Exact formula for cubic partitions
Lukas Mauth
该研究推导得出三次分拆函数的精确公式，同时证明了Banerjee、Paule、Radu和Zeng提出的相关猜想，为数论领域的分拆函数研究提供了新结论。
我们得到了三次分拆函数的精确公式，并证明了Banerjee、Paule、Radu与Zeng提出的一个猜想。
We obtain an exact formula for the cubic partition function and prove a conjecture by Banerjee, Paule, Radu and Zeng.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Two identities involving the cubic partition function
本文给出了三次分拆函数的Chan恒等式的一个新证明，并给出了三次分拆函数的一个新恒等式，它类似于普通分拆函数的Zuckerman恒等式.
A short proof of an identity for cubic partitions
本文将给出三次分拆的一个恒等式的一个简短证明。
The number of cubic partitions modulo powers of 5
三次分划的概念是由Hei-Chi Chan引入的，并由Byungchan Kim与Ramanujan的三次连分数有关而命名。Chan证明了三次分拆函数具有模$3$幂的Ramanujan型同余.在最近的一篇论文中，William Y.C. Chen和Bernard L.S. Lin研究了三次分拆函数模$5$的同余性质。本文给出了$5$的模幂三次分拆函数的Ramanujan型同余.
Some results on the cubic partition
本文探讨了Kruyswijk的方法并展示了如何获得三次分拆的同余式。除此之外，我们还研究了a（n）的不等式，并以经典的分拆函数p（n）的方式提供了它的上界。
Arithmetic properties of cubic and overcubic partition pairs
令$b(n)$表示$n$的立方划分对的数目。肯定地回答了Lin的一个猜想，即证明了$$b(49n+37)\equiv 0 \pmod{49}.$$和$n$的过三次划分对个数$\overline{b}(n)$满足的模$256$的两个同余.令$\overline{a}(n)$表示$n$的过三次划分数。对于一个固定的正整数$k$，我们进一步证明了，$\overline{b}(n)$和$\overline{a}(n)$是可整除的$2^k$几乎所有的$n$。我们利用模形式的算术性质来证明我们的结果。
Arithmetic Properties of Generalized Cubic and Overcubic Partitions
本文研究了广义立方和超立方划分函数的若干同余关系，利用q级数技术和模形式理论证明了模2和12的幂次同余关系及密度结果。
Generalized cubic partitions
本文提出广义立方分拆概念，运用三种证明方法建立若干新的 Ramanujan 型同余式，并对其稀有性提出猜想。
On 3 and 9-regular cubic partitions
设$a_3(n)$和$a_9(n)$是$n$的3-和9-正则三次分拆。本文给出了$a_3(n)$和$a_9(n)$如\[a_3\left (3^{2α}n+\frac{3^{2α}-1}{4}\right )\equiv 0 \pmod{3^α}\]和\[a_9\left (3^{α+1}n+3^{α+1}-1\right )\equiv 0 \pmod{3^{α+1}}.\]模3幂同余的无穷族
Congruences for the difference of even and odd number of parts of the cubic and some analogous partition functions
其中偶数部分以两种不同颜色出现的分区称为立方分区。最近，梅尔卡介绍和研究的功能$A(n)$，这是定义为之间的差异的数量立方分区的$n$到一个偶数的部分和数量立方分区的$n$到一个奇数的部分。特别是，使用斯穆特的\textsf{RaduRK} Mathematica软件包，梅尔卡证明了以下同余找到确切的生成函数的各自职能。对于所有的$n\ge0$，\begin{align*}A(9n+5)\equiv 0\pmod 3,\\ A(27n+26)\equiv 0\pmod 3. \end{align*}，da Silva和Sellers利用生成函数的操作和剖分，证明了这些同余和由这些同余产生的模3的两个无穷族同余.本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，给出了生成函数的简化公式，由此可以很自然地证明Merca的同余式以及da Silva和Sellers的同余式.我们还研究了类似的分拆函数，其中多个$k$出现在两种不同的颜色，其中$k\in\{3,5,7,23\}$。
Arithmetic properties for cubic partition pairs modulo powers of 3
令$b(n)$表示$n$的立方划分对的数目。在本文中，我们的目的是提供一个策略，以获得算术性质的$b(n)$。这对林语堂的两个论断作了肯定的回答。
Arithmetic properties for generalized cubic partitions and overpartitions modulo a prime
本文引入广义三次分拆概念，用初等（函数方程）和模形式两种方法证明了若干类似拉马努金型的新同余式，并得到广义超三次分拆的相关类似结果，丰富了分拆数论的算术性质研究。
Congruences and recursions for the cubic partition
令$p_2(n)$表示立方分区的数量。本文给出了$p_2(n)$的两个新的模$11$同余.我们还提供了一个初级的替代证明的一个同余成立陈。此外，我们将为$p_2(n)$建立一个递归，这是更广泛的一类递归的特殊情况。
Congruences for the Number of Cubic Partitions Derived from Modular Forms
利用模形式得到了三次分拆数a（n）的同余式.三次分割的概念是由Chan介绍的，并由Kim与Ramanujan的三次连分数有关。Chan已经证明了a（n）有几个类似于划分数p（n）的性质，包括生成函数、连分数和同余关系。更具体地说，我们表明，$a(25n+22)\equiv 0 ({\rm mod} 5)$，$a(49n+15) \equiv a(49n+29) \equiv a(49n+36) \equiv a(49n+43) \equiv 0 ({\rm mod} 7)$。进一步证明了a（n）取无穷多个偶数值和无穷多个奇数值。
Elementary Proofs of Infinite Families of Congruences for Merca's Cubic Partitions
最近，使用模形式和斯穆特的{ \tt Mathematica}实现拉杜的算法证明分区同余，梅尔卡证明了以下两个同余：对于所有$n\geq 0,$ \begin{align*} A(9n+5) & \equiv 0 \pmod{3}, \\ A(27n+26) & \equiv 0 \pmod{3}. \end{align*}这里$A(n)$是密切相关的功能，计数的数量{ \it立方分区}，分区，其中偶数部分被允许出现在两个不同的颜色。实际上，$A(n)$被定义为将$n$三次分割成偶数部分的数目与将$n$三次分割成奇数部分的数目之间的差。在这个简短的说明中，我们通过经典的生成函数操作提供了这两个同余的初等证明。然后，我们证明了两个无限家庭的非嵌套Ramanujan的模3的同余满足$A(n)$其中梅尔卡的原始两个同余作为每个家庭的初始成员。
Rademacher-type exact formula and higher order Turán inequalities for cubic overpartitions
本文为立方过分割建立 Rademacher 型精确公式，利用显式误差项证明对数凹性，并进一步推出高阶 Turán 不等式、对数次可加性和广义对数凹性。
A congruence family modulo powers of 5 for generalized cubic partitions via the localization method
本文利用 Banerjee-Smoot 局部化方法，在模曲线 X_0(10) 上证明了广义三次分拆函数 a_3(n) 模 5 幂的同余族，推广了 Watson-Atkin 方法。
Ramanujan-Type congruences for cubic partition functions
Chan和Kim提出的自然数$n$的三次分拆具有生成函数$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n= \frac{1}{(q; q)_{\infty}(q^2; q^2)_{\infty}}.$.本文推广了Chen-Lin的一些结果，指出$a(n)$应具有普通分拆函数的类似性质.具体地说，我们证明了对每个非负整数$n$，$a(5^4n+547)\equiv 0\pmod{5^2}, a(7^3n+190)\equiv 0\pmod{7^2}, a(7^3n+288 \equiv 0\pmod{7^2} and a(7^3n+337)\equiv 0\pmod{7^2}.$
A note on congruences for generalized cubic partitions modulo primes
本文用经典q级数方法重新证明广义三次分拆函数的两条已知同余式，并给出素数p不≡1 mod 8时的无穷同余族。
Asymptotics and formulas for cubic exponential sums
导出了三次指数和的几个渐近展开和公式。当三次系数在一定范围内时，展开式是最有用的。这推广了以前的结果在二次的情况下，并有助于澄清如何数值逼近三次指数和，以及如何获得他们在某些情况下的上界。
Simple Fourier Trace Formulas of Cubic Level and Applications
利用相对迹公式和简单超尖点表示的分类方法，建立了三次水平$PGL(2)$上自守形式的Fourier迹公式.作为应用，我们得到了全纯新形式的中心$L$ -值的一个非零结果和Maass新形式的一个加权Weyl定律.
Explicit genus formula for any separable cubic global function field
在本文中，我们明确地确定了给定扩张的极小多项式的任何整体函数域的可分三次扩张的亏格。给出了计算任意整体有理函数域的任意可分三次扩张的分支数和亏格的算法。
An asymptotic formula for a cubic moment of $GL_2$ $L$-functions
本文推导了自对偶GL2 L-函数三次矩的渐近公式，包含猜想主项和依赖于额外平均量的幂次节省误差项。
A generalized cubic moment and the Petersson formula for newforms
利用三次矩，我们证明了一个Weyl型的二次扭曲的平方自由水平，平凡neutralypus，和任意偶重量的全纯新形式的次凸性界。这推广了Conrey和Iwaniec的工作，即被扭曲的新形式可以具有任意的无平方能级，并且二次特征可以具有偶导体。本文发展的新工具之一是一个更一般的Petersson公式，用于新形式的无平方能级。
Odd values of the Klein j-function and the cubic partition function
本文利用完全代数或初等方法，确定了数论中最重要的模函数之一Klein $j$ -函数的奇值个数的一个新的渐近下界.也就是说，我们表明，整数$n\le x$的数量，使克莱因$j$ -功能-或等价的，立方分拆函数--是奇数是至少为$$\frac{\sqrt{x} \log \log x}{\log x},$$的顺序为$x$大。这改进了最近的结果的Berloven-Yee-Zaharescu和陈林，并接近显着的最佳下界目前已知的普通分拆函数，获得使用理论的模形式。与这一领域的许多作品不同，我们展示上述结果的技术部分受到了P. Monsky关于二次表示的一些最近想法的启发，不涉及使用模形式。然后，在文章的第二部分，我们将展示如何使用模形式来稍微改进我们的边界。事实上，我们的简短论点，结合了J. L.尼古拉斯和J P. Serre的一个经典定理。P. Serre关于某些1级模形式的傅里叶系数的渐近性的研究，将更一般地应用于提供分拆函数的生成函数的任何正幂的奇值的数目的下界。
Some singular values of the elliptic lambda function and incredible cubic identities
利用椭圆模函数给出了椭圆lambda函数的三种显式表达式。此外，我们推导出令人难以置信的三次恒等式作为我们的明确公式的推论，并明确评估椭圆lambda函数的一些奇异值。
A Cubic Transformation Formula for Appell-Lauricella Hypergeometric Functions over Finite Fields
我们定义了一个有限域版本的Appell-Lauricella超几何函数建立在几个变量的周期函数，平行的发展Fuselier等。在单一变量的情况下。我们开发这些功能和家庭的广义皮卡德曲线之间的几何连接。在我们的主要结果中，我们使用有限域Appell-Lauricella函数建立了Appell超几何函数$F_1$的Koike和Shiga三次变换的有限域模拟，证明了Ling Long的一个猜想。我们使用我们的多变量周期函数构造公式的数量$\mathbb{F}_p$ -点的广义皮卡德曲线。我们还给出了周期函数的一些变换和约化公式，从而也给出了有限域Appell-Lauricella函数的变换和约化公式。
Class numbers of orders in cubic fields
本文给出了立方数域中各阶类数的一个渐近公式。
On Ramanujan's cubic composition formula
这是拉马努金提出的一个三次合成公式的初等解释。
The asymptotic number of integral cubic polynomials with bounded heights and discriminants
本文部分地解决了三次整多项式判别式的分布问题。证明了具有有界高度和有界判别式的整三次多项式个数的渐近公式。所得到的公式的主项是最好的可能的多项式判别值的考虑范围。
On Explicit Formula for Restricted Partition Function
本文提出了一种新的计算限制分拆函数的递推方法。在此基础上，得到了限制分拆函数的显式表达式。
Short proof of Rademacher's formula for partitions
本文利用权模形式$-r/2$和$2+r/2$之间的对偶关系，重新推导了$r$ -色划分的公式$1 \le r \le 24$，包括Rademacher关于普通划分的著名结果.
The Weyl bound for triple product L-functions in the cubic level
本文在三次层面方面研究三重积 L-函数的强次凸性界，通过结合 Petersson 迹公式、Voronoi 求和、Jutila 圆法、Kuznetsov 迹公式和谱大筛不等式等工具证明了 Weyl 型界。
A determinant formula for the partition function p(7k + a)
我们推导出分拆函数p（n）的表达式，其中n的形式为7k+a，作为（k+1）维行列式。
A Rademacher Type Formula For Partitions and Overpartitions
给出了一个Rademacher型收敛级数公式，它推广了$n$的分块数的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式和$\vartheta_4(0\vert τ)^{-1}$的傅里叶系数的Zuckerman公式.
Bias of Root Numbers for Hilbert Newforms of Cubic Level
给出了三次Hilbert模新形式根数偏差的一般公式。给出了基域为$\mathbb{Q}, \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$，层为某些有理整数立方时的显式计算。这补充了第二作者以前的结果，并将偏差现象扩展到数域。我们的方法是基于Jacquet-Zagier的迹公式，显式计算一般适用于所有窄类数为1的实二次域和有理三次水平。
Uniform asymptotic formulas of restricted bipartite partitions
在本文中，我们研究$π(m,n)$，\emph{bipartite number} $(m,n)$划分成\emph{steadily decreasing}部分的数目，这是由L.Carlitz在“划分中的问题”，杜克数学杂志30（1963），203- 213中引入的。我们给出了整数分拆的曲柄统计量$M(m,n)$和$π(m,n)$之间的关系。利用这一关系，建立了$π(m,n)$的一些一致渐近公式。
Bias of Root Numbers for Modular Newforms of Cubic Level
令$H^{\pm}_{2k} (N^3)$表示三次水平$N^3$、权重$2 k$和根数$\pm 1$的模新形式的集合。对于$N > 1$无平方和$k>1$，我们使用一种解析方法来建立一个简洁而明确的公式，该公式表示差值$|H^{+}_{2k} (N^3)| - |H^{-}_{2k} (N^3)|$是$φ(N)$和$\mathbb{Q}(\sqrt{- N})$的类数乘积的倍数。特别地，公式表现出对根号$+1$的严格偏差。我们的主要工具是一个根数加权简单的彼得森公式，这样的新形式。
Asymptotic formulas for general colored partition functions
1917年，Hardy和Ramanujan得到了经典配分函数$p(n)$的渐近公式。经典配分函数$p(n)$已被广泛研究。最近，Luca和Ralaivaosaona得到了平方根函数的渐近公式。一些特殊的有色分拆函数上的同余关系一直受到数学家的关注。本文研究了一般有色分拆函数。给定正整数$1=s_1<s_2<\dots <s_k$和$\ell_1, \ell_2,\dots , \ell_k$。令$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$为$n$的$\ell$着色分区的数量，其中颜色的$\ell_i$仅出现在$s_i\ (1\le i\le k)$的乘法中，其中$\ell = \ell_1+\cdots +\ell_k$。通过使用初等方法，我们获得了带有显式误差项的配分函数$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$的渐进公式。
The divisor function along arithmetic progressions and binary cubic polynomials
该研究提出带两个小因子模的算术级数中除数函数的新等分布估计，给出两项应用：指数2/3的几乎所有模的算术级数上除数函数的渐近公式，以及沿非齐次二元三次多项式XY²+1的除数函数渐近公式。
On the Number of Partitions with Designated Summands
Andrews，Lewis和Lovejoy引入了分拆函数PD（n）作为指定和数的$n$的分区数，其中我们假设在具有相等大小的部分中，恰好指定一个。他们证明了PD（3n+2）可以被3整除。我们得到了PD（3n+2）的生成函数的一个Ramanujan型恒等式，它包含Andrews，Lewis和Lovejoy的同余式.对于PD（3n），Andrews，Lewis和Lovejoy证明了生成函数可以表示为$(1-q^{2n+1})$的幂乘以一个函数$F(q^2)$的无穷乘积。我们找到了$F(q^2)$的显式公式，从而导出了PD（3 n）的母函数公式。我们还得到了PD（3n+1）的母函数的一个公式。我们的证明依赖于Chan关于Ramanujan三次连分数的恒等式和三次θ函数的一些恒等式。通过引入一个秩的分区与设计的被加数，我们给出了一个组合的解释的同余的安德鲁斯，刘易斯和洛夫乔伊。
Dirichlet series associated to cubic fields with given quadratic resolvent
设k是一个二次域。本文给出了二次预解式域同构于k的三次域的狄利克雷级数计数的一个显式公式。我们的工作是一个续集以前的工作科恩和莫拉，在那里这样的公式证明了在一个更一般的设置，在某些群体有关的束类群字符的总和。本文对此作了进一步的分析，并证明了这类Q上的狄利克雷级数的显式公式。在一个配套文件中，我们做同样的四次领域有一个给定的三次预解式。作为一个应用（在最初的版本中没有），我们计算了S_3-六次域E的个数表，其中|圆盘（E）|< X，对于X，范围为10^23。第二作者的网站上有一个附带的PARI/GP实现。
The distribution of semi-integral points on a class of singular cubic hypersurfaces
本文研究了某一类奇异立方超曲面上半整点的计数函数渐进行为，并证明该渐进行为与Manin猜想在a-不变量和b-不变量上的预测一致。
An Explicit Formula for Restricted Partition Function through Bernoulli Polynomials
导出了正整数${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（Sylvester波）的显式表达式.这些公式表示为高阶周期系数伯努利多项式的有限和形式。
Asymptotic formulae for partition ranks
利用Wright圆方法的推广，我们得到了类似于F.戴森和最近证明的第一作者和K。布林曼
On the Asymptotic Formula for the Number of Plane Partitions of Positive Integers
本文讨论了大正整数平面分拆数的渐近公式。
Combinatorial Formula for the Partition Function
在这篇文章中，我们将推出一个组合公式的分拆函数p（n）。本文的第二部分将建立划分与q-二项式系数之间的联系，并对q-二项式系数给出新的解释。
Nuclear partitions and a formula for $p(n)$
将“核分区”定义为没有部分等于1的整数分区。在这项研究中，我们证明了一个简单的公式来计算分拆函数$p(n)$计算只有核分区的$n$，一个消失的小子集相比，所有分区的$n$为$n\to \infty$。在证明的变化产生其他公式的$p(n)$，以及拉马努金一样的同余和应用奇偶性的分拆函数。
Ramanujan's cubic transformation and generalized modular equation
在Ramanujan广义模方程理论中研究了超几何函数$a\in(0,1/2]$的商，利用$μ_{a}^*(r)$的性质和Ramanujan的三次变换，得到了$μ_{1/3}^*(r)$的无穷乘积公式.此外，给出了超几何函数的一个新的三次变换公式，它是对Ramanujan三次变换的补充。
Explicit Formulas for Partition Pairs and Triples with 3-Cores
令$A_{3}(n)$（分别${{B}_{3}}(n)$）表示分区对的数量（分别为三重），其中每个分区是3核。应用Ramanujan的${}_{1}ψ_{1}$公式和Bailey的${}_{6}ψ_{6}$公式，我们得到了$A_{3}(n)$和$B_{3}(n)$的显式表达式.利用这些公式，我们证实了夏的一个猜想，并建立了$A_{3}(n)$和$B_{3}(n)$满足的许多算术恒等式.
Formulas for Partition $k$-Tuples with $t$-Cores
令$A_{t,k}(n)$表示$n$的分区$k$ -元组的数量，其中每个分区是$t$ -核心。本文利用模形式的方法，对$t$和$k$的某些值建立了$A_{t,k}(n)$的公式，推广了Wang关于$t=3$和$k=2,3$的结果.
A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
Applications of Faà di Bruno's formula to partition traces
本文通过经典 Faà di Bruno 公式重新审视多种分拆理论生成函数，为已知结果提供统一解释，并为推导类似新恒等式建立系统框架。
Closed-Form Formula for the Partition Function and Related Functions
本文为分拆函数及 Andrews 的 spt 函数推广提出了新的闭式算术与递归公式，利用容斥原理推导了非互质分拆函数公式，并通过分拆的最大公约数定理将分拆与素数联系，推导出互质函数公式及多个数论函数的新恒等式。
Formulas for Jacobi forms and generalized Frobenius partitions
自从安德鲁斯提出广义弗罗贝纽斯分拆以来，引起了许多作者的兴趣，其中许多人已经推导出了特定情况下其母函数的显式公式。这揭示了有趣的组合结构，并导致证明了一些同余。在本文中，我们展示了如何安德鲁斯的生成函数可以在Eichler和Zagier的雅可比形式的框架内铸造。这种重新表述使我们能够计算广义Frobenius分区生成函数的显式公式（实际上提供了潜在的组合感兴趣的进一步功能的公式），它导致了一个递推公式来计算它们的无限$q$ -产品。
A Rademacher-type exact formula for partitions without sequences
本文证明了无序列分拆数的精确公式，利用模形式与mock theta函数乘积及圆法，并评估Kloosterman和。
A note on congruences modulo 7 and 11 for two restricted partition functions
本文通过q级数技术研究了某些受限划分函数在7和11模下的同余关系，并推广了之前使用模形式方法得到的结果。
A superasymptotic formula for the number of plane partitions
我们重新审视一个公式的数量的平面分区由于Almkvist。使用圆的方法，我们提供了修改他的公式以及估计的误差。我们证明了改进的公式仍然是一个渐近级数。然而，最佳截断（即，超渐近）的公式提供了所有正整数n <6400的平面划分的确切数目和具有较大值的估计误差的数目。例如，该公式正确地再现了由估计误差预测的6999的平面分区数的316位中的305位。我们相信，超渐近截断可能会导致确切的数字为正整数高达50000。
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