Some results on the cubic partition
Prabir Das Adhikary, Koustav Banerjee, Manosij Ghosh Dastidar
本文探讨了Kruyswijk的方法并展示了如何获得三次分拆的同余式。除此之外，我们还研究了a（n）的不等式，并以经典的分拆函数p（n）的方式提供了它的上界。
In this paper we explore Kruyswijk's method and show how to obtain congruences for cubic partition. That apart we also examine inequalities for a(n) and provide upper bound for it in the fashion of the classic partition function p(n).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Two identities involving the cubic partition function
本文给出了三次分拆函数的Chan恒等式的一个新证明，并给出了三次分拆函数的一个新恒等式，它类似于普通分拆函数的Zuckerman恒等式.
A short proof of an identity for cubic partitions
本文将给出三次分拆的一个恒等式的一个简短证明。
The number of cubic partitions modulo powers of 5
三次分划的概念是由Hei-Chi Chan引入的，并由Byungchan Kim与Ramanujan的三次连分数有关而命名。Chan证明了三次分拆函数具有模$3$幂的Ramanujan型同余.在最近的一篇论文中，William Y.C. Chen和Bernard L.S. Lin研究了三次分拆函数模$5$的同余性质。本文给出了$5$的模幂三次分拆函数的Ramanujan型同余.
Exact formula for cubic partitions
该研究推导得出三次分拆函数的精确公式，同时证明了Banerjee、Paule、Radu和Zeng提出的相关猜想，为数论领域的分拆函数研究提供了新结论。
Arithmetic properties of cubic and overcubic partition pairs
令$b(n)$表示$n$的立方划分对的数目。肯定地回答了Lin的一个猜想，即证明了$$b(49n+37)\equiv 0 \pmod{49}.$$和$n$的过三次划分对个数$\overline{b}(n)$满足的模$256$的两个同余.令$\overline{a}(n)$表示$n$的过三次划分数。对于一个固定的正整数$k$，我们进一步证明了，$\overline{b}(n)$和$\overline{a}(n)$是可整除的$2^k$几乎所有的$n$。我们利用模形式的算术性质来证明我们的结果。
Arithmetic Properties of Generalized Cubic and Overcubic Partitions
本文研究了广义立方和超立方划分函数的若干同余关系，利用q级数技术和模形式理论证明了模2和12的幂次同余关系及密度结果。
Generalized cubic partitions
本文提出广义立方分拆概念，运用三种证明方法建立若干新的 Ramanujan 型同余式，并对其稀有性提出猜想。
On 3 and 9-regular cubic partitions
设$a_3(n)$和$a_9(n)$是$n$的3-和9-正则三次分拆。本文给出了$a_3(n)$和$a_9(n)$如\[a_3\left (3^{2α}n+\frac{3^{2α}-1}{4}\right )\equiv 0 \pmod{3^α}\]和\[a_9\left (3^{α+1}n+3^{α+1}-1\right )\equiv 0 \pmod{3^{α+1}}.\]模3幂同余的无穷族
Congruences for the difference of even and odd number of parts of the cubic and some analogous partition functions
其中偶数部分以两种不同颜色出现的分区称为立方分区。最近，梅尔卡介绍和研究的功能$A(n)$，这是定义为之间的差异的数量立方分区的$n$到一个偶数的部分和数量立方分区的$n$到一个奇数的部分。特别是，使用斯穆特的\textsf{RaduRK} Mathematica软件包，梅尔卡证明了以下同余找到确切的生成函数的各自职能。对于所有的$n\ge0$，\begin{align*}A(9n+5)\equiv 0\pmod 3,\\ A(27n+26)\equiv 0\pmod 3. \end{align*}，da Silva和Sellers利用生成函数的操作和剖分，证明了这些同余和由这些同余产生的模3的两个无穷族同余.本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，给出了生成函数的简化公式，由此可以很自然地证明Merca的同余式以及da Silva和Sellers的同余式.我们还研究了类似的分拆函数，其中多个$k$出现在两种不同的颜色，其中$k\in\{3,5,7,23\}$。
Arithmetic properties for cubic partition pairs modulo powers of 3
令$b(n)$表示$n$的立方划分对的数目。在本文中，我们的目的是提供一个策略，以获得算术性质的$b(n)$。这对林语堂的两个论断作了肯定的回答。
Arithmetic properties for generalized cubic partitions and overpartitions modulo a prime
本文引入广义三次分拆概念，用初等（函数方程）和模形式两种方法证明了若干类似拉马努金型的新同余式，并得到广义超三次分拆的相关类似结果，丰富了分拆数论的算术性质研究。
Congruences and recursions for the cubic partition
令$p_2(n)$表示立方分区的数量。本文给出了$p_2(n)$的两个新的模$11$同余.我们还提供了一个初级的替代证明的一个同余成立陈。此外，我们将为$p_2(n)$建立一个递归，这是更广泛的一类递归的特殊情况。
Congruences for the Number of Cubic Partitions Derived from Modular Forms
利用模形式得到了三次分拆数a（n）的同余式.三次分割的概念是由Chan介绍的，并由Kim与Ramanujan的三次连分数有关。Chan已经证明了a（n）有几个类似于划分数p（n）的性质，包括生成函数、连分数和同余关系。更具体地说，我们表明，$a(25n+22)\equiv 0 ({\rm mod} 5)$，$a(49n+15) \equiv a(49n+29) \equiv a(49n+36) \equiv a(49n+43) \equiv 0 ({\rm mod} 7)$。进一步证明了a（n）取无穷多个偶数值和无穷多个奇数值。
Elementary Proofs of Infinite Families of Congruences for Merca's Cubic Partitions
最近，使用模形式和斯穆特的{ \tt Mathematica}实现拉杜的算法证明分区同余，梅尔卡证明了以下两个同余：对于所有$n\geq 0,$ \begin{align*} A(9n+5) & \equiv 0 \pmod{3}, \\ A(27n+26) & \equiv 0 \pmod{3}. \end{align*}这里$A(n)$是密切相关的功能，计数的数量{ \it立方分区}，分区，其中偶数部分被允许出现在两个不同的颜色。实际上，$A(n)$被定义为将$n$三次分割成偶数部分的数目与将$n$三次分割成奇数部分的数目之间的差。在这个简短的说明中，我们通过经典的生成函数操作提供了这两个同余的初等证明。然后，我们证明了两个无限家庭的非嵌套Ramanujan的模3的同余满足$A(n)$其中梅尔卡的原始两个同余作为每个家庭的初始成员。
Rademacher-type exact formula and higher order Turán inequalities for cubic overpartitions
本文为立方过分割建立 Rademacher 型精确公式，利用显式误差项证明对数凹性，并进一步推出高阶 Turán 不等式、对数次可加性和广义对数凹性。
A congruence family modulo powers of 5 for generalized cubic partitions via the localization method
本文利用 Banerjee-Smoot 局部化方法，在模曲线 X_0(10) 上证明了广义三次分拆函数 a_3(n) 模 5 幂的同余族，推广了 Watson-Atkin 方法。
Ramanujan-Type congruences for cubic partition functions
Chan和Kim提出的自然数$n$的三次分拆具有生成函数$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n= \frac{1}{(q; q)_{\infty}(q^2; q^2)_{\infty}}.$.本文推广了Chen-Lin的一些结果，指出$a(n)$应具有普通分拆函数的类似性质.具体地说，我们证明了对每个非负整数$n$，$a(5^4n+547)\equiv 0\pmod{5^2}, a(7^3n+190)\equiv 0\pmod{7^2}, a(7^3n+288 \equiv 0\pmod{7^2} and a(7^3n+337)\equiv 0\pmod{7^2}.$
A note on congruences for generalized cubic partitions modulo primes
本文用经典q级数方法重新证明广义三次分拆函数的两条已知同余式，并给出素数p不≡1 mod 8时的无穷同余族。
Odd values of the Klein j-function and the cubic partition function
本文利用完全代数或初等方法，确定了数论中最重要的模函数之一Klein $j$ -函数的奇值个数的一个新的渐近下界.也就是说，我们表明，整数$n\le x$的数量，使克莱因$j$ -功能-或等价的，立方分拆函数--是奇数是至少为$$\frac{\sqrt{x} \log \log x}{\log x},$$的顺序为$x$大。这改进了最近的结果的Berloven-Yee-Zaharescu和陈林，并接近显着的最佳下界目前已知的普通分拆函数，获得使用理论的模形式。与这一领域的许多作品不同，我们展示上述结果的技术部分受到了P. Monsky关于二次表示的一些最近想法的启发，不涉及使用模形式。然后，在文章的第二部分，我们将展示如何使用模形式来稍微改进我们的边界。事实上，我们的简短论点，结合了J. L.尼古拉斯和J P. Serre的一个经典定理。P. Serre关于某些1级模形式的傅里叶系数的渐近性的研究，将更一般地应用于提供分拆函数的生成函数的任何正幂的奇值的数目的下界。
Some singular values of the elliptic lambda function and incredible cubic identities
利用椭圆模函数给出了椭圆lambda函数的三种显式表达式。此外，我们推导出令人难以置信的三次恒等式作为我们的明确公式的推论，并明确评估椭圆lambda函数的一些奇异值。
Class number one criterion for some non-normal totally real cubic fields
设${\{K_m\}_{m\geq 4}}$是由不可约三次多项式$f_m(x)=x^3-mx^2-(m+1)x-1$定义的非正规全实三次数域族，其中$m$是具有$m\geq 4$的整数。本文给出了$K_m$的一个类数判定准则。
Lower bound estimates for the rank of universal quadratic forms in some families of real cubic fields with density one
本文在密度为一的实三次域族中，利用不可分解整数和短向量性质，给出了泛二次型秩的明确下界估计，并推广到表示给定整数所有倍数的情形。
Cubic alternating harmonic number sums
A. Sofo证明了二次交错调和数与倒数二项式系数乘积和的一些结果。本文将他的结果推广到三次交错调和数和，并给出了三次交错调和数和与倒数二项式系数和的新的封闭形式表示.还考虑了一些新的或已知的特殊情况以及主要结果的直接后果。
Asymptotics and formulas for cubic exponential sums
导出了三次指数和的几个渐近展开和公式。当三次系数在一定范围内时，展开式是最有用的。这推广了以前的结果在二次的情况下，并有助于澄清如何数值逼近三次指数和，以及如何获得他们在某些情况下的上界。
Asymptotics of the number of partitions into p-cores and some trigonometric sums
一个渐近公式的分区成p-核心的数量。作为一个副产品，一些整数值三角和发现
On the cubic Weyl sum
我们得到一个估计的三次Weyl和，提高了从Weyl差分短范围的总和得到的界。特别是，我们表明，对于任何$\varepsilon>0$存在一些$δ>0$，使任何互质整数$a,q$和实数$γ$，我们有\begin{align*} \sum_{1\le n \le N}e\left(\frac{an^3}{q}+γn\right)\ll (qN)^{1/4} q^{-δ}, \end{align*}提供$q^{1/3+\varepsilon}\le N \le q^{1/2-\varepsilon}$。我们的论点建立在Enflo的一些想法。
Some evaluation of cubic Euler sums
P. Flajolet和B. Salvy \cite{FS1998}证明了著名的定理：当权$i_1+i_2+\cdots+i_r+q$和阶$r$具有相同的奇偶性时，非线性欧拉和$S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$可化为低阶和的组合.在这篇文章中，我们开发了一种方法来评估三次和$S_{1^2m,p}$和$S_{1l_1l_2,l_3}$。利用这种方法，我们建立了三次、二次和线性欧拉和的一些关系。特别地，我们证明了三次和$S_{1^2m,m}$和$S_{1(2l+1)^2,2l+1}$可约化为zeta值、二次和线性和.此外，我们证明，涉及深度四\[\sum\limits_{\left\{ {i,j} \right\} \in \left\{ {1,2} \right\},i \ne j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} \right)}\quad {\rm and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} \right\} \in \left\{ {1,2,3} \right\},i \ne j \ne k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} \right)} \]的多个zeta值的两个组合和可以表示在深度$\leq 3$的多个zeta值，这里$2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$。最…
Some congruences for $3$-core cubic bipartitions
该研究通过初等 $q$-级数技巧和剖分公式，建立 $3$-core 立方二分拆计数函数的若干同余性质。
A note on congruences modulo 7 and 11 for two restricted partition functions
本文通过q级数技术研究了某些受限划分函数在7和11模下的同余关系，并推广了之前使用模形式方法得到的结果。
Continued fractions of cubic irrationalities
本文概述了实三次无理数连分数的若干基本事实，可作为连分数教材的补充小节。
Cubic points on cubic curves and the Brauer-Manin obstruction on K3 surfaces
我们表明，如果在一些数域存在一定的对角平面三次曲线，是局部可解的无处不在，但没有点的任何三次伽罗瓦扩张的数域，然后Brauer-Manin障碍的代数部分是不是唯一的障碍哈塞原则的K3表面。
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