A family of bijections between G-parking functions and spanning trees
对于顶点为{0，1，.}的有向图G，n}，G-停车函数是n元组（b_1，.，b_n）的非负整数，使得对于{1，.，n}，则存在U中的顶点j，对于该顶点j，从j到G-U有多于b_j条边。构造了G-停车函数集P_G与G的根为0的生成树集T_G之间的一族双射映射，从而给出了|P_G| = |T_G|的组合证明.
2004-06-30 math.CO
Results on pattern avoidance in parking functions
本文研究停车函数中两种模式回避概念，计算回避长度为3模式的停车函数数量，提供新双射证明并改进公式，同时计算广义停车函数Hopf代数的分次维度。
2024-09-20 math.CO
$G$-Parking Functions, Acyclic Orientations and Spanning Trees
给定一个无向图$G=(V,E)$和一个指定的顶点$q\in V$，一个$G$ -停车函数（相对于$q$）的概念是独立开发和研究的各种作者，最近获得了新的关注。这个概念推广了与完全图相关的停车函数的经典概念。本文研究了{ \em极大} $G$ -停车函数的性质，并给出了它们与无断路的$G$的生成树集之间的一个新的双射.作为一个案例研究，我们专门我们的一些结果，对应于离散$n$立方体$Q_n$的图形。我们目前的文章在一个暂时的独立的形式，因为我们发现组合方面的$G$停车功能有点分散在文献中，通常与沙堆模型和密切相关的芯片发射游戏一起处理。
2010-03-01 math.CO
Parking functions and tree inversions revisited
Kreweras证明了停车功能的长度$n$的反向和枚举数等于标记树的$n+1$顶点的反转枚举数。最近，Perkinson，Yang和Yu给出了这个等式的双射证明，并且推广到图形停车函数。使用深度优先搜索的达尔燃烧算法的变种，他们证明了codegree枚举为$G$ -停车功能等于$κ$ -数枚举为生成树的$G$。$κ$ -数是Gessel最早定义的一类广义树反转数。我们将Perkinson-Yang-Yu的工作扩展到文献中所称的“广义停车函数”，但我们更愿意称之为向量停车函数，因为它们取决于向量$\mathbf{x} \in \mathbb{N}^n$的选择。具体地说，我们给出了一个表达式的反向和计数器$\mathbf{x}$停车功能的反转在有根平面树的某些允许的顶点顺序。一路上，我们澄清图形和矢量停车功能之间的关系。
2016-02-02 math.CO
Tamari lattices and parking functions: proof of a conjecture of F. Bergeron
大小为n的m-ballot路径是正方形网格上的路径，由北向和东向单位步长组成，从（0，0）开始，结束于（mn，n），并且永远不会低于线{x=my}。这些路的集合可以具有一个格结构，称为m-Tamari格，记为T_n^（m），它推广了通常的Tamari格T_n（m=1）。这种格是由F.伯杰龙与共不变空间的研究。他提出了几个有趣的公式处理枚举的间隔在这个格子。其中之一是T_n^（m）中的区间数为$$ \frac {m+1}{n(mn+1)} {(m+1)^2 n+m\choose n-1}. $$。这个猜想最近得到了证明，但不是以双射的方式，而它的形式强烈地暗示了与平面树的联系。在这里，我们证明了另一个猜想的Bergeron，其中涉及的数量标记，间隔。T_n^（m）的区间[P，Q]被标记，如果Q的北阶被标记为从1到n，使得标记沿着任何连续的北阶序列增加。本文证明了T_n^（m）中标号区间的个数为$$ {(m+1)^n(mn+1)^{n-2}}. $$。这些数的形式表明了与停车函数的联系，但我们的证明是非双射的。它是基于一个递归的描述的间隔，这转化为一个函数方程满足相关的生成函数。这个方程涉及一个导数和一个均差除法，是关于两个附加变量的。解这个方程是这篇论文最难的部分。找到一个双射证明仍然是一个悬而未决的问题。
2012-04-17 math.CO
The sandpile model on the complete split graph, Motzkin words, and tiered parking functions
在完全分裂图上对阿贝尔沙堆模型的常返状态进行了分类.有两种不同的情况需要考虑，这取决于完全分裂图中汇点的位置。这种减少常返状态的特征是根据Motzkin词，也可以根据组合项链来表征。我们还给出了一个表征的常返状态方面的一种新型的停车功能，我们称之为分层停车功能。这些停车功能的特点是为每辆车分配一个等级（或颜色），并指定有多少辆较低等级的车希望停在它们前面。我们还列举了本文研究的不同的递归配置集，并在这样做的过程中推导出一个公式的数量的完全分裂图，使用双射Prüfer码参数的生成树。
2021-02-08 math.CO
Connecting $k$-Naples parking functions and obstructed parking functions via involutions
Parking functions were classically defined for $n$ cars attempting to park on a one-way street with $n$ parking spots, where cars only drive forward. Subsequently, parking functions have been generalized in various ways, including allowing cars the option of driving backward. The set $PF_{n,k}$ of $k$ -Naples parking functions have cars who can drive backward a maximum of $k$ steps before driving forward. A recursive formula for $|PF_{n,k}|$ has been obtained, though deriving a closed formula for $|PF_{n,k}|$ appears difficult. In addition, an important subset $B_{n,k}$ of $PF_{n,k}$ , called …
2021-08-03 math.CO
The Priority Lattice
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文引入了优先级格，证明其最大链由停车函数标记，主理想的最大链由部分停车函数标记，并计算了其格级数和特征多项式。
2026-03-30 math.CO
Parking functions for trees and mappings
我们将停车函数的概念应用于有根标记树和映射的函数有向图（即，函数$f : [n] \to [n]$），将节点视为停车位，将有向边视为单行道：每个驾驶员都有一个首选的停车位，从这个节点开始，他沿着图中的边走，直到他找到一个空闲的停车位，或者所有可到达的停车位都被占用。如果所有的驱动程序都成功了，我们会谈论树或映射的停车功能。我们转移到树和映射的停车功能的著名的特征。特别是，这产生的界限和表征的停车功能的数量与$m$司机的一个给定的树$T$的大小$n$的极值情况。通过分析组合学技术，我们分别研究了树和映射停车函数的总数$F_{n,m}$和$M_{n,m}$，即，$(T,s)$（或$(f,s)$）对的数目，其中$T$是大小- $n$树（或$f : [n] \to [n]$是$n$ -映射），而$s \in [n]^{m}$是具有$m$驱动器的$T$（或$f$）的停放函数，从而产生精确且渐近的结果。我们描述的相变行为出现在$m=\frac{n}{2}$为$F_{n,m}$和$M_{n,m}$，分别，并将其与先前研究的组合上下文。此外，我们给出了发生关系$n F_{n,m} = M_{n,m}$的一个双射证明。
2015-04-20 math.CO
Prefixes of minimal factorisations of a cycle
我们给出了一个双射证明的事实，即数量的k-前缀的最小因式分解的n-循环（1…n）作为n-1个转置的乘积是n^{k-1} \binom{n}{k+1}。我们不是构造双射，而是构造一个具有恒定大小纤维的满射。这个满射的灵感来自于斯坦利在n-循环和停车函数的最小因式分解之间展示的双射，以及波拉克关于停车函数的计数参数。
2011-05-29 math.CO
Chip-firing games, potential theory on graphs, and spanning trees
我们研究了芯片发射游戏和位势论之间的相互作用的图形，表征减少因子（$G$停车功能）的解决方案的能量（或潜在的）最小化问题，并提供了一个算法来有效地计算简化除子的图形。应用程序包括基尔霍夫矩阵树定理的“有效双射”证明和寻找随机生成树的新算法。我们的算法的运行时间进行了分析，使用位势论，我们表明，从而得到的界推广和改进文献中的一些结果。我们还扩展了这些考虑度量图。
2012-07-25 math.CO
Quantized rational chip-firing
University of Vermont（佛蒙特大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出一种量化芯片 firing 模型，与有理格路和有理停车函数理论相关。通过定义 superstable、k-stable 和 k-skeletal 配置，建立 combinatorial 理论，并证明其与芯片配置的群结构等价。
2026-03-16 math.CO
Chip-firing and energy minimization on M-matrices
我们考虑由任意M-矩阵定义的芯片发射动力学。M-矩阵推广了图拉普拉斯算子，Gabrielov证明了M-矩阵可以产生雪崩有限系统。贝克和Shokrieh的工作的基础上，我们扩展了能量最小化芯片配置的概念。给出一个M-矩阵，证明了在由矩阵定义的每个等价类中存在唯一的能量最小配置。我们定义了一类$z$ -超稳定构型，它满足比超稳定构型严格更强的稳定性要求（等价于$G$ -停车函数或简化除子）.我们证明了对于任意M矩阵，$z$ -超稳定组态与能量最小组态是一致的.证明了$z$ -超稳定组态与临界组态具有简单的对偶性。因此，对于所有的雪崩有限系统（包括所有的有向图与全球汇）存在唯一的临界，能量最小化和$z$ -超稳定的配置。临界组态是简单的对偶与能量极小值符合$z$ -超稳定的配置。
2014-11-21 math.CO
Posets, parking functions and the regions of the Shi arrangement revisited
R ^n中A_{n-1} Shi型排列的区域数可以用内在美丽的公式（n +1）^{n-1}计算。首先证明了施，这一结果激励帕克和斯坦利以及Athanasiadis和Linusson提供双射证明。本文给出了Athanasiadis-Linusson双射的一个刻划，并将其推广到R ^n中C_nShi型排列区域与序列a_1a_2. a_n，其中a_i \in\{-n，-n +1，.，-1，0，1，... n-1，n\}，i \in [n]。我们的双射自然地限制在具有一定数量的天花板（或地板）的安排的区域与具有给定数量的不同元素的序列之间的双射。一个特殊的偏序集家族，其反链编码的安排的区域，在我们的方法中发挥了核心作用。
2011-06-19 math.CO
On $q$-Counting of Noncrossing Chains and Parking Functions
该研究从$q$-多项式角度探究有限Coxeter群下带权非交叉划分极大链与A、B型停车函数的关联，构建坏边与未停偏好位车辆的双射，解释超八面体群情形下多项式的$γ$-正性。
2023-12-12 math.CO
On Deranged Unit-Interval Parking Functions and the Deranged Bell Numbers
National Higher School of Mathematics（国立高等数学学院）；USTHB, Faculty of Mathematics（阿尔及尔科学技术大学数学学院）；RECITS Laboratory（RECITS实验室）
通过有序集合划分与单位区间停车函数的双射，定义乱序单位区间停车函数，其计数为乱序贝尔数，并给出坐标刻画、位移细化及生成函数。
2026-07-07 math.CO
On lengths of burn-off chip-firing games
我们继续我们的研究烧毁芯片射击游戏[离散数学。Comput. Sci. 15（2013），no. 1，121-132; MR 3040546]和[Australas. J. Combin。68（2017），no. 3，330-345; MR3656659]。后一篇文章通过从图$G$的顶点集中均匀地选择连续种子来引入随机性。游戏的长度是当一个兴奋的筹码配置进入放松状态时，触发的顶点数（通过向每个邻居发送一个筹码并消灭一个筹码）。本文确定了一个长序列的燃尽博弈中博弈长度的概率分布。我们的主要结果给出了精确的计数对$(C,v)$，与$C$一个宽松的法律配置和$v$种子，对应于每个可能的长度。在支持下，我们给我们自己的著名的equidendinality的集合$\mathcal{R}$的宽松的法律配置$G$和一组生成树的锥$G^*$的$G$的证明。我们提出了一个算法，双射证明这种对应关系。
2020-07-19 math.CO
Chip-Firing and Riemann-Roch Theory for Directed Graphs
研究了有向图的Riemann-Roch理论。将Amini和Manjunath的Riemann-Roch准则推广到与某个正向量正交的所有整数格。利用推广的$v_0$ -简化除子的概念和Dhar算法，我们研究了两个来自强连通有向图的Laplacian的行和列的掷筹码游戏.我们讨论了如何“列”芯片发射游戏是相关的有向$\vec{G}$停车功能和“行”芯片发射游戏是相关的沙堆模型。最后，我们讨论算术图，经过简单的变换后，可以被视为一类特殊的有向图，它将始终具有列芯片发射游戏的黎曼-洛克性质。算术图的例子表明，其中之一，两个，或两个黎曼-罗奇条件可以满足行芯片发射游戏。
2011-09-23 math-ph math.CO math.MP
Minimal Free Resolutions of the $G$-parking Function Ideal and the Toppling Ideal
有向多重图$G$的$G$ -parking函数理想$M_G$是编码$G$的某些组合信息的单项式理想.它是倾倒理想$I_G$的初始理想，倾倒理想是一个与图上的筹码射击游戏密切相关的格理想。这两种理想首先由科里、罗辛和萨尔维研究。Postnikov和Shaprio在$G$饱和的情况下给出了$M_G$的最小自由分解，例如，每当对于每个序偶的不同顶点对$u$和$v$存在至少一个边$(u,v)$时。他们还提出了在一般情况下明确描述最小自由分解的问题。本文对任意无向多重图$G$以及包括倾倒理想$I_G$在内的一类相关理想给出了$M_G$的最小自由分解.这解决了Manjunath和Sturmfels的猜想，以及Perkinson和Wilmes的猜想。
2012-12-24 math.AC math.CO
Restricted Chip-Firing: Toric Toppling Ideals, Picard Groups, and Cellular Resolutions
本文研究了pargraphs上的芯片翻转游戏所产生的一类群和理想，探讨了其拓扑理想性质，并构建了格罗布纳基、最小细胞自由解析及皮卡群的自由性条件。
2026-09-03 math.AC math.AG math.CO
Parking functions: From combinatorics to probability
假设$m$驾驶员各自在具有$n$点的线性停车场中选择优选停车位。按顺序，每个司机去他们选择的地点，如果可能的话停在那里，否则采取下一个可用的地点，如果它存在。如果所有驾驶员都成功停车，则选择的序列称为停车功能。经典的停车功能对应的情况下$m=n$，我们在这里研究的组合和概率方面的这种广义的情况下。我们构造了一族双射与停车功能$\text{PF}(m, n)$与$m$汽车和$n$点和生成森林$\mathscr{F}(n+1, n+1-m)$与$n+1$顶点和$n+1-m$不同的树具有指定的根。这导致$\text{PF}(m, n)$和单项项之间的双射对应$n-m+1$完全图的不相交的工会在相关的Tutte多项式。我们提出了一个身份之间的“反演枚举”的跨越森林与固定的根和“位移枚举”的停车功能。然后，位移与$n+1$标记的顶点与固定数量的边缘，其中该图有$n+1-m$不相交的根指定的根组件的图形的数量。本文研究了均匀停车函数的各种概率性质，给出了单坐标定律的一个公式。作为副结果，我们获得了位移枚举数的递归关系。利用已有的随机线性探针的结果，进一步推导了当$m=n$ .
2021-03-31 math.CO math.PR
Repetitions of Pak-Stanley Labels in $G$-Shi Arrangements
Georgia Tech（佐治亚理工学院）；Rutgers University（罗格斯大学）；Wellesley College（韦尔斯利学院）；San Diego State University（圣地亚哥州立大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文引入三行游戏模型，研究G-Shi排列中Pak-Stanley标签的重复现象，并推导出路径图和树的多重性分类定理。
2022-10-24 math.CO
One-skeleta of $G$-parking function ideals: resolutions and standard monomials
给定一个图$G$，$G$ -parking函数理想$M_G$是多项式环$S$中的一个Artinian单项理想，它的性质是$S/M_G$的线性基由$G$ -parking函数的集合提供.因此，$S/M_G$的维数由$G$的生成树的数目给出，根据矩阵树定理，该生成树的数目等于$G$的约化拉普拉斯算子的行列式。理想$M_G$和相关的代数是由Postnikov和Shapiro在那里他们研究了它们的希尔伯特函数和同调性质。作者和Sanyal证明了$M_G$的最小分解可以从与$G$相关的图形超平面排列中构造出来，提供了Betti数的组合解释。出于对图的芯片发射理论的建设，我们研究了某些“骨架”理想$M_G^{(k)} \subset M_G$产生的$G$的大小最多$k+1$的顶点的子集。在这里，我们把我们的注意力集中在案件$k=1$，$1$ -骨架的$G$ -停车功能的理想。我们考虑$M_G^{(1)}$的标准单项式，并提供了一个组合的解释，$S/M_G^{(1)}$的尺寸在无符号拉普拉斯算子的情况下$G = K_{n+1}$是完全图。我们主要研究这些理想的同调性质。我们研究决议$M_G^{(1)}$，并表明，对于某一类图的最小分辨率是支持分解的欧氏空间来自热带超平面安排的理论。这导致了这些理想的贝蒂数的组合解释。
2018-06-15 math.AC math.CO
Trees, parking functions, and standard monomials of skeleton ideals
停车函数是一类被广泛研究的组合对象，与数学的几个分支有联系。在代数方面，停车函数可以用$M_n$的标准单项式来标识，$M_n$是多项式环$S = {\mathbb K}[x_1, \dots, x_n]$中的某个单项式理想，其中一组生成元由$[n] = \{1,2,\dots,n\}$的非空子集索引。出于建设从理论上的芯片发射图，我们研究的停车功能的推广所确定的$M^{(k)}_n$，一个次理想的$M_n$通过只允许发电机对应的子集的$[n]$的大小最$k$。对于每个$k$的$M^{(k)}_n$，表示为$\text{stan}_n^k$的标准单项式的集合，包含通常的停车功能，并具有有趣的组合性质在其自身的权利。对于一般的$k$，我们表明，元素的$\text{stan}_n^k$可以恢复为某些向量停车功能，这反过来又导致了他们的计数公式通过结果严。对称群$S_n$自然地作用于集合$\text{stan}_n^k$上，并且得到了在此作用下轨道数的一个公式.对于$k = n-2$的情况下，我们研究组合的解释$\text{stan}_n^{n-2}$，并将它们连根拔起的树的根度和表面反演的属性。作为一个推论，我们得到一个组合身份$n^n$涉及加泰罗尼亚号码，让人想起本杰明和Juhnke的结果。对于$k = 1$的情况，我们观察到元素$\text{stan}_n^1$的数量由简化的“无符号…
2021-08-26 math.AC math.CO
Monomials, Binomials, and Riemann-Roch
图G上的Riemann-Roch定理与组合交换代数中的Alexander对偶有关。本文研究了G上由Chip Fireing给出的格理想和标准单项式为G-parking函数的初始理想。当G是饱和图时，这些理想是泛理想，Scarf复形是最小自由分解.否则，合合是通过退化获得的。我们还发展了一个自包含的Riemann-Roch理论的artinian单项理想。
2012-07-09 cs.DM math.AC math.CO
Cycle systems, coparking functions, and h-vectors of matroids
本文引入拟阵的圈系统和余停车函数概念，证明余停车函数集与基集双射且在删除与收缩下表现良好，从而证明了允许圈系统的拟阵（如锥的图拟阵和 K33-free 图）满足 Stanley 猜想。
2025-09-14 math.CO
