A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
2019-03-13 math.CO math.NT
Applications of Faà di Bruno's formula to partition traces
本文通过经典 Faà di Bruno 公式重新审视多种分拆理论生成函数，为已知结果提供统一解释，并为推导类似新恒等式建立系统框架。
2025-07-01 math.CO math.NT
Formulas for Jacobi forms and generalized Frobenius partitions
自从安德鲁斯提出广义弗罗贝纽斯分拆以来，引起了许多作者的兴趣，其中许多人已经推导出了特定情况下其母函数的显式公式。这揭示了有趣的组合结构，并导致证明了一些同余。在本文中，我们展示了如何安德鲁斯的生成函数可以在Eichler和Zagier的雅可比形式的框架内铸造。这种重新表述使我们能够计算广义Frobenius分区生成函数的显式公式（实际上提供了潜在的组合感兴趣的进一步功能的公式），它导致了一个递推公式来计算它们的无限$q$ -产品。
2016-10-22 math.CO math.NT
A Rademacher-type exact formula for partitions without sequences
本文证明了无序列分拆数的精确公式，利用模形式与mock theta函数乘积及圆法，并评估Kloosterman和。
2023-06-21 math.CO math.NT
On Fibonacci partitions
我们证明了OEIS A000119的一个精确公式，该公式将分区计数为不同的斐波那契数。我们还建立了它的平均值的精确公式，并确定了渐近行为。
2020-09-17 math.CO math.NT
Exact Formulae for the Fractional Partition Functions
分拆函数$p(n)$一直是解析数论在组合学中应用的试验场。特别是，哈代和拉马努金发明了“圆的方法”来估计的大小$p(n)$，这是后来完善的拉德马赫谁获得了一个确切的公式。最近，Chan和Wang考虑了由$\sum_{n = 0}^\infty p_α(n)x^n := \prod_{k=1}^\infty (1-x^k)^{-α}$定义的分数分拆函数。本文利用Rademacher圆方法找到了$p_α(n)$的一个精确公式，并研究了它的意义，包括对数周期和高阶推广（即，图兰不等式），$p_α(n)$满足。
2020-02-15 math.CO math.NT
Explicit formulas using partitions of integers for numbers defined by recursion
本文给出了一个用正整数$n$的分拆表示的显式公式，用以表示一类由递归定义的数列的第$n$项.我们的证明仅以算术为基础。我们比较我们的结果与类似的公式，不同的方法已经在十九世纪。例子给出了伯努利，欧拉和斐波那契数。
2013-02-27 math.CO math.NT
M_2-rank differences for partitions without repeated odd parts
本文证明了无重奇部分拆的M_2秩差的生成函数公式。这些公式是用模形式和广义Lambert级数表示的。
2007-05-31 math.CO math.NT
Partition-theoretic Frobenius-type limit formulas
本研究利用分拆生成函数技术，证明了推广复幂级数Abel收敛定理的Frobenius公式的q级数类似形式，明确了序列平均值存在时对应q级数极限与序列平均值的等价关系。
2024-04-13 math.CO math.NT
Partition-theoretic formulas for arithmetic densities, II
在早期的工作推广1977年定理的阿拉迪，作者证明了一个分区理论公式计算算术密度的某些子集的正整数$\mathbb N$作为极限值的$q$ -系列作为$q\to ζ$单位根（而不是使用通常的狄利克雷级数计算密度），取代乘法结构的$\mathbb N$类似结构的整数分区$\mathcal P$。在最近的工作中，王获得了广泛的推广阿拉迪的原始定理，其中素数子集的算术密度计算为由狄利克雷卷积产生的狄利克雷级数的值。在这里，作者证明了王的扩展有一个分区理论的类似物，以及产生新的$q$系列密度公式的任何子集的$\mathbb N$。要做到这一点，我们概述了理论的$q$ -系列密度计算的第一原则，基于一个统计，我们称之为“$q$ -密度”的一个给定的子集。这个理论反过来又产生了无穷多个算术密度的进一步公式。
2021-04-06 math.CO math.NT
Number of partitions of n with a given parity of the smallest part
我们得到了一个令人惊讶的加权分割平等的Berkovich和Uncu的组合证明。我们的证明自然地导致一个公式的分区与给定的奇偶性的最小的部分，在S（i），分区的数量i到不同的部分与偶数排名减去数量与奇数排名，有一个几乎闭公式安德鲁斯，戴森和希克森。这种计算n的最小部分的奇偶性给定时的划分数的方法是实用而有效的。
2022-05-12 math.CO math.NT
Asymptotic Formula for $(t+1)$-Regular Partitions
Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）
本文基于 saddle point 方法，推导了 (t+1) 正则划分数 p(N,t) 的渐近公式，并讨论了其在对称群特征表零点估计中的应用。
2026-03-20 math.CO math.NT
Power Partitions
在1918年，哈代和拉马努金发表了开创性的文件，其中包括一个渐近公式的分拆函数。在他们的论文中，他们还没有证明就声称了$p^k(n)$的渐近等价性，即一个数$n$分成$k$次幂的分割数。本文利用Hardy-Littlewood圆方法给出了$p^k(n)$的一个渐近公式。我们还提供了一个公式的差异函数$p^k(n+1)-p^k(n)$。作为证明的必要步骤，我们得到了$\sum_{m=1}^q e(\frac{am^k}{q})$形式的指数和的非平凡界。
2015-06-19 math.CO math.NT
On Explicit Formula for Restricted Partition Function
本文提出了一种新的计算限制分拆函数的递推方法。在此基础上，得到了限制分拆函数的显式表达式。
2001-10-04 math.NT
A note on the exact formulas for certain $2$-color partitions
本文利用Sussman的结果，推导出$p\leq 23$时$2$色分拆函数$a_p(n)$的精确公式及$\log a_p(n)$的渐近公式，部分推广了Mauth证明的Banerjee等人关于$\log a_2(n)$的渐近公式猜想。
2024-06-08 math.CO math.NT
Partition-theoretic formulas for arithmetic densities
如果$\gcd(r,t)=1$，然后一个定理的Alladi提供莫比乌斯和身份$$-\sum_{\substack{ n \geq 2 \\ p_{\rm{min}}(n) \equiv r \pmod{t}}} μ(n)n^{-1}= \frac{1}{φ(t)}. $$这里$p_{\rm{min}}(n)$是最小的素因子的$n$。右侧表示固定算术级数模$t$中素数的比例。轨迹广义这Chebotarev密度伽罗瓦扩展。在回答一个问题的Alladi，我们得到类似的这些结果的算术密度的子集的正整数使用$q$系列和整数分区。对于密度为$d_§$的正整数的适当子集$§$，我们证明了\[- \lim_{q \to 1} \sum_{\substack{ λ\in \mathcal{P} \\ \rm{sm}(λ) \in §}} μ_{\mathcal{P}} (λ)q^{\vert λ\vert} = d_§,\]（其中和取整数分划$λ$），$μ_{\mathcal{P}}(λ)$是一个分划论的莫比乌斯函数，$\vert λ\vert$是分划$λ$的大小，$\rm{sm}(λ)$是$λ$的最小部分.特别是，我们得到的$π$的偶幂的分割理论公式时，考虑功率免费的整数。
2017-05-09 math.CO math.NT
Partitions in which every term but the smallest one is consecutive
本文提出了“几乎连续分割”的概念，即除最小项外各项均连续，并推导了其最小部分相关公式、组合解释及渐近公式。
2024-03-23 math.CO math.NT
Exact formula for cubic partitions
该研究推导得出三次分拆函数的精确公式，同时证明了Banerjee、Paule、Radu和Zeng提出的相关猜想，为数论领域的分拆函数研究提供了新结论。
2023-05-05 math.NT
On Stanley's Partition Function
Stanley将分拆函数t（n）定义为n的分区$λ$的数量，使得$λ$的奇数部分的数量与共轭分区$λ'$的奇数部分的数量以4为模全等。我们证明了t（n）等于n的具有偶数个偶数长度钩子的划分数。我们导出了p（n）-t（n）的生成函数的封闭形式公式。因此，我们看到t（n）与普通的分拆函数p（n）对任何n都具有相同的奇偶性。还提供了一个简单的组合解释这一事实。
2010-06-27 math.CO math.NT
Short proof of Rademacher's formula for partitions
本文利用权模形式$-r/2$和$2+r/2$之间的对偶关系，重新推导了$r$ -色划分的公式$1 \le r \le 24$，包括Rademacher关于普通划分的著名结果.
2018-11-17 math.NT
A superasymptotic formula for the number of plane partitions
我们重新审视一个公式的数量的平面分区由于Almkvist。使用圆的方法，我们提供了修改他的公式以及估计的误差。我们证明了改进的公式仍然是一个渐近级数。然而，最佳截断（即，超渐近）的公式提供了所有正整数n <6400的平面划分的确切数目和具有较大值的估计误差的数目。例如，该公式正确地再现了由估计误差预测的6999的平面分区数的316位中的305位。我们相信，超渐近截断可能会导致确切的数字为正整数高达50000。
2014-07-29 hep-th math.CO math.NT
On double sum generating functions in connection with some classical partition theorems
我们专注于编写封闭形式的生成函数的分区数与间隙条件作为双和开始从组合建设。这里要讨论的具有间隙条件的划分集的一些例子是罗杰斯-拉马努金、格尔尼茨-戈登和小格尔尼茨划分集。本文的工作还包括寻找相关生成函数的有限类似物，以及讨论一些相关的级数和多项式恒等式。此外，我们提出了一个不同的建设和双和表示的产品类似的罗杰斯-拉马努金身份出现。
2021-07-27 math.CO math.NT
A determinant formula for the partition function p(7k + a)
我们推导出分拆函数p（n）的表达式，其中n的形式为7k+a，作为（k+1）维行列式。
2011-06-16 math.NT
A Rademacher Type Formula For Partitions and Overpartitions
给出了一个Rademacher型收敛级数公式，它推广了$n$的分块数的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式和$\vartheta_4(0\vert τ)^{-1}$的傅里叶系数的Zuckerman公式.
2013-12-03 math.NT
Uniform asymptotic formulas of restricted bipartite partitions
在本文中，我们研究$π(m,n)$，\emph{bipartite number} $(m,n)$划分成\emph{steadily decreasing}部分的数目，这是由L.Carlitz在“划分中的问题”，杜克数学杂志30（1963），203- 213中引入的。我们给出了整数分拆的曲柄统计量$M(m,n)$和$π(m,n)$之间的关系。利用这一关系，建立了$π(m,n)$的一些一致渐近公式。
2020-02-09 math.NT
Asymptotic formulas for general colored partition functions
1917年，Hardy和Ramanujan得到了经典配分函数$p(n)$的渐近公式。经典配分函数$p(n)$已被广泛研究。最近，Luca和Ralaivaosaona得到了平方根函数的渐近公式。一些特殊的有色分拆函数上的同余关系一直受到数学家的关注。本文研究了一般有色分拆函数。给定正整数$1=s_1<s_2<\dots <s_k$和$\ell_1, \ell_2,\dots , \ell_k$。令$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$为$n$的$\ell$着色分区的数量，其中颜色的$\ell_i$仅出现在$s_i\ (1\le i\le k)$的乘法中，其中$\ell = \ell_1+\cdots +\ell_k$。通过使用初等方法，我们获得了带有显式误差项的配分函数$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$的渐进公式。
2016-10-19 math.NT
An Explicit Formula for Restricted Partition Function through Bernoulli Polynomials
导出了正整数${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（Sylvester波）的显式表达式.这些公式表示为高阶周期系数伯努利多项式的有限和形式。
2004-06-30 math.NT
Partitions into distinct parts with bounded largest part
我们证明了一个渐近公式的分区$n$到不同的部分，其中最大的部分是最多$t\sqrt{n}$固定$t \in \mathbb{R}$的数量。我们的方法遵循的概率方法Romik，谁给了一个更简单的证明Szekeres的渐近公式为不同的部分分区时，而不是部分的数量是有界的$t\sqrt{n}$。虽然等效于圆法/鞍点法计算，但概率方法在一定程度上预测了渐近公式的形状。
2020-11-09 math.CO math.NT math.PR
A Hardy-Ramanujan-Rademacher-type formula for $(r,s)$-regular partitions
令$p_{r,s}(n)$表示将正整数$n$划分为不包含$r$或$s$的倍数的部分的数目，其中$r>1$和$s>1$是无平方、互素的整数。我们使用经典的方法得到了$p_{r,s}(n)$的Hardy-Ramanujan-Rademacher型无穷级数。
2019-01-05 math.NT
Rademacher-type exact formula and higher order Turán inequalities for $r$-colored $\ell$-regular partitions
Indian Institute of Technology Indore（印度印多尔理工学院）
本文利用圆法建立了 $r$-色 $\ell$-正则分拆的 Rademacher 型精确公式，并据此推导出相应分拆函数的高阶 Turán 不等式，同时推广到不同部分分拆和最小排除数之和等情形。
2025-11-08 math.NT
Rademacher's Formula for the Partition Function
对于正整数$n$，令$p(n)$为将$n$表示为正整数之和的方式的数量。在本说明中，我们重新推导的Rademacher收敛级数$p(n)$在教学的方式，所有的细节。当$n$趋于无穷大时，我们还得到了$p(n)$的领先渐近行为.给出了一些数值结果。
2023-02-08 math.NT
Elementary formulas for integer partitions
本文给出了整数分拆上函数的各种精确公式，包括函数$p(n)$和$p(n,k)$，分别表示$n$的分拆数和分拆成精确$k$部分的分拆数.例如，我们将证明$$ p(n) = \sum_{d|n} \sum_{k=1}^{d} \sum_{i_0 =1}^{\lfloor d/k \rfloor} \sum_{i_1 =i_0}^{\lfloor\frac{d- i_0}{k-1} \rfloor} \sum_{i_2 =i_1}^{\lfloor\frac{d- i_0 - i_1}{k-2} \rfloor} ... \sum_{i_{k-3}=i_{k-4}}^{\lfloor\frac{n- i_0 - i_1-i_2- ...-i_{k-4}}{3} \rfloor} \sum_{c|(d,i_0,i_1,i_2,...,i_{k-3})} μ(c) (\lfloor \frac{d-i_0-i_1-i_2- ... i_{k-3}}{2c} \rfloor - \lfloor\frac{i_{k-3}-1}{c} \rfloor).$$我们的证明是基本的。
2010-04-27 math.NT
Asymptotic Formulas Related to the $M_2$-rank of Partitions without Repeated Odd Parts
给出了$M_2$秩生成函数和$M_2$秩生成函数在单位根处的矩的渐近展开式。为此，我们应用Hardy-Ramanujan圆方法扩展到模拟模形式。我们的公式为$M_2$ -秩在根的单位导致渐近的某些组合的$N2(r,m,n)$（分区的数量没有重复奇数部分的$n$与$M_2$秩全等的$r$模$m$）。这使我们能够推导出不等式之间的某些组合的$N2(r,m,n)$。特别地，解决了毛泽东的几个不等式.
2019-02-22 math.NT
Asymptotics of various partitions
研究了各种划分的个数的渐近公式，如3色划分、凹划分、某些平面划分、无小部分划分、p-环的个数。
2006-12-15 math.NT
Exact formulae for ranks of partitions
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文通过证明Bringmann公式在特定条件下的精确性，为划分秩的精确公式提供了新方法，并推导出Dyson猜想的新证明途径。
2026-01-20 math.NT
On Petersson's partition limit formula
对于每个素数$p\equiv 1\pmod{4}$，考虑Legendre字符$χ=(\frac{\cdot}{p})$。令$p_\pm(n)$为将$n$划分为部分$λ>0$的数目，使得$χ(λ)=\pm 1$。彼得森证明了一个美丽的极限公式的比例$p_+(n)$ $p_-(n)$作为$n\to\infty$表示的重要不变量的真正的二次领域$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$。但他的证明并不具有启发性，Grosswald使用Stolz-Cesàro定理的Tauberian逆证明了一个更自然的证明。在本文中，我们提出了一种方法来解决Grosswald猜想。我们讨论的单调性猜想，这看起来很自然的上下文中的单调性定理的贝特曼-Erdés。
2020-11-30 math.NT
An Analytic Formula for Numbers of Restricted Partitions from Conformal Field Theory
本文研究二维共形域论（CFT）中的不规则顶点算子的分解子，提出了计算分块个数的精确解析公式：1）对给定的$N,k$，求出$N$的长度$k$分块的总数$λ(N|k)$：$N=n_1+...+n_k;0<n_1\leq{n_2}...\leq{n_k}$ . 2)通过联系$λ(N)=\sum_{k=1}^Nλ(N|k)$共形域论中不规则顶点算子的两点短程关联函数，给出了$λ(N|k)$的精确解析表达式（本文中确定了算子的形式）：其中第一相关器对上半部分中的分区进行计数-第一个相关器通过形式为$f(z)=h(z)e^{-{i\over{z}}}$的保角变换获得，其中$h(z)$是正则的并且在$z=0$处不为零。$λ(N|k)$的最终公式是根据$z=iε$（$ε\rightarrow{0}$）上的上述共形变换的广义高阶导数Schwarzian和不完全Bell多项式中的正则化（$ε$ -序）有限级数给出的。
2017-03-02 hep-th math-ph math.MP
On the Quantum Density of States and Partitioning an Integer
本文利用量子多粒子态密度和数论中整数分割之间的联系。对于一维谐振子势中的$N$玻色子，众所周知，渐近（N ->无穷大）态密度与将数n划分为整数之和的Hardy-Ramanujan公式相同。我们证明，同样的统计力学技术在幂律谱玻色子的态密度产生的分区公式p^s（n），后者是分区的数量n到一组整数的s次幂和。通过对统计技术进行适当的修改，我们也能够获得不同分区的d^s（n）。我们发现，不同的正方形划分d^2（n）作为n的函数，关于我们导出的光滑曲线表现出明显的振荡。从量子的角度来看，这些振荡的起源进行了讨论。在用我们的方法推导出$s=1$情形的限制分拆的Erdos-Lehner公式后，我们将其推广得到了不同限制分拆的一个新公式.
2003-09-08 math-ph math.MP math.NT
