Cantor Julia sets with Hausdorff dimension two
证明了豪斯多夫维数为2的Cantor朱利亚集的存在性.特别地，这样的例子可以在三次多项式中找到。证明是基于Branner-Hubbard对三次多项式的参数空间和动力平面的刻画以及Shishikura在20世纪90年代发展的抛物分歧理论。
2018-02-04 math.CV math.DS
Stable intersections of regular conformal Cantor sets with large Hausdorff dimensions
本文证明了在具有豪斯多夫维数$HD(K)+HD(K')>2$的共形动态Cantor集对$K,\,K' \subset \mathbb{C}$中，存在一个开的稠密子集来验证$\text{int}(K-K')\neq \emptyset$ .这是出于工作\cite{MY}，其中莫雷拉和Yoccoz证明了类似的声明，动态定义的康托集在真正的路线。在这里，我们调整他们的论点，共形康托集在复平面的上下文中，这需要引进几个新的概念和更详细的分析，在某些部分的论点。
2021-08-11 math.DS
Quasisymmetric uniformization and Hausdorff dimensions of Cantor circle Julia sets
对于双曲有理映射的Cantor圆朱利亚集，我们证明了它们与标准Cantor圆是拟对称等价的（即，连接的组件是圆形的圆）。这给出了双曲有理映射的康托圆朱利亚集的拟对称一致化.通过分析朱利亚集为Cantor圈的有理映射的组合信息，给出了任意固定次数的有理映射的模空间中Cantor圈双曲分支个数的计算公式.计算了Cantor圈朱利亚集的豪斯多夫维数，证明了对于有理映射空间中的任意Cantor圈双曲分支$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$中映射的朱利亚集的豪斯多夫维数的下确界等于任意代表$f_0\in\mathcal{H}$的朱利亚集的共形维数，豪斯多夫维数的上确界等于$2$ .
2021-01-23 math.CV math.DS
Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: a hundred decimal digits for the dimension of $E_2$
我们证明了[13]中利用动力系统的周期点来近似动态定义的Cantor集的豪斯多夫维数的算法可以用来建立维数的完全严格的高精度界。这些严格的估计的有效性示出的康托集组成的连分数扩展与限制数字。例如，集合$E_2$（其连分数展开式仅包含数字1和2的实数）的豪斯多夫维数可以被严格地近似，精确度超过100个小数位，使用最多25的周期点。建立严格维数界的方法涉及到与允许的连分数位数相关联的映射的全纯扩张，由这些映射收缩的适当圆盘，以及作用于该圆盘上的解析函数的Hilbert Hardy空间的相关转移算子。我们介绍的方法，严格限制的近似数的转移算子，这导致有效的估计泰勒系数的相关行列式，因此明确的界限上的豪斯多夫维数。
2017-12-06 math.DS math.FA math.NT
The Hausdorff dimension of the set of dissipative points for a Cantor-like model set for singly cusped parabolic dynamics
本文引入并研究了单位区间内的一类复杂Cantor型集$C$。我们的主要结果是表明，集$C$本身，以及$C$内的耗散点集，都有豪斯多夫维数等于1。证明使用了一定的非对称柯西型随机游动的瞬态。
2008-01-25 math.DS math.SP
New bounds for the Hausdorff dimension of a dynamically defined Cantor set
本文利用加性热力学形式，为光滑流形上分段扩张映射定义的非共形双曲排斥子推导出 Hausdorff 维数与计盒维数的新界。
2023-05-20 math.DS
Hausdorff measure of cartesian product of Cantor sets
本文研究了$1/3$ Cantor集$d$重笛卡尔积的Hausdorff测度界限，通过应用强开集条件定理并推广已有工作，计算了几个小整数$d$下更严格的上下界。
2025-10-09 math.CA math.DS
Continuous images of Cantor's ternary set
Hausdorff-Alexandroff定理指出，任何紧度量空间都是康托三元集$C$的连续像。众所周知，存在基数等于$C$的紧致T2空间，它们不是康托三元集的连续像。另一方面，每个紧可数无限T2空间是$C$的连续像。本文给出了一个紧可数无限非T2空间，它不是Cantor三元集的连续象.
2013-10-04 math.DS math.GN
Hausdorff dimension of Cantor intersections and robust heterodimensional cycles for heterochaos horseshoe maps
作为一个模型，以提供一个动手，初步了解混沌动力学的三维，我们介绍了一个$C^2$ -开集的同构的$\mathbb R^3$有两个马蹄铁与不同的尺寸的不稳定。我们证明：其中一个马蹄铁的不稳定集和另一个马蹄铁的独立集的豪斯多夫维数近似为$2$，其截面为Cantor集，不稳定集和稳定集的交集包含一个豪斯多夫维数近似为$1$的分形集.作为推论，我们检测到$C^2$ -鲁棒异维循环。我们的证明采用了正常双曲不变流形的理论和康托集的厚度。
2023-02-12 math.DS nlin.CD
A Better Upper Bound of Hausdorff Measure of the Cartesian Product of the Middle Third Cantor Set with Itself Compare to Others'
在对文献[1]中的一个不准确结果进行修正后，用五种不同的方法，得到了关于中三分之一康托尔集与自身的笛卡儿积的Hausdorff测度的五个不同不等式：$$H^s (C\times C)\leq 1.548563$$ $$H^s (C\times C)\leq 1.504975$$ $$H^s (C\times C)\leq 1.502878$$ $$H^s (C\times C)\leq 1.503263$$ $$H^s (C\times C)\leq 1.502483.$$本文的主要理论是其中最好的，即$$H^s (C\times C)\leq 1.502483.$$
2019-09-28 math.DS
How likely can a point be in different Cantor sets
设$m\in\mathbb N_{\ge 2}$，$\mathcal K=\{K_λ: λ\in(0, 1/m]\}$是一类康托集，其中$K_λ=\{\sum_{i=1}^\infty d_iλ^i: d_i\in\{0,1,\ldots, m-1\}, i\ge 1\}$ .本文研究了$\mathcal K$的Cantor集上不动点的似然性.更精确地说，对于不动点$x\in(0,1)$，我们考虑参数集$Λ(x)=\{λ\in(0,1/m]: x\in K_λ\}$，并证明了$Λ(x)$是一个具有零Lebesgue测度和全豪斯多夫维数的拓扑Cantor集。进一步，通过构造$Λ(x)$中具有大厚度的Cantor子集序列，证明了对于任何$x, y\in(0,1)$，交$Λ(x)\capΛ(y)$也具有满豪斯多夫维数.
2021-03-15 math.DS math.NT
Multi-Model Cantor Sets
本文定义了一类新的度量空间，称之为多模Cantor集。计算了多模型康托尔集的豪斯多夫维数，证明了多模型Cantor集的Hausdorff测度是有限的且非零的.证明了从一个多模型康托尔集到另一个多模型康托尔集的bilipschitz映射在某个闭环上具有常数Radon-Nikodym导数.我们用这个来获得一个不变的bilipschitz同胚。
2002-02-19 math.DS
Intersections of multiplicative translates of 3-adic Cantor sets
受Erdans问题的启发，本文考虑了关于3-adic整数乘2的离散动力系统的问题。设3-adic康托尔集由所有其展开式仅使用数字0和1的3-adic整数组成。例外集是3进整数的集合，其在此作用下的前向轨道与3进康托尔集相交无限次。它已被证明，这个集有豪斯多夫维数0。接近上界的豪斯多夫维数，这些集导致研究的交叉乘法平移康托集的权力2。更一般地，本文研究了3进康托尔集的一般乘法平移与整数1 < M_1 < M_2 <. < M_n。这些集合可描述为3-adic整数的集合，其3-adic展开具有由有限自动机给出的单侧符号动力学。因此，对于一个代数整数β，这样一个集合的豪斯多夫维数总是log（β）的形式。本文给出了一种确定给定数据（M_1，…，M_n）。实验结果表明，这类集合的豪斯多夫维数以一种非常复杂的方式依赖于整数M_1，.，M_n。
2013-08-14 math.DS math.MG math.NT
Dimension rigidity for cookie-cutter Cantor sets
我们证明了两个具有相同符号编码的cookie-cutter Cantor集是可微等价的当且仅当它们的豪斯多夫维数相等。
2019-01-13 math.DS
Shrinking targets for non-autonomous dynamical systems corresponding to Cantor series expansions
给出了区间$[0,1)$上的非自治动力系统生成的一个非常一般的收缩目标格式的豪斯多夫维数的Bowen型闭公式，称为$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，对应于给定的Cantor级数展开方法.我们还研究了广泛的一类例子，利用我们的定理。特别是，我们提供了一个丢番图逼近解释我们的计划。
2014-10-11 math.DS math.NT
On the Hausdorff dimension and Cantor set structure of sliding Shilnikov invariant sets
本文对Filippov系统中Shilnikov滑动连接的首回归映射进行局部分析，揭示了其共形迭代函数系统结构，证明了其局部不变集的闭包为Cantor集，并精确估计了其Hausdorff维数严格介于0和1之间且Lebesgue测度为0。
2024-11-15 math.DS
A combinatorial proof of Marstrand's Theorem for products of regular Cantor sets
1954年，马斯特兰德证明了：如果K是R^2的一个子集，且豪斯多夫维数大于1，那么它的一维投影在几乎所有方向上都有正的勒贝格测度。本文给出了当K是C^{1+a}（a>0）的正则Cantor集的乘积且其豪斯多夫维数之和大于1时该定理的一个组合证明.
2010-11-17 math.DS
Basmajian-type identities and Hausdorff dimension of limit sets
本文研究了一维复动力系统全纯Cantor集族上的Basmajian型级数恒等式。证明了该级数是绝对可和的当且仅当康托尔集的豪斯多夫维数严格小于1。在整个收敛域中，这些恒等式可以解析地连续，并且它们表现出非平凡的单值性。
2016-02-20 math.DS math.GT
On the intersection of Cantor sets and products of random matrices
Department of Mathematics, Kyoto University（京都大学数学系）
本文提出新的工具，计算连续 stationary 测度下的 Lyapunov 指数和 Hausdorff 维数，并应用于单个数字禁止情况下的维数计算。
2026-10-20 math.DS
Intersections of multiplicative translates of $3$-adic Cantor sets II: two infinite families
本文继续研究整数$1\leq M_1<\cdots<M_n$的一般乘法平移$\mathcal{C}(M_1,\ldots,M_n)=\frac{1}{M_1}Σ_{3,\bar{2}}\cap\cdots\cap\frac{1}{M_n}Σ_{3,\bar{2}}$的有限交的结构，其中$Σ_{3,\bar{2}}$表示$3$ -adic Cantor集.本研究的动机是$3$ -进整数$\mathbb{Z}_3$乘$2$给出的离散动力系统的问题。例外集$\mathcal{E}(\mathbb{Z}_3)$被定义为$\mathbb{Z}_3$的所有元素的集合，这些元素的前向轨道在此作用下与$3$ -adic Cantor集$Σ_{3,\bar{2}}$相交无限次。证明了它具有Hausdorff维数$0$。第一部分表明，在所有$M_i$都是$2$的幂的情况下，例外集的Hausdorff维数的上界可以从上述类型的集合的Hausdorff维数中提取。这些交集被证明是分形，其点具有可由有限自动机中的标记路径描述的$3$ -adic展开，其Hausdorff维数是精确可计算的，并且具有$\log_3(β)$的形式，其中$β$是实代数整数。给出了自动机的判定算法，并通过计算实例说明了自动机和$β$值对参数$(M_1,\ldots,M_n)$的依赖关系是复杂的。本文研究了两个新的无限家庭的例子，说明…
2015-12-15 math.DS math.MG math.NT
Approximating elements of the middle third Cantor set with dyadic rationals
设$C$是中间三分之一康托尔集，$μ$是限制于$C$的$\frac{\log 2}{\log 3}$维Hausdorff测度.本文研究了$C$中元素的并矢有理数逼近。我们的主要结果意味着，对于$μ$几乎每一个$x\in C$，我们有$$\#\left\{1\leq n\leq N:\left|x-\frac{p}{2^n}\right| \leq \frac{1}{n^{0.01}\cdot 2^{n}}\textrm{ for some }p\in\mathbb{N}\right\}\sim 2\sum_{n=1}^{N}n^{-0.01}.$$这改善后，最近的结果艾伦，周，和余，它给出了一个次对数改善平凡的近似率。
2022-04-21 math.DS math.NT
Intersections of middle-$α$ Cantor sets with a fixed translation
对于$λ\in(0,1/3]$，令$C_λ$为$\mathbb R$中的中间$(1-2λ)$ Cantor集。给定$t\in[-1,1]$，排除平凡情形，证明了\[ Λ(t):=\left\{λ\in(0,1/3]: C_λ\cap(C_λ+t)\ne\emptyset\right\} \]是一个具有零Lebesgue测度和全Hausdorff维数的拓扑Cantor集.特别地，我们计算了$Λ(t)$的局部维数，揭示了维数变化原理。此外，对于任何$β\in[0,1]$，我们表明，水平集\[ Λ_β(t):=\left\{λ\inΛ(t): \dim_H(C_λ\cap(C_λ+t))=\dim_P(C_λ\cap(C_λ+t))=β\frac{\log 2}{-\log λ}\right\} \]具有相等的Hausdorff和包装维数$(-β\logβ-(1-β)\log\frac{1-β}{2})/\log 3$。我们还证明了$λ\inΛ(t)$的集合，其中$\dim_H(C_λ\cap(C_λ+t))\ne\dim_P(C_λ\cap(C_λ+t))$具有全Hausdorff维数。
2022-01-19 math.CA math.DS
The Theory of Normality for Dynamically Generated Cantor Series Expansions
University of Adam Mickiewicz（亚当·密茨凯维奇大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京数学科学应用研究院）
研究动态生成康托尔级数展开的正则性理论，发现其与基数g展开理论有相似之处，并提出热点定理。
2025-12-01 math.DS math.NT
Moreira's Theorem on the arithmetic sum of dynamically defined Cantor sets
本文给出了C.G.莫雷拉在温和的可检验条件下，定理断言实直线的两个动态定义的康托子集的算术和的豪斯多夫维数等于维数之和或1，取较小者。
2008-07-23 math.CA math.DS
Cantor spectrum for multidimensional quasi-periodic Schrödinger operators
Nantes Université and CNRS（南特大学及法国国家科学研究中心）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Tsinghua University（清华大学）；Nankai University（南开大学）
研究多维准周期Schrödinger算子的Cantor谱问题，证明临界近正交算子的谱Hausdorff维数可任意小但非零。
2025-06-04 math-ph math.DS math.MG
Fractal analysis of Guthrie-Nymann's set and its generalisations
本文研究了与Guthrie-Nymann级数相关的Cantorval边界的分形性质，证明其可表示为开区间与具有零Lebesgue测度和分数Hausdorff维数的Cantor集的并集，并将该结果推广至可数族Cantorvals。
2024-08-25 math.DS
Epsilon-Distortion Complexity for Cantor Sets
我们将一个集合的ε-失真复杂度定义为在通用图灵机上运行的最短程序，该程序在豪斯多夫距离意义下以精度ε产生这个集合。然后，我们估计了迭代函数系统（IFS）所产生的线上的各种中心康托集的ε-失真复杂度。特别地，C^k康托尔集的ε-失真复杂度一般取决于k和它的盒计数维数，与多项式IFS或随机仿射康托集生成的康托集相反。
2007-05-07 cs.CC math.DS math.MG
Hausdorff dimension of specification for the $(α,β)$-shifts
本文证明使$(α,β)$-移位具有规范性的参数$(α,β)$集合的豪斯多夫维数为$2$，通过取参数空间中两个厚康托尔集的交集同时控制两个关键符号序列。
2025-08-06 math.DS math.NT
Ultrametric Cantor Sets and Growth of Measure
最近在文献（Raut，S和Datta，DP（2009），Fractals，17，45-52）中引入的一类超度量Cantor集$(C, d_{u})$被证明具有一些新颖的性质。超度量$d_{u}$是利用{ \em相对无穷小}的概念和{ \em反演}规则定义的。相关联的（无穷小）的价值，原来是规模和reparametrisation不变，是确定与康托函数与康托集$\tilde C$的相对无穷小应该住。这些超度量都度量以及拓扑不等价的拓扑相比，通常的度量。原始康托尔集$C$的每个点都被标识为$\tilde C$的间隙集的闭包。在这样的超度量空间上的增量是通过遵循反演规则来实现的。因此，Cantor函数被重新解释为在这些扩展的超度量空间上的（每个地方）局部常数。在这样的超度量空间上研究了一个有趣的现象，称为{ \em测度增长}.利用估值的重参数化不变性，证明了勒贝格测度零的Cantor集的标度因子如何{ \em变形}，从而得到具有正测度的{ \em变形}康托尔集.引入了一个新的{ \em赋值指数}的定义，证明了它在正测度（胖）康托尔集的情况下产生胖指数.然而，赋值指数也可以用来区分具有相同的豪斯多夫维数和厚度的康托集。构造了一类具有豪斯多夫维数$\log_3 2$和厚度为1的Cantor集.
2011-03-30 math.CA math.DS
Weighted approximation in higher-dimensional missing digit sets
在本说明中，我们使用最近由Wang和Wu（Math. Ann.，2021），研究$\mathbb{R}^{d}$中某些自相似集中的“加权$Ψ$ -良好逼近”点的集合的豪斯多夫维数。具体来说，我们调查加权$Ψ$ -以及“丢失的数字”集在$\mathbb{R}^{d}$的近似点。我们考虑的集合是$\mathbb{R}$中Cantor型集合向高维的自然推广，例如，包括平面中具有收缩比$\frac{1}{n}$与$n \in \mathbb{N}$的四角Cantor集（或Cantor尘）。
2022-05-16 math.DS math.MG math.NT
Sums of regular Cantor sets of large dimension and the Square Fibonacci Hamiltonian
我们证明了在自然的技术条件下，一个$C^2$动态定义的康托尔集与一个紧集之和在大多数情况下（对于几乎所有的参数）具有正的勒贝格测度，只要这些集的豪斯多夫维数之和大于1.作为应用，我们证明了对于许多参数，平方Fibonacci哈密顿量具有正的勒贝格测度谱，而同时态密度测度是纯奇异的.
2016-01-07 math-ph math.DS math.MP
Renormalizing an infinite rational IET
本文研究了[0，1]的区间交换变换，它是通过在1/n点处截断区间并将区间的顺序颠倒而形成的。我们发现，该变换是周期远离康托尔集的豪斯多夫维数为零。在康托尔集上，动力学几乎与2进里程计共轭。
2018-08-29 math.DS
The Hausdorff dimension of the projections of self-affine carpets
研究了一类自仿射地毯的正交投影，其中Bedford地毯和McMullen地毯是其特例。我们的主要结果是，如果$Λ$是这样的地毯，并且某些自然非理性条件成立，则$Λ$在非主方向上的每个正交投影都有豪斯多夫维数$\min(γ,1)$，其中$γ$是$Λ$的豪斯多夫维数.这推广了Peres和Shmerkin关于Cantor集和的一个结果。
2009-10-21 math.DS
Density spectrum of Cantor measure
本文研究了Cantor测度的逐点密度谱，通过引入涉及倍增映射的等价二进版本，结合开放动力系统熵与调谐概念，完整刻画了上下密度取值集合及其水平集的Hausdorff维数。
2022-08-02 math.CA math.DS
Quantization of Cantor-Like Set on the Real Projective Line
本文在实射影线上构建迭代函数系统生成类康托尔集，估计其Hausdorff维数并证明概率测度存在性，推导出前推测度与原始测度量化误差的常数倍关系及2阶误差上界。
2024-06-01 math.DS
Affine embeddings of Cantor sets and dimension of $αβ$-sets
设$E, F\subset {\Bbb R}^d$是两个自相似集，并假设$F$可以相似地嵌入到$E$中.在假设$E$是尘埃状的并且具有小的豪斯多夫维数的情况下，我们证明了$E$和$F$的收缩比之间的对数相关性.这对\cite{FHR14}中的猜想1.2给出了部分肯定的回答。证明基于我们对单位圆上一类多旋转不变集的计盒维数的研究，包括Engelking和Katznelson最初研究的$αβ$ -集.
2016-09-19 math.CA math.DS
Cantor sets in higher dimension I: Criterion for stable intersections
Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（伊朗基础科学研究院）
本文在高维空间中研究Cantor集的稳定相交判据，并提出构造显式稳定相交Cantor集的方法，适用于Hausdorff维度极小的复杂情形。
2026-02-17 math.CA math.DS math.MG
Intersections of homogeneous Cantor sets and beta-expansions
设$Γ_{β,N}$是具有$β\in(1/(2N-1),1/N)$的$N$ -部分齐次Cantor集.任何带有$j_\ell\in\{0,\pm 1,...,\pm(N-1)\}$的字符串$(j_\ell)_{\ell=1}^\N$，使得$t=\sum_{\ell=1}^\N j_\ellβ^{\ell-1}(1-β)/(N-1)$被称为$t$的代码。令$\mathcal{U}_{β,\pm N}$是具有唯一码的$t\in[-1,1]$的集合，并且令$\mathcal{S}_{β,\pm N}$是使交集$Γ_{β,N}\cap(Γ_{β,N}+t)$成为自相似集合的$t\in\mathcal{U}_{β,\pm N}$的集合。本文用几何和代数的方法刻画了集合$\mathcal{U}_{β,\pm N}$，并给出了$t\in\mathcal{S}_{β,\pm N}$的一个充要条件.利用β-展开的技巧，证明了存在一个超越数$β_c\in(1/(2N-1),1/N)$的临界点，使得当$β\in(1/(2N-1),β_c)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$具有正的Hausdorff维数，当$β\in(β_c,1/N)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$包含可数无穷多个元素.此外，还存在第二个临界点$α_c=\big[N+1-\sqrt{(N-1)(N+3…
2011-10-14 math.DS
Dimensions of harmonic measures on non-autonomous Cantor sets
该研究针对非自治共形迭代函数系的调和测度维数问题，发展非自治热力学形式工具，证明其豪斯多夫与填充维数的扰动连续性及满足Bowen、Manning型公式，补充了符号空间测度与正泛函的一般性结论。
2024-09-12 math.DS math.MG math.PR
Estimates of Hausdorff dimension for non-wandering sets of higher dimensional open billiards
本文研究了一类由有限个严格凸的非食障碍物$K$组成的开放台球。台球映射的非徘徊集$M_0$是一个拓扑康托尔集并且它的豪斯多夫维数先前已经使用公知的技术对$\mathbb{R}^2$中的台球进行了估计。我们将这些估计扩展到$\mathbb{R}^n$中的台球，并对估计进行了各种改进。这些改进还允许改进其他结果。我们还表明，在许多情况下，非徘徊集被限制到一个特定的子集的$\mathbb{R}^n$形成的凸包的点确定的周期2轨道。这允许在估计豪斯多夫维数中使用的常数的更精确的界限。
2011-12-28 math.DS
Hausdorff dimension of the spectrum of the square Fibonacci Hamiltonian
用$\mathrm{HD}_λ$表示耦合$λ$的Fibonacci哈密顿量的Hausdorff维数，证明了除了可数个$λ$之外，耦合$λ$的平方Fibonacci哈密顿量的谱的Hausdorff维数是$\min\{2\mathrm{HD}_λ, 1\}$ .我们的证明依赖于斐波那契迹映射的动力学，并结合M。Hochman和P. Shmerkin关于Cantor集的和的Hausdorff维数，这些Cantor集是正则迭代函数系统的吸引子（Local entropy averages and projects of fractal measures，Ann.Math.175（2012），1001- 1059）。
2014-10-22 math-ph math.DS math.MP
One residual set of Cantor graphs with dense conjugacy classes
本文研究了康托尔集上闭合图空间中残余同构类和共轭类的性质，证明了具有密集共轭类的元素集合在该空间中为稠密$G_\delta$子集，并探讨了零拓扑熵元素的稠密性。
2026-08-04 math.DS
Fractal Structure of Parametric Cantor Sets With a Common Point
本文研究参数化康托尔集 E_λ 包含给定公共点 x 的参数集 Λ(x) 的分形与拓扑结构，证明其为零测集且豪斯多夫维数为 log2/log3，并进一步给出数字频率不存在集与指定频率集的维数结果。
2025-03-13 math.DS
Pointwise densities of homogeneous Cantor measure and critical values
设$N\ge 2$和$ρ\in(0,1/N^2]$。齐次Cantor集$E$是由迭代函数系统\[ \left\{f_i(x)=ρx+\frac{i(1-ρ)}{N-1}: i=0,1,\ldots, N-1\right\}. \]生成的自相似集。令$s=\dim_H E$是$E$的Hausdorff维数，令$μ=\mathcal H^s|_E$是限定于$E$的$s$维Hausdorff测度。在本文中，我们描述，对于每个$x\in E$，逐点较低的$s$ -密度$Θ_*^s(μ,x)$和较高的$s$ -密度$Θ^{*s}(μ, x)$的$μ$在$x$。这推广了Feng et al.（2000）的一些早期结果。进一步，我们确定了集合\[ E_*(a)=\left\{x\in E: Θ_*^s(μ, x)\ge a\right\}\quad\textrm{and}\quad E^*(b)=\left\{x\in E: Θ^{*s}(μ, x)\le b\right\} \]的两个临界值$a_c$和$b_c$，使得$\dim_H E_*(a)>0$当且仅当$a<a_c$，$\dim_H E^*(b)>0$当且仅当$b>b_c$ .我们强调，这两个值$a_c$和$b_c$都与Thue-Morse型序列有关，我们的策略是找到它们依赖于开放动态的思想和组合数学的技术。
2020-05-07 math.CA math.CO math.DS
$HD(M\setminus L)<0.986927$
我们表明，补充$M\setminus L$的拉格朗日谱$L$在马尔可夫谱$M$的几个部分可以看作是康托集的算术和控制豪斯多夫维数的子集。特别地，我们证明了$M\setminus L$的豪斯多夫维数严格小于1.
2019-10-03 math.DS
Measure theoretic structure of the sum of two affine Cantor sets
本文研究实数域中两个仿射Cantor集和集的测度论性质，证明其盒维数与Hausdorff维数相等，且在特定维数和厚度条件下，该和集的对应Hausdorff测度为0，补充了已有相关结论。
2026-08-31 math.DS
Renormalization, equipotential annuli and the Hausdorff measure
HSE University（高等经济大学）
研究复单变量多项式填充Julia集的不变分支K*的几何性质，通过圆上Cantor型子集G'的Hausdorff维数和测度给出重整化模的上下界。
2026-09-16 math.DS
Resonance between Cantor sets
设$C_a$是通过从单位区间中移除长度为$1-2a$的中心区间，并在剩余的两个区间中的每一个上归纳地继续该过程而获得的中心康托集。证明了若$\log b/\log a$是无理数，则有\[ \dim(C_a+C_b) = \min(\dim(C_a) + \dim(C_b),1), \]，其中$\dim$是Hausdorff维数.更一般地，给定$\RR$中的两个自相似集合$K,K'$和缩放参数$s>0$，如果算术和$K+sK'$的维数严格小于$\dim(K)+\dim(K') \le 1$（"几何共振“），则存在$r<1$，使得定义$K$和$K'$的相似项的所有收缩比都是$r$的幂（"代数共振”）。我们的方法也产生了一个新的结果，平面自相似集的投影所产生的迭代函数系统，其中包括一个缩放的无理旋转。
2008-03-28 math.CA math.DS
On Sums of "Small" Cantor Sets
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；University of California, Riverside（加州大学河滨分校）
该研究证明了零对数容量或零下盒计数维数的“小”康托集的和可成为区间或区间有限并集，还给出了对应不同规范函数的康托集实例。
2026-10-14 math.DS
