Separable Integer Partition Classes
将经典的剖分母函数方法发展成为一种具有广泛应用的工具。著名定理的新的扩展推导，并提出了新的结果分区与n副本n。
2020-08-14 math.NT
Some Elementary Partition Inequalities and Their Implications
我们证明了各种不等式之间的分区与最大的部分上的限制和部分的出现的一些限制的数量。我们探讨了许多有趣的后果，这些分区不平等。特别是，我们表明，对于$L\geq 1$，分区与$l-s \leq L$和$s=1$的数量大于分区与$l-s\leq L$和$s>1$的数量。这里，$l$和$s$分别是分区的最大部分和最小部分。
2017-08-07 math.CO math.NT
Elementary Proofs of Two Congruences for Partitions with Odd Parts Repeated at Most Twice
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
本文通过初等方法证明了关于有奇数部分最多重复两次的划分函数在模2下的两个同余式，解决了Merca提出的经典证明需求。
2025-08-08 math.NT
Prime Plus a Non-Square-Free Integer: An Elementary Approach
The University of Queensland（昆士兰大学）
本文用初等同余和有限计算，无条件证明了 Lee-O'Clarey 猜想对不被 997# 整除的 n>24 成立，反例必被所有≤997 的素数整除且大于 10^415。
2026-09-15 math.NT
Positive alternating sums of integer partitions
我们结合了一个扩展版本的贝利变换与身份的Bressoud和一些身份的Berkovich和Warnaar证明了各种积极的结果涉及分拆函数交替和。
2020-03-05 math.NT
On the number of parts of integer partitions lying in given residue classes
改进以前的工作的主题，我们使用赖特的圆的方法来获得一个渐近公式的部分在所有分区的整数是在任何给定的等差数列。
2016-04-04 math.NT
Partitions of the set of nonnegative integers with the same representation functions
对于一组非负整数$S$，令$R_{S}(n)$表示整数$n$的无序表示的数目，作为来自$S$的两个不同项的和。在本文中，我们专注于分区的自然数成两个集提供相同的表示功能。我们解决了列夫和陈最近的一个问题。
2016-08-10 math.NT
Difference in the Number of Summands in the Zeckendorf Partitions of Consecutive Integers
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的分区作为非连续斐波那契数的和。我们研究了两个连续整数的分拆中的被加数之差。特别地，令$L(n)$为$n$的分区中的被加数。我们刻画了所有正整数，使得$L(n) > L(n+1)$，$L(n) < L(n+1)$，和$L(n) = L(n+1)$。此外，如果是$L(n) < L(n+1) > L(n+2)$，我们称$n+1$为$L$的峰，如果是$L(n) > L(n+1) < L(n+2)$，我们称其为$L$的二次峰。我们表征了$L$的所有这些峰和凹点。
2020-10-24 math.NT
An elementary approach to the generalized Ramanujan-Nagell equation
设$k$是一个固定的正整数，其中$k>1$。本文利用数论中的各种初等方法，给出了方程$x^2+(2k-1)^y=k^z$无正整数解$(x,y,z)$且有$y\in\{3,5\}$的判别准则.
2023-01-13 math.NT
Counting Restricted Partitions of Integers into Fractions: Symmetry and Modes of the Generating Function and a Connection to $ω(t)$
受整数分拆研究的启发，我们考虑将整数分拆成特定形式的分数，即具有常数的分数和不同的奇数或偶数分子。当分子是奇数时，小于分母的整数的分区数形成对称模式。如果项数限制为$h$，则生成函数的非零项是单峰的，整数$h$具有最多的分区。这样的性质可以应用于一类特殊的非线性丢番图方程。我们还研究了分子为偶数的分区。证明了整数$t$有$2^{ω(t)}-2$分拆成分数，其中第一个$x$是$y$的连续偶数分子和相等分子，其中$0<y<x<t$ .然后，我们用它来产生推论，如一个狄利克雷级数的身份和扩展的总理欧米茄函数的复平面，虽然这种扩展是不是解析无处不在。
2020-11-30 math.NT
The Number of Parts in Certain Residue Classes of Integer Partitions
我们使用圆的方法来推导渐近公式的功能有关的部分的分区，特别是剩余类的数量。
2015-09-30 math.NT
Computation of $P(n,m)$, the Number of Integer Partitions of $n$ into Exactly $m$ Parts
描述了计算$P(n,m)$的两种算法，即$n$的整数划分成$m$部分的数目，并使用这两种算法的组合，得到的算法是$O(n^{3/2})$。第二个算法使用一个$P(n)$列表，$n$的整数分区数，它被缓存，因此只需要计算一次。计算此列表也是$O(n^{3/2})$。利用这些算法，还可以在$O(n^{3/2})$中计算$Q(n,m)$（将$n$整数划分为$m$不同部分的数目）和$Q(n)$列表（将$n$整数划分为不同部分的数目）。可以在$O(n^2)$中计算$P(n,1)..P(n,n)$和$P(m,m)..P(n,m)$的列表。列出了实现这些算法的计算机代数程序，并提供了该程序的一些时序。
2022-06-06 math.NT
On Erdos's elementary method in the asymptotic theory of partitions
设m是正整数，A是属于r个模m不同同余类并的所有正整数的集合.我们假设A的元素是互素的，即gcd（A）= 1。设p_A（n）表示n分成属于A的部分的个数。我们得到了logp_A（n）~ π \sqrt（2 rn/3 m）的渐近公式.证明是基于Erdos的初等方法，以获得通常的分拆函数p（n）的渐近公式。
2000-02-21 math.CO math.NT
Elementary Proofs of Congruences for POND and PEND Partitions
本文从算术角度研究 POND 和 PEND 两类整数分拆，证明了两个无限族的 Ramanujan 式同余，使用初等 q-级数恒等式、生成函数操作和数学归纳法。
2023-08-19 math.NT
On partitions of integers with restrictions involving squares
本文研究了正整数的带平方限制的分拆问题。我们主要建立了以下两个结果（Sun在2013年提出）：（i）每个正整数$n$都可以写为$n=x+y+z$ with $x,y,z$正整数使得$x^2+y^2+z^2$是正方形，除非$n$具有形式$n=2^{a}3^{b}$或$2^{a}7$ with $a$和$b$非负整数. (ii)具有$n\not=11,14,17$的每个整数$n>7$可以被写为具有$x,y,z$正整数的$n=x+y+2z$，使得$x^2+y^2+2z^2$是正方形。
2021-05-26 math.NT
On the mean average of integer partition as the sum of powers
本文研究了函数$r_{k,s}(n)$，即$r_{k,s}(n)$的（有序）表示数为$s$的正$k$次幂之和，其中整数为$k,s\ge 2$ .我们检查函数的平均值，或者等价地，检查\begin{equation*} \sum_{m=1}^n r_{k,s}(m). \end{equation*}
2022-11-19 math.NT
Distribution of the k-regular partition function modulo composite integers M
令$b_k(n)$表示自然数$n$的$k-$正则分块。本文研究了$b_k(n)$模复合整数$M$与$6$互质的性质.特别地，我们证明了对于任意$k-$正则分割函数$b_k(n)$和与$6$互质的整数$M$，存在无穷多个$b_k(n)$模$M$的Ramanujan型同余.
2022-12-09 math.NT
Congruence modulo 4 for Andrews' integer partition with even parts below odd parts
本文发现并证明了具有某些三元二次型的Andrews分拆的一类模4同余。我们还讨论了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的分布，并进一步证明了几乎所有的$n$都有$\overline{\mathcal{EO}}(n)\equiv0\pmod4$.本研究的灵感来自于第二作者和Garvan的工作中的模4的类似同余。
2021-10-25 math.NT
Interpolating Classical Partitions of the Set of Positive Integers
我们构造了一个易于描述的正整数划分成$n$不交集的家庭基本上相同的结构，为每个$n \geq 2$。在特殊情况下，它在Beatty $\frac{1}ϕ + \frac{1}{ϕ^2} = 1$分区（$n=2$）和2-adic分区之间插值为$n \rightarrow \infty$。然后，我们分析如何在一个分区的集合中的元素的成员关系到在另一个集合中的成员关系。我们详细研究了两个Beatty分区之间的相互作用以及上述$ϕ$ Beatty分区与其“扩展”到第一部分中详细描述的三个集合的相互作用。在第一种情况下，我们得到详细的结果，而第二种情况下，我们放置一些相互作用的限制，但不能得到详尽的结果。
2018-10-29 math.NT
A Note on Goldbach Partitions of Large Even Integers
令$Σ_{2n}$是从区间$(4,2n], n>2,$到两个奇素数部分的所有偶数划分的集合。我们证明了$\midΣ_{2n}\mid\sim 2n^2/\log^2{n}$是$n\to\infty$。我们还假设从集合$Σ_{2n}$中随机均匀地选择一个分区。设$2X_n\in (4,2n]$为该分区的大小。我们证明了一个极限定理，建立$X_n/n$弱收敛到两个随机变量的最大值，这两个随机变量是一个均匀分布的随机变量在区间$(0,1)$的独立副本。我们的证明方法是基于一个经典的Tauberian定理由于哈代，Littlewood和Karamata。我们还表明，同样的渐近方法可以适用于划分成一个任意和固定数量的奇素数部分的整数
2015-01-10 math.NT
Elementary Proofs of Infinite Families of Congruences for Merca's Cubic Partitions
最近，使用模形式和斯穆特的{ \tt Mathematica}实现拉杜的算法证明分区同余，梅尔卡证明了以下两个同余：对于所有$n\geq 0,$ \begin{align*} A(9n+5) & \equiv 0 \pmod{3}, \\ A(27n+26) & \equiv 0 \pmod{3}. \end{align*}这里$A(n)$是密切相关的功能，计数的数量{ \it立方分区}，分区，其中偶数部分被允许出现在两个不同的颜色。实际上，$A(n)$被定义为将$n$三次分割成偶数部分的数目与将$n$三次分割成奇数部分的数目之间的差。在这个简短的说明中，我们通过经典的生成函数操作提供了这两个同余的初等证明。然后，我们证明了两个无限家庭的非嵌套Ramanujan的模3的同余满足$A(n)$其中梅尔卡的原始两个同余作为每个家庭的初始成员。
2022-08-24 math.CO math.NT
A New Class of Linear Relations for Scalar Partitions
针对标量整数分拆问题，提出一种基于变量消去程序和Cayley定理将二重分拆归约为标量分拆之和的算法，用于推导有限个标量分拆的线性关系。
2025-09-15 math.NT
On the Elementary Symmetric Functions of $\{1,1/2,\dots,1/n\}\backslash\{1/i\}$
本文研究从调和数列前 $n$ 项中删去 $1/i$ 后所得集合的初等对称函数的整数性，证明当 $n\geqslant5$ 时均非整数，仅 $n=i=2$ 和 $n=i=4$ 为例外。
2025-02-25 math.NT
On the Injectivity of Elementary Symmetric Partitions and the Multiset Recovery Problem
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）
该论文通过素数指数编码将初等对称划分映射与多重集恢复问题关联，证明在Moser根集外映射单射，并解决等大小约束下的奇异长度单射性及纤维基数上界。
2026-09-21 math.CO math.NT
The $5$-divisible integer group determinants for the elementary abelian group of order 25
Mahidol University International College（玛希隆大学国际学院）
本文针对25阶初等阿贝尔群C₅×C₅，证明其5-可整除群行列式的反向包含关系，结合已有结果完成25阶群的Taussky-Todd整数群行列式问题分类。
2026-08-06 math.NT
Newman's conjecture for the partition function modulo integers with at least two distinct prime divisors
本文证明了在素因子个数为d的正整数集合中，满足划分函数Newman猜想的正整数M的密度为1，并将该类猜想推广至弱全纯模形式，应用于t-core划分与广义Frobenius划分。
2025-05-29 math.NT
Integer Partitions With Restricted Distinct Parts
本文研究正整数分拆为互不相同部分且禁止特定模 $t$ 同余类的计数函数 $Q_{t}^{s}(n)$，并利用 $q$-级数与 theta 函数恒等式证明了若干 Ramanujan 型同余式。
2025-08-18 math.NT
An elementary proof of a result Ma and Chen
1956年，Je $\acute{s}$ Manowicz证明了：对于正整数$m$和$n$，且具有$m>n, \, \gcd(m,\, n)=1$和$m\not\equiv n\pmod{2}$，指数丢番图方程$(m^2-n^2)^x+(2mn)^y=(m^2+n^2)^z$只有正整数解$(x,\,y,\, z)=(2,\,2,\,2)$ .最近，Ma和Chen \cite{MC17}证明了猜想，如果$4\not|mn$和$y\ge2$。本文给出了Ma和Chen \cite{MC17}结果的一个初等证明.
2019-03-01 math.NT
Infinite Families of Congruences Modulo 5 for Ramanujan's General Partition Function
对于任何非负整数$n$和非零整数$r$，令$p_r(n)$表示Ramanujan的一般分拆函数。利用$q$恒等式，证明了$p_r(n)$对$r=-(5λ+1), -(5λ+3), -(5λ+4), -(25λ+1)$，$-(25λ+2)$和任意整数$λ$的模5的Ramanujan型同余.
2020-08-14 math.NT
An Elementary Analysis of the Prime Partition Function
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文通过初等方法证明了素数划分函数pp(n)的对数渐近于2π√(n/(3 log n))，并展示了该方法可推广到相关问题的渐近估计。
2026-06-04 math.CO math.NT
An Elementary Proof of the Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
每个欧几里得整环$R$都有一个极小欧氏函数$ϕ_R$。一个配套文件\cite{Graves}介绍了一个公式来计算$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$。它是非平凡数域的整数环的最小欧几里得函数的第一个公式。它通过研究集合$B_n = \left \{ \sum_{j=0}^n v_j (1+i)^j : v_j \in \{0, \pm 1, \pm i \} \right \}$的几何来实现，然后应用Lenstra的结果$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}^{-1}([0,n]) = B_n$来提供$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$的简短证明。伦斯特拉的证明需要大量的代数背景知识。本文利用集合$B_n$的新几何证明了$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}$的公式，而不用Lenstra的结果.新的几何方法让我们只使用初等方法来证明伦斯特拉定理。然后，我们应用新的公式来回答Pierre Samuel的开放性问题：$ϕ_{\mathbb{Z}[i]}^{-1}(n)$的大小是多少？附录提供了答案表和相关的SAGE代码。
2022-05-27 math.NT
On Andrews' integer partitions with even parts below odd parts
最近，Andrews定义了一个划分函数$\mathcal{EO}(n)$，它计算$n$中每个偶数部分小于每个奇数部分的划分数。他还定义了一个分区函数$\overline{\mathcal{EO}}(n)$计数分区数$n$列举的$\mathcal{EO}(n)$，其中只有最大的偶数部分出现奇数次。安德鲁斯建议对$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的性质进行更广泛的研究。本文证明了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的无穷同余族。接下来我们研究$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的宇称性质。证明了在$\overline{\mathcal{EO}}(N)$为偶数的等差数列中有无穷多个整数$N$;在$\overline{\mathcal{EO}}(M)$为奇数的等差数列中有无穷多个整数$M$，只要至少有一个整数.最近，Uncu处理了由$\mathcal{EO}(n)$枚举的分区的不同子集。证明了Uncu配分函数对几乎所有的$k$都可被$2^k$整除.我们使用模形式和Hecke特征形的算术性质来证明我们的结果。
2020-02-18 math.NT
Partitions of finite nonnegative integer sets with identical representation functions
设$\mathbb{N}$是所有非负整数的集合。对于$S\subseteq \mathbb{N}$和$n\in \mathbb{N}$，令表示函数$R_{S}(n)$表示方程$n=s+s'$与$s, s'\in S$和$s<s'$的解的数目。本文用$C\cup D=[0, m]$和$|C\cap D|=2$确定了$C, D\subseteq \mathbb{N}$的结构，使得对任何非负整数$n$，$R_{C}(n)=R_{D}(n)$都成立.
2022-08-14 math.NT
Parity distribution and divisibility of Mex-related partition functions
Andrews和Newman为正整数$n$的整数划分$λ$引入了mex-函数$\text{mex}_{A,a}(λ)$，该正整数$n$是与$a$模$A$全等的最小正整数，该正整数不是$λ$的一部分。然后他们将$p_{A,a}(n)$定义为$n$满足$\text{mex}_{A,a}(λ)\equiv a\pmod{2A}$的分区数$λ$。他们针对任何正整数$t$找到了$p_{t,t}(n)$和$p_{2t,t}(n)$的母函数，并研究了它们对于$t$的一些小值的算术性质。本文研究了配分函数$p_{mt,t}(n)$对所有正整数$m$和$t$的配分函数.我们证明了对于足够大的$X$，使得$p_{mt,t}(n)$是偶数的所有正整数$n\leq X$的个数对于所有正整数$m$和$t$至少是$\mathcal{O}(\sqrt{X/3})$.我们还证明了，对于足够大的$X$，所有正整数$n\leq X$，使$p_{mp,p}(n)$是一个奇数的数量至少是$\mathcal{O}(\log \log X)$对所有$m\not \equiv 0\pmod{3}$和所有素数$p\equiv 1\pmod{3}$。最后，我们建立了连接普通配分函数到$p_{mt,t}(n)$的恒等式。
2023-03-07 math.NT
Elementary results on the binary quadratic form a^2+ab+b^2
本文用初等方法证明了二进制二次型$a^2+ab+b^2$中数的一些有趣性质，其中$a$和$b$是非负整数.本文的主要发现是（i）素数$p$可以表示为$a^2+ab+b^2$当且仅当$p$是$6k+1$的形式，唯一的例外是3，（ii）任何正整数可以表示为$a^2+ab+b^2$当且仅当它的所有不处于相同形式的素因子在标准分解式中具有偶数指数，以及（iii）$a^2+ab+b^2$形式的整数的所有因子也具有相同的形式，其中$a$和$b$是正的并且彼此互素。给出了任意正整数在这种形式下不同表示数的一般公式。与其他二元二次型的性质的结果进行了比较。
2004-08-09 math.NT
Distribution of Coefficients of Modular Forms and the Partition Function
设$\ell\ge5$为奇素数，$j, s$为正整数.本文研究了模奇正整数$M$的整权和半整权模形式的系数分布。作为结果，我们证明了对于每个整数$1\le r\le\ell^j$，$$\sharp\{1\le n\le X\ |\ p(n)\equiv r\pmod{\ell^j}\}\gg_{s,r,\ell^j}\frac{\sqrt X}{\log X}(\log\log X)^s.$$
2011-04-12 math.NT
Elementary symmetric polynomials and a potentially injective family of maps on partitions
Birla Institute of Technology & Science Pilani（比拉理工学院皮拉尼分校）
本文通过无限例证反驳Ballantine及其合作者关于整数划分上pre_k映射单射性的猜想，研究了这些映射间的相互关系，并提供了三种子情况的替代证明。
2026-04-19 math.CO math.NT
Elementary Evaluation of Convolution Sums involving the Sum of Divisors Function for a Class of positive Integers
本文讨论了计算具有$\gcd{(α,β)}=1$和$αβ=2^ν\mho$的$α,β\in\mathbb{N}$的卷积和$\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}_{0}^{2}} \\ {α\,l+β\,m=n} } }{\sum}σ(l)σ(m)$的一种初等方法，其中$ν\in\{0,1,2,3\}$和$\mho$是不同奇素数的有限乘积.模块化形式用于实现这一结果。我们还将卷积和的提取推广到所有的自然数。正整数$n$的表示数的八元二次形式使用卷积和属于这一类的公式，然后确定当$αβ\equiv 0\pmod{4}$或$αβ\equiv 0\pmod{3}$。为了实现这一应用程序，我们首先讨论了一种方法来计算所有对$(a,b),(c,d)\in\mathbb{N}^{2}$必要的确定这样的公式的数量表示一个正整数$n$的八元二次形式时，$αβ$具有上述形式和$αβ\equiv 0\pmod{4}$或$αβ\equiv 0\pmod{3}$。我们通过明确评估$αβ=33=3\cdot 11,\> αβ=40=2^{3}\cdot 5$和$αβ=56=2^{3}\cdot 7$的卷积和，并通过重新评估$αβ=10$，$11$，$12$，$15$，$24$的卷积和来说明我们的方法。然后，我们应用这些卷积和确定公式的数量表示一个正整数$n$的八元二…
2017-07-30 math.NT
Congruences of the partition function
令$p(n)$表示分拆函数。在这篇文章中，我们将证明$$ p(m^j\ell^kn+B)\equiv 0\mod m \text{for all} n\ge 0 $$形式的同余对于满足$m\ge 13$和$\ell\neq 2,3,m$的所有素数$m$和$\ell$都存在。这里的整数$k$取决于$S_{m/2-1}(Γ_0(576),χ_{12})$的某个不变子空间的Hecke特征值，并且可以显式计算。更一般地，我们将证明对于每个整数$i>0$，存在整数$k$，使得对于具有适当选择的$B$的每个非负整数$j\ge i$，同余$$ p(m^j\ell^kn+B)\equiv 0\mod m^i $$对于不能被$\ell$整除的所有整数$n$成立。
2009-04-16 math.NT
Rectangle partitions generalizing integer partitions
该研究提出分拆函数的几何推广形式，聚焦边长为整数的矩形块构成的矩形分拆计数问题，规定分拆仅由块的多重集决定、与几何排列无关。
2025-10-01 math.CO math.NT
On the Asymptotic Formula for the Number of Plane Partitions of Positive Integers
本文讨论了大正整数平面分拆数的渐近公式。
2006-01-24 math.CO math.NT
On partitions into squares of distinct integers whose reciprocals sum to 1
本文研究将整数分拆为不同正整数平方且倒数之和为1的问题，证明了8542是最大的不可分拆整数，从而确定了Graham猜想中分拆存在性的精确界限。
2018-04-23 cs.DM math.NT
Integer partitions with large Dyson rank
整数分区的戴森秩是它的最大部分与它包含的部分的数量之间的差。利用Fine-Dyson对称性，给出了n中秩大于n/2的分拆个数的计算公式，并证明了固定剩余类中大秩分拆个数的恒等式.
2022-06-28 math.CO math.NT
Elementary Proofs of Infinitely Many Congruences for $k$-Elongated Partition Diamonds
本文用初等生成函数与经典q级数方法，为k-伸长分拆钻石数d_k在无穷多个k值下证明无穷多同余性质，扩展了Andrews和Paule的模形式结果。
2021-12-12 math.CO math.NT
On the number of missing integers in partitions
Pt. Chiranji Lal Sharma Government College（Pt. Chiranji Lal Sharma 政府学院）；Birla Institute of Technology and Science Pilani（比拉理工科学研究所皮拉尼分校）
本文研究了分区中缺失正整数的整体情况，探讨了给定缺失整数数量的分区数目，并提出了三个关于相关函数的偏差不等式猜想。
2026-04-14 math.CO math.NT
Identities involving the number of missing integers in partitions - combinatorial proofs
St. Mary’s University（圣玛丽大学）；College of the Holy Cross（圣十字学院）
针对Bhoria等人关于分拆中缺失整数个数的相关结果，本文提供了组合证明，丰富了分拆组合学领域的研究内容。
2026-08-04 math.CO math.NT
A Local Limit Theorem for Integer Partitions into Small Powers
本文针对整数分拆为小幂次（$0<α<1$）的随机分拆长度，提出了局部极限定理，扩展了先前的研究。
2023-11-15 math.CO math.NT
The Fractal and The Recurrence Equations Concerning The Integer Partitions
本文提出利用分形方法解决整数划分计数问题，并借此推导出包括五边形数定理在内的相关递推方程。
2025-01-29 math.CO math.DS math.NT
Derivatives and Integrals of Polynomials Associated with Integer Partitions
正整数划分表示正整数可以被写为正整数之和的不同方式。在这里，我们探讨了一个新的多项式$f_λ(x)$，我们称之为分区多项式的分区$λ$的分析性质，目的是学习新的属性的分区。我们证明了一个递归公式的衍生物的$f_λ(x)$涉及斯特林数的第二类，表明该集的积分从0到1的规范化版本的$f_λ(x)$是密集的$[0,1/2]$，提出了一些开放的问题，并制定了一个猜想有关的积分的长度的分区。我们还提供了具体的例子来支持我们的推测，即对分区多项式的深入分析可以进一步加强我们对分区的理解。
2022-06-13 math.CO math.NT
Trapezoidal numbers, divisor functions, and a partition theorem of Sylvester
正整数$n$的划分是将$n$表示为有限个正整数（称为部分）的和。梯形数是一个正整数，它有一个分区，其部分是连续整数的递减序列，或者更一般地说，其部分形成一个有限的等差数列。本文综述了梯形数、划分和正整数的因子集之间的关系。也有一个完整的证明定理西尔维斯特，产生分层的分区的整数奇数部分和分区成不相交的numerids。
2017-08-02 math.CO math.NT
A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
2019-03-13 math.CO math.NT
Computation of q-Binomial Coefficients with the $P(n,m)$ Integer Partition Function
使用$P(n,m)$，$n$的整数分割成完全$m$部分的数目，这是早期论文$P(n,m,p)$的主题，$n$的整数分割成完全$m$部分的数目，每个部分至多为$p$，可以在$O(n^2)$中计算，并且q-二项式系数可以在$O(n^3)$中计算。利用q-二项式系数的定义，导出了q-二项式系数和$P(n,m,p)$的一些性质. q-多项式系数可以计算为q-二项式系数的乘积。给出了$Q(n,m,p)$的一个计算公式，它是将$n$划分为完全不同的$m$部分的整数个数，其中每个部分至多为$p$.导出了每部分在最小值和最大值之间的整数分拆数的计算公式。一个计算机代数程序列出实现这些算法使用计算机代数程序的早期文件。
2022-11-22 math.CO math.NT
Divisibility and distribution of $MEX$ related integer partitions of Andrews and Newman
Andrews和Newman为正整数$n$的整数划分$π$引入了最小互斥或"$mex$“函数，$mex(π)$，作为不是$π$的一部分的最小正整数。他们将$σmex(n)$定义为在$n$的所有分区$π$上获取的$mex(π)$的总和。我们证明了$σmex(n)$的同余和乘法公式的无限族。通过限制到$π$的一部分，Andrews和Newman还引入了$moex(π)$是不是$π$的一部分的最小奇数，而$σmoex(n)$是在$n$的所有分区$π$上取的$moex(π)$的和。在这篇文章中，我们证明了，对于任何足够大的$X$，所有正整数$n\leq X$，使$σmoex(n)$是一个偶数（或奇数）的数量至少是$\mathcal{O}(\log \log X)$。
2023-03-09 math.CO math.NT
Optimal transport for some symmetric, multidimensional integer partitions
本文推广Hohloch关于整数划分与对称划分间最优传输映射的结果至多维情形，利用Kantorovich形式研究高维划分与对称划分的匹配。
2023-10-16 math.CO math.NT math.OC
