A rank of partitions with overline designated summands

关于具有指定和数的分拆数

On the Number of Partitions with Designated Summands

Andrews，Lewis和Lovejoy引入了分拆函数PD（n）作为指定和数的$n$的分区数，其中我们假设在具有相等大小的部分中，恰好指定一个。他们证明了PD（3n+2）可以被3整除。我们得到了PD（3n+2）的生成函数的一个Ramanujan型恒等式，它包含Andrews，Lewis和Lovejoy的同余式.对于PD（3n），Andrews，Lewis和Lovejoy证明了生成函数可以表示为$(1-q^{2n+1})$的幂乘以一个函数$F(q^2)$的无穷乘积。我们找到了$F(q^2)$的显式公式，从而导出了PD（3 n）的母函数公式。我们还得到了PD（3n+1）的母函数的一个公式。我们的证明依赖于Chan关于Ramanujan三次连分数的恒等式和三次θ函数的一些恒等式。通过引入一个秩的分区与设计的被加数，我们给出了一个组合的解释的同余的安德鲁斯，刘易斯和洛夫乔伊。

A crank for bipartitions with designated summands

Andrews, Lewis and Lovejoy introduced the partition function $PD(n)$ as the number of partitions of $n$ with designated summands. A bipartition of $n$ is an ordered pair of partitions $(π_1, π_2)$ with the sum of all of the parts being $n$. In this paper, we introduce a generalized crank named the $pd$-crank for bipartitions with designated summands and give some inequalities for the $pd$-crank of bipartitions with designated summands modulo 2 and 3. We also define the $pd$-crank moments weighted by the parity of $pd$-cranks $μ_{2k,bd}(-1,n)$ and show the positivity of $(-1)^nμ_{2k,bd}(-1,n)$.…

关于带指定加项的奇数部分划分数的一个奇特恒等式的精细视角

A refined view of a curious identity for partitions into odd parts with designated summands

本文针对Andrews等人提出的带指定加项的奇数部分划分数$\mathrm{PDO}(n)$，给出一个奇特恒等式的精细视角，涉及组合构造与恒等式证明。

不被 $2^l$、$2$ 和 $3^l$ 整除的指定被加数分拆关于模 $2$、$4$ 和 $3$ 的性质

Partitions With Designated Summands Not Divisible by $2^l$, $2$, and $3^l$ Modulo $2$, $4$, and $3$

本文明确刻画了部分不被 $2^l$、$2$ 和 $3^l$ 整除的指定被加数分拆数分别关于模 $2$、$4$ 和 $3$ 的性质，提供了同余式与快速递推应用，并揭示了其与奇重数分拆数的联系。

带指定被加数的2-正则分拆模2的幂的新无穷同余族

New Infinite Families of Congruences Modulo Powers of 2 for 2--Regular Partitions with Designated Summands

该文证明带指定被加数且部分为奇数的分拆函数PD_2(n)满足两类模2幂的无穷同余族，即对所有α≥0和n≥0，PD_2(2^α(4n+3))≡0 mod 4且PD_2(2^α(8n+7))≡0 mod 8，证实了Herden等人的猜想，证明基于经典q级数恒等式和生成函数操作。

卷积序列，I：通过整数划分函数的透镜

Convolutive sequences, I: Through the lens of integer partition functions

本文研究了满足特定卷积性质的序列，通过组合学方法和生成函数操作，探讨了整数划分函数与eta积的关系，并给出了相关序列的实例。