Integer continued fractions for complex numbers
本文研究将标准连分数自然推广到复数，基于拉格朗日与高斯的算法，证明新表示的唯一性、有用性质及其几何切割序列解释。
2025-08-20 math.NT
Some periodic integer continued fraction expansions of $\sqrt{m}$ and application to the Pell equations
周期整数连分数（PICF）是正则周期连分数（RPCF）的推广。无理数的RPCF展开式是唯一的，这是经典的。但是，它对于PICF扩展不再是唯一的。因此，确定所有无理数的PICF展开式是一个自然的问题。本文确定了无平方因子正整数的平方根的某些类型的PICF展开式。为了得到这一结果，确定Brock-Elkies-Jordan中出现的某些PCF品种的整数点起着重要作用。作为这些结果的应用，我们利用无平方正整数的平方根的PICF展开和RPCF展开得到了Pell方程的基本解.
2023-03-24 math.NT
Irrationality and transcendence of continued fractions with algebraic integers
推广了Hančl，Kolouch和Nair关于连分数的无理性和超越性的一个结果.我们表明，序列$\{α_n\}$的代数整数的有界程度，每个达到最大绝对值之间的共轭和满足一定的增长条件，条件$$ \limsup_{n \rightarrow \infty} \vertα_n\vert^{\frac{1}{Dd^{n-1} \prod_{i=1}^{n-2}(Dd^i + 1)}} = \infty $$意味着连分数$α= [0;α_1, α_2, \dots]$是不是一个代数数的程度小于或等于$D$。
2019-02-12 math.NT
On Convergents of Proper Continued Fractions
本文研究真连分数对无理数的渐近逼近，刻画可构成渐近分数的整数对，完整分类奇数索引并近完整分类偶数索引，同时提出二维 Gauss 映射并证明其遍历性。
2024-12-06 math.DS math.NT
On two-dimensional continued fractions for the integer hyperbolic matrices with small norm
本文对由范数不大的矩阵（$|*| \le 6$）构成的三次无理数的二维连分数进行分类.这种分类是基于以下新结果：有理数域上具有不可约特征多项式的矩阵类是Frobenius型矩阵类当且仅当某个整系数方程存在整数解。
2009-11-16 math.NT
Properties of the nearest integer continued fraction expansions
定义了实数$x$与$[-1/2, 1/2)$的最近整数连分数。给出了这些展开式的一些度量性质。定义了逼近系数，并给出了一个重要结果。主要结果包括在获得一个稳态的变换$τ_{1/2}$这是绝对连续的勒贝格测度。
2011-06-21 math.NT
Dynamics of continued fractions and distribution of modular symbols
本文提出一种基于连分数模划分和转移算子谱分析的热力学方法，证明模符号的极限高斯分布与剩余等分布，并应用于Mazur-Rubin猜想平均版本及模L值非零问题。
2025-05-07 math.DS math.NT
A Gauss-Kuzmin theorem for continued fractions associated with non-positive interger powers of an integer $m \geq 2$
我们考虑由Hei-Chi Chan [5]引入的区间映射族$\{τ_m:m\geq 2\}$作为Gauss变换的推广。对于由$τ_m$产生的连分数展开，我们应用Rockett和Szüsz的方法解决了它的Gauss-Kuzmin型问题[18].
2013-09-18 math.NT
Sums of nearest integer continued fractions with bounded digits: $\textrm{NICF}_5 + \textrm{NICF}_5 = {\mathbb R}$
本研究调整用于正则连分数的康托尔集方法，证明所有实数都可表示为两个部分商不超过5的最近整数连分数对应的实数之和，且该界5无法改进为4。
2025-03-19 math.NT
On the Gauss-Kuzmin-Lévy problem for nearest integer continued fractions
本文针对最近整数连分数相关的Gauss型移位，在区间 $I_0=[0,\frac{1}{2}]$ 或 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上证明了Gauss-Kuzmin-Lévy问题的有效渐近界，其中收敛速率 $q=0.288$ 优于Wirsing常数。
2024-04-01 math.DS math.NT
Convergents as approximants in continued fraction expansions of complex numbers with Eisenstein integers
设$\frak E$是Eisenstein整数环.令$z\in \mathbb C$和$p_n,q_n \in \frak E$是这样的，即$\{p_n/q_n\}$是对应于$z$关于最近整数算法的连分数展开的转换序列。然后证明了对于任何$q\in \frak E$，使得$1\leq |q|\leq |q_n|$和任何$p\in \frak E$，$|qz-p|\geq \frac12 |q_nz-p_n|$ .这使我们能够得出结论，$z\in \mathbb C$是坏的近似，在爱森斯坦整数，当且仅当相应的序列的部分连续有界。
2017-03-22 math.NT
On absolutely normal and continued fraction normal numbers
给出了一个正规于所有整数基且连分数正规的实数的构造。其连分数展开式的前n位数的计算按照n^4次数学运算的顺序执行。该构造通过定义适当子区间的连续细化来实现，在极限下，对所有整数基的简单正态性和连分数正态性。主要困难是控制这些子区间的长度。为了实现这一目标，我们适应和结合已知的度量定理连分数和整数基础上的扩展。
2017-04-12 math.NT
Extreme Value Theory for Hurwitz Complex Continued Fractions
Hurwitz复连分数是最近整数连分数的推广。本文证明了关于Hurwitz复连分数数模极值的各种结果。这包括泊松定律和极值定律。结果是基于尖估计的不变测度的信息仍然是有限的。在此过程中，我们还得到了关于最近整数连分数极值的几个结果。
2022-02-16 math.DS math.NT math.PR
The Natural Extension for the Triangle Map (a Multi-dimensional Continued Fraction) with An Internal Symmetry from Young Conjugation
Williams College（威廉姆斯学院）
本文完全描述了所有可能维度下三角形映射的自然扩展，并利用整数分拆的Young共轭发现其具有内部对称性，可将自然扩展细分为四个自然子区域，这一结果对经典连分数情形也是新的。
2026-09-17 math.DS math.NT
Even-integer continued fractions and the Farey tree
辛格曼介绍了理论的地图表面的对象，是一个普遍覆盖的任何地图。该对象是双曲平面与理想边界的某个子集的镶嵌。该镶嵌的1-骨架包括其顶点属于理想边界的无限树的边。在这里，我们展示了如何使用这棵树来给出偶数连分数的漂亮几何表示。我们用这种表示证明了一些已知的关于偶数连分数的基本定理，并且我们还用这种方法证明了一些新的定理，这些定理在正则连分数理论中有熟悉的对应物。
2015-08-06 math.CO math.NT
Complex continued fractions, Kleinian and extremal theory for cusp excursions
本文研究了五个复二次整数欧氏环上的复连分数算法，证明其最大数字服从Fréchet分布，并据此求出相关Bianchi轨形上尖点远足的极限分布。
2025-10-13 math.DS math.NT
Completely empty pyramids on integer lattices and two-dimensional faces of multidimensional continued fractions
在本文中，我们发展了一个整数仿射分类的三维多层完全空凸标记金字塔。我们应用它来获得的多维连分数位于平面上的整数距离原点等于2，3，4.这些面被认为是整数线性变换组的作用。最后，我们制定了一些实际的未解决的问题与推广的n维面和更复杂的面配置。
2006-12-12 math.CO math.NT
Optimal local convergence criteria for integer and Gaussian integer continued fractions
该研究确定了整数与高斯整数连分数的最优局部收敛准则，分类了两类连分数的极小限制条件，还构造了强于任意有限集合的无限基数规范限制集合。
2026-09-22 math.CO math.CV math.NT
Symbolic coding of linear complexity for generic translations of the torus, using continued fractions
本文证明了几乎$\mathbb{T}^2$的每一个平移都存在一个具有线性复杂度$2n+1$的符号编码.分区构造与Rauzy分形序列的替代，这是由一个特定的扩展连分数算法在投射维数$2$。更一般地说，在维度$d\geq 1$中，我们研究了扩展的测量连分数算法，该算法将每个方向与替换生成的子移位相关联，称为$S$ -adic子移位。我们给出了一些条件，这意味着存在的，几乎每个方向，一个平移的环面$\mathbb{T}^d$和一个很好的生成分区，使相关的编码是一个共轭的子移位。
2020-05-25 cs.FL math.DS math.NT
Symmetry and specializability in continued fractions
研究了某些级数的显式连分数展开。其中一些展开式具有对称性，这推广了Kmosek和Shallit独立发现的一些显著例子。进一步证明了如下定理：设f（x）是一个整系数多项式，当n从0到无穷大时，考虑1/f^n（x）的和，其中f^n表示f的第n阶数。这个级数在多项式上有一个连分数展开式。当部分分数具有整数系数时的情况特别有趣，因为当用整数值代替x时，可以得到简单连分数。在这种情况下，连分数展开称为可特化。我们确定所有多项式f（x），使得1/f^n（x）的和有一个可特殊化的连分数：这成立当且仅当f（x）满足14个同余之一。
2000-08-30 math.NT
Curious continued fractions, nonlinear recurrences and transcendental numbers
我们考虑一类由二阶非线性递归产生的整数序列，它具有一个奇怪的性质，即序列的项和连续项（也是整数）的比率的整数倍在项的倒数之和的连分数展开中交错出现。使用快速（双指数）增长的条款，对于每个序列，它表明，倒数的总和是一个超越数。
2015-07-20 math.NT
Algebraic integers with continued fraction expansions containing palindromes and square roots with prescribed periods
本文刻画了连分数展开包含回文序列且具有指定周期的代数整数，特别利用 Fibonacci 多项式处理各项均为 m 的特殊情形，并推导出相应整数平方根展开及正负 Pell 方程的基本解。
2024-06-07 math.NT
Partitions of unity in $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$, negative continued fractions, and dissections of polygons
我们刻画了正整数序列$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$的$2\times2$矩阵$\left( \begin{array}{cc} a_n&-1 1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{n-1}&-1 1&0 \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array}{cc} a_1&-1 1&0 \end{array} \right) $是单位矩阵$\mathrm Id$，它的负$-\mathrm Id$，或$-\mathrm Id$的平方根。这扩展了Conway和Coxeter的一个定理，该定理将此类解分类为总正性限制。
2018-05-21 math.CO math.NT
Digit Preserving Multiplication in Continued Fraction Representations
置换数是一个数，它是它的数字的某种置换的整数倍。一个著名的例子是9801，因为它是它的反转1089的整数倍。在本文中，我们考虑在一个完全不同的设置：连分数的重数问题。我们提出的问题时，简单连分数表示的有理数是一个整数倍的置换，其部分同分之一（或数字，我们将称之为）。我们开发了一些一般性的结果，并将其应用于寻找新的例子。在这样做的时候，我们试图分类所有的2，3，和4位数的连分数permulple的基本permulple类型，我们发现沿途。我们还生成新的例子，从旧的条件，保证数字串串联产生其他permutiples。
2017-02-15 math.NT
A Gauss-Kuzmin Theorem for Some Continued Fraction Expansions
考虑单位闭区间$[0,1]$中任意数的连分数展开族，其位数是整数$m \geq 2$的连续非正整数幂的差。对于这种展开，我们应用文献[6]中的Rockett和Szüsz方法，得到了它的Gauss-Kuzmin型问题的解.
2013-08-21 math.NT
Exponents of Diophantine Approximation and Sturmian Continued Fractions
设x为实数，n为正整数。定义了丢番图逼近的四个指数，它们是Mahler和Koksma定义的指数w_n（x）和w_n^*（x）的补充.当n=2，x是一个实数，其连分数展开式与某些正整数的Sturmian序列一致时，我们计算了它们的六个值，直到初始项。特别地，我们得到了这样一个连分数x的二次根号逼近的精确指数。
2004-06-03 math.NT
Finding Sums of Four Squares via Complex Continued Fractions
正整数的四个平方和表示问题一直受到广泛关注，对于正奇数$n$，只要给出一对（正）整数$x,y$与$x^2+y^2\equiv-1\mod n$，就可以用四元数代数的极大序模算术求出表示.本文介绍了一种新的方法，在给定$x,y$满足上述要求的情况下，求出奇数$w$的表示。该方法避免了四元数代数中复杂的非交换结构，这类似于我们用连分数展开法得到素数$p\equiv1\mod4$的平方和表示，不同之处在于我们用Hurwitz算法展开复数.
2022-05-02 math.NT
About statistics of periods of continued fractions of quadratic irrationalities
在本文中，我们回答了V.I. Arnold，也就是说，我们研究了$x^2+p x=q$与整数$p$和$q$，$p^2+q^2\le R^2$形式的二次方程解的连分数的周期.我们的结果涉及周期元素和Gauss-Kuzmin统计量的平均和为$R\to\infty$。
2009-04-03 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of sets of numbers whose continued fractions contain arbitrarily long arithmetic progressions
Doshisha University（立命馆大学）；Keio University（庆应义塾大学）；Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学）
本文研究了偏商序列严格递增且包含任意长等差数列的无理数的豪斯多夫维数。
2026-01-19 math.DS math.NT
Continued fraction normality is not preserved along arithmetic progressions
众所周知，如果$0.a_1a_2a_3\dots$是一个正规于基$b$的数的基$b$展开式，则$m\ge 2$、$k\ge 1$的数$0.a_ka_{m+k}a_{2m+k}\dots$也都正规于基$b$.相反，给定一个连分数展开$\langle a_1,a_2,a_3,\dots\rangle$是正常的（现在相对于连分数展开），我们表明，对于任何整数$m\ge 2$，$k\ge 1$，连分数$\langle a_k, a_{m+k},a_{2m+k},a_{3m+k},\dots\rangle$将永远不会是正常的。
2015-09-18 math.DS math.NT
Integer Factorization via Continued Fractions and Quadratic Forms
本研究提出一种基于SQUFOF方法相关理论的新型整数分解算法，分析表明其复杂度优于经典SQUFOF和CFRAC算法，且在特定条件下可达到多项式时间复杂度。
2025-01-20 math.NT
Finiteness and periodicity of continued fractions over quadratic number fields
考虑二次数域$K$的整数环上的部分分式的连分数，证明了经典的Lagrange定理对这种连分数的推广.这些连分数的一个具体例子是Bernat引入的$β$ -连分数。作为我们定理的推论，我们证明了对任何二次Perron数$β$，元素在$\mathbb Q(β)$中的$β$ -连分数展开是有限的或最终周期的.对于作为整数的平方根的$β$也是如此。我们还证明了对于某些4阶二次Perron数$β$，$β$ -连分数表示二次域$\mathbb Q(β)$的所有元素，从而回答了Rosen和Bernat的问题.基于Mercat猜想的有效性，这些都是具有此特征的二次Perron数。
2020-05-13 math.NT
Generalization of Ramanujan's Continued Fractions for Even Order
该研究借助拉马努金连分数恒等式推导偶数阶广义连分数，建立theta函数恒等式，以76阶连分数为例得到分拆理论恒等式等，推广了拉马努金连分数。
2026-07-16 math.NT
On the period of the continued fraction expansion of ${\sqrt {2^{2n+1}+1}}$
本文证明了当$n$通过奇正整数趋于无穷大时，${\sqrt {2^{n}+1}}$的连分数展开式的周期趋于无穷大.
2004-01-26 math.NT
Continued Fractions and Linear Fractional Transformations
对于任何正整数$d$，通过从$\infty$开始迭代变换$f(x) = (dx+k)/(x+d)$，可以产生对平方根$\sqrt{k}$的有理逼近。我们表明，这些近似符合无限经常与连分数收敛当且仅当$4d^2/(k-d^2)$是一个整数，在这种情况下，连分数具有丰富的结构。它由某些可明确定义的有理数的连分数的连接组成，它属于无穷多个连分数家族中的一个，这些连分数家族的项在两个参数中线性变化。我们还给出了条件下，轨道$\{f^n(\infty)\}$只包括convertant或convertant，并证明，除了少数例外，它包括所有的解决方案$p/q$佩尔方程$p^2 - k q^2 = \pm 1$。
2014-09-23 math.NT
On the entropy of Japanese continued fractions
本文考虑一类单参数的区间扩张映射$\{T_α\}_{α\in [0,1]}$（日本连分数），它包括高斯映射（$α=1$）和最近整数及超数连分数映射（$α={1/2},α=0$）.证明了这些映射的Kolmogorov-Sinai熵$h(α)$连续依赖于参数，并且$h(α) \to 0$为$α\to 0$ .数值结果表明，这种收敛不是单调的，熵函数具有无穷多个相变和自相似结构。最后，我们找到了映射$T_α$对于$α=\frac{1}{n}$的自然扩张和不变密度。
2006-06-01 math.DS math.NT
A finiteness condition for complex continued fraction algorithms
该研究针对复连分数算法的简单性刻画需求，证明参数为有理数对的复α-Hurwitz算法满足有限范围条件，等价于存在相关有限划分，为相关学者的近期问题提供了部分解答。
2024-12-10 math.DS math.NT
Gauss lattices and complex continued fractions
我们的目标是找到一个复杂的连分数算法找到所有最好的丢番图逼近的复数。利用高斯整数上二维格的极小向量序列，得到了定义在二维单模高斯格空间的子流形上的一个算法。这个子流形是对角流的横截。由于极小向量和最佳丢番图逼近之间的对应关系，该算法可以找到对一个复数的所有最佳逼近。该算法的副产品是关于高斯整数的乘积逼近复数的Dirichlet定理的复数版本的最佳常数。
2021-10-04 math.NT
Periodicity and Period-Length Bounds for Browkin $p$-Adic Continued Fractions
Dipartimento di Matematica, Università di Trento（特伦托大学数学系）；Dipartimento di Scienze Matematiche ”Giuseppe Luigi Lagrange”, Politecnico di Torino（都灵理工学院朱塞佩·路易吉·拉格朗日数学科学系）
本文解决了Browkin $p$-进连分数关于二次无理数周期性的猜想，证明对任意正整数$t$，存在无穷多个整数平方根的展开周期长度为$2t$，并给出新的周期性充分条件与周期长度界，为Lagrange定理类似物研究提供工具。
2026-09-15 math.NT
Some monoids of Pisot matrices
我们证明了几个非负整数矩阵的幺半群具有Pisot性质：在该幺半群中的每个矩阵只有一个特征值的绝对值大于1。这些幺半群来自于多维连分数，即全减法和Brun连分数。
2015-06-11 math.DS math.NT
The Möbius transformation of continued fractions with bounded upper and lower partial quotients
令$h$：$x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} $为具有整数项的非退化莫比乌斯变换。利用$x$的连分式的上、下界得到了$h(x)$的连分式的一个上、下界，推广了Stambul \cite{S2}的一个结果.
2016-09-27 math.NT
Continued Fractions with Multiple Limits
对于整数$m \geq 2$，我们研究了其分子和子在每个$m$等差数列模$m$收敛的发散连分数。特殊情况下，除其他事项外，一个无穷序列的发散定理，其中第一个是经典的斯特恩-斯托尔兹定理。本文给出了一类Poincar型递归函数的一个定理，证明了当极限取在剩余类中且其特征多项式的根是不同的单位根时，Poincar型递归函数趋于极限.我们还推广了一个奇怪的$q$ -连续分数的Ramanujan的三个极限连分数与$k$不同的极限点，$k\geq 2$。$k$限度根据某些不寻常的$q$系列的比值进行评价。最后，我们展示了如何使用丹尼尔伯努利的连分数在一个基本的方式来创建解析连分数与$m$极限点，任何正整数$m \geq 2$。
2004-04-05 math.NT
Moments for generalized Farey-Brocot partitions
我们将Farey-Brocot划分推广到二维的连分数算法和广义Farey-Brocot网。我们给出了β阶矩的一个渐近公式。
2007-03-20 math.NT
Stern Sequences for a Family of Multidimensional Continued Fractions: TRIP-Stern Sequences
斯特恩双原子序列通过单位区间上的高斯映射与连分数紧密相连，而单位区间上的高斯映射又可以通过单位区间的系统细分来理解。连分数的高维类似物，称为多维连分数，可以通过三角形的各种细分产生。我们定义了三角形划分斯特恩序列（TRIP-Stern序列），更高的维推广的斯特恩双原子序列，通过各种三角形划分算法细分三角形的方法。然后，我们探讨了几个组合的TRIP-Stern序列，这可能是用来产生某些众所周知的序列的结果。我们完成推广TRIP-Stern序列，并提出类似的结果，这些推广。
2017-03-26 math.CO math.NT
Continued fractions for complex numbers and values of binary quadratic forms
本文描述了复数的连分数展开式在高斯整数下的各种性质。对于一个复数，可以有许多不同的这种展开式。它们可以通过各种算法来实现，也可以通过我们称之为“迭代序列”的更一般的方式来实现。我们认为，在这个更广泛的背景下，类似物的拉格朗日定理的特点二次surds，增长的性质的收敛，并满足一定条件的序列之间的整体关系，在不出现某些有限块，和序列参与连分数扩展。结果也被应用到描述一类二元二次型的复系数，其值的集合上的高斯整数对形成一个密集的复数集。
2011-02-18 math.NT
The Fractal and The Recurrence Equations Concerning The Integer Partitions
本文提出利用分形方法解决整数划分计数问题，并借此推导出包括五边形数定理在内的相关递推方程。
2025-01-29 math.CO math.DS math.NT
Multiples of long period small element continued fractions to short period large elements continued fractions
我们构造了一类二次无理数，它的周期$n\geq2$的连分数具有“小”的偏导数，对于这类二次无理数，某些整数倍具有周期$1$，$2$或$4$的连分数具有“大”的偏导数.然后我们证明了新的连分数的周期中的数是原连分数的周期中的数的简单函数。我们给出了某些连分数的推广，并证明了由推广得到的多项式与切比雪夫多项式和斐波那契多项式有关。然后，我们表明，这些多项式中的一些有双曲根分布。
2018-11-30 math.NT
Simultaneously small continued fraction entropy and base $b$ entropy
Izmir Institute of Technology（伊兹密尔理工大学）
构造一个可计算无理数，使其连分数熵和所有基数 $b\geq2$ 的基数 $b$ 熵同时很小，从而解决 Bugeaud 提出的问题。
2026-09-16 math.NT
Tong's spectrum for Rosen continued fractions
罗森分数是一无限集的连分数算法，每一个算法都给出实数关于某些代数整数的展开式。对于每一个，我们给出了一个最好的可能的上界，在适当的连续块的近似系数的最小值（在丢番图逼近的意义上的连分数收敛）。我们还获得了大块的“坏”近似度量结果。
2007-08-23 math.NT
Using continued fractions with prescribed period for universal quadratic forms
Arcibiskupské gymnázium（大主教中学）；Gymnázium Jana Keplera（约翰内斯·开普勒中学）
本文通过分析连分数周期与二次型判别式的同余条件，改进了实二次域上通用二次型的大秩结果。
2026-01-14 math.NT
Some Identities of Ramanujan's q-Continued Fractions of Order Fourteen and Twenty-Eight, and Vanishing Coefficients
本文从Ramanujan的一般连分数恒等式推导出十四阶和二十八阶连分数，建立theta函数恒等式，并推导色分区恒等式及消失系数结果。
2023-05-24 math.NT
On determination of periods of geometric continued fractions for two-dimensional algebraic hyperbolic operators
对于给定的正整数序列，我们在SL（2，z）中构造了一个约化双曲算子的显式构造，该约化双曲算子的周期为Klein意义下的几何连分数.进一步，我们实验研究了构造SL（2，z）的任意算子的周期的算法（高斯约化理论）。
2007-08-12 math.NT
Congruences for the Number of Cubic Partitions Derived from Modular Forms
利用模形式得到了三次分拆数a（n）的同余式.三次分割的概念是由Chan介绍的，并由Kim与Ramanujan的三次连分数有关。Chan已经证明了a（n）有几个类似于划分数p（n）的性质，包括生成函数、连分数和同余关系。更具体地说，我们表明，$a(25n+22)\equiv 0 ({\rm mod} 5)$，$a(49n+15) \equiv a(49n+29) \equiv a(49n+36) \equiv a(49n+43) \equiv 0 ({\rm mod} 7)$。进一步证明了a（n）取无穷多个偶数值和无穷多个奇数值。
2009-10-07 math.CO math.NT
Transcendence and normality of complex numbers via Hurwitz continued fractions
本文研究了 Hurwitz 连分数的拓扑、动力学和描述集合论性质，证明了其序列空间的闭包构成具有弱规范性质的子移位，并据此确定了 Hurwitz 正规数集的 Borel 层级秩，构造了一族有界部分商的复超越数。
2025-01-29 math.DS math.MG math.NT
