Ergodic Properties of Heisenberg Continued Fractions with Applications in Hyperbolic Geometry
我们给出了一个概述如何构建连分数的海森堡群$\mathbb{H}$，投影和平面西格尔模型的组，以及如何执行计算的组使用矩阵。我们讨论和工作的一些最近的结果Vandehey的分类的海森堡群的元素最终有周期性的连分数的扩展。然后，我们检查和工作的主要定理，在遍历论，探索结果的增长和数字频率，有关的结果双曲几何。
2017-09-08 math.DS math.GR math.MG
Absolutely abnormal, continued fraction normal numbers
本文在广义黎曼假设的条件下，证明了存在关于连分数展开正规的数x，而不是关于任何基b展开正规的数x.这部分回答了比若的一个问题。
2015-12-01 math.NT
Non-trivial matrix actions preserve normality for continued fractions
一个开创性的结果，由于墙指出，如果$x$是正常的一个给定的基地$b$，那么$rx+s$是任何有理数$r,s$与$r\neq 0$。我们表明，一个更强的结果是真实的正规性方面的连分数扩展。特别地，假设具有$ad-bc\neq 0$的$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$。如果$x$是连分数正态的，那么$(ax+b)/(cx+d)$也是。
2015-04-20 math.NT
Geodesic Rosen continued fractions
我们描述了如何表示罗森连分数的道路一类图，自然出现在双曲几何。这种代表性使深入了解罗森的原始工作的话在赫克集团，它也有助于我们确定罗森连分数扩展的最短长度。
2015-04-21 math.CO math.NT
Metric and arithmetic properties of mediant-Rosen maps
给出了Hecke三角形群的Hurwitz值的一个基于连分数的验证，完成了Lehner的程序.遍历论表明，利用Rosen连分数的中值收敛的丢番图逼近足以确定Haas和级数由双曲几何得到的值.
2008-12-02 math.NT
Continued Fraction approach to Gauss Reduction Theory
若当标准形是闭域上矩阵共轭类的优秀代表。一旦我们知道了正规形，我们就可以计算矩阵的函数，它们的主不变量等。如果我们在非封闭的域上，特别是在环上寻找共轭类的正规形，情况就复杂得多了。本文研究了GL（2，Z）矩阵的PGL（2，Z）-共轭类.对于整数环，Jordan方法有各种局限性，实际上是无效的。交错理论（Gauss约化理论）给出了GL（2，Z）矩阵共轭类的标准形。本文介绍了一种新的计算高斯约化理论中的约化形式的技巧，即用某些连分数的元素来计算约化形式。目前的方法是基于数的几何的最新进展。所提出的技术提供了一个明确的计算周期的连分数的斜率的特征向量。
2021-07-06 math.NT
New normality constructions for continued fraction expansions
阿德勒、基恩和斯莫罗丁斯基表明，如果将有理数序列\[ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \cdots \]的有限连分数展开连接成无限连分数展开，那么这个新数对于连分数展开是正常的。我们给出了各种新的连分数正规数的构造，包括由具有素分子和素子的有理数的子序列生成的一个：\[ \frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7},\cdots. \]
2015-07-01 math.DS math.NT
Friezes and continued fractions
该研究探究Conway和Coxeter提出的数Friezes的基本性质，及其与有理数分解为连分数、Farey序列、模群作用于双曲平面的关系，内容源自2019年俄罗斯杜布纳暑期学校的本科生迷你课程讲义。
2025-08-23 math.CO math.NT
Continued fraction normality is not preserved along arithmetic progressions
众所周知，如果$0.a_1a_2a_3\dots$是一个正规于基$b$的数的基$b$展开式，则$m\ge 2$、$k\ge 1$的数$0.a_ka_{m+k}a_{2m+k}\dots$也都正规于基$b$.相反，给定一个连分数展开$\langle a_1,a_2,a_3,\dots\rangle$是正常的（现在相对于连分数展开），我们表明，对于任何整数$m\ge 2$，$k\ge 1$，连分数$\langle a_k, a_{m+k},a_{2m+k},a_{3m+k},\dots\rangle$将永远不会是正常的。
2015-09-18 math.DS math.NT
On the continued fraction expansion of absolutely normal numbers
我们构造了一个绝对正规数，它的连分数展开式是正规的，因为它包含了所有具有Gauss-Kuzmin测度给出的期望渐近频率的部分同分向量的有限模式.该结构是基于谢尔宾斯基的思想，并使用混合随机变量和的大偏差定理。
2017-01-27 math.DS math.NT
On the Borel complexity of continued fraction normal, absolutely abnormal numbers
我们证明了连分数展开式的正态性和基- $b$展开式的正态性是最大的逻辑分离的。特别地，对于固定的$b\ge 2$，相对于连分数展开正规但不是基$b$正规的数的集合是$D_2(\boldsymbolΠ_3^0)$ -完全的.此外，相对于连分数展开正规但不正规于\emph{any}基- $b$展开的数的集合是$D_2(\boldsymbolΠ_3^0)$ -hard的，证实了存在不可数的许多这样的数，这在以前只在假设广义黎曼假设的情况下才知道。通过改变证明方法，我们还能够证明基- $2$正规数、基- $3$非正规数的集合也是$D_2(\boldsymbolΠ_3^0)$ -完备的。我们还证明了关于分母固定的分数的连分数展开式的正规性的一个辅助结果。
2021-11-22 math.LO math.NT
Product formulas for the $5$-division points on the Tate normal form and the Rogers-Ramanujan continued fraction
证明了以$(X,Y)=(0,0)$为阶点的椭圆曲线的Tate标准形$E_5$上的$5$ -扭点的显式公式。这些公式将$E_5[5] - \langle(0,0)\rangle$中的点的坐标表示为根据$5$的单位根和参数$u$的线性分数量的乘积，其中定义曲线$E_5$的参数$b$被给出为$b=(\varepsilon^5 u^5- \varepsilon^{-5})/(u^5+1)$和$\varepsilon = (-1+\sqrt{5})/2$。如果$r(τ)$是Rogers-Ramanujan连分数和$b=r^5(τ)$，则$E_5[5] - \langle(0,0)\rangle$中$5$阶点的坐标是$r(5τ)$中的线性分式表达式与$\mathbb{Q}(ζ_5)$中的系数的乘积.
2018-06-11 math.NT
Dilogarithm identities for solutions to Pell's equation in terms of continued fraction convergents
本文给出了双对数函数与Pell方程$x^2-ny^2 = \pm 1$解之间的一种新的联系。对于每一个解决方案$x,y$佩尔方程，我们得到一个双对数的身份，其条款是由相关的单位$x+y\sqrt{n} \in \Z[\sqrt{n}]$的连分数扩展。我们进一步表明，拉马努金的双对数值的身份对应于一个身份的正则理想双曲六边形。
2019-06-05 math.GT math.NT
An analogue of Pillai's theorem for continued fraction normality and an application to subsequences
我们表明，两个概念的连分数正常，一个有限模式的重叠发生被视为不同的发生，另一个只有不相交的发生被视为不同的，是相同的。这个等价涉及到一个类似于S的定理。S. Pillai在1940年为基地- $b$扩展。证明需要的技术是根本不同的，因为连分数扩展利用了可数无限字母表，导致一个非紧空间。利用这两个概念的等价性，我们提供了一个新的证明Heersink和Vandehey的最近的结果，沿等差数列的连续性的选择不保持连分数正常。
2019-09-10 math.DS math.NT
Even-integer continued fractions and the Farey tree
辛格曼介绍了理论的地图表面的对象，是一个普遍覆盖的任何地图。该对象是双曲平面与理想边界的某个子集的镶嵌。该镶嵌的1-骨架包括其顶点属于理想边界的无限树的边。在这里，我们展示了如何使用这棵树来给出偶数连分数的漂亮几何表示。我们用这种表示证明了一些已知的关于偶数连分数的基本定理，并且我们还用这种方法证明了一些新的定理，这些定理在正则连分数理论中有熟悉的对应物。
2015-08-06 math.CO math.NT
Continued Fractions of Arithmetic Sequences of Quadratics
设x是二次无理数，P是素数的集合.我们证明了P的一个无限子集S的存在性，使得沿序列{px：p \in S}的连分数展开的周期统计量接近Gauss-Kuzmin测度给出的正态统计量.在推广的黎曼假设下，证明了存在满足相同断言的P的全密度子集S和N的全密度子集T.我们给出了所有情况下的收敛速度收敛速率。
2019-05-20 math.NT
Non-convex geometry of numbers and continued fractions
在最近的工作中，前两位作者构造了一个广义连分式，称为$p$ -连分式，其特征在于其收敛性（正则收敛性的子序列）是关于$L^p$范数的最佳逼近，其中$p\geq 1$。我们将这种构造推广到区域$0<p<1$，其中现在$L^p$拟凸矩阵是非凸的。证明了$p$ -连分式的逼近系数由$1/\sqrt{5}+\varepsilon_p$上有界，其中$\varepsilon_p\to 0$为$p\to 0$ .根据赫尔维茨定理，这个上限在极限中是尖锐的。我们还测量了被$p$ -连分数跳过的连续正则转换的最大数目。
2021-04-16 math.NT
Reduction and specialization of hyperelliptic continued fractions
对于偶数阶的一元多项式$D(X)$，将$\sqrt D$表示为$X^{-1}$中的洛朗级数;这产生了连分数展开式（类似于实数的连分数）：\[\sqrt D=a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\ddots}}},\quad a_i\text{ polynomials in }X.\]这样的连分数首先由阿贝尔在1826年考虑，后来由切比雪夫考虑。事实证明，它们很少是周期性的，除非$D$定义在有限域上。大约在2001年，van der Poorten研究了$\sqrt D$的非周期性连分数，其中$D$定义在有理数上，同时$\sqrt D$的连分数模一个合适的素数$p$ ;后者的连分数自动是周期性的。他发现，一个恢复所有的converterations（有理函数逼近$\sqrt D$通过切断连续部分）的$\sqrt D \mod{p}$适当规范化，然后减少converterations的$\sqrt D$。通过发展一个一般的专门化理论的连分数的洛朗系列，我产生了严格的证明这一结果所述的范德Poorten和进一步能够显示以下：如果$D$定义在有理数上，并且$\sqrt D$的连分数是非周期的，则对于除了100个素数之外的所有素数$p \in \mathbb Z$，这个素数$p$出现在无穷多个$a_i$的前导系数的分母中。对于$\mathrm{…
2017-06-15 math.NT
A distributional limit law for the continued fraction digit sum
我们把连分数数看作是关于勒贝格测度测量的随机变量。数字和的数学标度和归一化涨落过程强分布收敛于单位区间上均匀分布的随机变量。对于这个过程的线性归一化，我们确定一个大偏差渐近。
2006-12-22 math.DS math.NT
Transcendence of $p$-adic continued fractions and a quantitative $p$-adic Roth theorem
Università di Trento（特伦托大学）
本文研究了p进数列的超越性，证明回文和拟周期性p进数列收敛于超越数或二次无理数，并提供了一个量化版的p进Roth定理。
2026-03-11 math.NT
On $\mathfrak{P}$-adic continued fractions with extraneous denominators: some explicit finiteness results
Dipartimento di Matematica e Fisica, Università degli Studi di Roma Tre（罗马第三大学数学与物理系）；Univ. Grenoble Alpes, CNRS, IF（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Research Institute CODE, Universität der Bundeswehr München（慕尼黑联邦国防军大学CODE研究所）；Dipartimento di Informatica, Università di Torino（都灵大学计算机科学系）
本文提出了一种新的算法方法，用于构造数域中的除法链，通过允许有限个分母来定义满足有限性性质的$\mathfrak P$-adic连续分数。
2026-03-12 math.NT
Transcendence and normality of complex numbers via Hurwitz continued fractions
本文研究了 Hurwitz 连分数的拓扑、动力学和描述集合论性质，证明了其序列空间的闭包构成具有弱规范性质的子移位，并据此确定了 Hurwitz 正规数集的 Borel 层级秩，构造了一族有界部分商的复超越数。
2025-01-29 math.DS math.MG math.NT
Continued fractions and orderings on the Markov numbers
马尔可夫数是出现在丢番图方程（$x^2+y^2+z^2=3xyz$，称为马尔可夫方程）的解三元组中的整数。一个经典的主题在数论中，这些数字涉及到许多领域的数学，如组合数学，双曲几何，逼近论和集群代数。从0到1的有理数到马尔可夫数之间存在一个自然映射。在本文中，我们证明了马丁·艾格纳的书，马尔可夫定理和100年的唯一性猜想，这决定了基于其相应的理性的马尔可夫数的子集的顺序中看到的两个命题。证明依赖于马尔可夫数和连续多项式之间的关系，这起源于弗罗贝纽斯1913年的论文。
2020-05-19 math.CO math.NT math.RA
On the joint normality of certain digit expansions
我们证明了一个点$x$是正规的关于遍历，数论变换$T$当且仅当$x$是正规的关于$T^n$的任何$n\ge 1$。这纠正了施魏格的一个错误证明。然后，使用一些见解Schweiger的原始证明，我们扩展这些结果，例如，显示一个数字是正常的，相对于经常连分数扩展当且仅当它是正常的，相对于奇连分数扩展。
2014-08-02 math.DS math.NT
Continuity of entropy for all $α$-deformations of an infinite class of continued fraction transformations
我们在Annali della Scuola Normale Pisa，Classe di Scienze上扩展了我们2020年论文的结果。在那里，我们关联到一个无限家庭的三角形富克斯群的一个单参数家庭的连分数地图，并表明，匹配（或同步）的间隔是充分的措施。在这里，我们找到每个映射的平面扩展，并证明了与每个单参数族相关联的熵函数的连续性。我们还引入了最终可扩区间映射的第一点态可扩幂的概念。我们证明了对于我们的单参数族中的每一个映射，它的第一个点态扩张幂映射的自然扩张由测地流到被相应群一致化的双曲轨道的单位切丛中的横截面的第一个返回给出。我们猜想这对我们所有的地图都成立。我们给出了数值证据的猜想。
2023-03-17 math.DS math.NT
The median Genocchi numbers, Q-analogues and continued fractions
本文的目的是双重的。首先，我们回顾了最近发展的几何方法的中位数Genocchi数的组合。Genocchi数在此上下文中表现为退化旗形变种的欧拉示性数。其次，证明了退化旗簇的Poincar多项式的母函数可以写成简单连分数。作为应用，我们证明了Poincar ' e多项式与Han和Zeng提出的规范化中值Genocchi数的$q$ -形式一致.
2012-06-09 math.CO math.NT
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Equidistribution of divergent orbits and continued fraction expansion of rationals
在平面格空间的椭圆扩张中，我们建立了某些局部有限代数测度的推进的等分布结果。作为我们分析的应用，我们得到了关于大部分高分母有理数的连分数展开式的渐近正态性的新结果以及关于它们的连分数展开式的长度的估计.通过类似的方法，我们还建立了Zaremba猜想的一个补充结果。也就是说，我们证明了给定一个有界M，对于任意大的q，p/q的连分数展开式的系数由M有界的有理数$p/q\in [0,1]$的个数是$o(q^{1-ε})$，对于某些依赖于M的$ε>0$。
2017-07-04 math.DS math.NT
Continued fractions and Parallel SQUFOF
本文讨论了三个结果。(1)归一化平方根的双边连分数（SQUFOF算法的重要组成部分）具有几个非常吸引人的性质--周期性，对称点对应于$N$的一个因式分解，等等。（2）基础结构距离公式。(3)一种SQUFOF的并行化方法，随着处理器数量的增加，该方法保持了每个处理器的效率，因此预计对非常大数量的处理器是有用的。前两个是已知的（以一种或另一种形式），第三个可能是新的（至少使用MPI的C实现是新的）。
2006-01-11 math.HO math.NT
Extreme value theorem for geodesic flow on the quotient of the theta group
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（HUN-REN 阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Seoul National University（首尔大学数学科学系）；Research Institute of Mathematics, Seoul National University（首尔大学数学研究所）
本文研究了θ群商上测地流的极值定理，通过广义连续分数算法和谱性质推导出极值定律，描述测地线的最大咽喉游离。
2026-10-30 math.DS math.NT
Norms on the cohomology of hyperbolic 3-manifolds
研究了双曲3-流形的第一上同调的两个范数之间的关系：纯拓扑Thurston范数和几何调和范数。精炼最近的结果Bergeron，Eschenün和Venkatesh以及Kronheimer和Mrowka的旧工作，我们表明，这些规范大致与显式常数成比例，只取决于双曲3-流形本身的体积和注入半径。此外，我们给家庭的例子表明，我们的估计的一些（但不是全部）定性方面是尖锐的。最后，我们展示了封闭的双曲3-流形的Thurston范数指数增长的体积，但有一个统一的下界的注入半径。
2017-05-22 math.DG math.GT math.NT
Cutting Sequences for Geodesic Flow on the Modular Surface and Continued Fractions
本文描述了模曲面H/PSL（2，Z）上测测地流关于PSL（2，Z）的标准基本区F = {z=x+iy：-1/2 <= x <= 1/2 and |z| >=1}的切割序列.垂直测地线{θ+it：t > 0}的切割序列与θ的一维连分数展开有关，称为一维Minkowski测地线连分数（MGCF）展开，它与二维格族的参数化约化基族有关。所有测地线的切割序列的集合在符号空间{L，R，J}中形成双侧移位，符号空间{L，R，J}具有与垂直测地线相同的禁止块集合。我们证明了这种位移不是sofic位移，它表征了基本区F直到双曲平面H的等距。给出了垂直测地线{θ+it：t > 0}的切割序列、θ的MGCF展开式和θ的加性普通连分数（ACF）展开式之间的转换方法。我们证明了切割序列和MGCF展开都可以通过有限自动机从另一个计算出来，并且θ的ACF展开可以通过有限自动机从垂直测地线θ+it的切割序列计算出来。然而，垂直测地线的切割序列不能通过任何有限自动机从ACF展开计算，但是当给定ACF展开的前O（l）个符号作为输入时，有一种算法可以计算其前l个符号，这需要时间O（l^2）和空间O（l）。
2001-04-02 math.DS math.NT
On the evolution of continued fractions in a fixed quadratic field
本文证明了在固定的二次域上，某些二次无理数序列的连分数展开的周期的统计量接近Gauss-Kuzmin测度给出的“正规”统计量.作为一个副产品，增长率的期间进行了分析，例如，它表明，对于一个固定的整数$k$和二次无理$\al$，$k^n\al$的连分数扩展的周期长度等于$c k^n +o(k^{(1-\frac{1}{16})n})$为一些积极的常数$c$。这改进了Cohn，Lagarias和Grisel的结果，并解决了Hickerson的一个猜想.这些结果是由本文的主要定理导出的，该定理建立了关于Hecke图中沿某些路径的单周期测地线的等分布结果。结果是有效的，并给出了收敛速度，主要工具是谱隙（矩阵系数的有效衰减）和$S$ -算术齐性空间上的动力学分析。
2013-02-21 math.DS math.NT
