Polynomial partition asymptotics
令$f \in \mathbb{Z}[y]$是使得$f(\mathbb{N}) \subseteq \mathbb{N}$的多项式，并且令$p_{\mathcal{A}_{f}}(n)$表示其部分位于集合$\mathcal{A}_f:=\{f(n):n \in \mathbb{N}\}$中的$n$的分区的数目。在对$f-f(0)$根的假设下，我们利用Hardy-Littlewood圆方法、多重对数恒等式和Matsumoto-Weng zeta函数导出了当$n$趋于无穷大时$p_{\mathcal{A}_f}(n)$的渐近公式.这推广了Vaughan在2015年和2016年分别为$d=2$和Gafni为$d \geq 2$情况建立的完全$d$次幂划分数量的渐近公式。
2018-04-19 math.NT
Exact formulae and Turán inequalities for Vafa-Witten invariants of $K3$ surfaces
我们考虑了$K3$曲面的三个不同的Vafa-Witten不变量族。在每种情况下，编码Vafa-Witten不变量的分拆函数由扭曲的Dedekind $η$ -函数的组合给出。利用这些$η$ -函数的已知性质，我们得到了每个不变量的精确公式，并证明了它们渐近满足所有高阶Turán不等式.
2022-04-12 math.NT
A Partition Function Connected with the Göllnitz--Gordon Identities
我们使用著名的圆的方法的哈代和Ramanujan开发收敛公式计算限制类的分区所产生的Göllnitz-戈登身份。
2020-05-19 math.NT
A proof of some conjectures of Mao on partition rank inequalities
基于Atkin和Swinnerton-Dyer关于划分秩差函数的工作，以及Lovejoy和Osburn最近的工作，毛泽东证明了划分秩模$10$之间的几个不等式，以及关于没有重复奇数部分的划分的$M_2$秩的模$6$和$10$的额外结果。毛泽东提出了一些额外的不平等。本文用初等方法证明了Mao关于秩和模$10$的$M_2$秩的秩不等式.
2015-09-20 math.NT
Dyson's Partition Ranks and their Multiplicative Extensions
本文研究了Dyson秩函数$N(r,3;n)$，即秩为$\equiv r \pmod 3$的$n$的划分数.我们研究这些函数的凸性。我们将$N(r,3;n)$乘性地扩展到分区集合，并且我们确定当接管大小为$n$的所有分区时的最大值。
2016-07-13 math.NT
Biases among classes of rank-crank partitions$\pmod{11}$
本文证明了模11不同类间秩、曲率与分拆的不等式，证实了Borozenets的猜想。
2023-08-04 math.NT
Asymptotics for rank partition functions
本文得到了一类无限秩生成函数的渐近公式。作为应用，我们解决了Andrews和Lewis关于秩间不等式的一个猜想.
2007-08-05 math.NT
Ranks For Two Partition Quadruple Functions
最近，作者引进了两个新的整数分拆四元函数，它们满足模$3$，$5$，$7$和$13$的Ramanujan型同余.在这里，我们reprove的同余模$3$，$5$，和$7$通过定义一个秩型统计，给出了组合的改进的同余。
2016-02-29 math.NT
Counting birthday collisions using partitions
我们使用分区提供一些公式计算的s-碰撞和其他事件的各种形式的生日问题。
2019-06-20 math.CO math.NT
Asymptotic equidistribution and convexity for partition ranks
我们研究了Dyson秩函数$N(r,t;n)$，即秩与$r$模$t$全等的划分数。我们首先证明了它在$n$中是单调的，然后证明了它在$n \rightarrow \infty$中是等分布的。利用这个结果，我们证明了Hou和Jagadeeson关于$N(r,t;n)$凸性的一个猜想.
2019-08-02 math.NT
Selmer ranks under quadratic twists satisfying the Heegner hypothesis
本文研究满足 Heegner 假设的二次扭转下 Selmer 秩的变化，推导出基于 $\mathbb{F}_2$ 矩阵的显式公式，并证明其与奇偶猜想相容。
2025-10-27 math.NT
Asymptotic Formulae for Mixed Congruence Stacks
很像重要的工作，哈代和拉马努金证明渐近公式的分拆函数，Auluck和赖特了类似的公式单峰序列。根据Wright的圆方法，我们给出了单峰序列在两参数混合同余关系族上的渐近展开，其中部分在一边直到峰值满足r（mod m），部分在另一边-r（mod m）.在证明中使用的技术包括赖特的循环方法，模块化的转换，并界定复杂的积分。
2017-10-30 math.NT
A partition identity connected to the second rank moment
本说明的目的是提供与第二个Atkin-Garvan时刻相关的$q$系列的一些分区含义。不等式和除数和分区的数量之间的关系提供的后果。
2019-04-12 math.NT
Approximation of the Partition Number After Hardy and Ramanujan: An Application of Data Fitting Method in Combinatorics
有时我们需要用一种简单有效的方法求出分区数的近似值。已经有几个公式来计算配分数p（n）。但它们要么对大多数不想写程序的人（不是数学专业的）不方便，要么在准确性上不令人满意。通过在Hardy-Ramanujan渐近公式中引入两个参数，用最小二乘法、迭代法和一些特殊设计的方法对两个参数的数据进行拟合，得到了几个修正的高精度的p（n）的初等估计公式。利用这些估算公式，无需编程，即可用袖珍计算器计算出p（n）的近似值。主要困难在于通常用初等函数拟合两个参数的方法在这里是有缺陷的。这些方法也可用于其它复杂数据的拟合函数的求解。
2018-07-07 math.CO math.NT
Rank and Crank Moments for Partitions without Repeated Odd Parts
使用拟模形式关于$Γ_0(4)$，我们发现之间的确切关系的M2-秩的分区没有重复的奇数部分和三个剩余曲柄。从这些身份，我们能够推导出各种同余模3和5之间的秩和曲柄时刻。反过来，这些同余式给出了$M2spt(n)$的同余式，$n$的分区中最小部分的出现次数，其中最小部分为偶数，而没有重复的奇数部分，以及高阶模拟$M2spt_2(n)$。
2014-08-21 math.NT
Bounds for Coefficients of the $f(q)$ Mock Theta Function and Applications to Partition Ranks
我们计算有效的界限$α(n)$，傅立傅里叶系数Ramunujan的模拟θ函数$f(q)$利用有限的代数公式，由于Bruinier和Schwagenscheidt。然后利用这些界证明了Hou和Jagadeesan关于奇偶分划秩计数函数的凸性和极大乘法性质的两个定理。
2021-01-17 math.NT
On ranks and cranks of partitions modulo $4$ and $8$
用$p(n)$表示$n$的分区数，用$N(a,M;n)$表示$n$的分区数，其中秩与$a$模$M$一致。通过考虑偏差\begin{equation*} D(a,M) := \sum_{n= 0}^{\infty}\left(N(a,M;n) - \frac{p(n)}{M}\right) q^n, \end{equation*}，我们给出了Andrews，Berndt，Chan，Kim和Malik关于mock theta函数和划分秩的最新结果的新证明.通过考虑曲柄的偏差，给出了Lewis和Santa-Gadea秩曲柄恒等式的新证明。我们重新审视职级和曲柄模量$M=5$和$7$，我们的结果曲柄似乎是新的。我们还演示了如何考虑偏差的行列和曲柄给出了第一个证明刘易斯的证明身份和不等式的秩曲柄差异的模$M=8$。
2017-08-01 math.NT
Proof of a Limited Version of Mao's Partition Rank Inequality using a Theta Function Identity
拉马努金的同余$p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5$导致戴森\cite{dyson}猜想存在的措施“秩”，使$p(5k+4)$分区的$5k+4$可以分为子类具有相等的基数，以直接证明拉马努金的同余。阿特金和斯温纳顿-戴尔\cite{atkin}将秩的概念扩展到秩差，并证明了戴森的猜想。最近，毛泽东证明了几个等式和不等式，留下一些作为插图，为秩差分区模10 \cite{mao10}和$M_2$秩差分区没有重复奇数部分模$6$和$10$ \cite{maom2}。Alwaise et.等人证明了四个毛泽东的固定不等式\cite{swisher}，而留下三个开放。在这里，我们证明了一个有限版本的不等式毛泽东。
2016-05-19 math.NT
Some Refinements of Formulae Involving Floor and Ceiling Functions
地板和天花板函数经常出现在数学中，操纵涉及地板和天花板的总和是一种微妙的游戏。幸运的是，著名的教科书《具体数学》提供了一个很好的介绍，解释了一些技术，并将一些单和或双和作为练习。对于两个这样的双和，我们提供了它们的单和类似物。这些封闭形式的身份给予的一个双重分区的多元（视为分区）的所有b进制数字的一个非负整数。我们还提出了双和单和模拟涉及分数部分函数和移位分数部分函数。
2023-02-03 math.CO math.NT
Asymptotic Formulas Related to the $M_2$-rank of Partitions without Repeated Odd Parts
给出了$M_2$秩生成函数和$M_2$秩生成函数在单位根处的矩的渐近展开式。为此，我们应用Hardy-Ramanujan圆方法扩展到模拟模形式。我们的公式为$M_2$ -秩在根的单位导致渐近的某些组合的$N2(r,m,n)$（分区的数量没有重复奇数部分的$n$与$M_2$秩全等的$r$模$m$）。这使我们能够推导出不等式之间的某些组合的$N2(r,m,n)$。特别地，解决了毛泽东的几个不等式.
2019-02-22 math.NT
Hybrid Proofs of the $q$-Binomial Theorem and other identities
我们给出$q$ -二项式定理和其他恒等式的“混合”证明。证明是“混合”的，在这个意义上，我们使用分区参数来证明定理的限制版本，然后使用分析方法（以恒等式定理的形式）来证明完整版本。我们证明了三个有点不寻常的求和公式，并使用这些混合证明了一些身份由于拉马努金。最后，我们利用这些新的求和公式给出了Rogers-Ramanujan恒等式和Rogers-Selberg恒等式的新的划分解释。
2019-01-05 math.NT
The generating function of the $M_2$-rank of partitions without repeated odd parts as a mock modular form
通过Bringmann，Ono和Rhoades的工作，已知没有重复奇数部分的分区的$M_2$秩的生成函数是某个调和马斯形式的所谓全纯部分。在这里，我们提高了这个函数作为一个谐波马斯形式的地位，并显示更多的可以做这个函数。特别是，我们显示了相关的谐波马斯形式的转换，如生成函数的分区没有重复的奇数部分（这是一个模形式）。然后，我们使用这些改进，以确定公式的秩差模$7$。此外，我们给的身份和公式，允许一个确定公式的秩差模$c$，任何$c>2$。
2017-02-08 math.NT
$q$-Analogues of $π$-Related Formulae from Jackson's $_8ϕ_7$-Series via Inversion Approach
利用推广的Carlitz逆级数关系的乘法形式，建立了平衡$_8ϕ_7$级数Jackson求和公式的两个一般“对偶”定理.研究了它们在划分模式$n=\lfloor{\frac{n}2}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}2}\rfloor$下的重复形式，得到了大量的$q$ -级数恒等式，其极限情形为$q\to1$，得到了经典的$π$ -相关的Ramanujan-类收敛率级数“$\frac1{16}$“，其中包括Guillera（2003）发现的$1/π^2$.利用"反二分法“对划分模式$n=\lfloor{\frac{n}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+2}3}\rfloor$下的三重对偶公式进行了检验，得到了20个新的$q$ -级数恒等式以及它们在$q\to1$时的收敛速度的经典恒等式”$\frac{-1}{27}$“.
2021-08-29 math.CO math.NT
A new approach to the Dyson rank conjectures
戴森在1944年定义了一个分区的秩为最大的部分减去部分的数目，并证明秩模5的剩余部分将5 n +4的分区分成五个相等的类。这给了一个组合的解释拉马努金的著名分区同余模5。他提出了一个类似的猜想秩模7和分区的7 n +5。在1954年阿特金和Swinnerton-Dyer证明了戴森的秩代数通过构建几个朗伯系列身份基本上使用理论的椭圆函数。2016年，作者利用弱调和马斯形式理论给出了另一个证明。在本文中，我们描述了一个新的和更基本的方法使用Hecke-Rogers系列。
2020-12-11 math.NT
Index formulae for Stark units and their solutions
设$K/k$是数域的阿贝尔扩张，其特征位为$k$，在$K$中完全分裂。在这种情况下，阿贝尔秩一斯塔克猜想预言了在$K$中存在一个单位，称为斯塔克单位，由附加在扩张上的$L$ -函数的值构成。本文在Stark单位存在的假设下，证明了Stark单位的指数公式，第二部分研究了指数公式的解，证明了它们对二次、四次和六次（附加条件）循环扩张无条件有解。因此，我们推导出一个弱版本的猜想（“高达绝对值“）在这些情况下和精确的结果时，斯塔克单位，如果它存在，是一个广场。
2011-12-13 math.NT
Integer partitions with large Dyson rank
整数分区的戴森秩是它的最大部分与它包含的部分的数量之间的差。利用Fine-Dyson对称性，给出了n中秩大于n/2的分拆个数的计算公式，并证明了固定剩余类中大秩分拆个数的恒等式.
2022-06-28 math.CO math.NT
Relations between the ranks and cranks of partitions
证明了包含分拆秩和曲柄的新恒等式和同余式。证明依赖于一个新的偏微分方程连接他们的生成函数。
2002-08-06 math.CO math.NT
Unimodal Sequence Generating Functions Arising from Partition Ranks
本文研究了强单峰序列的类秩生成函数。我们给出了组合的解释，身份方面的模拟模形式，渐近性，奇偶校验的结果。我们的功能模仿强单峰序列的秩和整数分区的秩之间的关系。
2019-06-21 math.CO math.NT
On partitions with bounded largest part and fixed integral GBG-rank modulo primes
本文利用Littlewood分解研究最大分部有界且GBG-秩模素数取固定整数值的分拆，并由此为无限制分拆、自共轭分拆及分部重复有限次数的分拆建立了新的生成函数公式。
2025-05-04 math.CO math.NT
Periodic vanishings of the Legendre-17 signed partition numbers
Purdue University（普渡大学）
本文研究Legendre-17符号分区数的周期性消失现象，推导了相关级数公式并证明其在特定算术进展上恒为零。
2026-03-02 math.NT
Higher order spt functions for overpartitions, overpartitions with smallest part even, and partitions without repeated odd parts
我们认为对称时刻的三个职级和曲柄，类似的工作Garvan的职级和曲柄的分区。通过使用贝利对和初等重排，我们能够找到有用的表达式，这些时刻。然后，我们推导出相应的普通时刻之间的不等式。特别是我们证明了曲柄时刻overpartitions总是大于rank时刻overpartitions;最近的渐近这是已知的，以保持足够大的值n为每个固定的k。最后，我们提供了高阶SPT函数的overpartition，overpartition与最小的部分甚至，分区与最小的部分甚至没有重复的赔率。
2014-12-11 math.NT
Non-Rascoe partitions and a rank parity function associated to the Rogers-Ramanujan partitions
研究Rogers-Ramanujan分拆中奇数秩与偶数秩超出数的生成函数，证明其与非Rascoe分拆（不同部分且部分数非部分）紧密相关，并推导算术性质及模4同余猜想，推广至参数ℓ。
2025-08-06 math.CO math.NT
Low analytic rank implies low partition rank for tensors
定义在有限域$\mathbb{F}$上的张量，如果其值的分布与均匀分布显著不同，则具有低解析秩。一个阶数$d$张量的分块秩为1，如果它可以写成两个阶数小于$d$的张量的乘积;如果它可以写成分块秩为1的$k$张量的和，它的分块秩至多为$k$。本文证明了：若一阶$d$张量的解析秩至多为$r$，则它的分块秩至多为$f(r,d,|\mathbb{F}|)$ .以前，这是已知的，$f$是$r$和$d$中的阿克曼型函数，但不依赖于$\mathbb{F}$。我们结果的新颖之处在于$f$对它的参数只有塔型依赖。从我们的研究结果，有偏多项式具有低秩，我们也得到了一个塔型依赖，提高以前已知的阿克曼型界。
2018-09-28 math.CO math.NT
M_2-rank differences for partitions without repeated odd parts
本文证明了无重奇部分拆的M_2秩差的生成函数公式。这些公式是用模形式和广义Lambert级数表示的。
2007-05-31 math.CO math.NT
Polynomial bound for the partition rank vs the analytic rank of tensors
定义在有限域$\mathbb{F}$上的张量，如果其值的分布与均匀分布显著不同，则具有低解析秩。一个阶数$d$张量的分块秩为1，如果它可以写成两个阶数小于$d$的张量的乘积;如果它可以写成分块秩为1的$k$张量的和，它的分块秩至多为$k$。本文证明了：若一阶$d$张量的解析秩至多为$r$，则它的分块秩至多为$f(r,d,|\mathbb{F}|)$，其中对固定的$d$和$\mathbb{F}$，$f$是$r$中的多项式.这是作者最近的一个结果的改进，在那里他得到了一个塔型界。在我们的工作之前，最著名的界限是$r$和$d$中的阿克曼型函数，尽管它不依赖于$\mathbb{F}$。从我们的结果，有偏多项式具有低秩，我们也得到了一个多项式的依赖性，提高了以前已知的阿克曼型界。Miliević独立地同时得到了一个类似的划分秩的多项式界。
2020-05-18 math.CO math.NT
Asymptotics, Turán inequalities, and the distribution of the BG-rank and 2-quotient rank of partitions
令$j,n$是偶正整数，并且令$\overline{p}_j(n)$表示具有BG秩$j$的分区的数量，并且令$\overline{p}_j(a,b;n)$是具有BG秩$j$和$2$ -商秩与$a \pmod{b}$全等的分区的数量。我们给这两个统计量的渐近性，并表明，$\overline{p}_j(a,b;n)$是渐近等分布的同余类模$b$。我们还证明了$\overline{p}_j(n)$和$\overline{p}_j(a,b;n)$都渐近满足所有高阶Turán不等式。
2022-09-23 math.CO math.NT
Multiple Sums and Partition Identities
总和的形式$\sum_{q \leq N_1 < \cdots < N_m \leq n}{a_{(m);N_m}\cdots a_{(2);N_2}a_{(1);N_1}}$可以追溯到16世纪时，维埃特说明，关系连接根和系数的多项式有这种形式。近年来，这种总和越来越多地用于各种应用。在本文中，我们开发了一些公式来帮助操作这样的总和（我们将其称为多重总和）。我们开发的变化公式表示的变化的多个金额的低阶多个金额。此外，我们推导出一组分区的身份，我们用来证明一个减少定理，表示多个总和的组合简单（非经常性）的总和。我们提出了各种各样的应用，包括应用有关多项式和MZVs以及推广的二项式定理。最后，我们建立了多重和与一类称为递归和的和之间的联系。通过利用这种连接，我们提供了额外的奇数和偶数分区的分区身份。
2021-01-25 math.CO math.NT
A rank of partitions with overline designated summands
Andrews、Lewis和Lovejoy引入了分拆函数$PD(n)$，作为指定被加数的$n$的分区数。在最近的工作中，林研究了分拆函数$PD_{t}(n)$，它计算了带有指定被加数的$n$的所有分区上标记部分的数量。他证明了$PD_{t}(3n+2)$可被$3$整除。本文首先介绍了一种用$PD_t(n)$计算的结构--带上划线指定和数的划分。然后，我们定义了一个广义秩的分区与overline指定的被加数，并给出了组合解释的同余$PD_t(3n+2)$。
2020-07-07 math.CO math.NT
Eventual log-concavity of $k$-rank statistics for integer partitions
令$N_k(m,n)$表示具有Garvan $k$ -秩$m$的$n$的分区的数目。众所周知，Andrews-Garvan-Dyson的曲柄和Dyson的秩分别是$k=1$和$k=2$的$k$秩。本文证明了序列$\{N_k(m,n)\}_{|m|\le n-k-71}$对所有充分大的$n$和每个整数$k$都是对数凹的.特别地，我们部分地解决了由Bringmann-Jennings-Shaffer-Mahlburg和Ji-Zang独立提出的Andrews-Garvan-Dyson曲柄和Dyson秩的对数-对数猜想。
2022-06-01 math.CO math.NT
Congruences for Andrews' Smallest Parts Partition Function and New Congruences for Dyson's Rank
设spt（n）表示n的划分中最小部分出现的总数。最近，Andrews证明了spt（n）与二阶矩的关系，并证明了一些令人惊讶的Ramanujan型模5，7和13同余。我们证明了这些同余式的推广使用已知的秩和曲柄矩之间的关系。我们得到了spt（n）mod p（p = 11，17，19，29，31和37）的显式Ramanujan型同余.最近，Bringmann和Ono证明了Dyson秩函数有无穷多个Ramanujan型同余。他们的证明是非构造性的，并利用弱Maass形式理论。我们构造两个显式的非平凡的例子模11使用之间的秩矩和半整数权重Hecke特征形的初等同余。
2008-06-11 math.CO math.NT
The Partition Rank of a Tensor and $k$-Right Corners in $\mathbb{F}_{q}^{n}$
在Croot，Lev和Pach的突破之后，Tao介绍了他们论点的对称化版本，现在被称为切片秩方法。在本文中，我们介绍了张量的切片秩的一个更一般的版本，我们称之为划分秩。这允许我们将切片秩方法扩展到需要变量不同的问题。利用划分秩，推广了Ge和上官的一个结果，证明了任何大小为\[|A|>\binom{n+(k-1)q}{(k-1)(q-1)}\]的集合$A\subset\mathbb{F}_{q}^{n}$都包含一个$k$ -右角，即不同向量$x_{1},\dots,x_{k},x_{k+1}$，其中$x_{1}-x_{k+1},\dots,x_{k}-x_{k+1}$相互正交，对于$q=p^{r}$，它是一个与$p>k$的素幂.
2019-09-19 math.CO math.NT
On the Positive Moments of Ranks of Partitions
通过引入$k$标记的Durfee符号，Andrews找到了$n$的划分秩的$2k$次对称矩$η_{2k}(n)$与$n$的$(k+1)$标记的Durfee符号的组合解释.本文考虑了$n$的分块秩的$k$次对称正矩$\barη_k(n)$，定义为$n$的分块的正秩的截断和.作为$\barη_{2k}(n)$和$\barη_{2k-1}(n)$的组合解释，我们证明了对于固定的$k$和具有$1\leq i\leq k+1$的$i$，$\barη_{2k-1}(n)$等于$n$的$(k+1)$标记的Durfee符号的数目，$i$的秩为零，$\barη_{2k}(n)$等于$n$的$(k+1)$标记的Durfee符号的数目，$i$的秩为正.对$\barη_{2k-1}(n)$和$\barη_{2k}(n)$的解释也意味着Andrews对$η_{2k}(n)$的解释，因为$η_{2k}(n)$等于$\barη_{2k-1}(n)$加上$\barη_{2k}(n)$的两倍。此外，我们还得到了$\barη_{2k}(n)$和$\barη_{2k-1}(n)$的生成函数。
2013-10-31 math.CO math.NT
On the distribution of rank and crank statistics for integer partitions
设$k$为正整数，$m$为整数。Garvan的$k$ -秩$N_k(m,n)$是$n$划分成至少$(k-1)$连续Durfee正方形的数量，其中$k$ -秩等于$m$。本文给出了以$|m|\ge \sqrt{n}$为$n\rightarrow \infty$的$N_k(m,n)$的一些渐近性质。作为推论，我们给出了Dyson曲柄分布猜想的一个更完整的答案。我们还建立了$N_k(m,n)$关于$m$与$m\gg \sqrt{n}\log n$的有限差分的渐近公式。
2019-10-02 math.CO math.NT
The BG-rank of a partition and its applications
设π是一个分区。在[2]中，我们定义BG-秩（π）为部分奇偶的交错和。这个统计量被用来推广和改进著名的Ramanujan模5划分同余。令p_j（n）（a_{t,j}（n））表示BG秩= j的n个分区（t核）的数量。|p_j（5 n +4），通过示出5核曲柄模5的余数将由p_j（5 n +4）枚举的分区划分为五个相等的类。这个证明使用了[2]中的轨道构造和BG-秩的新恒等式。此外，当t是一个正整数时，我们还得到了系数a_{t,floor((t+1)/4)}（n），a_{t,-floor((t-1)/4)}（n）的生成函数的η-商表示.最后，我们导出了系数a_{5,j}（n）（j= 0，1，-1）的显式公式.
2007-04-28 math.CO math.NT
Nearly Equal Distributions of the Rank and the Crank of Partitions
令$N(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的秩的$n$的分区的数目，并且令$M(\leq m,n)$表示具有不大于$m$的曲柄的$n$的分区的数目。Bringmann和Mahlburg观察到$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)\leq N(\leq m+1,n)$用于$m<0$和$1\leq n\leq 100$。他们还指出，这些不等式可以被重述为在$n$的分区集合上存在重排序$τ_n$，使得对于$n$的所有分区$λ$，$|\text{crank}(λ)|-|\text{rank}(τ_n(λ))|=0$或$1$，即秩和曲柄在$n$的分区上几乎相等分布。Andrews，Dyson和Rhoades在研究spt-函数时提出了一个关于spt-曲柄单峰性的猜想，并证明了这个猜想等价于不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$（$m<0$）和不等式$n\geq 1$）.我们用组合论证证明了这个猜想。本文证明了关于$m<0$和$n\geq 1$的不等式$N(\leq m,n)\leq M(\leq m,n)$.此外，我们定义了一个重排$τ_n$的$n$的分区$λ$，并表明，这种重排$τ_n$导致几乎相等的分布的秩和曲柄。使用重新排序的$τ_n$，我们给出了Andrews、Chan和Kim定义的函数ospt $(n)$的新组合解释，这立即导致了Ch…
2017-04-04 math.CO math.NT
Slice and Partition Rank Criteria for Polynomial Zero-Avoidance
Università degli Studi di Brescia（布雷西亚大学）；Universitas Mercatorum（Mercatorum大学）
该研究借助切片秩与划分秩，将支撑熵方法应用于多项式零规避，得到高阶Erdős–Ginzburg–Ziv常数的均匀界，并首次给出F₅ⁿ上对应第四初等对称多项式的非平凡指数界。
2026-08-03 math.CO math.NT
Equidistribution of high-rank polynomials with variables restricted to subsets of $\mathbb{F}_p$
设$p$是素数，$S$是$\mathbb{F}_p$的非空子集。推广了Green和Tao关于有限域上高秩多项式的等分布的结果，证明了如果$P: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$是一个多项式，并且它对$S^n$的限制不取近似相同频率的每个值，则存在一个在$S^n$上为零的多项式$P_0: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$，使得该多项式$P-P_0$的秩有界.我们的论证使用了两个黑盒：具有高划分秩的张量具有高解析秩，具有高本质划分秩的张量具有高不相交划分秩。
2022-09-11 math.CO math.NT
Rank, two-color partitions and Mock theta function
该研究建立了正奇秩自然数分拆与特定双色分拆的数目等价关系，由此得到三阶mock theta函数新表示及Spt函数恒等式类似形式，还探讨了对应奇最小部分版本的生成函数关联的mock theta函数。
2025-01-13 math.CA math.CO math.NT
Andrews-Beck Type Congruences Related to the Crank of a Partition
本文讨论了George Beck最近提出的几个与划分的秩和曲柄有关的定理。Andrews利用Atkin和Swinnerton-Dyer关于一个合适的生成函数的结果证明了一个划分的秩，而Shane Chern利用加权划分矩研究了与曲柄相关的秩。通过分解相应的生成函数，我们重新讨论了划分曲柄上的结构，并进一步探讨了它与Apple-Lerch级数和十阶模拟θ函数的关系.
2021-01-26 math.CO math.NT
New Identities for 7-cores with prescribed BG-rank
具有非负幂级数系数的q级数称为正的。分区统计BG-秩被定义为分区的部分的奇偶校验的交替和。已知n个具有给定BG秩的7-核的划分数的生成函数可以写成多个θ函数的确定和。我们给出了这些生成函数的正向和的显式表示，并导出了它们的系数的不等式。得到了非限制7-核生成函数的新恒等式及其系数不等式。我们的证明利用拉马努金的理论模块化方程。
2007-09-15 math.CO math.NT
Number of partitions of n with a given parity of the smallest part
我们得到了一个令人惊讶的加权分割平等的Berkovich和Uncu的组合证明。我们的证明自然地导致一个公式的分区与给定的奇偶性的最小的部分，在S（i），分区的数量i到不同的部分与偶数排名减去数量与奇数排名，有一个几乎闭公式安德鲁斯，戴森和希克森。这种计算n的最小部分的奇偶性给定时的划分数的方法是实用而有效的。
2022-05-12 math.CO math.NT
Proof of the Andrews-Dyson-Rhoades Conjecture on the spt-Crank
向量划分的spt-crank或$S$ -划分的概念是由Andrews，Garvan和Liang提出的。令$N_S(m,n)$表示具有spt-crank $m$的$n$的$S$ -分区的数目。Andrews，Dyson和Rhoades证明了$\{N_S(m,n)\}_m$对任何$n$都是单峰的，并且证明了这个猜想等价于普通划分的秩和曲柄之间的不等式。他们得到了一个渐近公式之间的差异秩和曲柄的普通分区，这意味着$N_S(m,n)\geq N_S(m+1,n)$充分大的$n$和固定的$m$。在本文中，我们介绍了一个表示的普通划分，称为$m$ -Durfee矩形符号，这是一个矩形推广的Durfee符号由安德鲁斯介绍。通过考虑两种情况，证明了Andrews、Dyson和Rhoades的猜想。对于$m\geq 1$，我们构造了一个注入从$n$的普通分区的集合，使得$m$出现在秩集合中的$n$的普通分区的集合，秩不小于$-m$。$m=0$的病例需要再注射5次。我们还表明，这一猜想意味着一个不等式之间的正秩和曲柄时刻得到的安德鲁斯，陈和金。
2013-05-09 math.CO math.NT
Eisenstein-type series associated to partition ranks
University of Cologne（科隆大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文提出了一类与划分秩相关的 Eisenstein 型级数，其非全纯完备化满足全纯异常方程，并展示了其傅里叶系数为整数。
2026-02-16 math-ph math.CO math.MP
