k）），从而改进了Robertson和Seymour（1986）和Bodlaender等人（1995）所述的已知边界。此外，我们证明了改进的边界是最好的可能。
2013-01-16 cs.DM math.CO
Flip Distance of Non-Crossing Spanning Trees: NP-Hardness and Improved Bounds
University at Albany（奥尔巴尼大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究非交叉生成树翻转距离的NP难性及改进翻转图直径的界限，通过冲突图工具证明计算翻转距离为NP难问题，并改进翻转图直径下界。
2026-03-23 cs.CG math.CO
Three-in-a-Tree in Near Linear Time
三中树问题是确定一个简单无向图是否包含一个导出子图，该导出子图是一棵连接三个给定顶点的树。基于在二十多页中证明的一个漂亮的特征，Chudnovsky和Seymour [Combinatorica 2010]给出了以前唯一已知的多项式时间算法，在$O(mn^2)$时间内运行，以解决$n$ -顶点$m$ -边图上的三树问题。他们的三叉树算法已经成为几种最先进的图形识别和检测算法中的关键子程序。在本文中，我们解决了三个在一棵树的问题，在$\tilde{O}(m)$的时间，导致改进的算法识别完美的图形和检测θ，金字塔，甲虫，和奇数和偶数孔。我们的结果是基于一个新的和更建设性的表征比Chudnovsky和西摩。我们的新特征比原来的更强，我们的证明意味着一个新的更简单的证明原来的特征。改进后的特征化方法在速度上获得了第一因子$n$。其余的改进是基于动态图算法。
2020-04-21 cs.DM cs.DS math.CO
Finding Almost Tight Witness Trees
本文研究Witness Tree图优化问题，通过更优的见证树选择，改进了Node-Tree Augmentation及特殊图类中Steiner Tree问题的近似算法效果。
2023-05-05 cs.DS math.CO
Coloring outerplanar graphs and planar 3-trees with small monochromatic components
本文继续研究了图的顶点着色问题，只要每个单色连通分支的基数相对较小，就允许相邻的顶点具有相同的颜色。我们专注于着色与两个和三个可用的颜色，并提出了改进的边界上的单色连通组件的大小为两个有意义的子类的平面图，即最大outerplanar图和完整的平面3-树。
2019-11-25 cs.DS math.CO
Labeling Schemes for Bounded Degree Graphs
研究了度有界的图的邻接标号方案$Δ= O(1)$ .特别是，我们提出了一个最佳的（添加剂常数）$\log n + O(1)$邻接标记计划有界度树。后者的计划是来自有界度外平面图的标签计划。我们的研究结果补充了最近获得的有界深度树[Fraigniaud和Korman，SODA 10]的类似界限，并可能为关闭树[Alstrup和Rauhe，FOCS 02]中邻接的长期差距提供新的见解。我们还提供了改进的标号计划有界度平面图。最后，我们利用组合数制给出了一个改进的有界度$Δ$与$(e+1)\sqrt{n} < Δ\leq n/5$的邻接标号方案。
2014-04-02 cs.DM math.CO
Improved List-Decodability of Reed--Solomon Codes via Tree Packings
本文通过树打包定理，构造了在指数大有限域上几乎达到列表解码容量的Reed-Solomon码，并推广到列表恢复，同时提出超图树打包猜想以追求最优非渐近列表可解码性。
2023-12-26 cs.IT math.CO math.IT
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
