Nekrasov--Okounkov 钩长与 $t$-核分拆的素数幂二分性

中文摘要 AI 辅助

设 $a_t(n)$ 表示 Nekrasov--Okounkov 钩长生成函数 $F_{t^2}(x)$ 的系数，$b_t(n)$ 表示 $t$-核分拆生成函数 $C_t(x)$ 的系数。我们证明了一个精确的素数幂二分性：对于每个整数 $t\ge 2$，同余式 $a_t(n)\equiv b_t(n)\pmod t$ 对所有 $n\ge 0$ 成立当且仅当 $t$ 是素数幂。当 $t=p$ 为素数时，该同余式可加强为模 $p^2$。对于 $t=6$，更一般地，对于每个非素数幂的整数，该同余式不成立。这确定了素数幂正是使这两个分拆论系数序列在算术上等价的精确模数。

英文摘要

Let $a_t(n)$ denote the coefficients of the Nekrasov--Okounkov hook length generating function $F_{t^2}(x)$, and let $b_t(n)$ denote the coefficients of the $t$-core partition generating function $C_t(x)$. We prove a sharp prime-power dichotomy: for every integer $t\ge 2$, the congruence $$ a_t(n)\equiv b_t(n)\pmod t $$ holds for all $n\ge 0$ if and only if $t$ is a prime power. When $t=p$ is prime, the congruence strengthens to modulo $p^2$. For $t=6$, and more generally for every integer that is not a prime power, the congruence fails. This identifies prime powers as the exact moduli for which these two partition-theoretic coefficient sequences are arithmetically equivalent.

发表机构

• Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）

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