Completions and algebraic formulas for the coefficients of Ramanujan's mock theta functions
我们提出了模拟θ函数到权$1/2$的调和弱Maass形式的完备化和模拟θ函数系数的代数公式。我们给出了几个以仿θ函数为全纯部分的权$1/2$的调和弱Maass形式.利用这些调和弱Maass形式和Millson θ提升，我们计算有限代数公式的系数出现的模拟θ函数的痕迹奇异模。
2019-12-18 math.NT
Short proofs for $q$-Raabe formula and integrals for Jacobi theta functions
我们将回答一个问题MezIgnon的$q$ -模拟Raabe的积分公式为$0<q<1$，我们将评估一个积分涉及第一个θ函数。此外，我们将重现一些身份的MezIgn短的证明。
2016-09-22 math.NT
Chebyshev's bias for irrational factor function
本文研究 $k$ 阶无理因子函数在数域与函数域中的分布，推导平均值渐近公式并给出误差项的 omega 结果，进而分析其和的切比雪夫偏差现象。
2025-05-05 math.NT
Functional Equation for Theta Series
本文给出了Siegel-Jacobi空间上的θ级数在Jacobi模群作用下的变换公式。这个公式推广了Mumford在他的书[第189页，Tata Lectures on Theta I（1983），Birkhauser]中得到的公式（5.1）。
2008-09-06 math.NT
Algebraic formulas for the coefficients of mock theta functions and Weyl vectors of Borcherds products
我们提出了一些应用的Kudla-Millson和Millson θ电梯。这两种提升分别将弱全纯模函数映射到权值为$3/2$和$1/2$的向量值调和马斯形式。给出了Ramanujan模拟θ函数$f(q)$和$ω(q)$的系数关于弱全纯模函数的CM-值的迹的有限代数公式.进一步，我们构造了阴影为一元θ函数，全纯部分具有有理系数的向量值调和Maass型.这产生模拟θ函数的系数的合理性结果，即，阴影位于一元θ函数空间的调和马斯形式。此外，我们构造的调和Maass型还可以用来计算具有调和Maass型的一元θ函数的Petersson内积，给出了Borcherds乘积的Weyl向量的计算公式和合理性结果.
2017-03-24 math.NT
Partitions of primes by Chebyshev polynomials
基于有理数上的切比雪夫多项式，引入了素数集的划分。所有这些分区的素密度的建立。给出了$SL(2,\mathbb Q)$的欧拉判据，它是切比雪夫多项式代数与分拆数论性质之间的桥梁。它表明如何获得以这种方式的一些经典理论的卢卡斯序列。新的语言揭示了这个问题的一个隐藏的对称性。作为应用，讨论了简单动力系统（旋转和某些区间映射）的数论性质。
2020-08-03 math.NT
Seesaw Identities and Theta Contractions with Generalized Theta Functions, and Restrictions of Theta Lifts
证明了θ函数与多项式的一个跷跷板恒等式，并建立了相应的θ压缩公式。然后，我们用它来确定的限制θ电梯子格拉斯曼，与一些应用程序。
2020-09-13 math.NT
Hecke-type double sums, Appell-Lerch sums, and mock theta functions (I)
通过建立部分θ函数与Appell-Lerch和之间的联系，找到并证明了Heck型二重和用Appell-Lerch和与θ函数表示的一个公式.我们的公式不仅证明了经典的赫克型双和身份，如那些在工作卡茨和彼得森仿射李代数和赫克模形式，但一旦我们有赫克型形式的Ramanujan的模拟θ函数我们的公式给出了直接的证明，许多经典的模拟θ函数身份。特别地，我们得到了一个新的证明的mock theta代数。我们的公式也适用于正水平的字符串函数与可容许的表示的仿射李代数$A_1^{(1)}$介绍的卡茨和Wakimoto。
2012-08-07 math.NT
A general formula for Hecke-type false theta functions
本文提出一个通用公式，将Hecke型双和分解为θ函数和虚假θ函数，涵盖Matsusaka的分解，并与$b^2-ac>0$情况下的分解结构相似。
2022-12-27 math.NT
Permutation properties of Dickson and Chebyshev polynomials and connections to number theory
第一类$k$第迪克森多项式$D_k(x) \in {\mathbb Z}[x]$由下式确定：$D_k(u+1/u) = u^k + 1/u^k$，其中$k \ge 0$和$u$是不定式。这些多项式与切比雪夫多项式密切相关，并得到了广泛的研究。Leonard Eugene Dickson在1896年证明了$D_k(x)$是${\mathbb F}_{p^n}$上的置换多项式，$p$素数，当且仅当GCD $(k,p^{2n}-1)=1$，当$p$是奇数时，他的结果很容易推广到切比雪夫多项式。这篇文章继续这个主题，因为我们发现${\mathbb F}_{p^n}$的特殊子集是稳定的或置换的迪克森或切比雪夫多项式。我们的分析还导出了Dickson多项式和切比雪夫多项式的因式分解公式以及初等数论中的一些新结果。例如，我们证明了如果$q$是奇素数幂，则$\prod\left\{ a \in{\mathbb F}_q^\times : \text{$ a $ and $ 4-a $ are nonsquares} \right\} = 2$ .
2021-05-01 math.NT
Explicit inner product formulas and Bessel period formulas for HST lifts
本文给出了GSp（4）上的θ级数的一个内积公式和一个Bessel周期公式。因此，我们证明了一个非零的θ系列的小重量，我们给一个标准的非零的θ系列模一个素数。
2018-10-05 math.NT
Chebyshev's Bias against Splitting and Principal Primes in Global Fields
Shimane University（岛根大学）；Toyo University（东洋大学）
本文基于深度黎曼假设，探讨了切比雪夫偏差的成因，提出了一种新的偏差表述方法，并在伽罗华扩张中建立了素数偏差的判据，应用于阿贝尔扩张中的非分裂和非主素数偏差研究。
2026-06-10 math.NT
On a theta product of Jacobi and its applications to $q$-gamma products
本文给出了Jacobi的一个乘积公式的新证明，证明了它等价于Goelman未加证明的一个$q$ -三角积.我们应用这个公式推导出一个$q$ -模拟高斯乘法公式的Γ函数。进一步给出了$q$ -Γ函数的短积的显式公式。
2019-01-26 math.NT
Explicit formula for the $(\text{GL}_2, \text{GL}_2)$ theta lift via Bruhat decomposition
本文通过 Bruhat 分解和 Kronecker-Eisenstein 级数构造流，给出了无平滑化的类型 II $(\ ext{GL}_2, \ ext{GL}_2)$ theta 提升的显式公式，并推广到 CM 域情形。
2024-09-19 math.NT
On a product of three theta functions and the number of representations of integers as mixed ternary sums involving squares, triangular, pentagonal and octagonal numbers
本文推导了三个theta函数乘积的线性组合一般公式，并由此得到两个theta函数乘积的公式，进而应用于整数表示为平方数、三角数、广义五角数和广义八边形数的混合三元和问题。
2024-10-17 math.NT
Transcendental formulas for the coefficients of Ramanujan's mock theta functions
本研究证明了拉马努金最后一封信中全部17个伪θ函数的精确系数公式，同时给出了奇秩格相伴韦伊表示的克洛斯特曼和之和的界定理，推进了伪θ函数系数的精确表达研究。
2025-09-02 math.NT
Radial Limits of the Universal Mock Theta Function $g_3$
参考拉马努金最初对模拟θ函数的定义，罗兹要求给出通用模拟θ函数$g_2$和$g_3$的径向极限的明确公式。最近，Bringmann和Rolen发现了$g_2$特化的公式。在这里，我们对待的情况下，$g_3$，概括径向极限结果的秩生成函数的福尔松，小野，和罗兹。此外，我们发现五阶模拟θ函数的径向极限的表达式不同于Bajpai，Kimport，Liang，Ma和Ricci。
2015-12-16 math.NT
A simple evaluation of a theta value and the Kronecker limit formula
我们评估了经典的和$\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-πn^2}$。我们的方法的新颖之处在于，它不需要任何关于模形式，椭圆函数或解析延拓的先验知识。即使是用来表示结果的$Γ$函数，在用留数定理计算实积分时，也只是作为一个复变函数出现。本文的另一个贡献是提供了克罗内克极限公式的一个非常简单的证明。
2021-07-18 math.NT
Theta lifts for Lorentzian lattices and coefficients of mock theta functions
我们评估正则化的θ电梯洛伦兹晶格在三种不同的方式。特别是，我们得到的公式，其值在特殊点涉及的系数模拟θ函数。通过比较不同的评估，我们得到的递归系数的模拟θ函数，如Hurwitz类数，安德鲁斯的spt函数，和Ramanujan的模拟θ函数。
2020-01-07 math.NT
A theory of theta functions to the quintic base
四个五次θ函数的性质与经典的Jacobi零θ函数的性质并行发展。证明了五次θ函数满足Jacobi的四次θ函数恒等式的类似物和Jacobi的符号公式的重复、减少和改变原理的对应物。由此产生的五次变换公式库是用来描述系列多节的模形式在简单的矩阵运算。这些努力最终在一个正式的技术推导出的各种组合生成函数，包括分拆函数的同余模5的权力。进一步分析的五次θ函数进行探索其模块化的性质和他们的连接到爱森斯坦系列。由此产生的关系导致五次θ函数的微分方程的耦合系统。
2013-04-02 math.NT
Toward explicit formulas for higher representation numbers of quadratic forms
已知平均Siegel θ级数位于Siegel Eisenstein级数空间中。而且，每个具有偶整二次型的格都位于极大格中。在这里，我们考虑平均西格尔θ系列的程度2重视最大格，我们构建地图的平均θ系列是一个特征形。我们评估的行动，这些地图上Siegel Eisenstein系列的程度2（不知道他们的傅里叶系数），然后实现平均θ系列作为一个明确的线性组合的Eisenstein系列。
2011-10-28 math.NT
Whittaker functions on ${\rm GL}_n$ via theta lifting
本文通过θ提升方法推导了GL_n(C)上Whittaker函数的新显式公式，并计算了相关的Asai局部积分。
2026-02-06 math.NT
Theta Functions and Reciprocity Laws
在第一部分中，我们考虑广义二次高斯和作为Jacobi θ函数的有限模拟，并将高斯和的互反律作为它们的变换公式。我们附加有限狄利克雷级数高斯和使用默比乌斯变换，并显示他们有一个函数方程，欧拉积因式分解，和根只在临界线上。第二部分利用Siegel上半空间上Riemann θ函数的变换公式，证明了任意元有理二次型指数和的一个一般互反律。
2019-10-20 math.NT
Mock Theta Function Identities Deriving from Bilateral Basic Hypergeometric Series
对应于许多三阶、五阶、六阶和八阶模拟θ函数的双边级数可以作为$_2ψ_2$级数\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a,c;q)_n}{(b,d;q)_n}z^n. \]的特殊情况导出。利用Bailey给出的该级数的三个变换公式导出了这些模拟θ函数和相应的双边级数的各种变换和求和公式。\\新的和现有的求和公式，这些双边系列也被用来明确在一些情况下的事实，即对于一个模拟θ函数，说$χ(q)$，和一个单位根在一定的类，说$ζ$，有一个θ函数$θ_χ(q)$，使\[ \lim_{q \to ζ}(χ(q) - θ_χ(q)) \]存在，作为$q \to ζ$从单位圆内。
2019-06-27 math.NT
Periods of modular forms on $Γ_0(N)$ and products of Jacobi theta functions
推广了\cite{Z1991}关于第一层模形式的一个结果，给出了$Γ_0(N)$上所有Hecke本征形乘以其二元奇周期多项式之和的闭公式，该公式是任意无平方层$N$的Jacobi θ级数的一个乘积.我们还表明，对于$N=2$，~3和~5这个公式完全确定的所有Hecke特征形的所有权$Γ_0(N)$的傅立叶展开。
2017-06-23 math.NT
Chebyshev's bias without linear independence
Institut de mathématiques de Bordeaux, Université de Bordeaux（波尔多数学研究所，波尔多大学）
在广义黎曼假设下，通过加权逆平方根的素数计数函数，证明了非平方剩余类中素数密度为1，无需对数密度或更强的零点假设。
2026-06-26 math.NT
Some extensions for Ramanujan's circular summation formula
本文给出了两个Jacobi θ函数的混合乘积的Ramanujan循环求和公式的一些推广。作为应用，我们还得到了Jacobi θ函数的一些有趣的恒等式.
2019-01-24 math.NT
On the integral of the fourth Jacobi theta function
我们将Raabe公式推广到$q$ -loggamma函数。由此得到第四Jacobi θ函数在其最小虚零点之间的对数的积分与分拆函数和黎曼ζ函数有关。
2011-06-06 math.NT
The Fourier coefficients of metaplectic theta series on GL(2) over rational function fields
元θ函数的概念是由久保田富雄在20世纪60年代提出的。这些θ函数被构造为爱森斯坦级数的留数，并且仅在双覆盖的情况下是完全已知的，并且对于三覆盖，直到常数的模糊性。在1992年杰夫Hoffstein出版的公式，这些可以计算在某些情况下超过一个有理函数域。作者在2007年提出了另一种方法。这两种方法都以封闭形式给出系数。有理函数域是不寻常的，因为它有一个大的自同构群。在本文中，我们表明，这个群体有一个操作的系数。此操作在显式公式中不可见。
2014-11-27 math.NT
Some new sums of $q$-trigonometric and related functions through a theta product of Jacobi
本文计算了涉及$q$ -三角函数和$q$ -双Γ函数的有限和与无限和.在让$q$逼近$1$时，人们得到经典三角函数和双Γ函数的相应和。我们的主要论点是一个θ积公式的Jacobi和Goelman的$q$三角恒等式。
2019-03-07 math.NT
Uniform asymptotic formulas for the Fourier coefficients of the inverse of theta functions
本文利用基本的渐近分析方法，建立了Jacobi θ函数的逆函数的傅里叶系数的一些一致渐近公式。特别是，我们回答并改进了Bringmann、Manschot和Dousse提出和调查的一些问题。作为应用，我们建立了Dyson，Andrews和Garvan提出和研究的整数划分的秩和曲柄的渐近单调性。
2021-03-30 math.CO math.NT
On the wavefront sets associated with theta representations
研究了$p$ -adic域上覆叠群的θ表示所对应的波前集中的极大元的一个代数公式。特别是，它表明，该公式与现有的工作在文献中的各种家庭的群体。我们还概括了阿基米德的情况下，这激发了在$p$ -adic设置的结构公式的类似公式的结果。
2020-08-09 math.NT math.RT
Power spectrum of the fluctuation of Chebyshev's prime counting function
基于Chebyshev加权素数计数函数的不同大小的涨落函数样本，数值估计了其涨落的单边功率谱。基于黎曼假设和波动函数关于所有非平凡黎曼零点的精确公式，对大频率下的功率谱进行了解析估计。我们的分析估计与1/f^2功率谱的数值估计是一致的。
2005-06-20 math.GM math.NT
On the difference of partial theta functions
形式为add（（-1）^n q^（n（n-1）/2）x^n，n>=0）的和称为部分θ函数。在他丢失的笔记本中，拉马努金记录了这些功能的许多身份。2003年，Warnaar发现了两个部分θ函数之和的一个简洁公式。随后，Andrews和Warnaar对两个偏θ函数的乘积建立了类似的结果。本文讨论了Andrews-Warnaar恒等式与Gasper和Rahman的乘积公式（1986）之间的关系。利用Sears-Carlitz变换对3 π_2的无限延拓，给出了两个部分θ级数差的一个伴随恒等式的一个新的简洁证明.这个差分公式最早出现在Schilling-Warnaar（2002）的工作中。最后，我证明了Schilling-Warnnar（2002）和Warnaar（2003）公式实际上是等价的。
2020-06-04 math.CO math.NT
Analogues of the general theta transformation formula
考虑一类新的包含汇合型超几何函数${}_1F_{1}(a;c;z)$和Riemann $Ξ$ -函数的积分.它推广了一类包含S的某些积分的类。Ramanujan，G.H. Hardy和W.L. Ferrar和作为副产品给出了形式为$F(z,α)=F(iz,β)$的变换公式，其中$αβ=1$。作为特殊的例子，我们推导出一个扩展版本的一般θ变换公式和推广的某些公式的Ferrar和Hardy。一个著名的身份Ramanujan的一个变量的推广也给出了。最后，我们推广了Ramanujan，Hardy和J.E.涉及默比乌斯函数无穷级数的Littlewood问题。
2011-11-21 math.CA math.NT
Frobenius' theta function and Arakelov invariants in genus three
给出亏格为3的紧致连通Riemann曲面的Kawazumi-Zhang不变量和Faltings δ-不变量的显式表达式。这些公式是在两个积分相关的雅可比，一个积分涉及标准黎曼θ函数，另一个涉及θ函数特别是亏格三是发现的弗罗贝纽斯。我们回顾Frobenius的工作的一部分，他的θ函数和连接我们的结果与公式由于布洛赫，海恩和博斯特描述阿基米德高度配对的Ceresa周期属三。
2020-01-31 math.AG math.NT
False Theta Functions and the Verlinde formula
我们发现了经典部分和假θ函数的新分析性质及其在W-代数和一般顶点代数的表示论中的潜在应用。更准确地说，从共形域论的线索的动机，首先，我们能够确定正则化的部分和假θ函数的模的变换性质。然后，在对单顶点代数W（2，2 p-1）的正则化部分/伪θ函数进行适当的识别后，给出并证明了不可约W（2，2 p-1）-模融合规则的Verlinder型公式.
2014-11-21 hep-th math.NT math.QA
Asymptotic formulas for coefficients of inverse theta functions
我们确定了一个自然类的负指数和负重量的Jacobi形式的系数的渐近公式。这些系数可以被视为n到k个颜色的分区的数量$p_k(n)$的细化。这项工作的部分动机是，它们等于代数曲面S上点的希尔伯特方案的贝蒂数，并且在物理学中也作为Bogomolny-Prasad-Sommerfield（BPS）状态的计数出现。
2014-02-05 hep-th math.NT
Faltings height and Néron-Tate height of a theta divisor
我们证明了一个公式，该公式在给定代数数上的主极化阿贝尔簇$(A,λ)$的情况下，将$A$的稳定Faltings高度与$A$上对称theta因子的Néron-Tate高度联系起来。我们的公式完善了Bost、Hindry、Autissier和Wagener的早期结果。我们公式中的局部非阿基米德项可以表示为$(A,λ)$热带化的热带矩。
2022-02-01 math.AG math.NT
Analytic summation of series involving higher-order derivatives of Chebyshev polynomials of the second kind and their applications to convolved linear recurrent sequences
本文通过解析求和确定Chebyshev二类多项式高阶导数级数的收敛有理函数，并推导出Fibonacci、Lucas和Pell数及其卷积的组合恒等式。
2026-06-17 math.CO math.CV math.NT
Self cup products and the theta characteristic torsor
本文给出了上同调自上积与非交换上同调连通映射之间的一般关系式，并应用它得到了Weil配对自上积的一个公式.
2011-04-12 math.AG math.NT
On the regularized Siegel-Weil formula (the second term identity) and non-vanishing of theta lifts from orthogonal groups
我们推导了偶正交群的正则化Siegel-Weil公式的（弱）第二项恒等式，该恒等式用于获得“第二项范围”内的Rallis内积公式。作为一个应用，我们证明了从正交群的全局theta提升的以下非零结果。设$π$是正交群$O(V)$的尖点自守表示，其中$\dim V=m$为偶数，$r+1\leq m\leq 2r$为偶数.进一步假设存在位置$v$，使得$π_v\congπ_v\otimes\det$。如果（不完全的）标准$L$ -函数$L^S(s,π)$在$s=1+\frac{2r-m}{2}$不为零，则$π$到$Sp_{2r}$的全局θ提升直到通过自守行列式字符的扭转都不为零.注意，我们没有对$V$或$π$施加进一步的条件。我们还显示类似的非零结果时，$m > 2r$（“第一项范围”）的极点的$L^S(s,π)$，并考虑“最低发生”猜想的θ电梯从正交群。
2009-07-10 math.NT math.RT
Extended Landen's formulas and double product theta functions
本文推广任意正整数 $p$ 下的 Landen 公式，并利用亏格 2 theta 函数表示亏格 1 的双积，给出含 Borwein 三次恒等式在内的应用实例。
2024-12-08 math-ph math.MP math.NT
Some elementary remarks on the powers of a partial theta function and corresponding q-analogs of the binomial coefficients
本文研究了偏theta函数的幂及其对应的二项式系数的q-模拟，推导出了该函数正幂和负幂系数的计算公式。
2024-08-26 math.CO math.NT
Mock theta functions and indefinite modular forms II
本文计算了模拟θ函数$Φ^{[m,0] \, \ast}$的Zwegers修正，并研究了修正函数$\tildeΦ^{[m,0] \, \ast}$的显式中出现的不定模形式的模变换性质.
2022-10-10 math.NT math.RT
Kronecker theta function and a decomposition theorem for theta functions I
Kronecker theta函数是Jacobi θ函数的商，它也是Ramanujan的$_1ψ_1$求和的特例。以Kronecker θ函数为构造块，证明了θ函数的一个分解定理.这个分解定理是大量θ函数恒等式的共同来源。许多引人注目的θ函数的身份，无论是经典的和新的，是从这个分解定理容易。建立了一个新的θ函数加法公式。在椭圆θ函数理论中，由于Ramanujan，Weierstrass，Kiepert，Winquist和Shen等人的一些已知结果被重新讨论。证明了一个奇异的三角恒等式。
2020-12-03 math.CV math.NT
The Regularized Siegel-Weil Formula (The Second Term Identity) and the Rallis Inner Product Formula
本文建立了Siegel-Weil公式的第二项恒等式，并导出了任意对偶对的全局θ提升的Rallis内积公式.作为一个推论，我们解决了史蒂夫拉利斯发起的全球theta电梯的非零问题。
2014-01-21 math.NT math.RT
On recursions for coefficients of mock theta functions
我们使用一个广义的Lambert级数恒等式，由于第一作者提出的q-级数证明最近的结果Imamoglu，Raum和Richter有关的递归公式的两个三阶模拟θ函数的系数。此外，我们讨论了这个身份的其他模拟θ函数的应用。
2015-11-12 math.CO math.NT
Theta functions and transformations of bilateral basic hypergeometric series
School of Mathematics and Statistics, The Center for Applied Mathematics of Guangxi, Guangxi Normal University（广西师范大学数学与统计学院，广西应用数学中心）
本文通过theta函数和双侧基本超几何级数建立新变换公式，构造伴生q级数，证明McIntosh关于q级数渐近变换的猜想，并扩展了Ramanujan和McIntosh的一些恒等式。
2026-05-14 math.CA math.CO math.NT
Jacobi's triple product, mock theta functions, unimodal sequences and the $q$-bracket
在拉马努金给哈代的最后一封信中，他列举了一种奇怪的新无穷级数的例子，他称之为“模拟θ函数“。事实证明，所有这些例子本质上都是戈登-麦金托什的所谓通用模拟θ函数$g_3(z,q)$的特殊化。在这里，我们表明，$g_3$自然产生的经典Jacobi三重积的倒数-并密切联系到单峰序列，这是连接到模拟模块化和量子模形式的秩生成函数-在一个操作相关的统计物理和分区理论，$q$ -括号布洛赫Okounkov的行动。其次，我们发现$g_3(z,q)$在$q$中推广到整个复平面减去单位圆，并给出了这个泛拟θ函数在单位根处的一个有限公式，与文献中的其他公式相比，它是简单的;我们还指出了其他$q$ -超几何级数的类似公式。最后，我们看看有趣的“量子”行为的模拟θ函数内，外，和单位圆。
2017-12-27 math-ph math.CO math.MP
