Improved bound for the dimension of posets of treewidth two
Michał T. Seweryn
乔雷特等人证明了树宽不大于2的覆盖图的偏序集维数不大于1276。他们的证明很长而且非常复杂。我们给出了一个简短而简单得多的证明，证明了这种偏序集的维数至多为12。
Joret et al. proved that posets with cover graphs of treewidth at most 2 have dimension at most 1276. Their proof is long and very complex. We give a short and much simpler proof that the dimension of such posets is at most 12.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the dimension of posets with cover graphs of treewidth $2$
1977年，Trotter和Moore证明了当偏序集的覆盖图是森林时，它的维数至多为$3$，或者等价地，它的树宽至多为$1$ .另一方面，Kelly的一个著名的构造证明了存在任意大维数的偏序集，其覆盖图具有树宽$3$。本文主要研究树宽$2$的边界情形。最近证明了如果覆盖图是外平面的（Felsner，Trotter和Wiechert）或者如果它有路宽$2$（Biró，Keller和Young），则维数是有界的。这可以被解释为当覆盖图具有树宽$2$时，维度应该更一般地有界的证据。我们证明了事实确实如此：每个这样的偏序集的维数至多为$1276$。
Posets with cover graph of pathwidth two have bounded dimension
Joret，Micek，Milans，Trotter，Walczak，和Wang最近提出了一个问题：是否存在一个常数$d$，使得如果$P$是一个偏序集，其覆盖图的路径宽度至多为$2$，则有$\dim(P)\leq d$ .我们通过证明$d=17$是足够的来肯定地回答这个问题。我们还表明，如果$P$是一个偏序集包含标准的例子$S_5$作为一个子集，那么覆盖图的$P$有树宽至少$3$。
Forcing the Wheel
本文通过证明具有平面覆盖图的偏序集维数满足 dim(P) ≤ 2 wheel(P) + 2，肯定解决了 Joret 和 Micek 关于用极小元素个数与树宽界定维数的猜想。
Cliquewidth and dimension
本文证明有界团宽且维数足够大的偏序集必含标准例子或Kelly例子，并据此完整刻画了覆盖图在子图封闭图类中时偏序集维数有界的条件，同时证明有界团宽蕴含布尔维数有界。
An improved quasi-isometry between graphs of bounded cliquewidth and graphs of bounded treewidth
本文改进有界团宽图与有界树宽图之间的拟等距，构造了团宽k图与树宽k-1图之间的3-拟等距，并证明树宽上界紧。
Improved lower bounds on the on-line chain partitioning of posets of bounded dimension
一种在线链划分算法，每次接收一个偏序集的一个元素，并将该元素可并行地分配给其中一个链。30多年前，Szemerédi证明了任何在线算法都可以强制使用$\binom{w+1}{2}$链来划分宽度为$w$的偏序集。可以在任何在线算法上强制的链的最大数量仍然未知。在Bosek等人的一篇调查论文中，结果表明，Szemerédi的论点可以得到改进，以获得一个下界几乎两倍好。变形的问题被认为是限制类的偏序集的有界维数或通过实现大小$d$的偏序集。在本文中，我们证明了两个结果。首先，我们证明了任何在线算法可以强制使用$(2-o(1))\binom{w+1}{2}$链划分宽度为$w$的$2$维偏序集。其次，我们证明了任何在线算法可以强制使用$(2-\frac{1}{d-1}-o(1))\binom{w+1}{2}$链划分的偏序集的宽度$w$通过实现大小$d$。
An improved bound on the diamond-free poset problem
在偏序集理论中，二维的布尔格被称为菱形。本文证明了，如果$\mathcal{F}$是$n$维布尔格中的一个族，且没有菱形作为子集，则$|\mathcal{F}|\leq 2.206653{n\choose \lfloor n/2\rfloor}$，改进了作者和Michael Young的一个界.
Improved bounds for induced poset saturation
给定一个有限偏序集$\mathcal{P}$，布尔格中的元素族$\mathcal{F}$是诱导- $\mathcal{P}$ -饱和的，如果$\mathcal{F}$不包含$\mathcal{P}$的拷贝作为诱导子集，但$\mathcal{F}$的每个真超集都包含$\mathcal{P}$的拷贝作为诱导子集.在$n$维布尔格中诱导的- $\mathcal{P}$ -饱和族的最小尺寸，表示为$\operatorname{sat}^*(n,\mathcal{P})$，首先由Ferrara等人研究。我们的工作重点是加强下限。对于4点偏序集称为钻石，我们证明了$\operatorname{sat}^*(n,\mathcal{D}_2)\geq\sqrt{n}$，改进后的对数下界。对于含有$k+1$元素的反链，我们证明了$\operatorname{sat}^*(n,\mathcal{A}_{k+1})\geq (1-o_k(1))\frac{kn}{\log_2 k}$，改进了$k\geq 3$的$3n-1$的一个下界.
An Improved Bound for First-Fit on Posets Without Two Long Incomparable Chains
已知的是，用于将偏序集P划分成链的First-Fit算法在P没有两个大小为k的不可比链时使用相对较少的链。特别地，如果P具有宽度w，则Bosek、Krawczyk和Szczypka（SIAM J. Discrete Math.，23（4）：1992- 1999，2010）证明了ckw^{2}在某个常数c下的第一拟合所用链数的上界，而乔雷特和米兰斯（Order，28（3）：455- 464，2011）给出了ck^{2}w的一个上界。本文证明了ckw形式的一个上界。这是最好的可能，直到c的值。
An improved planar graph product structure theorem
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt和Wood [J. ACM 2020]证明了对于每个可平面图$G$，存在树宽不超过8的图$H$和路径$P$使得$G\subseteq H\boxtimes P$。我们通过将“树宽至多为8”替换为“简单树宽至多为6”来改进这个结果。
An improved spectral lower bound of treewidth
本研究提出了基于图的最大度和第二小拉普拉斯特征值的改进树宽谱下界，该下界优于已有结果且几乎紧，同时还给出了基于拉普拉斯最大、第二小特征值的树宽下界。
De Bruijn-Erdős type theorems for graphs and posets
德布鲁因和埃尔德什的一个经典定理断言，平面上任何由n个点组成的非共线集合至少确定n条不同的直线。我们证明了这一定理的一个类似物持有图。限制我们的注意力可比图，我们得到了一个版本的De Bruijn-Erdés定理的偏序集（偏序集）。此外，在这种情况下，我们有一个改进的界限的行数取决于高度的偏序集。还确定了极端构型。
On Balanced Separators, Treewidth, and Cycle Rank
我们研究了图的不同宽度参数之间的关系，特别是平衡分隔数，树宽和圈秩。我们的主要结果表明，一个平衡分隔数为k的图的树宽至少为k，但圈秩至多为k（1 + log（n/k）），从而改进了Robertson和Seymour（1986）和Bodlaender等人（1995）所述的已知边界。此外，我们证明了改进的边界是最好的可能。
An improved bound on the treewidth of planar graphs excluding a grid minor
本文改进了不含网格子式的平面图的树宽上界至4t+4，优于此前9/2t-11/2的界，并证明了一个关于2-连通平面图树分解的关键引理。
An improved algorithm for the vertex cover $P_3$ problem on graphs of bounded treewidth
针对有界树宽图上的顶点覆盖P_3问题，提出改进的动态规划算法，将时间复杂度从4^p·n^{O(1)}降至3^p·n^{O(1)}，并利用Cut&Count技术给出连通变体的随机算法。
Improved product structure for graphs on surfaces
本文改进了曲面图的乘积结构定理，将树宽从4降至3且使中间图为平面，并推广到框架图，从而统一涵盖映射图和近平面图。
Sparsity and dimension
证明了覆盖图属于具有有界扩张的固定类的有界高度偏序集具有有界维数。有界扩张（英语：Bounded expansion）是由Nešetzil和Ossona de Mendez提出的一个稀疏性模型，是一个广泛的图类自然满足的性质，从图结构理论（不包括子图或拓扑子图）到图绘制（例如有界书厚的图）。因此，我们的定理推广了一些结果，包括最近的一个覆盖图不包括一个固定的图作为拓扑子的有界高度的偏序集。我们还表明，结果是在某种意义上最好的可能，因为它不延伸到无处密集类，事实上，它已经失败的覆盖图与局部有界树宽。
Poset dimension and maximum comparability degree
本文证明了有限偏序集的维数上界可改进为$O(d \log d)$，其中$d$为可比图最大度，从而确认了Erdős等人下界的紧性。
Poset Ramsey Numbers for Boolean Lattices
偏序集$Q$的子集$Q'$是\textit{copy of a poset} $P$，如果在$P$和$Q'$的元素之间存在双射$f$，使得$x \le y$ in $P$当且仅当$f(x) \le f(y)$ in $Q'$。对于偏序集$P, P'$，令\textit{poset Ramsey number} $R(P,P')$是最小的$N$，使得无论布尔格$Q_N$的元素如何被着色为红色和蓝色，都有一个$P$的副本，其中所有元素都是红色的，或者$P'$的副本，其中所有元素都是蓝色的。Axenovich和Walzer在\textit{Order}（2017）中引入了这个概念，在那里他们证明了$R(Q_2, Q_n) \le 2n + 2$和$R(Q_n, Q_m) \le mn + n + m$，其中$Q_n$是维度$n$的布尔格。他们后来证明了$2n \le R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 2n$。沃尔泽后来证明了$R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 1$。我们提供了一些改进的界限$R(Q_n, Q_m)$各种$n,m \in \mathbb{N}$。特别是，我们证明了$R(Q_n, Q_n) \le n^2 - n + 2$，$R(Q_2, Q_n) \le \frac{5}{3}n + 2$，和$R(Q_3, Q_n) \le \frac{37}{16}n…
Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth
树深是一个比树宽和路宽更严格的图宽参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明了存在一个常数$C$使得对于每个正整数$a,b$和一个图$G$，如果$G$的树深至少为$Cab$，则$G$的树宽至少为$a$或$G$包含一个次立方（即，树深度至少为$b$的树作为子图。作为一个直接推论，我们得到每个树深为$Ω(k^3)$的图要么树宽至少为$k$，要么包含一个深度为$k$的满二叉树的剖分，要么包含一条长度为$2^k$的路.这提高了Kawarabayashi和Rossman的$Ω(k^5 \log^2 k)$的界限[SODA 2018]。我们还展示了我们的技术的树深度的近似算法的应用：给定一个图$G$的树深度$k$和树宽度$t$，可以在多项式时间计算的树深度分解$G$的宽度$\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了源于已知结果之间的折衷的$\mathcal{O}(kt^2 \log t)$的界限。在我们的结果中的主要技术成分是一个证明，树深度$d$的每棵树包含一个子立方体树的树深度至少$d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$。
Improved Bounds for the Excluded Grid Theorem
本文研究了Robertson和Seymour的排他网格定理。这是图论中的一个基本结果，即存在某个函数$f: Z^+\rightarrow Z^+$，使得对于所有整数$g>0$，每个树宽至少为$f(g)$的图都包含$(g\times g)$ -网格作为子图。直到最近，在$g$中，关于$f$的最佳已知上界是超指数的。Chekuri和Chuzhoy最近的一项工作提供了第一个多项式界，通过证明树宽$f(g)=O(g^{98}\operatorname{poly}\log g)$足以确保任何图中存在$(g\times g)$ -网格子式。在本文中，我们改进了这个界限$f(g)=O(g^{19}\operatorname{poly}\log g)$。我们引入了一些新的技术，包括一个概念上简单，几乎完全自包含的定理证明，实现了多项式约束$f(g)$。
Size-Ramsey numbers of structurally sparse graphs
本文通过结合结构图论与经典Ramsey嵌入技术，以树宽为参数建立了大小-Ramsey数的新界，推广了常数树宽与网格图的结果，并特别给出了平面图等minor闭类的界，回答了相关开放问题。
On Sparsification for Computing Treewidth
我们调查是否一个n-顶点实例（G，k）的树宽，问图G是否有树宽最多k，可以有效地稀疏而不改变它的答案。通过给出一种特殊形式的OR-交叉复合，我们证明了这是不可能的：如果存在一个e > 0和一个多项式时间算法，该算法将n-顶点树宽实例减少到一个任意问题的等价实例，具有O（n^{2-e}）位，那么NP是在coNP/poly中，多项式层次崩溃到它的第三层。我们的稀疏化下界对树宽的结构参数化有影响：通过不超过顶点数的度量进行的参数化，对于任何e > 0，不能具有O（k^{2-e}）位的内核，除非NP在coNP/poly中。受确定由顶点覆盖参数化的Treewide的最佳核大小的问题的启发，我们将Bodlaender等人（STACS 2011）的O（k^3）-顶点核改进为O（k^2）顶点的核。我们改进的内核是基于一种新的形式的树宽不变集。我们使用Fomin等人的q-扩展引理。（STACS 2011）在顶点覆盖数为超二次的图中有效地找到这样的集合。
Improved bounds for weak coloring numbers
弱色数推广了图的退化度的概念。它们是由Kierstead \& Yang在图上博弈的背景下引入的。最近，在图子式理论及其推广中，弱色数与各种参数之间的关系被揭示出来。本文证明了对每一个固定的$k\geq1$，具有简单树宽$k$的图的最大$r$次弱色数是$Θ(r^{k-1}\log r)$ .作为推论，我们将平面图的最大$r$次弱色数的下界从$Ω(r^2)$改进为$Ω(r^2\log r)$，并得到了外平面图的$Θ(r\log r)$的一个紧界。
Bounds on the Treewidth of Level-k Rooted Phylogenetic Networks
本文研究 level-k 系统发育网络的树宽上界与下界，证明了 (k+3)/2 及改进的 (1/3+δ)k 上界，并基于扩展图给出 k/13 下界，从而说明常数 level 网络上许多计算问题可在多项式时间内求解。
Improved Universal Graphs for Trees
本文改进了树 universal 图的上界，提出了一种将树分为三部分的策略，并扩展到具有有限树宽的图。
An Improved Lower Bound for Diamond-Free Families
研究无钻石族规模的下界问题，通过构造特定族证明了$La(n,Q_2)$的改进下界，反驳了钻石猜想，给出了其与二项式系数的关系及常数$c$的值。
On universal graphs for trees and treewidth $k$ graphs
本文纠正了关于树泛图边数上界的错误证明，给出改进的完全自包含证明，并推广到树宽 $k$ 图，得到匹配的上下界。
A Construction for Boolean cube Ramsey numbers
令$Q_n$是由固定$n$ -元素集合的所有子集组成的偏序集，按集合包含排序。偏序集立方Ramsey数$R(Q_n,Q_n)$被定义为最小$m$使得$Q_m$的元素的任何2-着色允许$Q_n$的单色拷贝。Cox和Stolee改进了平凡下界$R(Q_n,Q_n)\ge 2n$，他们使用概率存在性证明证明了$3\le n\le 8$和$n\ge 13$的$R(Q_n,Q_n)\ge 2n+1$。在本文中，我们提供了一个明确的建设，建立$R(Q_n,Q_n)\ge 2n+1$的所有$n\ge 3$。最著名的上界是由Lu和Thompson提出的$ R(Q_n, Q_n) \le n^2 - 2n + 2$。
Tree-partitions and small-spread tree-decompositions
研究通过改进常数和额外属性，证明了树分解的宽度与图的treewidth和最大度的关系，并解决了Bodlaender的开放问题，展示了最佳可能的上界。
Improved lower bound on the on-line chain partitioning of semi-orders with representation
在线链划分算法接收偏序集，一次一个元素，并将该元素分配给划分中的一个链。在线链划分问题涉及到找到最佳在线算法所需的最小链数。Chrobak和Anglusarek考虑了在线链划分问题的变体，其中元素以区间和相交区间的形式呈现。他们构造了一个最多使用$3w-2$链的在线算法，其中$w$是区间序列的宽度，并证明了该算法是最优的。他们还考虑了限制在单位长度区间的问题，虽然他们表明首次拟合需要最多$2w-1$链，但在$30$多年后，仍然不知道是否存在更优的算法。在本文中，我们改进了以前已知的界限，并表明，任何在线算法可以被迫使用$\lceil\frac{3}{2}w\rceil$链分区的形式，其单位区间表示的半序。因此，我们完全解决了$w=3$的问题。
Improved bounds for centered colorings
一个图$G$的顶点着色$ϕ$是$p$ -中心的，如果对于$G$的每个连通子图$H$，或者$ϕ$使用$H$上的多个$p$颜色，或者有一种颜色在$H$上只出现一次.中心着色形成允许捕获图的稀疏性的概念的参数族之一：一类图具有有界扩展当且仅当存在函数$f$使得对于每个$p\geq1$，类中的每个图允许使用至多$f(p)$颜色的$p$中心着色。在本文中，我们从几个广泛研究的图类中给出了图的$p$ -中心着色所需的最大颜色数的上界。我们证明：（1）平面图允许具有$\mathcal{O}(p^3\log p)$颜色的$p$ -中心着色，其中前一个界限是$\mathcal{O}(p^{19})$：（2）有界度图允许具有$\mathcal{O}(p)$颜色的$p$ -中心着色，但它们可能需要$p$中指数数目的颜色;（3）避免固定图作为拓扑子图的图允许以$p$为中心的着色，其颜色数为$p$的多项式。所有这些上界意味着计算着色的多项式算法。在此之前，没有已知的非平凡下限。我们证明：（4）存在树宽$t$的图，其在任何$p$中心着色中需要$\binom{p+t}{t}$颜色，并且该界限匹配上界;（5）存在平面图，其在任何$p$中心着色中需要$Ω(p^2\log p)$颜色。
Shellable slices of hyperbolic polynomials and the degree principle
本研究通过分析单变量双曲多项式仿射切片的分层结构，证明层序集对偶为可壳单纯复形，进而导出g-定理和上界定理，并用于改进Timofte度数原理，给出改进界限。
Boxicity of graphs on surfaces
图$G=(V,E)$的盒度是存在$k$区间图$G_i=(V,E_i)$，$1 \le i \le k$使得$E=E_1 \cap ... \cap E_k$的最小整数$k$. Scheinerman在1984年证明了外可平面图的盒度最多为2，而Schaassen在1986年证明了可平面图的盒度最多为3。本文证明了环面图的盒度至多为7，可嵌入到亏格为$g$的曲面$Σ$中的图的盒度至多为$5g+3$ .这一结果产生改进的边界上的图的邻接偏序集的维数。
On the number of antichains in $\{0,1,2\}^n$
本文研究了 $\{0,1,2\}^n$ 中反链数量的渐进行为，结合图容器引理、等周不等式和统计物理方法，给出了精确的渐进行为并回答了相关问题。
Improved lower bounds on parity vertex colourings of binary trees
顶点着色称为\emph{parity vertex colouring}，如果在$G$中的每条路径包含奇数个出现的某种颜色。令$χ_{p}(G)$是$G$的奇偶顶点着色中的最小颜色数。我们表明，$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d} + \frac{1}{4} \log_2(d) - \frac{1}{2}$，其中$B^*$是一个细分的完全二叉树$B_d$。这改进了先前已知的界$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d}$，并增强了用于证明下界的技术。我们使用这个结果来证明$χ_{p}(T) > \sqrt[3]{\log{n}}$，其中$T$是任何具有$n$顶点的二叉树。这些下界也是无冲突着色的下界。我们还证明了$χ_{p}(G)$是不单调的未成年人，并确定其价值的周期。此外，我们还研究了计算奇偶点色数$χ_{p}(G)$的复杂性。我们证明了检查顶点着色是否是奇偶顶点着色是coNP-完全的。然后利用Courcelle定理证明了关于$k$和$G$的树宽，判断$χ_{p}(G) \le k$是否是固定参数可处理的问题.
Computing Hamiltonian Paths with Partial Order Restrictions
该研究探讨在偏序约束下寻找哈密顿路径的问题，证明了在完全二分图和高度为2的偏序集上该问题为NP完全的，并给出了外平面图上的多项式时间算法。
Combinatorial Bounds for Conflict-free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图$G$中，关于开邻域的无冲突着色（表示为CFON着色）是对顶点的颜色分配，使得每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。$G$的CFON着色所需的最小颜色数是$G$的CFON色数，用$χ_{ON}(G)$表示。询问$χ_{ON}(G) \leq k$是否是NP完全的决策问题。我们得到了以下结果：* Bodlaender，Kolay和Pieterse [WADS 2019]显示了上界$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+3$，其中${\sf fvs}(G)$表示$G$的最小反馈顶点集的大小。我们证明了$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+2$的改进界，它是紧的，从而回答了上述文件中的一个公开问题。* 本文研究了图$χ_{ON}(G)$与图$G$的路宽之间的关系，记为${\sf pw}(G)$ .上述来自WADS 2019的论文显示了上界$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf tw}(G)+1$，其中${\sf tw}(G)$代表$G$的树宽。这意味着$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf pw}(G)+1$的上界。给出了$χ_{ON}(G) \leq \lfloor \frac{5}{3}({\sf pw}(G)+1) \rfloor$的一个改进的界. * 我们证明$χ_{ON}(G)$的结构参数邻域多样性和聚类距离方面的新的界限，改…
Subchromatic numbers of powers of graphs with excluded minors
该研究改进了平面图及含禁用子式图类的图的幂的次色数上界，引入强弱着色数间的梯度参数族，还给出有界分层团宽图类次色数的2-近似算法。
Improved exploration of temporal graphs
本文提出了一种改进的时间图探索算法，通过平均时间最大度的概念，给出了亚二次时间步数的上界，适用于连通图和具有有界平均度的图。
Hat guessing with proper colorings
研究对手仅提供正常着色时图的帽子猜测数，证明完全图的帽子猜测数为2n-1，所有树的帽子猜测数为4，并给出一般上下界。
Recoloring graphs via tree decompositions
令$k$为整数。一个图的两个顶点$k$ -着色是\emph{adjacent}，如果它们在一个顶点上不同.一个图是\emph{$k$-mixing}，如果任何一个真$k$ -染色都可以通过一系列相邻的真$k$ -染色变换成另一个。Jerrum证明了任何图都是$k$ -混合的，如果$k$至少是最大度加2.我们首先使用Grundy数来改进Jerrum的界，Grundy数是贪婪着色中最差的颜色数。任何图都是$(tw+2)$ -混合的，其中$tw$是图的树宽（Cereceda 2006）。我们证明了任何两个$(tw+2)$ -着色之间的最短序列至多是二次的（这是最优的常数因子），Bonamy et al.（2012）中的一个问题。我们还证明了，给定上图的任意两个$(χ(G)+1)$ -染色（分别为.距离遗传图）$G$，我们可以找到线性（分别。二次）之间的序列。在这两种情况下，对于固定的$χ(G)$，边界的改进不能超过一个常数因子。图类在某种意义上也是最优的：距离遗传图的最小有趣超类之一对应于可比性图，对于可比性图，没有这样的性质（即使放松对序列长度的约束）。对于余图，它们等价于没有导出$P_4$的图，并且存在$P_5$ -free图，它们的两个$(χ(G)+1)$ -染色之间不允许有序列.所有的证明都是构造性的，并导出多项式时间的证明算法
Linear versus centred chromatic numbers
本文研究中心色数与线性色数的关系，通过证明每个 $k\times k$ 伪网格的线性色数满足 $Ω(k)$ 紧下界，将任意图的一般上界改进为 $χ_{\mathrm{cen}}(G)\le\tilde{O}(χ_{\mathrm{lin}}(G)^{10})$。
Optimal Bounds for the k-Disjoint Paths Problem
本文提出了一种通用的无关顶点定理，用于k-不相交路径问题和根小世界检查的共同推广，即(k,d)-folio问题。通过引入bidimensionality的概念，改进了算法参数依赖性，并优化了图小世界算法框架的量化表现。
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