Separable Integer Partition Classes
George E. Andrews
将经典的剖分母函数方法发展成为一种具有广泛应用的工具。著名定理的新的扩展推导，并提出了新的结果分区与n副本n。
A classical method for partition generating functions is developed into a tool with wide applications. New expansions of well-known theorems are derived, and new results for partitions with n copies of n are presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the integer partitions recursive structure
本文通过Sylvester波的递归性质，揭示了整数划分的结构特征。
Separable integer partition classes and Slater's list -- I
本文利用Andrews的可分离整数划分理论，对Slater列表中的若干恒等式进行解析，提供自然的划分解释和参数化推广，并通过q-超几何变换推导出新的表达式。
Positive alternating sums of integer partitions
我们结合了一个扩展版本的贝利变换与身份的Bressoud和一些身份的Berkovich和Warnaar证明了各种积极的结果涉及分拆函数交替和。
On the number of parts of integer partitions lying in given residue classes
改进以前的工作的主题，我们使用赖特的圆的方法来获得一个渐近公式的部分在所有分区的整数是在任何给定的等差数列。
Resolution of two conjectures by Erdős and Hall concerning separable numbers
本文证明了2的幂中可分离数的下密度为正，且不可分离的2的幂的下密度也为正，并证明了乘积等于前k个素数乘积的互锁对数量有限，从而解决了Erdős和Hall的两个猜想。
Partitions of the set of nonnegative integers with the same representation functions
对于一组非负整数$S$，令$R_{S}(n)$表示整数$n$的无序表示的数目，作为来自$S$的两个不同项的和。在本文中，我们专注于分区的自然数成两个集提供相同的表示功能。我们解决了列夫和陈最近的一个问题。
Difference in the Number of Summands in the Zeckendorf Partitions of Consecutive Integers
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的分区作为非连续斐波那契数的和。我们研究了两个连续整数的分拆中的被加数之差。特别地，令$L(n)$为$n$的分区中的被加数。我们刻画了所有正整数，使得$L(n) > L(n+1)$，$L(n) < L(n+1)$，和$L(n) = L(n+1)$。此外，如果是$L(n) < L(n+1) > L(n+2)$，我们称$n+1$为$L$的峰，如果是$L(n) > L(n+1) < L(n+2)$，我们称其为$L$的二次峰。我们表征了$L$的所有这些峰和凹点。
Counting Restricted Partitions of Integers into Fractions: Symmetry and Modes of the Generating Function and a Connection to $ω(t)$
受整数分拆研究的启发，我们考虑将整数分拆成特定形式的分数，即具有常数的分数和不同的奇数或偶数分子。当分子是奇数时，小于分母的整数的分区数形成对称模式。如果项数限制为$h$，则生成函数的非零项是单峰的，整数$h$具有最多的分区。这样的性质可以应用于一类特殊的非线性丢番图方程。我们还研究了分子为偶数的分区。证明了整数$t$有$2^{ω(t)}-2$分拆成分数，其中第一个$x$是$y$的连续偶数分子和相等分子，其中$0<y<x<t$ .然后，我们用它来产生推论，如一个狄利克雷级数的身份和扩展的总理欧米茄函数的复平面，虽然这种扩展是不是解析无处不在。
The Number of Parts in Certain Residue Classes of Integer Partitions
我们使用圆的方法来推导渐近公式的功能有关的部分的分区，特别是剩余类的数量。
Computation of $P(n,m)$, the Number of Integer Partitions of $n$ into Exactly $m$ Parts
描述了计算$P(n,m)$的两种算法，即$n$的整数划分成$m$部分的数目，并使用这两种算法的组合，得到的算法是$O(n^{3/2})$。第二个算法使用一个$P(n)$列表，$n$的整数分区数，它被缓存，因此只需要计算一次。计算此列表也是$O(n^{3/2})$。利用这些算法，还可以在$O(n^{3/2})$中计算$Q(n,m)$（将$n$整数划分为$m$不同部分的数目）和$Q(n)$列表（将$n$整数划分为不同部分的数目）。可以在$O(n^2)$中计算$P(n,1)..P(n,n)$和$P(m,m)..P(n,m)$的列表。列出了实现这些算法的计算机代数程序，并提供了该程序的一些时序。
On partitions of integers with restrictions involving squares
本文研究了正整数的带平方限制的分拆问题。我们主要建立了以下两个结果（Sun在2013年提出）：（i）每个正整数$n$都可以写为$n=x+y+z$ with $x,y,z$正整数使得$x^2+y^2+z^2$是正方形，除非$n$具有形式$n=2^{a}3^{b}$或$2^{a}7$ with $a$和$b$非负整数. (ii)具有$n\not=11,14,17$的每个整数$n>7$可以被写为具有$x,y,z$正整数的$n=x+y+2z$，使得$x^2+y^2+2z^2$是正方形。
On the mean average of integer partition as the sum of powers
本文研究了函数$r_{k,s}(n)$，即$r_{k,s}(n)$的（有序）表示数为$s$的正$k$次幂之和，其中整数为$k,s\ge 2$ .我们检查函数的平均值，或者等价地，检查\begin{equation*} \sum_{m=1}^n r_{k,s}(m). \end{equation*}
Distribution of the k-regular partition function modulo composite integers M
令$b_k(n)$表示自然数$n$的$k-$正则分块。本文研究了$b_k(n)$模复合整数$M$与$6$互质的性质.特别地，我们证明了对于任意$k-$正则分割函数$b_k(n)$和与$6$互质的整数$M$，存在无穷多个$b_k(n)$模$M$的Ramanujan型同余.
Congruence modulo 4 for Andrews' integer partition with even parts below odd parts
本文发现并证明了具有某些三元二次型的Andrews分拆的一类模4同余。我们还讨论了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的分布，并进一步证明了几乎所有的$n$都有$\overline{\mathcal{EO}}(n)\equiv0\pmod4$.本研究的灵感来自于第二作者和Garvan的工作中的模4的类似同余。
Interpolating Classical Partitions of the Set of Positive Integers
我们构造了一个易于描述的正整数划分成$n$不交集的家庭基本上相同的结构，为每个$n \geq 2$。在特殊情况下，它在Beatty $\frac{1}ϕ + \frac{1}{ϕ^2} = 1$分区（$n=2$）和2-adic分区之间插值为$n \rightarrow \infty$。然后，我们分析如何在一个分区的集合中的元素的成员关系到在另一个集合中的成员关系。我们详细研究了两个Beatty分区之间的相互作用以及上述$ϕ$ Beatty分区与其“扩展”到第一部分中详细描述的三个集合的相互作用。在第一种情况下，我们得到详细的结果，而第二种情况下，我们放置一些相互作用的限制，但不能得到详尽的结果。
A Note on Goldbach Partitions of Large Even Integers
令$Σ_{2n}$是从区间$(4,2n], n>2,$到两个奇素数部分的所有偶数划分的集合。我们证明了$\midΣ_{2n}\mid\sim 2n^2/\log^2{n}$是$n\to\infty$。我们还假设从集合$Σ_{2n}$中随机均匀地选择一个分区。设$2X_n\in (4,2n]$为该分区的大小。我们证明了一个极限定理，建立$X_n/n$弱收敛到两个随机变量的最大值，这两个随机变量是一个均匀分布的随机变量在区间$(0,1)$的独立副本。我们的证明方法是基于一个经典的Tauberian定理由于哈代，Littlewood和Karamata。我们还表明，同样的渐近方法可以适用于划分成一个任意和固定数量的奇素数部分的整数
A New Class of Linear Relations for Scalar Partitions
针对标量整数分拆问题，提出一种基于变量消去程序和Cayley定理将二重分拆归约为标量分拆之和的算法，用于推导有限个标量分拆的线性关系。
Newman's conjecture for the partition function modulo integers with at least two distinct prime divisors
本文证明了在素因子个数为d的正整数集合中，满足划分函数Newman猜想的正整数M的密度为1，并将该类猜想推广至弱全纯模形式，应用于t-core划分与广义Frobenius划分。
Integer Partitions With Restricted Distinct Parts
本文研究正整数分拆为互不相同部分且禁止特定模 $t$ 同余类的计数函数 $Q_{t}^{s}(n)$，并利用 $q$-级数与 theta 函数恒等式证明了若干 Ramanujan 型同余式。
Separable integer partition classes and Slater's list -- II
应用Andrews的可分离整数划分理论，构造了严格超划分和带位置间隙条件的超划分族，生成函数精细化了Slater恒等式的级数侧，并通过变换得到新恒等式。
Infinite Families of Congruences Modulo 5 for Ramanujan's General Partition Function
对于任何非负整数$n$和非零整数$r$，令$p_r(n)$表示Ramanujan的一般分拆函数。利用$q$恒等式，证明了$p_r(n)$对$r=-(5λ+1), -(5λ+3), -(5λ+4), -(25λ+1)$，$-(25λ+2)$和任意整数$λ$的模5的Ramanujan型同余.
On Andrews' integer partitions with even parts below odd parts
最近，Andrews定义了一个划分函数$\mathcal{EO}(n)$，它计算$n$中每个偶数部分小于每个奇数部分的划分数。他还定义了一个分区函数$\overline{\mathcal{EO}}(n)$计数分区数$n$列举的$\mathcal{EO}(n)$，其中只有最大的偶数部分出现奇数次。安德鲁斯建议对$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的性质进行更广泛的研究。本文证明了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的无穷同余族。接下来我们研究$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的宇称性质。证明了在$\overline{\mathcal{EO}}(N)$为偶数的等差数列中有无穷多个整数$N$;在$\overline{\mathcal{EO}}(M)$为奇数的等差数列中有无穷多个整数$M$，只要至少有一个整数.最近，Uncu处理了由$\mathcal{EO}(n)$枚举的分区的不同子集。证明了Uncu配分函数对几乎所有的$k$都可被$2^k$整除.我们使用模形式和Hecke特征形的算术性质来证明我们的结果。
Partitions of finite nonnegative integer sets with identical representation functions
设$\mathbb{N}$是所有非负整数的集合。对于$S\subseteq \mathbb{N}$和$n\in \mathbb{N}$，令表示函数$R_{S}(n)$表示方程$n=s+s'$与$s, s'\in S$和$s<s'$的解的数目。本文用$C\cup D=[0, m]$和$|C\cap D|=2$确定了$C, D\subseteq \mathbb{N}$的结构，使得对任何非负整数$n$，$R_{C}(n)=R_{D}(n)$都成立.
Parity distribution and divisibility of Mex-related partition functions
Andrews和Newman为正整数$n$的整数划分$λ$引入了mex-函数$\text{mex}_{A,a}(λ)$，该正整数$n$是与$a$模$A$全等的最小正整数，该正整数不是$λ$的一部分。然后他们将$p_{A,a}(n)$定义为$n$满足$\text{mex}_{A,a}(λ)\equiv a\pmod{2A}$的分区数$λ$。他们针对任何正整数$t$找到了$p_{t,t}(n)$和$p_{2t,t}(n)$的母函数，并研究了它们对于$t$的一些小值的算术性质。本文研究了配分函数$p_{mt,t}(n)$对所有正整数$m$和$t$的配分函数.我们证明了对于足够大的$X$，使得$p_{mt,t}(n)$是偶数的所有正整数$n\leq X$的个数对于所有正整数$m$和$t$至少是$\mathcal{O}(\sqrt{X/3})$.我们还证明了，对于足够大的$X$，所有正整数$n\leq X$，使$p_{mp,p}(n)$是一个奇数的数量至少是$\mathcal{O}(\log \log X)$对所有$m\not \equiv 0\pmod{3}$和所有素数$p\equiv 1\pmod{3}$。最后，我们建立了连接普通配分函数到$p_{mt,t}(n)$的恒等式。
Elementary formulas for integer partitions
本文给出了整数分拆上函数的各种精确公式，包括函数$p(n)$和$p(n,k)$，分别表示$n$的分拆数和分拆成精确$k$部分的分拆数.例如，我们将证明$$ p(n) = \sum_{d|n} \sum_{k=1}^{d} \sum_{i_0 =1}^{\lfloor d/k \rfloor} \sum_{i_1 =i_0}^{\lfloor\frac{d- i_0}{k-1} \rfloor} \sum_{i_2 =i_1}^{\lfloor\frac{d- i_0 - i_1}{k-2} \rfloor} ... \sum_{i_{k-3}=i_{k-4}}^{\lfloor\frac{n- i_0 - i_1-i_2- ...-i_{k-4}}{3} \rfloor} \sum_{c|(d,i_0,i_1,i_2,...,i_{k-3})} μ(c) (\lfloor \frac{d-i_0-i_1-i_2- ... i_{k-3}}{2c} \rfloor - \lfloor\frac{i_{k-3}-1}{c} \rfloor).$$我们的证明是基本的。
Distribution of Coefficients of Modular Forms and the Partition Function
设$\ell\ge5$为奇素数，$j, s$为正整数.本文研究了模奇正整数$M$的整权和半整权模形式的系数分布。作为结果，我们证明了对于每个整数$1\le r\le\ell^j$，$$\sharp\{1\le n\le X\ |\ p(n)\equiv r\pmod{\ell^j}\}\gg_{s,r,\ell^j}\frac{\sqrt X}{\log X}(\log\log X)^s.$$
Squarefree values of polynomials over the rational function field
本文研究了有限域F上的多项式环F[t]中的无平方多项式用F[t][x]中的多项式表示。这是用整数多项式表示无平方数整数的问题的函数域版本，其中证明了具有整数系数的可分多项式f（x）具有无穷多个无平方数值，除了一些简单的例外情况，事实上f（n）是无平方数的整数n具有正密度。我们证明了如果f（x）在F[t][x]中是可分的，且无平方成分，有界的次数和高度，那么当有限域大小#F趋于无穷大时，对几乎所有的首一多项式a（t），多项式f（a）是无平方成分的.
Rectangle partitions generalizing integer partitions
该研究提出分拆函数的几何推广形式，聚焦边长为整数的矩形块构成的矩形分拆计数问题，规定分拆仅由块的多重集决定、与几何排列无关。
Congruences of the partition function
令$p(n)$表示分拆函数。在这篇文章中，我们将证明$$ p(m^j\ell^kn+B)\equiv 0\mod m \text{for all} n\ge 0 $$形式的同余对于满足$m\ge 13$和$\ell\neq 2,3,m$的所有素数$m$和$\ell$都存在。这里的整数$k$取决于$S_{m/2-1}(Γ_0(576),χ_{12})$的某个不变子空间的Hecke特征值，并且可以显式计算。更一般地，我们将证明对于每个整数$i>0$，存在整数$k$，使得对于具有适当选择的$B$的每个非负整数$j\ge i$，同余$$ p(m^j\ell^kn+B)\equiv 0\mod m^i $$对于不能被$\ell$整除的所有整数$n$成立。
On the Asymptotic Formula for the Number of Plane Partitions of Positive Integers
本文讨论了大正整数平面分拆数的渐近公式。
The butterfly sequence: the second difference sequence of the numbers of integer partitions with distinct parts, its pentagonal number structure, its combinatorial identities and the cyclotomic polynomials 1-x and 1+x+x^2
在作者以前关于扭相对顶点算子代数和扭相对顶点算子模的雅可比恒等式以及仿射李代数的生成函数恒等式的基础上，我们解释了不同部分整数分拆个数序列的二阶差序列（严格划分）作为n的严格划分的序列，至少有三个部分，三个最大的部分是连续的，而最小的部分至少是两个。蝴蝶这个名字既描述了序列的解释，也描述了正整数m的两个最大部分连续的严格划分的集合与m+1的同类严格划分的子集之间的基本双射。利用分圆多项式1-x和1+x+x^2，计算了蝴蝶序列及其相关序列的生成函数恒等式，它们既是无穷乘积，又是按相应分块的部分数过滤的级数，并且我们看到，正整数n的奇数部分大于或等于5的分块数是蝴蝶序列的三个连续项之和.我们还确定了一个微妙的合并和分裂建设的蝴蝶序列作为一个序列的一些分区的奇数部分大于或等于3，我们提供了一个相关的详细解释的蝴蝶序列作为一个序列，我们定义为广义五边形，五边形与多米诺骨牌，和非五边形蝴蝶分区。最后，欧拉的五边形数定理和Jacobi三重积的稍微不同的特殊化导致递归算法来计算蝴蝶序列和使用五边形数序列和三角幂级数的相关序列。
Base 3/2 and Greedily Partitioned Sequences
我们深入研究了基$\frac{3}{2}$和非负整数到3-free序列的贪婪划分之间的联系。具体来说，我们发现一个分形结构的字符串写的数字0，1和2。我们使用这种结构来证明，偶数非负整数写在基$\frac{3}{2}$，然后解释为基3形成斯坦利交叉序列，其中斯坦利交叉序列包括由非负整数的贪婪分割成3-free序列形成的无限多个序列的首项。
Polynomial analogues of restricted multicolor b-ary partition functions
给定一个整数基$b\geq 2$，一个颜色数$ρ\geq 1$和一个正整数的有限序列$Λ=(λ_1,\ldots,λ_ρ)$，我们引入了整数$n\geq 1$的$Λ$ -限制的$ρ$ -着色的$b$ -元划分的概念.我们还定义了一个以$λ_1+\cdots+λ_ρ$为变量的多项式序列，并证明了$n$的次多项式刻画了$n$的所有$Λ$ -限制$ρ$ -着色$b$ -元划分.在这个过程中，我们定义了一个递归关系的多项式问题，获得明确的公式，并确定一个因式分解定理。
On partitions into squares of distinct integers whose reciprocals sum to 1
本文研究将整数分拆为不同正整数平方且倒数之和为1的问题，证明了8542是最大的不可分拆整数，从而确定了Graham猜想中分拆存在性的精确界限。
Integer partitions with large Dyson rank
整数分区的戴森秩是它的最大部分与它包含的部分的数量之间的差。利用Fine-Dyson对称性，给出了n中秩大于n/2的分拆个数的计算公式，并证明了固定剩余类中大秩分拆个数的恒等式.
On the number of missing integers in partitions
本文研究了分区中缺失正整数的整体情况，探讨了给定缺失整数数量的分区数目，并提出了三个关于相关函数的偏差不等式猜想。
Identities involving the number of missing integers in partitions - combinatorial proofs
针对Bhoria等人关于分拆中缺失整数个数的相关结果，本文提供了组合证明，丰富了分拆组合学领域的研究内容。
A Local Limit Theorem for Integer Partitions into Small Powers
本文针对整数分拆为小幂次（$0<α<1$）的随机分拆长度，提出了局部极限定理，扩展了先前的研究。
The Fractal and The Recurrence Equations Concerning The Integer Partitions
本文提出利用分形方法解决整数划分计数问题，并借此推导出包括五边形数定理在内的相关递推方程。
Derivatives and Integrals of Polynomials Associated with Integer Partitions
正整数划分表示正整数可以被写为正整数之和的不同方式。在这里，我们探讨了一个新的多项式$f_λ(x)$，我们称之为分区多项式的分区$λ$的分析性质，目的是学习新的属性的分区。我们证明了一个递归公式的衍生物的$f_λ(x)$涉及斯特林数的第二类，表明该集的积分从0到1的规范化版本的$f_λ(x)$是密集的$[0,1/2]$，提出了一些开放的问题，并制定了一个猜想有关的积分的长度的分区。我们还提供了具体的例子来支持我们的推测，即对分区多项式的深入分析可以进一步加强我们对分区的理解。
Trapezoidal numbers, divisor functions, and a partition theorem of Sylvester
正整数$n$的划分是将$n$表示为有限个正整数（称为部分）的和。梯形数是一个正整数，它有一个分区，其部分是连续整数的递减序列，或者更一般地说，其部分形成一个有限的等差数列。本文综述了梯形数、划分和正整数的因子集之间的关系。也有一个完整的证明定理西尔维斯特，产生分层的分区的整数奇数部分和分区成不相交的numerids。
A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
Computation of q-Binomial Coefficients with the $P(n,m)$ Integer Partition Function
使用$P(n,m)$，$n$的整数分割成完全$m$部分的数目，这是早期论文$P(n,m,p)$的主题，$n$的整数分割成完全$m$部分的数目，每个部分至多为$p$，可以在$O(n^2)$中计算，并且q-二项式系数可以在$O(n^3)$中计算。利用q-二项式系数的定义，导出了q-二项式系数和$P(n,m,p)$的一些性质. q-多项式系数可以计算为q-二项式系数的乘积。给出了$Q(n,m,p)$的一个计算公式，它是将$n$划分为完全不同的$m$部分的整数个数，其中每个部分至多为$p$.导出了每部分在最小值和最大值之间的整数分拆数的计算公式。一个计算机代数程序列出实现这些算法使用计算机代数程序的早期文件。
Divisibility and distribution of $MEX$ related integer partitions of Andrews and Newman
Andrews和Newman为正整数$n$的整数划分$π$引入了最小互斥或"$mex$“函数，$mex(π)$，作为不是$π$的一部分的最小正整数。他们将$σmex(n)$定义为在$n$的所有分区$π$上获取的$mex(π)$的总和。我们证明了$σmex(n)$的同余和乘法公式的无限族。通过限制到$π$的一部分，Andrews和Newman还引入了$moex(π)$是不是$π$的一部分的最小奇数，而$σmoex(n)$是在$n$的所有分区$π$上取的$moex(π)$的和。在这篇文章中，我们证明了，对于任何足够大的$X$，所有正整数$n\leq X$，使$σmoex(n)$是一个偶数（或奇数）的数量至少是$\mathcal{O}(\log \log X)$。
Optimal transport for some symmetric, multidimensional integer partitions
本文推广Hohloch关于整数划分与对称划分间最优传输映射的结果至多维情形，利用Kantorovich形式研究高维划分与对称划分的匹配。
On integer partitions and continued fraction type algorithms
我们发现，添加剂，慢，法瑞版本的传统的连分数算法有一个自然的解释，作为一种方法，生产整数分区的正数$n$成两个较小的数字，与多重性。我们提供了一个完整的描述如何发生这样的整数分区和共轭相应的年轻的形状通过经典的Farey树的动态。利用Farey映射的动力学性质得到了一个新的$p(2,n)$公式，它表示将$n$划分为两个更小的正整数的方法的个数，且具有多重性.然后，我们使用三角形映射（一种多维连分数算法）的加法-慢速-Farey版本进行模拟，给出了一种将正数$n$整数分割为三个更小的数的方法，并具有多重性。然而，这种普遍化的不同方面仍然不清楚。
On integer partitions corresponding to numerical semigroups
数值半群是自然数的余有限加法子幺半群。在2011年，Keith和Nath说明了从数值半群到整数划分的注入。我们探讨分区和数值半群之间的这种联系，重点对出现在数字半群注入图像中的分区进行分类。特别是，我们计数的分区，对应于数值半群的亏格，Frobenius数，和多重性，有一定的限制。
On sets related to integer partitions with quasi-required elements and disallowed elements
本文研究与整数分拆相关的极小集合计算问题，并将其转化为数值半群框架求解。
Optimal transport and integer partitions
我们将最优运输理论与整数分割理论联系起来。令$\mathscr P(n)$表示$n \in \mathbb N$的整数分区的集合，并且将分区$π\in \mathscr P(n)$写为$(n_1, \dots, n_{k(π)})$。使用术语从最优输运，我们表征某些类的分区，如对称分区和欧拉的身份$|\{ π\in \mathscr P(n) |$所有$ n_i $不同的$ \} | = | \{ π\in \mathscr P(n) | $所有$ n_i $奇$ \}|$。然后，我们勾勒如何最优输运可能有助于理解更高的维分区。
Dyson's Crank and the Mex of Integer Partitions
Andrews和Newman最近引入了划分的mex的概念，即不是部分的最小正整数。这个概念至少从2011年开始使用，与Frobenius符号有关。最近，mex的奇偶性与Dyson在1944年命名的crank统计有关。在这份说明中，我们扩展和加强曲柄和墨西哥（随着一个新的广义的墨西哥）之间的连接，通过证明一些性质，自然涉及这些分区统计。
Statistical mechanics approach in the counting of integer partitions
讨论了用统计力学方法处理整数分拆的数论问题。历史的概述和已知的线性和平面分区的渐近结果被转载。从限制性平面分区的数值分析中，得到了一个中间部分数的渐近公式。
Arrow Relations in Lattices of Integer Partitions
本文刻画任意正整数 n 的整数分拆格在优势序下标准背景中的单、双箭头关系，解决了 Ganter 2022 年的开放问题。
Generalization of a few results in Integer Partitions
在本文中，我们推广了几个重要的结果，在分划;即结果被称为斯坦利的定理和长老的定理，并提出了由Ramanujan的同余结果的配分函数。我们推广的结果斯坦利和长老从一个固定的整数到一个数组的后续整数，并提出了一个类似的拉马努金的同余关系的“部分数”的功能，而不是分区功能。我们还推导出的“零件数”的生成函数，并通过一个新的使用费雷尔的图表与他们的图形解释的技术成果。
A Comparison of Integer Partitions Based on Smallest Part
对于正整数$n, L$和$s$，考虑以下两个集合，这两个集合都包含$n$的分区，其最大部分和最小部分之间的差由$L$界定：第一个集合包含具有最小部分$s$的分区，而第二个集合包含具有至少$s+1$的最小部分的分区。设$G_{L,s}(q)$为生成序列，其$q^n$的系数为上述两组划分的大小之差。该发电系列由Berkovich和Uncu于2019年推出。先前的结果集中在病例$s=1$和$s=2$中的$G_{L,s}(q)$非阴性。在本文中，我们证明了$G_{L,s}(q)$对一般s的最终正性，并找到了$s=3$的精确非负性结果。
On the distribution of rank and crank statistics for integer partitions
设$k$为正整数，$m$为整数。Garvan的$k$ -秩$N_k(m,n)$是$n$划分成至少$(k-1)$连续Durfee正方形的数量，其中$k$ -秩等于$m$。本文给出了以$|m|\ge \sqrt{n}$为$n\rightarrow \infty$的$N_k(m,n)$的一些渐近性质。作为推论，我们给出了Dyson曲柄分布猜想的一个更完整的答案。我们还建立了$N_k(m,n)$关于$m$与$m\gg \sqrt{n}\log n$的有限差分的渐近公式。
A Central Limit Theorem for Integer Partitions into Small Powers
本文研究了将整数划分为小幂次和的变体，并利用鞍点法证明了此类划分中加数数量的中心极限定理。
A bijection proof of Andrews-Merca integer partition theorem
本文通过构造n的分拆集合上的一般双射，证明六个相关统计量中两个三元组的等分布性，从而将Andrews和Merca关于奇偶部分之和的模2结果推广到所有整数m≥2的模m情形。
Counting pattern-avoiding integer partitions
如果在移除行和列的情况下可从$α$获得用于$μ$的费勒斯板，则分区$α$被称为包含另一分区（或图案）$μ$。如果不包含$μ$，我们说$α$避免了$μ$。在本文中，我们计算的分区$n$避免一个固定的模式$μ$，在生成函数和它们的渐近增长率。我们发现，这个计数的生成函数是合理的，只要$μ$是（车等价于）一个分区，其中任何两个部分的大小相差至少两个。在这样做的时候，我们发现了一个令人惊讶的连接到亚循环$p$ -群。我们进一步获得了渐近的分区数$n$避免模式$μ$。利用这些渐近性，我们得出结论，$μ$的生成函数不是代数的，只要$μ$是车等价于一个分区的不同部分，其前两个部分是积极的，相差1。
Explicit formulas using partitions of integers for numbers defined by recursion
本文给出了一个用正整数$n$的分拆表示的显式公式，用以表示一类由递归定义的数列的第$n$项.我们的证明仅以算术为基础。我们比较我们的结果与类似的公式，不同的方法已经在十九世纪。例子给出了伯努利，欧拉和斐波那契数。
The Lattice of integer partitions and its infinite extension
在本文中，我们使用一个简单的离散动力学模型来研究整数划分及其格。该模型的可达配置集，其上定义的转移规则诱导的顺序，是一个整数的所有分区的格，配备了一个优势排序。首先，我们解释如何可以构建这个格的算法在线性时间相对于它的大小，它具有自相似的结构。然后，我们定义了一个自然扩张的模型到无穷大，我们比较的杨格。使用自相似树，我们获得了所获得的格的编码，这使得它可以很容易地和有效地枚举一个给定的整数的所有分区。这种方法还给出了整数的划分个数的递推公式，以及一些特殊划分集的信息，如长度有界划分。
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