Chebyshev's bias for Fermat curves of prime degree
本文证明素数次 Fermat 曲线及其部分商的素数竞赛渐近公式与 DRH 相关部分等价，并据此在 DRH 下计算其二阶矩 L 函数在 s=1 处的零点阶数。
2024-06-15 math.NT
Chebyshev's bias for products of $k$ primes
对任意的$k\geq 1$，研究了整数$n\leq x$与$ω(n)=k$或$Ω(n)=k$在两种不同等差数列中的个数之差的分布，其中$ω(n)$是$n$的不同素因子个数，$Ω(n)$是$n$的素因子个数，重数是重数.在合理的假设下，证明了当$k$为奇数时，具有$Ω(n)=k$的整数对二次非剩余类有偏好;当$k$为偶数时，具有$k$的整数对二次剩余类有偏好.这个结果证实了理查德·哈德森的一个猜想。然而，具有$ω(n)=k$的整数总是偏好二次剩余类。此外，随着$k$的增加，两种情况下的偏倚都变得越来越小。
2017-07-26 math.NT
Chebyshev's bias for products of two primes
在两个假设下，我们确定两个函数之间的差的分布，每个函数计算给定的模q的等差数列中的数< x和两个素数的乘积。这两个假设是（i）模q的Dirichlet L-函数的扩展黎曼假设和（ii）这些L-函数的非平凡零点的虚部在有理数上是线性无关的。我们的结果类似于Rubinstein和Sarnak关于等差数列中素数的结果。特别是，我们表明，两个素数的产品的偏见总是从素数的偏见逆转。例如，Rubinstein和Sarnak在（i）和（ii）中表明，在99.6%的情况下，在x之前为3 mod 4的素数比为1 mod 4的素数多，而在89.4%的情况下，两个为1 mod 4的素数的乘积比3 mod 4的素数多。
2010-01-05 math.NT
Modeling Chebyshev's Bias in the Gaussian Primes as a Random Walk
切比雪夫偏差的一个方面是一个素数$ q $模另一个素数$ p$的现象，实验上似乎比二次剩余更有可能是非二次剩余。我们认为将这种残差偏差建模为使用Legendre符号值作为步骤的“随机”行走是很有趣的。这样的模型可以让我们很容易地看到偏见。此外，我们还可以将我们的模型扩展到其他数域。在本报告中，我们首先概述了我们研究的基本理论和一些动机。在第二部分中，我们提出了我们的发现在有理数素数。我们发现的证据表明，切比雪夫的偏见，如果建模为一个勒让德符号$ \left(\frac{q}{p}\right)$步行，可能会有所减少，只允许$ q$的素数与非二次剩余（mod $ 4$）。在最后一节中，我们扩展我们的勒让德符号行走高斯素数，并提出我们的主要发现。设$ π_1 = α+βi$和$ π_2 = β+αi$。我们观察到$ \left[\frac{a+bi}{π_1}\right]$和$ \left[\frac{a+bi}{π_2}\right]$的高斯勒让德符号游走之间的强（$ \pm$）相关性，其中$ N(π_1) = N(π_2)$和$ a+bi$在第一象限中的高斯素数上迭代。我们试图解释为什么，对于某些规范，图为$ π_1$和$ π_2$有很强的正相关性，而对于其他规范，图有很强的负相关性。我们希望以这样一种方式写作，使读者在没有受过数论正规训练的情况下也能理解我们的观察。
2016-09-05 math.NT
On coefficients satisfying Chebyshev's approximation of $π(x)$
我们注意到一个有趣的和未充分表达的事实，从切比雪夫的初始边界的素数计数函数，$π(x) := \# \{p \leq x : p \text{ prime}\},$的基础上选择固定系数$d\in D$来显示$ψ(x) \asymp x$，因此选择一些$a(d)$近似相同的$μ(d)$的目标，使得：$$ \sum_{d}\frac{a(d)}{d} = 0, \quad \wedge \quad -\sum_{d}\frac{a(d)\log d}{d} \approx 1.$$
2020-12-22 math.NT
Chebyshev Action on Finite Fields
给定一个多项式f和一个有限域F，可以构造一个有向图，其中顶点是有限域中的值，从每个顶点发出的是一条边，将顶点连接到它在f下的像。当f是素数阶的切比雪夫多项式时，图显示出不寻常的对称度。在本文中，我们提供了一个完整的描述，这些图，也提供了一些例子，这些图可以用来确定在某些域扩张分解的素数。
2013-11-03 math.NT
Zsigmondy's Theorem for Chebyshev polynomials
对于整数$a$，考虑由切比雪夫多项式$T_{n}$定义的序列$(T_{n}(a)-1)_{n=1}^{\infty}$。我们列出了所有的$(n,a)$对，其中项$T_{n}(a)-1$没有本原素除子。
2021-12-06 math.NT
Power spectrum of the fluctuation of Chebyshev's prime counting function
基于Chebyshev加权素数计数函数的不同大小的涨落函数样本，数值估计了其涨落的单边功率谱。基于黎曼假设和波动函数关于所有非平凡黎曼零点的精确公式，对大频率下的功率谱进行了解析估计。我们的分析估计与1/f^2功率谱的数值估计是一致的。
2005-06-20 math.GM math.NT
An Asymptotic Formula for the Chebyshev Theta Function
设$\{p_n\}_{n\ge 1}$是素数序列，而$\vartheta(x) = \sum_{p \leq x} \log p$是切比雪夫$\vartheta$函数，其中$p$在不超过$x$的素数上运行。本文通过与$\log p_{n+1}$的比较，导出了$\vartheta(p_n)/n$的上、下界，并由此推论出$\vartheta(p_n)/n=\log p_{n+1}\left(1-\frac{1}{\log n}+\frac{\log\log n}{\log^2 n}\left(1+o(1)\right)\right).$
2019-11-17 math.NT
Efficient prime counting and the Chebyshev primes
The function $ε(x)=\mbox{li}(x)-π(x)$ is known to be positive up to the (very large) Skewes' number. Besides, according to Robin's work, the functions $ε_θ(x)=\mbox{li}[θ(x)]-π(x)$ and $ε_ψ(x)=\mbox{li}[ψ(x)]-π(x)$ are positive if and only if Riemann hypothesis (RH) holds (the first and the second Chebyshev function are $θ(x)=\sum_{p \le x} \log p$ and $ψ(x)=\sum_{n=1}^x Λ(n)$ , respectively, $\mbox{li}(x)$ is the logarithmic integral , $μ(n)$ and $Λ(n)$ are the Möbius and the Von Mangoldt functions). Negative jumps in the above functions $ε$ , $ε_θ$ and $ε_ψ$ may potentially occur only at $x+…
2011-10-17 math.NT
Fujii's development on Chebyshev's conjecture
切比雪夫提出了一个猜想后，观察到明显的偏见素数全等$3\pmod 4$。他的猜想相当于广义黎曼假设的一个版本。藤井加强了这一猜想，我们加强它仍然进一步使用的狄利克雷$L$ -函数的零点的详细计算。
2018-01-31 math.NT
Elliptic curves of unbounded rank and Chebyshev's bias
建立了$\mathbb Q$上椭圆曲线解析秩的定量无界性与高偏椭圆曲线素数族存在性之间的条件等价性.我们表明，有条件的黎曼假设和假设上的多重性的零$L(E,s)$，大的分析秩转化为一个极端的切比雪夫偏见。相反，我们表明，在一定的线性独立性假设下的零点$L(E,s)$，如果高度偏置的椭圆曲线素数种族确实存在，然后黎曼假设成立无限多个椭圆曲线$L$ -功能，并存在椭圆曲线的任意大的秩。
2013-04-30 math.NT
Chebyshev's bias for composite numbers with restricted prime divisors
设P（x，d，a）表示素数p<=x且p=a（mod d）的个数。切比雪夫偏置是P（x;d，n）>P（x;d，r）的现象，而不是相反的情况，其中n是模d的二次非剩余，r是模d的二次剩余。如果对于每个x直到某个大的数，P（x;d，n）>=P（x;d，r），则期望对于每个x，N（x;d，n）>=N（x;d，r）。这里N（x;d，a）表示整数n<=x使得n的每个素除子p满足p=a（mod d）的个数。在本文中，我们开发了一些工具来处理这类问题，并应用它们来证明，例如，对于每个x，N（x; 4，3）>=N（x; 4，1）。在这个过程中，我们表示为一个无穷级数的所谓的二阶Landau-Ramanujan常数，并表明，同样类型的公式适用于更大的一类常数。在本文的续篇中，将使用并稍微改进这里所发展的方法，以解决P. Schmutz Schücher的一个猜想，即六边形晶格比正方形晶格“更好”（见Bull.Amer.Math.Soc.35（1998），193-214，第201页）。
2001-12-11 math.NT
A Wiener-Ikehara type theorem and its application to Chebyshev bounds for Beurling primes
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Ghent University（根特大学）
本文提出了一种改进的Wiener-Ikehara定理，用于在更弱条件下验证Beurling素数系统的Chebyshev界。
2026-07-29 math.CV math.NT
The Gelfond-Schnirelman method in prime number theory
最初的Gelfond-Schnirelman方法，在1936年提出，使用$[0,1]$上的整数系数和小范数的多项式，给出了素数理论中的Chebyshev型下界。我们研究了这种方法的推广多项式在许多变量。我们的主要结果是切比雪夫的$ψ$ -函数的积分的下界，表示在加权容量。这扩展了Nair和Chudnovsky以前的工作，并将主题与由多项式型权重产生的外部场的位势论联系起来。通过求极值测度及其支集，解决了相应的位势理论问题。
2013-07-20 math.NT
Chebyshev's bias without linear independence
Institut de mathématiques de Bordeaux, Université de Bordeaux（波尔多数学研究所，波尔多大学）
在广义黎曼假设下，通过加权逆平方根的素数计数函数，证明了非平方剩余类中素数密度为1，无需对数密度或更强的零点假设。
2026-06-26 math.NT
On the proof of the Prime Number Theorem using Order Estimates for the Chebyshev Theta Function
本文研究 Selberg 和 Erdős 对素数定理的初等证明，重点推导切比雪夫 Theta 函数的阶估计，并分析辅助函数 ρ(x) 的渐近性质，以建立主要结果的等价表述。
2023-08-14 math.HO math.NT
Unconditional Chebyshev biases in number fields
素数计数函数被认为在不同的情况下会表现出超出著名的等分布结果预测的差异;这种现象被称为切比雪夫偏差。Rubinstein和Sarnak开发了一个框架，允许有条件地量化一般等差数列中素数分布的偏差。他们的分析已被Ng推广到Chebotarev密度定理的上下文中，在Artin全纯猜想、广义黎曼假设以及Artin $L$ -函数的零点线性独立假设的假设下。在本文中，我们无条件地显示在这种情况下极端偏见的发生。这些偏差远远超出了切波塔列夫密度定理的最强有效形式所能预测的范围。更确切地说，我们证明了存在一个无限族的Galois扩张和相应的共轭类$C_1,C_2\subset {\rm Gal}(L/K)$的大小相同，使得素理想的数量的范数高达$x$与Frobenius共轭类$C_1$总是超过Frobenius共轭类$C_2$，对每一个足够大的$x$ .在我们的证明中的一个关键参数依赖于对称群的某些子群的功能，使我们能够规避需要的Artin $L$ -功能的零未经证明的属性。
2022-04-04 math.NT
Explicit Bound for the Prime Ideal Theorem in Residue Classes
我们给出了广义Chebyshev函数的显式数值估计。这类显式结果对于估计产生特殊素数的算法的计算复杂性是有用的。利用复乘方法构造素域上的椭圆曲线时，需要用到这样的素数。
2017-09-28 math.NT
Exact Summatory Functions for Prime $k$-tuples
给出了一个精确的求和函数，它可以计算素数$k$ -元组的个数直到某个截止整数。然后定义第一和第二切比雪夫函数的相关$k$元组类似物。
2014-06-20 math.NT
Permutation properties of Dickson and Chebyshev polynomials and connections to number theory
第一类$k$第迪克森多项式$D_k(x) \in {\mathbb Z}[x]$由下式确定：$D_k(u+1/u) = u^k + 1/u^k$，其中$k \ge 0$和$u$是不定式。这些多项式与切比雪夫多项式密切相关，并得到了广泛的研究。Leonard Eugene Dickson在1896年证明了$D_k(x)$是${\mathbb F}_{p^n}$上的置换多项式，$p$素数，当且仅当GCD $(k,p^{2n}-1)=1$，当$p$是奇数时，他的结果很容易推广到切比雪夫多项式。这篇文章继续这个主题，因为我们发现${\mathbb F}_{p^n}$的特殊子集是稳定的或置换的迪克森或切比雪夫多项式。我们的分析还导出了Dickson多项式和切比雪夫多项式的因式分解公式以及初等数论中的一些新结果。例如，我们证明了如果$q$是奇素数幂，则$\prod\left\{ a \in{\mathbb F}_q^\times : \text{$ a $ and $ 4-a $ are nonsquares} \right\} = 2$ .
2021-05-01 math.NT
Chebyshev polynomials and higher order Lucas Lehmer algorithm
本文将Lucas Lehmer迭代法检验Mersenne素数的必要性部分推广到所有基上，并且对广义Mersenne数和Wagstaff数（后者对应于负基）都是一致的.二次迭代$x \rightarrow x^2-2$的作用是由切比雪夫多项式$T_n(x)$与隐含的迭代算法，因为组成的身份$T_n(T_m(x))=T_{nm}(x)$扩展。这是由切比雪夫多项式素性测试产生的，该测试基本上基于卢卡斯对$(ω_a,\overlineω_a)$，$ω_a=a+\sqrt{a^2-1}$，其中$a \neq 0 \pm 1$。看起来很有趣的是，算术都编码在切比雪夫多项式$T_n(x)$。
2021-10-03 math.NT
Fixed points and exact periods of Chebyshev polynomials modulo odd prime powers
Mahidol University International College, Mahidol University（玛希隆大学国际学院，玛希隆大学）
本文研究切比雪夫多项式模奇素数幂的不动点与周期结构，给出显式公式，并揭示 p=3 的例外及 p 整除 n 时的周期对应关系。
2026-09-14 math.DS math.NT
Sharper Bounds for the Chebyshev function $θ(x)$
在这篇文章中，我们提供了明确的界限，素数计数函数$θ(x)$在所有范围的$x$。对于$k=1,\ldots,5$，$θ(x)- x$的误差项的边界具有$εx$和$\frac{c_k x}{(\log x)^k}$的形状。提供了$ε$和$c_k$的数值表。
2021-01-27 math.NT
An expository review of the Chebyshev-Sylvester method in prime number theory
McGill University（麦吉尔大学）；National University of Mongolia（蒙古国立大学）；Institute of Mathematics and Digital Technology, Mongolian Academy of Sciences（蒙古科学院数学与数字技术研究所）
本文综述了切比雪夫和西维斯特在素数理论中发展的基本方法，通过计算实现并优化了其核心技术，为分析数论提供了教育资源。
2026-09-18 math.HO math.NT
Discriminants of Chebyshev Radical Extensions
设t是任意整数，固定一个奇素数。设Phi（x）= T_ell^n（x）-t表示n次切比雪夫多项式移位t的n重复合.如果这个多项式是不可约的，令K = bbq（theta），其中theta是Φ的根。一个定理的戴德金的一个条件t的K是单演的。对于其他的t值，我们应用Montes算法得到K的判别式公式，并计算整数环O_K的基元。
2013-06-07 math.NT
A Direct Proof of the Prime Number Theorem using Riemann's Prime-counting Function
在本文中，我们开发了一种新的分析方法来证明素数定理在de la Vallée Poussin的形式：$$ π(x)=\operatorname{li}(x)+\mathcal O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) $$与传统的分析方法不同的是，这种新的方法使用轮廓积分方法来分析黎曼素数计数函数$J(x)$，它与$π(x)$只有$\mathcal O(\sqrt x/\log x)$的区别。
2021-10-31 math.NT
On the arithmetic and geometric means of the prime numbers
本文建立了素数算术平均数与几何平均之比的显式上、下界，改进了现有的最佳估计。此外，我们证明了几个与Hassani所说的这个口粮有关的假设。为了做到这一点，我们使用显式估计的素数计数函数，切比雪夫的$\vartheta$ -功能和第一$n$素数的总和。
2017-09-04 math.NT
Character sums over products of prime polynomials
本文研究了$\mathbb{F}_q[t]$中多项式上的Dirichlet特征标的和问题.我们的主要结果是明确的公式，这些总和的Dirichlet L-函数的零点。我们还展示了新的现象，切比雪夫型偏差的不可约因子的数量是非常大的。
2020-03-26 math.NT
New estimates for some functions defined over primes
本文首先建立了Chebyshev $\vartheta$ -函数的新的显式估计。应用这些新的估计，我们得到新的上限和下界的一些功能定义在素数，例如素数计数函数$π(x)$，这改善了目前最好的。此外，我们利用所得到的关于素数计数函数的估计，给出了关于短区间内素数存在性的两个新结果。
2017-05-17 math.NT
Explicit versions of the prime ideal theorem for Dedekind zeta functions under GRH
设$ψ_\K$是数域$\K$的切比雪夫函数。在GRH下，我们证明了$|ψ_\K(x)-x|$在度和判别式$\K$方面的显式上界。新的界限显着改善以前已知的结果。
2015-09-17 math.NT
On the influence of the Galois group structure on the Chebyshev bias in number fields
本文研究伽罗瓦数域扩张中弗罗贝尼乌斯元分布的切比雪夫偏差，证明极端偏差与素理想计数均等的二分性，引入相关群论性质，分别刻画阿贝尔扩张和$p$-群情形下的极端偏差条件并得到Linnik型有效结论。
2024-04-10 math.NT
Estimates for $π(x)$ for large values of $x$ and Ramanujan's prime counting inequality
在本文中，我们使用切比雪夫的$\vartheta$ -函数的精细近似建立新的显式估计的素数计数函数$π(x)$，这改善了目前的最佳估计为大值的$x$。作为一个应用，我们找到了$H_0$的一个上界，它被定义为最小的正整数，使得Ramanujan素数计数不等式对每个$x \geq H_0$都成立.
2017-03-29 math.NT
Chebyshev's bias and generalized Riemann hypothesis
众所周知，$li(x)>π(x)$（i）直到（非常大的）Skewes数$x_1 \sim 1.40 \times 10^{316}$ \cite{Bays00}。但是，根据Littlewood定理，由于黎曼zeta函数$ζ(s)$的非平凡零点$γ$的特定分布，存在无限多个违反不等式的$x$，由等式$li(x)-π(x)\approx \frac{\sqrt{x}}{\log x}[1+2 \sum_γ\frac{\sin (γ\log x)}γ]$（1）编码。如果黎曼假设（RH）成立，则由于Robin \cite{Robin84}，（i）可以被等价的陈述$li[ψ(x)]>π(x)$（ii）代替。切比雪夫发现了一个类似于（i）的陈述，即$π(x;4,3)-π(x;4,1)>0$（iii）对任何$x<26861$ \cite{Rubin94}成立（符号$π(x;k,l)$表示直到$x$并与$l\mod k$全等的素数的数目）。{ \it切比雪夫偏置}（iii）与广义黎曼假设（GRH）有关，并以对数密度$\approx 0.9959$ \cite{Rubin94}发生。本文将一般模$q$的Chebyshev偏置问题转化为不等式$B(x;q,R)-B(x;q,N)>0$（iv），其中$B(x;k,l)=li[ϕ(k)*ψ(x;k,l)]-ϕ(k)*π(x;k,l)$是Robin的论文\c…
2011-12-11 math.NT
New estimates for the $n$th prime number
本文建立了$n$第素数的一个新的显式上下界，改进了Dusart在2010年给出的目前最好的估计.作为主要的工具，我们使用最近获得的一些显式估计素计数函数。另一个主要工具是使用关于$\log p_n$的倒数的估计。作为一个应用，我们得到了$\vartheta(p_n)$在$n$方面的精确估计，其中$\vartheta(x)$是Chebyshev的$\vartheta$ -函数.
2018-10-04 math.NT
Effective estimates for some functions defined over primes
本文给出了定义在素数上的几个经典算术函数的有效估计。首先，我们找到最小的实数$x_0$，使一些不等式涉及Chebyshev的$\vartheta$ -功能保持每$x \geq x_0$。在此基础上，我们给出了关于短区间内素数存在性的一些新结果。此外，我们得到了新的上限和下界的一些功能定义在素数，例如素数计数函数$π(x)$，这改善了目前的最佳估计相似的形状。
2022-06-29 math.NT
An Inductive Proof of Bertrand's Postulate
本文将证明一个著名的关于素数的问题。贝特朗假设指出，如果n > 1，则总有一个素数p，且n < p < 2n。Bertrand公设并不是一个较新的被证明的公设，事实上，在他的假设和数值证据之后，Chebyshev是第一个证明它的人，随后，Ramanujan利用Γ函数的性质证明了它，Erdös利用Primoral函数发表了一个更简单的证明，p#。我们的方法是独特的，在这个意义上，我们已经使用数学归纳法找到的上限和下界的第二Chebyshev函数，他们甚至比Ramanujan边界发现使用Γ函数。除此之外，我们的方法与拉马努金证明的方法相似。
2016-11-29 math.NT
On the mean values of the Chebyshev functions and their applications
本文改进了切比雪夫函数均值的新估计，并据此在特定有理逼近条件下证明了带素数线性指数和的更强上界，同时研究了 Hardy-Littlewood 数在公差为素数幂的短算术级数中的分布。
2025-02-25 math.NT
MacMahonesque partition functions detect sets related to primes
本研究在已有MacMahon分拆函数检测素数、类麦克马洪函数有无穷多素数检测表达式的基础上，修改构造方法，实现了对素数立方和等差数列中素数的检测。
2025-01-17 math.NT
Quasimodular Forms, Partitions, and Primes in Intervals
University College Cork（科克大学）；United States Naval Academy（美国海军学院）
本文利用素数探测拟模形式的性质，证明素数无穷性，构造基于分拆的因式分解算法，并揭示系数分布与区间素数存在性的关联，同时推广至算术级数及Linnik问题。
2026-09-29 math.NT
Families of Congruences for Fractional Partition Functions Modulo Powers of Primes
最近，Chan和Wang（Fractional powers of the generating function for the分拆函数.阿里斯学报。187（1），59- 80（2019））研究了分拆函数的生成函数的分数幂，并发现了相应系数满足的几个同余式。在本文中，我们发现了一些新的模素数幂同余族。我们也发现类似的结果的系数的分数权力的生成函数的2-色分拆函数。
2020-06-14 math.NT
Towards Proving Legendre's Conjecture
研究对于大于1的整数n和固定整数k≤n，是否存在质数p使kn < p < (k + 1)n，基于埃尔德什对伯特兰-切比雪夫定理的证明，用初等组合技术明确确定N(k)，使n >= N(k)时kn与(k + 1)n间至少有一个质数。
2026-07-21 math.NT
Partitions into prime powers
对于子集$\mathcal A\subset \mathbb N$，令$p_{\mathcal A}(n)$表示对所有部分位于$\mathcal A$中的$n$的分区进行计数的受限分拆函数。本文利用Hardy-Littlewood圆方法的一种变形，给出了$p_{\mathcal A}(n)$的一个渐近公式，其中$\mathcal A$是素数的$k$次幂的集合（对于固定的$k$）.这结合了沃恩的工作分区成素数与作者以前的结果分区成$k$次权力。这个新的渐近公式是过去几年关于限制分拆函数的几个结果所表明的模式的推广。比较这些结果并排，我们讨论了一个通用的策略，其中一个可以分析$p_{\mathcal A}(n )$为一个给定的集合$\mathcal A$。
2021-02-20 math.NT
Highly biased prime number races
切比雪夫在给福斯的一封信中观察到，$4n+3$形式的素数往往比$4n+1$形式的素数多。一般的现象称为切比雪夫偏置，即素数在不同的剩余类$\bmod q$中的分布倾向于偏置。已知这种现象与相关的$L$函数的低位零点有很强的关系，也就是说，如果这些$L$函数具有接近于实数线的零点，则它将导致较低的偏置。根据这一原理，人们可能会认为，我们将发现的最有偏见的素数种族是Li $(x)$与$π(x)$种族，因为黎曼ζ函数是具有最高第一个零的秩1的$L$函数。这个种族的密度是0.99999973...我们研究这是否是最高密度的问题。我们将证明事实并非如此，事实上存在素数种族，其密度可以任意接近1。密度超过上述数值的小种的一个例子是以4849845为模的二次剩余和非剩余之间的小种，其密度是0.999999928.我们也给出了相当一般的标准来决定一个素数种族是否是高度偏见或没有。我们的主要结果依赖于广义黎曼假设和一个假设上的多重零点的某一戴德金ζ函数。在线性独立假设下，我们也得到了更精确的结果。
2012-10-28 math.NT
Chebyshev's bias for products of irreducible polynomials
对任意$k\geq 1$，本文研究了在不同等差数列中，在$\mathbf{F}_q[t]$中有$k$不可约因子（有重数或无重数）的多项式的个数.得到了$k$在一定范围内一致计数函数差的渐近公式。在一般情况下，偏差随着模或$k$的程度变大而消散，但也存在偏差极端的情况。与$k$与素数乘积的情形不同，我们证明了在函数域的设置下完全偏差的存在，即差函数可以有常数符号.几个例子说明了这一新现象。
2020-01-10 math.NT
On the Primes in the Interval [3n, 4n]
对于区间[kn，（k+1）n]中是否总有素数这个老问题，著名的伯特兰公设对k=1给出了肯定的答案。这是由P.L.切比雪夫在1850年，和一个优雅的初等证明是由P.Erdos在1932年。M. El Bachraoui在2006年使用初等技巧证明了k=2的情况。本文给出了k=3情形的一个证明，同样没有使用素数定理或任何深层次的分析结果。此外，我们还给出了区间[3n，4n]中素数个数的一个下界，表明当n趋于无穷大时，区间[3n，4n]中素数个数趋于无穷大.
2011-10-11 math.NT
Predicting the size ranking of minimal primes in the generalised Goldbach partitions
本文研究广义哥德巴赫划分中最小素数大小的排序，提出仅依赖m2和m1素因子的预测函数，与实验数据高度相关，并给出数值结果。
2025-10-23 math.NT
On a problem on partitions into distinct primes
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文解决了Guy数论未解决问题中L(n)-K(n)是否无界的公开问题，利用Vinogradov定理推论与Sierpiński1948年的素数间隙结果给出肯定解答。
2026-10-15 math.NT
Explicit smoothed prime ideals theorems under GRH
设$ψ_{\mathbb K}$是数域$\mathbb K$的切比雪夫函数。设$ψ^{(1)}_{\mathbb K}(x):=\int_{0}^{x}ψ_{\mathbb K}(t)\,d t$和$ψ^{(2)}_{\mathbb K}(x):=2\int_{0}^{x}ψ^{(1)}_{\mathbb K}(t)\,d t$。在GRH下证明了差分$|ψ^{(1)}_{\mathbb K}(x) - \tfrac{x^2}{2}|$和$|ψ^{(2)}_{\mathbb K}(x) - \tfrac{x^3}{3}|$的显式不等式.我们推导出一个计算戴德金ζ函数的留数的有效算法和小范数素理想的一个界。
2015-09-17 math.NT
New bounds for $ψ(x)$
本文给出了素数计数函数$ψ(x)$的新的显式切比雪夫界。证明依赖于两个新的参数：平滑的素数计数函数，允许推广以前的方法，和一个新的明确的零密度估计的黎曼ζ函数的零点。
2013-10-23 math.NT
Prime Number Races
这是一篇关于素数竞赛的调查文章。切比雪夫注意到在上半年的十九世纪，任何给定的价值x，似乎总是有更多的素数的形式4n +3小于x然后有形式4n +1。类似的观察已经在3n +2和3n +1形式的素数，10n +3/10n +7和10n +1/10n +9形式的素数，以及其他许多形式的素数上进行了。更一般地，可以考虑qn + a，qn + b，qn + c，>.我们最喜欢的常数q，a，b，c.并试图找出哪些形式是"首选"的其他。在本文中，我们更详细地描述了这些现象，并解释了在理解它们方面所做的努力。
2004-08-24 math.NT
A Prime-Power Dichotomy for Nekrasov--Okounkov Hook Lengths and $t$-Core Partitions
Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）
本文证明：Nekrasov--Okounkov 钩长系数与 $t$-核分拆系数模 $t$ 同余对所有 $n$ 成立，当且仅当 $t$ 为素数幂；素数时加强为模 $p^2$，非素数幂时同余失败。
2026-10-02 math.NT
Limiting properties of the distribution of primes in an arbitrarily large number of residue classes
我们推广目前已知的分布结果的Shanks-Rényi素数比赛的情况下，任意多个剩余类。我们的方法处理经典的情况下，可以追溯到切比雪夫和功能领域的类似物在最近几年。更准确地说，令$π(x;q,a)$为直到$x$的素数的数目，这些素数与$a$模$q$全等。对于一个固定的整数$q$和不同的可逆同余类$a_0,a_1,\ldots,a_D$，假设广义黎曼假设和弱版本的线性独立性假设，我们证明了集合的$x$真正的不等式$π(x;q,a_0)>π(x;q,a_1)> \ldots >π(x;q,a_D)$同时满足允许对数密度。
2019-10-15 math.NT
Irreducibility of generalized Fibonacci polynomials
一个二阶多项式序列是Fibonacci型$\mathcal{F}_{n}$（Lucas型$\mathcal{L}_{n}$）的，如果它的比内公式具有与Fibonacci（Lucas）数的结构相似的结构.在一定条件下，这些多项式是不可约的当且仅当$n$是素数。例如，当$n$是素数时，斐波那契多项式、佩尔多项式、费马多项式、卢卡斯多项式、佩尔-卢卡斯多项式、费马-卢卡斯多项式是不可约的;而当$n$是素数时，切比雪夫多项式（第二类）、摩根-沃伊斯多项式（斐波那契型）和韦达多项式是可约的。本文给出了当$n$是素数时Fibonacci型多项式和Lucas型多项式是否不可约的几个定理。
2022-02-03 math.NT
