Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: a hundred decimal digits for the dimension of $E_2$
我们证明了[13]中利用动力系统的周期点来近似动态定义的Cantor集的豪斯多夫维数的算法可以用来建立维数的完全严格的高精度界。这些严格的估计的有效性示出的康托集组成的连分数扩展与限制数字。例如，集合$E_2$（其连分数展开式仅包含数字1和2的实数）的豪斯多夫维数可以被严格地近似，精确度超过100个小数位，使用最多25的周期点。建立严格维数界的方法涉及到与允许的连分数位数相关联的映射的全纯扩张，由这些映射收缩的适当圆盘，以及作用于该圆盘上的解析函数的Hilbert Hardy空间的相关转移算子。我们介绍的方法，严格限制的近似数的转移算子，这导致有效的估计泰勒系数的相关行列式，因此明确的界限上的豪斯多夫维数。
2017-12-06 math.DS math.FA math.NT
Non-periodicity of the sequence of the last nonzero digits of factorials and its applications to transcendence
该研究证明了任意大于2的整数基下阶乘最后非零数字序列非最终周期，将Adamczewski–Bugeaud准则推广到周期Cantor基展开，并据此证明满足条件的Cantor基展开实数为超越数。
2025-10-01 math.NT
Normal numbers in sparse Cantor sets
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学自然科学学院）；CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
研究豪斯多夫维数为零的康托型集合中正规数，通过扩展施密特方法，证明独立非均匀分布伯努利数字诱导测度赋予奇基数下正规数全质量，并给出显式算法构造，支持相关猜想。
2026-07-09 math.NT
Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part I
众所周知，有理乘法在基$b$中保持正规性。我们研究了$Q$ -Cantor级数展开式的相关保正态运算。特别是，我们表明，虽然整数乘法保持$Q$ -分布的正态性，它不能保持$Q$ -正常的一个特别强大的方式。我们还表明，$Q$ -分布的正态性是不保持非整数有理数乘法的零措施和充分的豪斯多夫维数。
2014-07-08 math.NT
Irrationality Exponent, Hausdorff Dimension and Effectivization
推广了Jarnik和Besicovitch关于实数的无理指数和豪斯多夫维数的经典定理.设a是大于或等于2的任意实数，b是小于或等于2/a的任意非负实数。证明了存在一个豪斯多夫维数等于b的Cantor-like集，使得关于它的一致测度，几乎所有的实数的无理指数都等于a.给出了单个实数的无理性指数与有效豪斯多夫维数之间的一个类似结果。证明了存在一个类Cantor集，使得关于它的一致测度，集合中几乎所有元素的有效豪斯多夫维数等于b，无理性指数等于a.在每一种情况下，我们获得所需的设置作为一个杰出的路径树的康托集。
2017-09-06 math.LO math.NT
Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part II
我们研究了非零有理乘法和有理加法如何影响$Q$ -Cantor级数展开式的正态性。特别地，我们证明了存在一个$Q$，使得满足$Q$ -正态分布但不满足$Q$ -正态分布的实数集，并且当它与有理数相乘和相加时仍具有这个性质的实数集具有全豪斯多夫维数.此外，我们给出了这样一个数字，这是明确的意义上，它是可计算的。
2014-07-15 math.NT
Normality of different orders for Cantor series expansions
设$S \subseteq \mathbb{N}$具有这样的性质：对于每个$k \in S$，集合$(S - k) \cap \mathbb{N} \setminus S$具有渐近密度$0$。证明了存在一个基本序列$Q$，其中$Q$ -正规于$S$中的所有阶，但不正规于$S$中的所有阶的数集$Q$具有全Hausdorff维数.如果函数$k \mapsto 1_S(k)$是可计算的，则存在可计算的例子。例如，存在可计算基本序列$Q$，其中所有偶数阶正规而所有奇数阶不正规的数的集合具有全Hausdorff维数。这与$b$ -元展开式有很强的相似性，在$b$-元展开式中，任何对于$k$阶正规的实数也必须对于$1$和$k-1$之间的所有阶正规。此外，我们构造的所有数字都满足一个不寻常的条件，即沿着非平凡算术级数采样的块频率不会收敛到期望值。这也与$b$元展开的情况形成强烈对比，但更类似于连分数展开的情况。作为推论，当沿着任何非平凡算术级数采样时不正常的$Q$ -正常数的集合具有全Hausdorff维数。
2016-07-25 math.NT
A sequential view of self--similar measures, or, What the ghosts of Mahler and Cantor can teach us about dimension
我们发现，丢失的$q$ -ary数字集$F\subseteq[0,1]$有相应的自然相关的可数二进制$q$ -自动序列$f$。利用这种对应关系，我们证明了$F$的豪斯多夫维数等于$f$的Mahler特征值的底- $q$对数.此外，我们证明了$F$上支持的标准质量分布$ν_F$等于$f$的鬼测量$μ_f$。
2020-11-21 math.NT
Construction of normal numbers with respect to the $Q$-Cantor series expansion for certain $Q$
A. Renyi \cite{Renyi}在$Q$ -Cantor级数的背景下给出了简单正规性的一个推广。同样，本文给出了$Q$ -Cantor级数正规性概念的一个推广定义.我们将证明一个定理，它允许我们将具有特殊性质的数字序列连接起来，以给出某个$Q$的$Q$ -正常数的数字。然后我们将使用这个定理来构造一个Q和一个$Q$ -正规的实数$x$。
2010-09-17 math.NT
How likely can a point be in different Cantor sets
设$m\in\mathbb N_{\ge 2}$，$\mathcal K=\{K_λ: λ\in(0, 1/m]\}$是一类康托集，其中$K_λ=\{\sum_{i=1}^\infty d_iλ^i: d_i\in\{0,1,\ldots, m-1\}, i\ge 1\}$ .本文研究了$\mathcal K$的Cantor集上不动点的似然性.更精确地说，对于不动点$x\in(0,1)$，我们考虑参数集$Λ(x)=\{λ\in(0,1/m]: x\in K_λ\}$，并证明了$Λ(x)$是一个具有零Lebesgue测度和全豪斯多夫维数的拓扑Cantor集。进一步，通过构造$Λ(x)$中具有大厚度的Cantor子集序列，证明了对于任何$x, y\in(0,1)$，交$Λ(x)\capΛ(y)$也具有满豪斯多夫维数.
2021-03-15 math.DS math.NT
Intersections of multiplicative translates of 3-adic Cantor sets
受Erdans问题的启发，本文考虑了关于3-adic整数乘2的离散动力系统的问题。设3-adic康托尔集由所有其展开式仅使用数字0和1的3-adic整数组成。例外集是3进整数的集合，其在此作用下的前向轨道与3进康托尔集相交无限次。它已被证明，这个集有豪斯多夫维数0。接近上界的豪斯多夫维数，这些集导致研究的交叉乘法平移康托集的权力2。更一般地，本文研究了3进康托尔集的一般乘法平移与整数1 < M_1 < M_2 <. < M_n。这些集合可描述为3-adic整数的集合，其3-adic展开具有由有限自动机给出的单侧符号动力学。因此，对于一个代数整数β，这样一个集合的豪斯多夫维数总是log（β）的形式。本文给出了一种确定给定数据（M_1，…，M_n）。实验结果表明，这类集合的豪斯多夫维数以一种非常复杂的方式依赖于整数M_1，.，M_n。
2013-08-14 math.DS math.MG math.NT
The Hausdorff and packing measure of some digital expansions
我们计算精确的Hausdorff和包装措施的集合的实数的数字扩展在一个给定的基础上丢失的数字超过一个给定的阈值。
2022-11-25 math.NT
Modeling rational numbers by Cantor series
在本文中，建模某些有理数，这是表示在康托级数，进行了说明。证明了用康托级数表示有理数时（对于任意序列$(q_k)$）的数位关系的陈述。
2019-04-18 math.NT
Counting rationals and diophantine approximation in missing-digit Cantor sets
University of Warwick（华威大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文通过傅里叶ℓ^1维度方法，研究了缺失数字康托集中的有理数计数和丢番图逼近问题，并对多个猜想做出了进展。
2026-01-16 math.NT
Cantor-winning sets and their applications
我们引入并开发了一类\textit{Cantor-winning}集，共享相同的顺从属性的经典获胜集施密特的$(α,β)$ -游戏：这些包括最大豪斯多夫维数，不变性下可数交叉与其他康托获胜集和不变性下双Lipschitz同胚。然后，它表明，各种各样的严重逼近集自然出现在理论的丢番图逼近很好地融入我们的框架。作为这一现象的应用，我们回答了几个以前开放的问题，包括一些有关的混合Littlewood猜想和$\times2, \times3$问题。
2015-09-08 math.NT
Intrinsic Approximation on Cantor-like Sets, a Problem of Mahler
1984年，库尔特·马勒提出了以下基本问题：康托尔集中的无理数能在多大程度上被康托尔集中的有理数所近似？为了发展这样一个理论，我们证明了Cantor-like集上这个内在丢番图逼近的Dirichlet型定理，并讨论了相关的可能定理/定理.得到的近似函数类似于R^d的近似函数，但d是集合的豪斯多夫维数，而对分母的对数依赖性。
2011-11-18 math.CA math.NT
Hausdorff dimensions of level sets related to moving digit means
本文将介绍和研究$x\in[0,1]$在$p$ -adic展开中的下移动数位均值$\underline{M}(x)$和上移动数位均值$\overline{M}(x)$，其中$p\geq2$为整数。此外，对于满足$0\leqα\leqβ\leq p-1$的每对数$α$和$β$，确定了水平集\[B(α,β)=\left\{x\in [0,1]\colon \underline{M}(x)=α,\overline{M}(x)=β\right\}\]的Hausdorff维数.
2018-09-21 math.NT
Intersections of multiplicative translates of $3$-adic Cantor sets II: two infinite families
本文继续研究整数$1\leq M_1<\cdots<M_n$的一般乘法平移$\mathcal{C}(M_1,\ldots,M_n)=\frac{1}{M_1}Σ_{3,\bar{2}}\cap\cdots\cap\frac{1}{M_n}Σ_{3,\bar{2}}$的有限交的结构，其中$Σ_{3,\bar{2}}$表示$3$ -adic Cantor集.本研究的动机是$3$ -进整数$\mathbb{Z}_3$乘$2$给出的离散动力系统的问题。例外集$\mathcal{E}(\mathbb{Z}_3)$被定义为$\mathbb{Z}_3$的所有元素的集合，这些元素的前向轨道在此作用下与$3$ -adic Cantor集$Σ_{3,\bar{2}}$相交无限次。证明了它具有Hausdorff维数$0$。第一部分表明，在所有$M_i$都是$2$的幂的情况下，例外集的Hausdorff维数的上界可以从上述类型的集合的Hausdorff维数中提取。这些交集被证明是分形，其点具有可由有限自动机中的标记路径描述的$3$ -adic展开，其Hausdorff维数是精确可计算的，并且具有$\log_3(β)$的形式，其中$β$是实代数整数。给出了自动机的判定算法，并通过计算实例说明了自动机和$β$值对参数$(M_1,\ldots,M_n)$的依赖关系是复杂的。本文研究了两个新的无限家庭的例子，说明…
2015-12-15 math.DS math.MG math.NT
Metric results on sumsets and Cartesian products of classes of Diophantine sets
受Erdős关于刘维尔数和积结果启发，研究指定无理性指数实数类和集的度量性质，证明其和集勒贝格测度下几乎覆盖全体实数，补集豪斯多夫维数小，还拓展到笛卡尔积维数、缺数字康托尔集填充维数等问题，推广了Erdős的方法。
2023-08-03 math.NT
Shrinking targets for non-autonomous dynamical systems corresponding to Cantor series expansions
给出了区间$[0,1)$上的非自治动力系统生成的一个非常一般的收缩目标格式的豪斯多夫维数的Bowen型闭公式，称为$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，对应于给定的Cantor级数展开方法.我们还研究了广泛的一类例子，利用我们的定理。特别是，我们提供了一个丢番图逼近解释我们的计划。
2014-10-11 math.DS math.NT
Hausdorff Measures, Dyadic Approximations and Dobiński Set
Dobibranski集$\mathcal{D}$是某个无穷乘积恒等式的例外集，它的点被并元有理数刻画为具有极好的逼近.本文利用质量转移原理，通过构造包含在$\mathcal{D}$中的某些适当的Cantor类集（称为Willow集），研究了$\mathcal{D}$的豪斯多夫维数和对数测度.
2019-11-14 math.CA math.NT
Gaussian rational numbers in Cantor sets in the complex plane
Central South University（中南大学）
本文研究了复平面上康托集的高斯有理数分布，证明当Hausdorff维数小于1时，此类数的分母素因子有限。
2025-12-08 math.NT
Cantor series constructions of sets of normal numbers
令$Q=(q_n)_{n=1}^{\infty}$是大于或等于2的整数序列。如果序列$(q_1q_2... q_n x)_{n=1}^{\infty}$是模1均匀分布的，我们说$[0,1)$中的实数$x$是{ \it $Q$ -分布正态}。在\cite{Lafer}中，P. Lafer要求为任意$Q$构造一个$Q$ -分布正态数。在对$Q$的一个较弱的条件下，构造了一个$Q$ -分布正态数集$Θ_Q$.这一套是完美的，无处密集。另外，给定$[0,1]$中的任何$α$，我们提供序列$Q$的显式示例，使得$Θ_Q$的Hausdorff维数等于$α$。在$q_n$上的一定增长条件下，我们给出了对$Θ_Q$中的每个$x$都成立的偏差估计。
2012-02-21 math.NT
Construction of numbers with almost all convergents in a Cantor set
1984年，K.马勒问如何以及元素在康托中间第三集可以近似的有理数从该集，并由有理数以外的这一套。我们考虑更一般的缺失数字集$C$和构造数在$C$中任意很好地近似的有理数在$C$中，但不好地近似的有理数以外的$C$。更确切地说，我们构造它们，使得它们的几乎所有可转换性都位于$C$中。
2018-06-08 math.NT
Sharp Hausdorff Dimension Bounds for Sets with Bounded and Growing Digits in $N$-expansions
Faculty of Applied Sciences, National University of Science and Technology POLITEHNICA Bucharest（布加勒斯特国立科技大学应用科学学院）；Gheorghe Mihoc-Caius Iacob Institute of Mathematical Statistics and Applied Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院格奥尔基·米霍克-卡尤斯·雅各布数学统计与应用数学研究所）；Romanian Naval Academy “Mircea cel Batran”（米尔恰·钱贝兰罗马尼亚海军学院）
本文研究了(0,1)区间内无理数集合的Hausdorff维数，针对数字有界或趋向无穷的情况，给出了精确的维数界，并改进了Jarník型结果，证明了数字趋向无穷的集合维数为1/2。
2026-03-29 math.NT
On a problem of K. Mahler: Diophantine approximation and Cantor sets
令$K$表示中间第三康托集，${\cal A}:= \{3^n : n = 0,1,2, >... \} $表示中间第三康托集。给定一个实数正函数$ψ$，令$ W_{\cal A}(ψ)$表示单位区间内的实数集合$x$，对于该集合存在无穷多个$(p,q) \in \Z \times {\cal A} $，使得$ |x - p/q| < ψ(q) $。对$ W_{\cal A}(ψ) \cap K $建立了Duffin-Schaeffer猜想的Hausdorff测度形式的类似.这样做的后果之一是，在$K$中存在非常好的近似数，而不是刘维尔数--这是K.马勒
2005-05-04 math.NT math.PR
On factorial reciprocals in Cantor sets
Central South University（中南大学）
研究 Cantor 集中阶乘倒数的分布，证明仅 1 和 1/5! 存在，且方法推广至一般缺失数字集，显示此类元素有限且可有效确定。
2026-08-25 math.NT
Weighted approximation in higher-dimensional missing digit sets
在本说明中，我们使用最近由Wang和Wu（Math. Ann.，2021），研究$\mathbb{R}^{d}$中某些自相似集中的“加权$Ψ$ -良好逼近”点的集合的豪斯多夫维数。具体来说，我们调查加权$Ψ$ -以及“丢失的数字”集在$\mathbb{R}^{d}$的近似点。我们考虑的集合是$\mathbb{R}$中Cantor型集合向高维的自然推广，例如，包括平面中具有收缩比$\frac{1}{n}$与$n \in \mathbb{N}$的四角Cantor集（或Cantor尘）。
2022-05-16 math.DS math.MG math.NT
Exact approximation order of real numbers in Cantor series expansions
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematics and Information Science, Nanchang Hangkong University（南昌航空大学数学与信息科学学院）
研究Cantor级数展开中精确逼近阶的概念，定义并分析了由部分和精确ψ逼近的点集的度量性质。
2026-09-22 math.NT
Hausdorff dimension for the weighted products of multiple digits in d-decaying Gauss like systems
Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）
本文研究了在d衰减高斯类迭代函数系统中多重数字加权乘积的Hausdorff维度，无需假设有界变形性质，解决了多重数字乘积的维度问题。
2026-09-22 math.DS math.NT
Quantitative results using variants of Schmidt's game: Dimension bounds, arithmetic progressions, and more
Schmidt博弈通常用于推导分形集及其交集的豪斯多夫维数的定性信息。然而，人们也可以询问获胜集合的性质的定量版本。在本文中，我们表明，这样的定量信息具有应用程序的各种问题，包括：* 什么是最大长度的等差数列的“中间$ε$“康托集？* 什么是最小的$n$，使得有一些元素的三元康托集的连分数部分的所有$\leq n$？* Cantor集上的$ε$ -差逼近数集的豪斯多夫维数是多少？我们表明，施密特的游戏称为$potential$ $game$的一个变种是能够提供更好的边界上的答案，这些问题比经典的施密特的游戏。我们还使用潜在的游戏提供了一个新的证明的一个重要引理在霍尔射线的存在性的经典证明。
2017-09-15 math.MG math.NT
On Prime Reciprocals in the Cantor Set
中间三分之一的康托尔集C_3是一个分形，由[0，1]中所有具有无限基3表示的点组成，这些表示只涉及数字0和2。很容易证明，满足2p + 1 = 3^q形式的方程的所有素数p > 3的倒数都属于C_3。此类素数具有由连续的1序列组成的以3为基的表示，并且被称为以3为基的表示单元素数。很自然地要问，是否所有在C_3中有倒数的素数都满足这个方程。本文证明答案是否定的，但C_3中所有带倒数的素数都满足一个密切相关的方程2pK + 1 = 3^q。因此，基为3的表示素数是对应于K = 1的特殊情况。
2011-11-11 math.NT
On winning sets and non-normal numbers
在\cite{SchmidtGames}，W. Schmidt证明了基$b$中的非正规数的集合是{ \it获胜集}。我们推广这一结果，证明了许多套非正规数的康托级数展开的胜利集。作为一个直接的结果，这些集将被证明具有完整的豪斯多夫维数。
2010-11-02 math.NT
Number theoretic applications of a class of Cantor series fractal functions, II
众所周知，所有在基$b$中$k$阶正规的数也是小于$k$阶正规的数。另一个基本事实是，每个实数在基$b$中是正规的，当且仅当它在基$b^k$中对所有$k$都是简单正规的。这可以解释为，当且仅当所有数字块沿着每个无限等差数列以期望的相对频率出现时，一个数在基$b$中是正常的。我们重新解释这些定理的$Q$ -康托级数展开，并表明，他们不再是真的，在一个特别强的方式。本文的主要理论成果是将构造具有某些病态性质的正规数的问题归结为求解丢番图关系系统的问题。
2014-07-22 math.NT
A problem of Hirst for the Hurwitz continued fraction and the Hausdorff dimension of sets with restricted slowly growing digits
针对复无理数的Hurwitz连分数数字受限且满足增长条件的集合，本文证实了Hirst猜想，建立了Wang和Wu正则连分数结果的复类比，还证明了第二作者受限慢增长数字集维数结果的复类比，均借助无限共形迭代函数系统。
2025-04-15 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of specification for the $(α,β)$-shifts
本文证明使$(α,β)$-移位具有规范性的参数$(α,β)$集合的豪斯多夫维数为$2$，通过取参数空间中两个厚康托尔集的交集同时控制两个关键符号序列。
2025-08-06 math.DS math.NT
Metric Diophantine approximation on the middle-third Cantor set
设$μ\geq 2$为实数，$\Mcal(μ)$表示至少在$μ$阶上可由有理数逼近的实数集。80多年前，雅尼克和贝西科维奇分别建立了$\Mcal(μ)$的豪斯多夫维数等于$2/μ$。研究了区间$[0, 1]$上$\Mcal(μ)$与Ahlfors正则紧子集的交集的大小.特别地，我们提出了一个猜想的$\Mcal(μ)$维数的确切值与中间三分之一的康托尔集，并给出了支持这个猜想的几个结果。我们特别表明，猜想持有的自然概率模型，旨在模仿分布的有理数。我们的研究的核心在很大程度上依赖于尺寸估计有关的一组点躺在一个Ahlfors定期设置和近似在一个给定的速率由一个系统的随机点。
2013-05-28 math.CA math.NT math.PR
Integer tile and Spectrality of Cantor-Moran measures with equidifferent digit sets
本文研究带等差数字集的 Cantor-Moran 测度，刻画有限层数字和集为整数砖的充要条件，并分析其与谱测度之间的必要、非充分及在附加条件下的等价关系。
2024-10-29 math.CA math.NT
Szemerédi's Theorem Along Cantor Sets of Integers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Universidad de Costa Rica（哥斯达黎加大学）；Universidad de Málaga（马拉加大学）
该研究在整数Cantor集上扩展了Szemerédi定理，证明了正上Banach密度子集包含特定等差数列的结论。
2026-10-30 math.CA math.DS math.NT
Effective Erdős--Wintner for Cantor numeration systems via a trailing-window method
Independent Researcher, France（独立研究者，法国）
本文通过尾窗方法，为Cantor数制系统提供了显式的Erdős-Wintner界，并在固定基数情况下恢复了Delange的产品，同时给出了不同情形的适用指南。
2026-01-08 math.NT math.PR
