On the Hausdorff dimension of some sets of numbers defined through the digits of their $Q$-Cantor series expansions
继P. Erdens和A. Rényi我们计算的豪斯多夫维数的数字集的数字就其$Q$ -康托级数展开满足各种统计性质。特别是，我们认为差集与各种概念的正常性和一组数字与规定的数字范围。
2014-07-15 math.NT
Construction of normal numbers with respect to the $Q$-Cantor series expansion for certain $Q$
A. Renyi \cite{Renyi}在$Q$ -Cantor级数的背景下给出了简单正规性的一个推广。同样，本文给出了$Q$ -Cantor级数正规性概念的一个推广定义.我们将证明一个定理，它允许我们将具有特殊性质的数字序列连接起来，以给出某个$Q$的$Q$ -正常数的数字。然后我们将使用这个定理来构造一个Q和一个$Q$ -正规的实数$x$。
2010-09-17 math.NT
On digits of Mersenne numbers
最近开发的兴趣的Mersenne数$M_p = 2^p-1$，其中$p$是素数的$q$ -ary数字的分布的动机，我们估计合理的指数和$M_p$，$p \leq X$，模一个固定的奇素数$q$的大功率。反过来，这直接暗示了$q$元数字串在$M_p$的大约$(\log X)^{3/2+o(1)}$最右边的数字$p \leq X$中的正规性。以前的结果表明，这只适用于大约$(\log X)^{1+o(1)}$最右边的数字。
2021-07-15 math.NT
Computable Absolutely Pisot Normal Numbers
本文分析了一个产生绝对正规数的位数的算法的收敛阶。此外，我们引入了一个更强的概念，绝对正规性，允许皮索数为基础，这将导致扩展与非整数基地。
2016-10-20 math.DS math.NT
On absolutely normal and continued fraction normal numbers
给出了一个正规于所有整数基且连分数正规的实数的构造。其连分数展开式的前n位数的计算按照n^4次数学运算的顺序执行。该构造通过定义适当子区间的连续细化来实现，在极限下，对所有整数基的简单正态性和连分数正态性。主要困难是控制这些子区间的长度。为了实现这一目标，我们适应和结合已知的度量定理连分数和整数基础上的扩展。
2017-04-12 math.NT
Normality of algebraic numbers and the Riemann zeta function
本文发现代数数正规性与Riemann zeta函数在垂直等差数列上的均值存在关联，并给出正代数无理数对基数b正规的充要条件，即上述极限为零。
2024-12-17 math.NT
Transcendence Meets Normality: Construction of Transcendentally Normal Numbers
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
该研究定义了超越正规数，证明几乎所有实数都是这类数，给出其显式构造与递归数位计算算法，扩展方法构造了符合对数迭代律偏差的LIL-正规数，并讨论相关开放问题。
2026-09-23 math.NT math.PR
Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion
固定整数序列$Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$，使所有$n$的$q_n$都大于或等于2。本文改进了J. Galambos和F. Schweiger证明了对于满足一定条件的序列$Q$，几乎所有（在勒贝格测度意义下）$[0,1)$中的实数相对于$Q$ -Cantor级数展开是$Q$ -正规的.我们还提供了渐近描述的数字块中的$Q$ -康托级数展开的一个典型的数字的出现次数。引入了强$Q$ -正规性的概念，它满足一个类似的典型性结果.这两个概念对于$b$ -元展开是等价的，但是对于康托级数展开，强正规性比正规性更强。为了证明这一点，我们提供了一个显式的结构序列$Q$和一个实数，是$Q$ -正常的，但不是强$Q$ -正常的。我们利用本文的结果证明了在序列$Q$上的一个较弱的条件下，A. \cite{Renyi}中的Rényi将在$[0,1)$中密集。
2011-08-30 math.NT
On the Hausdorff dimension of the difference sets between typical and normal numbers
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Collegium Mathematicum（波兹南亚当·密茨凯维奇大学数学学院）；AGH University of Krakow, Faculty of Applied Mathematics（克拉科夫AGH科技大学应用数学学院）
该研究探讨典型数与基2正规数差集的豪斯多夫维数，证明二者差集具完全豪斯多夫维数，通过计数论证而非显式构造确定维数。
2026-08-18 math.NT
Analysis of the binary asymmetric joint sparse form
我们考虑整数向量的冗余二进制联合数字展开。冗余用于最小化汉明权重，即，非零数字向量的数量。这导致在阿贝尔群中的有效的线性组合算法，其例如用于椭圆曲线密码学中。如果数字集是一组包含零的连续整数，则已知一个特殊的语法条件来最小化权重。我们分析了所有最大项小于N的非负整数向量的最优权值。给出了具有主项和二阶周期波动项的期望和方差。最后，我们证明了渐近正态性。
2014-02-10 math.CO math.NT
Normal and pseudonormal numbers
在简要回顾了正规数研究的历史里程碑之后，我们引入了Borel数作为在它们的不同基表示上允许一个概率函数的实数。在这种情况下，我们提供了两个概率正态性的数字的随机独立性的基础上。最后，我们定义了正规性条件，它是由正常数满足，并可以在有限的步骤进行评估。
2022-01-13 math.NT
Joint distribution in residue classes of the base-$q$ and Ostrowski digital sums
令$q$为整数$\geq 2$，并且令$S_q(n)$表示基$q$中的$n$的位数之和。对于\[ α=[0;\overline{1,m}],\ m\geq 2, \]，让$S_α(n)$表示$n$的Ostrowski $α$表示中的数字之和。令$m_1,m_2\geq 2$是具有$$\gcd(q-1,m_1)=\gcd(m,m_2)=1.$$的整数我们证明存在$δ>0$，使得对于所有整数$a_1,a_2$，\begin{eqnarray*} &&|\{0\leq n<N: S_{q}(n)\equiv a_1\pmod{m_1},\ S_α(n)\equiv a_2\pmod{m_2}\}| &=&\frac{N}{m_1m_2}+O(N^{1-δ}). \end{eqnarray*}该等式所隐含的渐进关系已由Coquet、Rhin和Toffin证明，并且该等式已由Spiegelhofer证明了$α=[\ \overline{1}\ ]$情况下的等式。
2017-10-26 math.NT
From randomness in two symbols to randomness in three symbols
在1909年博雷尔定义常态作为一个概念的随机性的数字表示的实数超过一定的基础（分数扩展）。如果我们认为一个数在一个基上的表示是一个来自有限字母表$A$的符号的无穷序列，我们可以直接为$A$的符号的字定义正规性：一个字$x$正规于字母表$A$，如果来自$A$的符号的每个有限块在$x$中以相同的渐近频率出现。许多正常的话的例子已经发现，因为它的定义，是Champernowne在1933年第一个显示一个明确的和简单的实例。此外，它已被表征，我们如何可以选择一个正常的字$x$保持其正规性，总是离开字母表$A$固定的顺序。在这项工作中，我们考虑的对偶问题，其中包括插入符号在无限位置的一个给定的词，在这样一种方式，正常的是保存。具体地，给定在原始字母表$A$上不存在的符号$s$并且给定垂直于字母表$A$的单词$x$，我们解决了如何将符号$s$插入单词$x$的无限位置中，使得所得到的单词垂直于扩展的字母表$A\cup \{s\}$。
2017-11-11 math.CO math.NT
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
2018-08-12 math.CO math.NT
Large deviation asymptotics for continued fraction expansions
本文研究了定义在连分数位上的过程的大偏差渐近性。利用连分数数字和过程定义了停时，并导出了上下波动过程的联合大偏差渐近解。并给出了一个单位数的大偏差渐近解。
2007-02-13 math.DS math.NT
Insertion in constructed normal numbers
由Borel定义，一个实数是正规的整数基$b$，大于或等于$2$，如果在它的基- $b$扩展的每一个数字块出现相同的限制频率作为每一个其他块的相同长度。我们考虑在构造的基- $b$正规展开式中的插入问题，以获得基$(b+1)$的正规性.
2021-11-13 cs.DM math.CO math.NT
The prime-counting Copeland-Erdős constant
本文研究由素数计数函数值连接而成的新常数，利用 Szüsz-Volkmann 组合方法证明 Cramér 素数间隙猜想可推出该常数在任意进制下的正规性。
2023-09-24 math.NT
Joint distribution of leftmost digits in positional notation and Schanuels's conjecture
Department of the Theory of Functions, Institute of Mathematics and Computer Science, Siberian Federal University（西伯利亚联邦大学数学与计算机科学研究所函数理论系）
本文研究了位置记数法中最左边数字的联合分布，并证明了在特定条件下，不同基数的对数是无理无关的，与Schanuel猜想相关。
2026-03-10 math.NT
The Prime Digit Distribution Conjecture: A Formal Proof of Average Digit Equidistribution in the Prime Numbers
Bangladesh Institute of Governance and Management（孟加拉国治理与管理研究所）；University of Dhaka（达卡大学）
研究素数数字分布，结合素数定理等方法证明素数中数字出现概率渐近为\(\frac{1}{10}\)，建立内部数字定量等分布，阐明与其他相关问题区别，得出素数数字汇总后渐近等分布的结论。
2026-07-14 math.NT
Some normal numbers generated by arithmetic functions
令$g \geq 2$。一个实数被称为g-正规的，如果它的基g展开式包含具有期望极限频率的每个有限序列。设λ表示欧拉函数，σ表示约数和函数，λ表示卡迈克尔函数。我们证明了如果f是由σ，σ或λ组成的任意函数，则由连续f值的基g位连接得到的数\[ 0. f(1) f(2) f(3) \dots \]是g-正规的.我们还证明了同样的结果，如果输入1，2，3，\dots被替换为素数2，3，5，\dots。这个证明是Copeland和Erdos在1946年引入的一种方法的改编，该方法证明了0.235711131719 \ldots的10-正规性。
2013-09-27 math.NT
The joint distribution of binary and ternary digits sums
本文研究二进制与三进制数位和函数的联合分布，证明了$(s_2(n),s_3(n))$在渐近密度意义下几乎取遍$\mathbb N^2$，从而将已有的碰撞结果推广为任意正整数对$(a,b)$下方程$as_2(n)=bs_3(n)$都有无穷多个解。
2025-01-01 math.NT
Normal numbers with digit dependencies
在实数在给定的整数基上展开式的位依赖性的假设下，给出了实数的Borel正规性的度量定理。我们精确地量化了允许多少数字依赖，使得几乎所有实数都是正常的。我们的定理指出，几乎所有的实数是正常的，当至少略多于$\log \log n$连续数字的索引开始于位置$n$是独立的。作为主要应用，我们考虑Toeplitz集$T_P$，它是来自$\{0, \ldots, b-1\}$的符号的所有序列$a_1a_2 \ldots $的集合，使得对于$P$和$n=1,2,\ldots$中的每个$p$，$a_n$等于$a_{pn}$。这里$b$是整数基，$P$是素数的有限集合。我们证明了几乎所有基$b$展开式在$T_P$中的实数都正规于基$b$。在$P$是单例集$\{2\}$的情况下，我们证明了more是真的：几乎每一个其基$b$展开式在$T_P$中的实数正规于所有整数基.我们还考虑了Toeplitz变换，它将所有序列的集合映射到集合$T_P$，并刻画了Toeplitz变换也是正规的正规序列。
2018-09-17 cs.FL math.CO math.NT
Measures supported on partly normal numbers
本文研究部分正规数集合的测度论性质，对相容基对构造了支撑于其上的奇异 Frostman-Rajchman 概率测度，并引入可独立调参的偏斜测度以同时控制正规性、非正规性、球条件与 Fourier 衰减。
2024-08-06 math.CA math.NT
