A note on congruences for generalized cubic partitions modulo primes
本文用经典q级数方法重新证明广义三次分拆函数的两条已知同余式，并给出素数p不≡1 mod 8时的无穷同余族。
2025-01-29 math.CO math.NT
An Elementary Analysis of the Prime Partition Function
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文通过初等方法证明了素数划分函数pp(n)的对数渐近于2π√(n/(3 log n))，并展示了该方法可推广到相关问题的渐近估计。
2026-06-04 math.CO math.NT
MacMahonesque partition functions detect sets related to primes
本研究在已有MacMahon分拆函数检测素数、类麦克马洪函数有无穷多素数检测表达式的基础上，修改构造方法，实现了对素数立方和等差数列中素数的检测。
2025-01-17 math.NT
Quasimodular Forms, Partitions, and Primes in Intervals
University College Cork（科克大学）；United States Naval Academy（美国海军学院）
本文利用素数探测拟模形式的性质，证明素数无穷性，构造基于分拆的因式分解算法，并揭示系数分布与区间素数存在性的关联，同时推广至算术级数及Linnik问题。
2026-09-29 math.NT
Partitions of primes by Chebyshev polynomials
基于有理数上的切比雪夫多项式，引入了素数集的划分。所有这些分区的素密度的建立。给出了$SL(2,\mathbb Q)$的欧拉判据，它是切比雪夫多项式代数与分拆数论性质之间的桥梁。它表明如何获得以这种方式的一些经典理论的卢卡斯序列。新的语言揭示了这个问题的一个隐藏的对称性。作为应用，讨论了简单动力系统（旋转和某些区间映射）的数论性质。
2020-08-03 math.NT
Families of Congruences for Fractional Partition Functions Modulo Powers of Primes
最近，Chan和Wang（Fractional powers of the generating function for the分拆函数.阿里斯学报。187（1），59- 80（2019））研究了分拆函数的生成函数的分数幂，并发现了相应系数满足的几个同余式。在本文中，我们发现了一些新的模素数幂同余族。我们也发现类似的结果的系数的分数权力的生成函数的2-色分拆函数。
2020-06-14 math.NT
Partitions into prime powers
对于子集$\mathcal A\subset \mathbb N$，令$p_{\mathcal A}(n)$表示对所有部分位于$\mathcal A$中的$n$的分区进行计数的受限分拆函数。本文利用Hardy-Littlewood圆方法的一种变形，给出了$p_{\mathcal A}(n)$的一个渐近公式，其中$\mathcal A$是素数的$k$次幂的集合（对于固定的$k$）.这结合了沃恩的工作分区成素数与作者以前的结果分区成$k$次权力。这个新的渐近公式是过去几年关于限制分拆函数的几个结果所表明的模式的推广。比较这些结果并排，我们讨论了一个通用的策略，其中一个可以分析$p_{\mathcal A}(n )$为一个给定的集合$\mathcal A$。
2021-02-20 math.NT
Polyhedral geometry, supercranks, and combinatorial witnesses of congruences for partitions into three parts
在本文中，我们使用多面体几何的一个分支，Ehrhart理论，以扩大我们的组合理解的同余分拆函数。Ehrhart理论允许我们给出一个新的划分分解，这反过来又允许我们定义称为{ \it supercranks}的统计量，这些统计量组合地证明了$p(n,3)$被任何素数$m \equiv -1 \pmod 6$整除的每个实例，其中$p(n,3)$是将$n$划分为三个部分的数量。格点的重排使我们能够演示与明确的双射如何划分这些集的分区成$m$ equinumerous类。还讨论了素数$m' \equiv 1 \pmod 6$的行为。
2015-08-03 math.CO math.NT
Predicting the size ranking of minimal primes in the generalised Goldbach partitions
本文研究广义哥德巴赫划分中最小素数大小的排序，提出仅依赖m2和m1素因子的预测函数，与实验数据高度相关，并给出数值结果。
2025-10-23 math.NT
On a problem on partitions into distinct primes
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文解决了Guy数论未解决问题中L(n)-K(n)是否无界的公开问题，利用Vinogradov定理推论与Sierpiński1948年的素数间隙结果给出肯定解答。
2026-10-15 math.NT
Partitioning the Primes and Efficient Non-trivial Factor Generation using the Least Odd Partition Identity in Conjunction with Dirichlet Linear Progressions and the Reduced Residue System Modulo 18
在这项工作中，我们介绍了数字常数，LOPI，N LOPI是全等LOPI模18，等于最低奇分区单位连同减少剩余系统模18，一个完整的不相交覆盖剩余系统时，考虑在其整个剩余集从0到17。通过对每个LOPI超集的特定LOPI Dirichlet线性级数的卷积，顺序地且唯一地生成6个模18约化剩余同余类的非素元.通过对每个LOPI同余类中的所有合数进行基于序贯因子生成模式的集合生成和完全合数子集生成，多重性成为定义素性度的可能工具。我们证明了一个整数的数字的最低和，偶数或奇数，是一个常数不受限制的分区身份包含每个自然数，并等于模18中的剩余之一。我们把这个常数称为最低奇或偶划分恒等式或LOPI或LEPI。当整数被视为核心LOPI-LEPI值的分区时，无限自然数表示Mod 18的余数，每次向无穷大扩展18个连续循环。LOPI mod 18是一个因子生成系统，它演示了为什么素数不是通过将特定的狄利克雷线性级数卷积到LOPI非素数子集矩阵中生成的，揭示了素数的模式实际上是六个循环模式。在查询这类3，4特殊非素矩阵的重数时，我们提出了基于重数的素数和非素数的另一种定义，其中0是素数，1是次素数，依此类推，并给出了一个Ox，Ox ~ 3有效的确定性算法，描述了因子生成和素性检验的过程.
2019-12-09 cs.CR math.NT
A Prime-Power Dichotomy for Nekrasov--Okounkov Hook Lengths and $t$-Core Partitions
Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）
本文证明：Nekrasov--Okounkov 钩长系数与 $t$-核分拆系数模 $t$ 同余对所有 $n$ 成立，当且仅当 $t$ 为素数幂；素数时加强为模 $p^2$，非素数幂时同余失败。
2026-10-02 math.NT
On the asymptotic distinct prime partitions of integers
我们讨论$Q(n)$，一个给定的整数$n$的方式可以写为不同的素数的总和，并研究其渐近形式$Q_{as}(n)$有效的限制$n\to\infty$。我们得到$Q_{as}(n)$的拉普拉斯反演的费米子分拆函数的素数，在数论称为生成函数的不同的素数分区，在鞍点近似。我们发现，我们的结果$Q_{as}(n)$，其中包括两个高阶修正的首项在其指数和一个指数前的校正因子，近似的确切$Q(n)$远远优于其简单的领导阶指数的形式，到目前为止，在文献中。
2021-05-10 cond-mat.stat-mech math.NT
Ramanujan Congruences for Fractional Partition Functions
对于有理$α$，分数分拆函数$p_α(n)$由生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数给出。当$α=-1$时，得到通常的配分函数。Ramanujan研究了素数$\ell$和整数$c$的形式为$p(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$的同余。Chan和Wang [4]最近研究了分数分拆函数的同余，并利用Dedekind η-函数的恒等式给出了几个无穷族的同余。在他们的工作之后，我们使用非普通素数的理论来找到一个一般的框架，该框架描述了模任意整数的同余。这使我们能够证明新的同余，如$p_\frac{57}{61}(17^2n-3)\equiv 0 \pmod{17^2}$。
2019-07-15 math.CO math.NT
Congruences for the $k$ dots bracelet partition functions
通过寻找5点手镯分拆的母函数与5-正则分拆的母函数之间的同余关系，得到了5点手镯分拆函数的模2同余式.此外，对于给定的素数$p$，我们研究了$k$点手镯划分的算术性质模$p$。
2013-03-20 math.CO math.NT
Divisibility properties of weighted $k$ regular partitions
本文研究了加权 $k$ 正则划分的可除性性质，推导了新的同余式、可除性结果和正密度素数集。
2025-12-04 math.CO math.NT
Strange and pseudo-differentiable functions with applications to prime partitions
本文利用 Hardy-Littlewood 圆法求得了将 $n$ 分拆为 $r$-满素数的分拆数渐近式，推广了素数分拆的已有结果，并引入奇异函数与伪可微性定义以处理非主大弧。
2025-04-30 math.NT
Ramanujan-type Congruences for Partition $k$-Tuples with $5$-Cores
我们证明了几个Ramanujan型同余模幂的$5$分区$k$ -元组的$5$ -核心，$k=2, 3, 4$。我们还证明了具有$p$ -核的$k$ -元组的模素数幂同余的一些新的无穷族，其中$p$是素数.
2023-01-31 math.NT
Lacunary Eta-quotients Modulo Powers of Primes
一个整数幂级数称为缺模$M$，如果它的几乎所有系数都能被$M$整除。受分拆函数的奇偶性问题的启发，$p(n)$、Gordon和Ono研究了$t$ -正则配分的生成函数，并确定了这些函数是素数的缺模幂的条件。通过研究称为Dedekind等积和广义Dedekind等积的无穷乘积，我们以多种方式推广了他们的结果。然后，我们将我们的结果应用到生成函数的分拆函数考虑Nekrasov，Okounkov和韩。
2019-01-10 math.NT
Problems on combinatorial properties of primes
对于$x\ge0$，令$π(x)$为不超过$x$的素数。素数计数函数$π(x)$和$n$第一素数$p_n$的渐近性质在解析数论中得到了广泛的研究.令人惊讶的是，我们发现，$π(x)$和$p_n$有许多组合属性，不应该被忽视。本文提出了60个关于素数组合性质（包括素数与配分函数之间的联系）的公开问题，以供进一步研究。例如，我们猜想对于任何整数$n>1$，其中一个$n$数$π(n),π(2n),...,π(n^2)$是素数;我们还猜想对于任何整数$n>6$，存在一个素数$p<n$，使得$pn$是模$p_n$的原根。我们的一个涉及配分函数$p(n)$的命题指出，对于任何素数$p$，都有一个原根$g<p$模$p$，其中$g\in\{p(n):\ n=1,2,3,...\}$。
2016-02-25 math.CO math.NT
Divisibility and distribution of 5-regular partitions
本文研究了$n$的$5$ -正则划分$b_5(n)$.利用模形式理论，证明了关于$b_5(n)$模素数$m\geq5$的可除性和分布性质的几个定理.特别地，我们证明了有无穷多个Ramanujan型同余模素$m\geq5$。
2022-06-08 math.NT
Congruences on the Number of Restricted $m$-ary Partitions
Andrews，Brietzke，Rødseth和Sellers证明了当$m$是素数时，关于限制$m$ -元划分数的一个无穷族同余。本文证明了这些同余式对任意正整数$m$成立，从而证实了Andrews等人的猜想.
2015-12-17 math.CO math.NT
On the asymptotic prime partitions of integers
在本文中，我们讨论P（n），一个给定的整数n可以写为素数和的方式的数量。特别地，利用量子统计力学的标准方法，得到了P_as（n）对n向无穷大有效的渐近形式.首先，构造了素数的玻色配分函数，即数论中的无限制素数分拆的生成函数。接着，在大n的极限下，使用用于配分函数的拉普拉斯反演的鞍点方法来获得态密度。这直接给出了素分拆的渐近数P_as（n）。渐近表达式中的首项按sqrt[n/ln（n）]呈指数增长，并与以前的估计一致。我们计算了指数中的次首阶项，与ln[ln（n）]/ln（n）成比例，并证明了文献中关于其系数的早期结果是不正确的。此外，我们还计算下一个高阶校正，与1/ln（n）成比例，并在等式中给出。(43)，这是迄今为止还没有在文献中。最后，我们比较我们的分析结果与精确的数值P（n）的n \sim 8 10 ^6。对于最高值，精确的P（n）和我们的P_as（n）之间的剩余误差仅为首阶（LO）近似所获得的误差的一半。但是我们也证明了，与其他类型的划分不同，即使对于n \sim 10 ^7，素划分的渐近极限仍然远远没有达到。
2017-05-08 math-ph math.MP math.NT
Arithmetic properties of $5$-regular partitions into distinct parts
本文研究 $5$-正则分拆为不同部分的计数函数 $b'_5(n)$ 的算术性质，给出奇偶性完整刻画、模 $4$ 同余式，并证明相关生成函数的缺项性。
2024-11-05 math.NT
Partitions with parts in a finite set
设A是互素正整数的非空有限集，p_A（n）表示n的部分在A中的划分数.本文利用初等算术论证得到了p_A（n）的一个渐近公式。
2000-02-12 math.CO math.NT
New congruences for 4,6-regular partitions modulo primes
本文证明了 b_4(n) 和 b_6(n) 分别对素数 m≥2 和 m≥5 存在无穷多 Ramanujan 型同余式族，并给出新例子及两个 b_4(n) 模 3 的无穷显式同余式族。
2023-09-22 math.NT
Newman's conjecture for the partition function modulo integers with at least two distinct prime divisors
本文证明了在素因子个数为d的正整数集合中，满足划分函数Newman猜想的正整数M的密度为1，并将该类猜想推广至弱全纯模形式，应用于t-core划分与广义Frobenius划分。
2025-05-29 math.NT
Fractal in the statistics of Goldbach partition
在素数差中发现了一些有趣的混沌现象。这里我们讨论一个关于两个素数之和的问题，哥德巴赫猜想。这个猜想指出，任何偶数都可以表示为两个素数之和。哥德巴赫划分r（n）是偶数n作为两个素数之和的表示的数量。本文分析了序列r（n）（n= 4，6，8，…）的统计量.连续素数差直方图中常见的3周期振荡现象出现在r（n）序列中，并且发现r（n）序列可以划分为不同层次的周期振荡序列。同一层次或不同层次的序列都非常相似，呈现出明显的分形现象。此外，还讨论了两个素数和差统计图的对称性。我们发现Hardy-Littlewood的估计可以精确地描述这些现象。最后用符号动力学理论对r（n）的周期行为进行了粗略的分析。
2006-03-02 math.NT nlin.CD
Arithmetic properties of the $\ell$-regular partitions
对于给定的素数$p$，我们分别研究了Ramanujan θ函数$ψ(q)$和$f(-q)$的$p$剖分恒等式的性质.作为应用，我们发现了一些$\ell$ -正则分拆函数，特别是$\ell=2,4,5,8,13,16$的模2同余的无穷族。此外，在Ramanujan给出的$p(n)$的经典同余式的基础上，我们得到了更多的$\ell$ -正则分拆函数的同余式.
2013-02-15 math.CO math.NT
Partition-theoretic formulas for arithmetic densities
如果$\gcd(r,t)=1$，然后一个定理的Alladi提供莫比乌斯和身份$$-\sum_{\substack{ n \geq 2 \\ p_{\rm{min}}(n) \equiv r \pmod{t}}} μ(n)n^{-1}= \frac{1}{φ(t)}. $$这里$p_{\rm{min}}(n)$是最小的素因子的$n$。右侧表示固定算术级数模$t$中素数的比例。轨迹广义这Chebotarev密度伽罗瓦扩展。在回答一个问题的Alladi，我们得到类似的这些结果的算术密度的子集的正整数使用$q$系列和整数分区。对于密度为$d_§$的正整数的适当子集$§$，我们证明了\[- \lim_{q \to 1} \sum_{\substack{ λ\in \mathcal{P} \\ \rm{sm}(λ) \in §}} μ_{\mathcal{P}} (λ)q^{\vert λ\vert} = d_§,\]（其中和取整数分划$λ$），$μ_{\mathcal{P}}(λ)$是一个分划论的莫比乌斯函数，$\vert λ\vert$是分划$λ$的大小，$\rm{sm}(λ)$是$λ$的最小部分.特别是，我们得到的$π$的偶幂的分割理论公式时，考虑功率免费的整数。
2017-05-09 math.CO math.NT
Eta-quotients and divisibility of certain partition functions by powers of primes
Andrews的$(k, i)$ -奇异过分区函数$\overline{C}_{k, i}(n)$计算$n$的过分区的数量，其中没有部分可被$k$整除，并且只有部分$\equiv \pm i\pmod{k}$可以被上划线。近来，对于$\ell$的某些值，研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被$2$和$3$整除的可能性。本文研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被素数$p\geq 5$整除的问题。对所有正整数$\ell$和$\ell$的素因子$p\geq 5$，证明了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$，$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$几乎都能被$p$的任意幂整除.对于$s\in \{3, 4, 6\}$，我们接下来证明了那些$n$的集合，其中$\overline{C}_{s\cdot\ell, \ell}(n) \not\equiv 0\pmod{p_…
2021-07-12 math.NT
The number of multinomial coefficients based on a set of partitions of n into k parts and divided by k evenly
本文利用多项式系数的性质得到了一个原始整数序列。我们研究了一个性质的序列，显示连接与素性测试。对于任何素数n，序列中的第n项比n的分割数小1。我们假设存在一个素数检验的渐近算法。
2012-04-30 math.CO math.NT
Distribution of the partition function modulo m
拉马努金（和其他人）证明，分拆函数满足一些惊人的同余模幂为5，7和11。阿特金、奥布莱恩和纽曼的作品进一步证明了一些一致性。本文证明了对于每一个大于3的素模，都有无穷多个这样的同余。此外，我们提供了一个简单的标准，保证真理的纽曼猜想的任何素数模超过3（回忆纽曼猜想断言，分拆函数击中每一个剩余类模一个给定的整数M无限频繁）。
2000-08-17 math.NT
Certain Diophantine equations and new parity results for $21$-regular partitions
对于正整数$t\geq 2$，令$b_{t}(n)$表示非负整数$n$的$t$ -正则分区的数量。在最近的一篇论文中，Keith和Zanello研究了$t\leq 28$时$b_{t}(n)$的奇偶性。他们发现了新的无限家庭拉马努金型同余模2 $b_{21}(n)$涉及每一个总理$p$与$p\equiv 13, 17, 19, 23 \pmod{24}$。本文研究了素数$p$与$p\equiv 1, 5, 7, 11 \pmod{24}$的$b_{21}(n)$的奇偶性.证明了包含奇素数$p$的$b_{21}(n)$的Ramanujan型模2同余的新的无限族，其中丢番图方程$8x^2+27y^2=jp$对某些$j\in\left\lbrace1,4,8\right\rbrace$有本原解，并且证明了这类素数的Dirichlet密度等于$1/6$ .最近，Yao在Newman结果的基础上给出了$b_{3}(n)$的模$2$同余的新的无穷族，并且这些同余涉及每一个素数$p\geq 5$.按照类似的方法，我们证明了新的无穷族的同余模$2$为$b_{21}(n)$，这些同余意味着，$b_{21}(n)$是奇数无限经常。
2023-01-26 math.NT
Asymptotic Properties of Maximal $p$-Core $p'$-Partitions
对于素数$p$，我们研究了$p$ -核心$p'$ -划分（没有钩长度或部分可被$p$整除的划分）的最大可能大小。McDowell最近证明了最大值是通过一个唯一的划分达到的，比如说$Λ_p$。使用他的$Λ_p$的图论描述，我们证明了$p > 10^6$，\[\frac{1}{24}p^6 - p^5\sqrt{p} < |Λ_p| < \frac{1}{24}p^6 - \frac{1}{200}p^5\sqrt{p},\]，这表明$|Λ_p| \sim p^6/24$作为$p \to \infty$。
2022-08-21 math.CO math.NT
Divisor Goldbach Conjecture and its Partition Number
在哥德巴赫猜想和算术基本定理的基础上，将哥德巴赫猜想推广到更一般的情形，即，任何正整数都可以写成某些特定素数的和，这取决于这个整数的整除因子，即：对于任何正整数$n~(n>2)$，如果存在整数$m$，使得$m|n~( 1 < m < n )$，那么$n=\sum_{i=1}^m p_i $，其中$ p_i~(i=1,2 ,3...m)$是素数。此外，还讨论了多个素被加数的组合计数问题。对于某些特殊情况，给出了简单的证明.利用计算机进行了初步的数值验证，没有发现反例。
2016-03-14 math.NT
Note on partitions into polynomials with number of parts in an arithmetic progression
设$f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$是一个多项式，其性质是对应于每个素数$p$，存在一个整数$\ell$使得$p\nmid f(\ell)$。本文建立了整数$n$的部分取自序列$\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$的分拆数与这些分拆在某个等差数列中的部分数之间的等分布结果。
2021-03-30 math.CO math.NT
Divisibility of an analogue of $t$-core partition function by powers of primes
本文研究t-核分拆函数类似物\overline{b}_t(n)的整除性质，证明了其在特定t下模2和3任意幂的稀疏性，研究了模素数幂的算术密度，并利用Hecke算子幂零性证明了\overline{b}_3(n)模2任意幂的无限族同余式。
2024-05-02 math.NT
The Number of Parts in the (Distinct) Partitions With Parts From a Set
本文研究正整数分拆中部分取自给定集合的部分数，获得生成函数、递推恒等式及渐近估计。
2025-09-26 math.NT
Congruences like Atkin's for generalized Frobenius partitions
本文研究了$m$色广义Frobenius分拆函数$cϕ_m(n)$，证明了对于所有不依赖于$m$的显式有限集合中的素数$\ell$，存在类似Atkin的同余，核心方法是构造半整权尖点形式并结合Shimura提升与模Galois表示理论。
2025-04-04 math.NT
Prime and Touchard Congruences of Mixed-Type Bell Numbers
Department of Computer science, University of Torbat-e Jam（托尔巴特-贾姆大学计算机科学系）；Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Ferdowsi University of Mashhad（马什哈德费尔多西大学数学科学学院纯数学系）
本文建立混合型斯特林数与贝尔数的组合算术框架，连通分拆结构、Touchard 多项式与素幂同余式，结合 p 进赋值理论证明相关同余式，推广组合序列经典算术性质。
2026-09-01 math.CO math.NT
The partition function and elliptic curves
Axiom Math；University of Virginia（弗吉尼亚大学）
研究通过CM点几何解释布鲁尼尔 - 奥诺公式中配分函数的迹，得到超奇异迹公式。对特殊素数\(\ell = 5,7,11\)为拉马努金分拆同余式带来新见解，提供模理论框架，核心代数恒等式已形式化验证。
2026-07-08 math.CO math.NT
Congruence relations for r-colored partitions
设$\ell \geq 5$是素数。对于配分函数$p(n)$和$5 \leq \ell \leq 31$，Atkin发现了一些素数$Q \geq 5$的例子，使得存在形式为$p(\ell Q^{3} n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}.$的同余。最近，Ahlgren，Allen和Tang证明了对于每个$\ell$都有无穷多个这样的同余。在本文中，对于广泛的$c \in \mathbb{F}_{\ell}$，我们证明了形式$p(\ell Q^{3} n+β_{0}) \equiv c \cdot p(\ell Q n+β_{1}) \pmod{\ell}$的同余无穷多个素数$Q$。对于正整数$r$，令$p_{r}(n)$为$r$着色配分函数.我们的方法产生类似的同余$p_{r}(n)$。特别地，如果$r$是一个奇正整数，其中$\ell > 5r+19$和$2^{r+2} \not \equiv 2^{\pm 1} \pmod{\ell}$，那么我们表明，有无穷多个同余式的形式$p_{r}(\ell Q^{3}n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}$。我们的方法涉及模块化伽罗瓦表示理论。
2022-06-11 math.NT
Partitioning the set of natural numbers into Mersenne trees and into arithmetic progressions; Natural Matrix and Linnik's constant
本文通过梅森树和公差为2^k的等差数列两种方式划分自然数，构造自然矩阵以简化素数选取，并尝试将林尼克常数降至2。
2024-06-10 math.CO math.NT
Theta-type congruences for colored partitions
研究了所有$n$的$p_r(\ell m n + t) \equiv 0 \pmod{\ell}$形式的同余关系，其中$p_r(n)$是$n$的$r$着色划分的个数，$m,\ell$是不同素数.
2022-06-23 math.NT
Monomial Complete Intersections, The Weak Lefschetz Property and Plane Partitions
我们刻画了满足弱Lefschetz性质（WLP）的三个变量的单项式完全交作为基场特征的函数。我们的结果提出了一个令人惊讶的，仍然combinatorially模糊的，与枚举的平面分区。事实证明，有理素数p除以包含在给定边a，b，c的任意盒子内的平面划分的数量M（a，b，c），正是那些合适的单项式完全相交（明确地构造为a，b，c的双射函数）不具有特征p的WLP的有理素数。我们想知道组合交换代数和划分理论之间的这种联系有多强大。我们提出了第一个结果，在这个方向上，通过推导，使用我们的代数技术的WLP，一些明确的信息，合理的素数划分M（a，b，c）。
2010-09-06 math.AC math.CO math.NT
Parity of 3-regular partition numbers and Diophantine equations
令$b_3(n)$为$3$的数目-$n$的常规分区。最近，W. J. Keith和F. Zanello发现了无穷族的Ramanujan型同余模$2$的$b_3(2n)$涉及每个素数$p$与$p \equiv 13, 17, 19, 23 \pmod {24}$，和O。X. M. Yao给出了涉及每个素数$p\geqslant 5$的$b_3(2n)$的模$2$的Ramanujan型同余的新的无穷族.本文引入了$b_3(2n)$的模$2$的无限Ramanujan型同余.它们自然地补充了Keith-Zanello和Yao的结果，并涉及$\mathcal P=\{p \text{ prime } : \exists \, j\in \{1,4,8\},\, x, y \in \mathbb Z,\, \gcd(x,y)=1 \text { with } x^2+216y^2=jp\}$中Dirichlet密度为$1/6$的素数。作为一个关键因素，在我们的证明中，我们表明，原始解决方案的$x^2+216y^2=pm$，$p \in \mathcal P$，$p\nmid m$和$pm\equiv 1\pmod{24}$的数量，是由$8$整除。这里，困难来自于$216$不是idoneal的事实。我们还给出了这个丢番图方程的解的个数的一个代数精确公式。在文章的第二部分，我们研究了欧拉型恒等式的…
2022-12-19 math.NT
Distribution of 3-regular and 5-regular partitions
本文研究了分别表示$n$的$3$ -正则划分数和$5$ -正则划分数的函数$b_3(n)$和$b_5(n)$.利用模形式理论，证明了$b_3(n)$和$b_5(n)$模大于$3$的素数的几个算术性质.
2022-10-10 math.NT
$p$-adic denseness of members of partitions of $\mathbb{N}$ and their ratio sets
正整数集合$A$的比率集定义为$R(A) := \{a / b : a, b \in A\}$。研究$R(A)$在正实数集上的稠密性是一个经典的课题，最近，$p$ -adic数$\mathbb{Q}_p$集上的稠密性也得到了研究。令$A_1, \ldots, A_k$是将$\mathbb{N}$划分为$k$集合。证明了对所有素数$p$，但至多有$\lfloor \log_2 k \rfloor$例外，至少有一个$R(A_1), \ldots, R(A_k)$在$\mathbb{Q}_p$中稠密.此外，我们表明，所有的素数$p$，但在大多数$k - 1$例外至少有一个$A_1, \ldots, A_k$是密集的$\mathbb{Z}_p$。这两个结果都是最佳的意义上说，存在分区$A_1, \ldots, A_k$具有确切的$\lfloor \log_2 k \rfloor$，分别$k - 1$，例外素数，我们给他们明确的建设。此外，作为一个必然的结果，我们否定地回答加西亚等人提出的问题。
2018-08-01 math.NT
Composition-theoretic series in partition theory
我们使用整数组合物的总和类似于生成函数的分区理论，表示某些分区枚举功能的总和组成部分是$k$ -数字;我们的证明采用拉马努金的θ函数。我们探讨应用空缺的$q$系列，一类新的组合理论狄利克雷级数。
2022-09-15 math.CO math.NT
Scarcity of congruences for the partition function
普通分拆函数$p(n)$的算术性质在过去的一个世纪里一直是人们深入研究的课题。拉马努金证明了有线性同余的形式$p(\ell n+β)\equiv 0\pmod\ell$的素数$\ell=5, 7, 11$，它是已知的，没有其他这种形式。另一方面，对于每一个素数$\ell\geq 5$，有无穷多个形式为$p(\ell Q^m n+β)\equiv 0\pmod\ell$的同余的例子，其中$Q\geq 5$是素数，而$m\geq 3$是素数。这留下了开放的问题，存在这样的同余时，$m=1$或$m=2$（没有例子，在这些情况下是已知的）。我们证明在一个精确的意义上，这样的同余，如果他们存在，是非常稀缺的。我们的方法涉及到仔细研究的模块形式的半整权的充分模群，这是有关的分拆函数。在许多其他工具中，我们使用工作的拉杜，其中描述了扩展等模块化的形式沿着广场类的尖点的模块化曲线$X(\ell Q)$，伽罗瓦表示和算术大筛。
2022-12-05 math.NT
A "supernormal" partition statistic
本文研究了从整数分拆到整数素因子分解的双射映射，我们称之为分拆的“超范数”，其中分拆的部分的重数映射到自然数的素因子的重数。超范数连接到我们定义的映射族，这表明应用分区理论的技术来识别和证明整数的乘法性质是有潜力的。我们对超规范的相关分析方面作了简要的研究。然后，作为“supernorma”映射的应用（即，关于超范数统计量），我们证明了一个类似的公式Kural-McDonald-Sah给算术密度子集的$\mathbb N$，而不是自然密度在$\mathbb P$像以前的公式，这种类型;这是建立在作品的Alladi，小野，瓦格纳，和第一和第三作者。最后，使用一个表的“超常”的加法乘法对应，我们猜想阿贝尔型公式，专门为我们的主要定理和其他已知的结果。
2021-09-14 math.NT
Partition regularity of generalised Fermat equations
令$α,β,γ\in\mathbb{N}$。我们证明了给定$\mathbb{F}_p$的$r$着色与$p$素数，方程$x^α+y^β=z^γ$有多个$c_{r,α,β,γ} p^2$解，所有$x,y,z$都是相同的颜色.这里$c_{r,α,β,γ}>0$是一个常数，取决于方程中的颜色数和指数。这已经是$α=β=1$和$γ=2$的新结果，也就是说对于方程$x+y=z^2$。
2017-05-04 math.CO math.NT
Parity of 4-regular and 8-regular partition functions
我们给出了$b_8(n)$的奇偶性的一个完整的刻画，即$n$的$8$ -正则划分的个数.也就是说，我们证明了$b_8(n)$是奇数或偶数取决于我们是否有因式分解$24n+7=p^{4a+1}m^2$，对于一些素数$p\nmid m$和$a\ge 0$。
2022-12-21 math.NT
