$L^p$ maximal estimates for quadratic Weyl sums
令$S(x,t)$表示具有关联多项式$xn + tn^2$的Weyl和。假设对于给定的$x$，$|S(x,t)|$在$t = t(x)$达到其最大值。我们给出了$S(x,t(x))$的$L^p$范数的相同数量级的下界。
2021-03-09 math.NT
Bounds on the Norms of Maximal Operators on Weyl Sums
我们得到了应用于Weyl和的极大算子的新估计。我们还考虑二次的情况下（即高斯和）在更详细的。在很宽的参数范围内，我们的估计是最优的，并符合下界。我们的方法是基于Baker（2021）和Chen and Shparlinski（2020）的想法。
2021-07-29 math.NT
On smooth Weyl sums over biquadrates and Waring's problem
我们提供估计$s^{\rm th}$矩的双二次光滑外尔和，当$10\le s\le 12$，通过增强第二作者的迭代法，提供估计超出了经典的凸性障碍。因此，所有满足$n\equiv r\pmod{16}$且具有$1\le r\le 12$的足够大的整数$n$都可以写成光滑数的$12$双二次方之和。
2021-10-08 math.NT
Estimates for smooth Weyl sums on major arcs
本文针对Hardy-Littlewood方法中的大弧，给出了光滑Weyl和的均值估计，并在$u>2\lfloor k/2\rfloor+4$时获得$u$阶矩的最优界。
2024-05-28 math.NT
On the 3-adic Valuation of a Cubic Binomial Sum
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文证明了关于立方二项式和的3-进制估值的猜想，提供了该领域的新的数学结果。
2026-03-10 math.NT
Cubic alternating harmonic number sums
A. Sofo证明了二次交错调和数与倒数二项式系数乘积和的一些结果。本文将他的结果推广到三次交错调和数和，并给出了三次交错调和数和与倒数二项式系数和的新的封闭形式表示.还考虑了一些新的或已知的特殊情况以及主要结果的直接后果。
2017-02-05 math.NT
A mean-value theorem for exponential sums. Applications to Weyl's inequality
本文基于 Bombieri–Iwaniec 的思想研究一类指数和的六次方中值，并将所得结果按 Heath-Brown 的思路应用于 Weyl 不等式。
2023-07-07 math.NT
Weyl sums over integers with digital restrictions
本文给出了二进制数和固定或受某种同余条件限制的整数上的Weyl和的估计。在我们的证明中，我们使用的思想可以追溯到Banks，Conflitti和第一作者（2002）的一篇论文。此外，我们应用了Bourgain，Demeter和Guth（2016）以及Wooley（2016，2019）建立的Vinogradov中值定理的“主要猜想”。我们使用我们的结果给出的点集的差异，定义的多项式的值在参数有二进制数字的总和以不同的方式限制的估计。
2021-05-11 math.NT
Near-optimal mean value estimates for multidimensional Weyl sums
我们得到尖锐的估计多维概括的维诺格拉多夫的中值定理任意膨胀膨胀不变系统，实现约束的变量接近那些被证明是最好的可能。我们的界限的几个应用进行了讨论。
2012-05-29 math.NT
Mean value estimates for Weyl sums in two dimensions
我们使用解耦理论来估计二维二次和三次Parsell-Vinogradov系统的解的个数。
2016-08-11 math.CA math.NT
Sub-Weyl strength bounds for twisted $GL(2)$ short character sums
设$$S(N) = \sum_{n \sim N}^{\text{smooth}} \, λ_{f}(n) \, χ(n),$$，其中$λ_{f}(n)$是Hecke-eigenform的傅立叶系数，$χ$是导体$p^{r}$的本征。本文证明了$S(N)$的次Weyl强度界。事实上，我们得到了$$S(N) \ll \, N^{\frac{5}{9}} \ p^{\frac{13r}{45}},$$，条件是$ p^{13r/20} \leq N \leq p^{4r/5}$。请注意，如果$N\geq \left(p^{r}\right)^{\frac{2}{3}-\frac{1}{60}}$，则$S(N)$的上述界限是非平凡的。
2022-09-20 math.NT
$L^p$ maximal estimates for Weyl sums with $k\ge3$ on $\mathbb{T}$
本文研究了 $\mathbb{T}$ 上 $k\ge3$ 的 Weyl 和的 $L^p$ 极大估计，通过有理逼近和指数和精细估计分析大值集合结构，获得了正负面结果，且 $k=3$ 时结果在端点处精确。
2024-08-28 math.NT
Gauss Sums of the Cubic Character over $GF(2^m)$: an elementary derivation
本文给出了一种不使用Davenport-Hasse定理（即，如果$s$是奇数，则高斯和为-1;如果$s$是偶数，则高斯和为$-(-2)^{s/2}$）而导出有限域$\mathbb F_{2^s}$上的三次特征的高斯和值的初等方法.
2011-05-01 math.NT
Eisenstein series and the cubic moment for PGL(2)
采用Michel-Venkatesh提出的方法，利用Eisenstein级数乘积的正则化对角周期，研究了$\operatorname{PGL}_2$上自守$L$ -函数的立方矩.我们的主要创新是产生向量的积分变换实现任意加权的时刻。应用包括一般Motohashi型身份和Weyl型次凸界的一些家庭的$L$ -功能，推广的Conrey-Iwaniec和Petrow-杨的一些结果的数域设置。我们推导出数域上三元二次型的表示数的改进估计和算术双曲$3$ -折叠上的素测地线定理。
2020-01-09 math.NT
Estimates for smooth Weyl sums on minor arcs
该研究给出劣弧上光滑Weyl和的新估计，推导得出当k≥6时，对充分大的N，存在1≤n≤N使得αn^k的距离不超过N的-ρ(k)次方，推进了相关数论问题的研究。
2024-08-12 math.NT
Some evaluation of cubic Euler sums
P. Flajolet和B. Salvy \cite{FS1998}证明了著名的定理：当权$i_1+i_2+\cdots+i_r+q$和阶$r$具有相同的奇偶性时，非线性欧拉和$S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$可化为低阶和的组合.在这篇文章中，我们开发了一种方法来评估三次和$S_{1^2m,p}$和$S_{1l_1l_2,l_3}$。利用这种方法，我们建立了三次、二次和线性欧拉和的一些关系。特别地，我们证明了三次和$S_{1^2m,m}$和$S_{1(2l+1)^2,2l+1}$可约化为zeta值、二次和线性和.此外，我们证明，涉及深度四\[\sum\limits_{\left\{ {i,j} \right\} \in \left\{ {1,2} \right\},i \ne j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} \right)}\quad {\rm and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} \right\} \in \left\{ {1,2,3} \right\},i \ne j \ne k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} \right)} \]的多个zeta值的两个组合和可以表示在深度$\leq 3$的多个zeta值，这里$2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$。最…
2017-10-19 math.NT
Metric theory of Weyl sums
证明了存在正常数$C$和$c$，使得对任意整数$d \ge 2$，对无穷多个自然数$N$，满足$$ cN^{1/2}\le \left|\sum^N_{n=1}\exp\left (2 πi \left (x_1n+\ldots+x_d n^d\right)\right) \right|\le C N^{1/2}$$的${\mathbf x}\in [0,1)^d$的集合是满Lebesque测度.这大大改善了以前的结果，其中类似的集已被测量的豪斯多夫维数。当$d\neq 4$时，我们也得到了类似的指数和与单项式$xn^d$的界.最后，我们得到了一般指数多项式的大值的豪斯多夫维数的下界.
2020-11-16 math.NT
Local mean value estimates for Weyl sums
我们得到新的估计-上界和下界-的平均值的外尔和内的一个小盒子的单位环面。特别地，我们改进了C. Demeter和B. Langowski（2022），并改进了他们的一些结果。
2023-03-21 math.CA math.NT
Binary Cubic Forms and Rational Cube Sum Problem
本文利用整二元三次型研究有理数立方和问题，无条件证明了在特定剩余类中存在无穷多个素数可表示为两个有理数的立方和。
2024-05-31 math.NT
Optimal mean value estimates for the quadratic Weyl sums in two dimensions
我们利用解耦理论证明了二维情形下Vinogradov中值定理的一个精确估计（直到$N^ε$损失）
2015-08-05 math.CA math.NT
The ideal counting function in cubic fields
对于$\mathbb{Q}$的三次代数扩张$K$，本文研究了理想计数函数的性质.设$a_{K}(n)$是域$K$的模为$n$的整理想的个数。给出了和$$ \sum\limits_{n_{1}^2+n_{2}^2\leq x}a_{K}(n_{1}^2+n_{2}^2). $$的一个渐近公式
2015-03-04 math.NT
Restricted mean value theorems and metric theory of restricted Weyl sums
本文研究了一个新的问题，即在$\mathcal{X}$上具有自然测度$μ$的子集$\mathcal{X}\subseteq [0,1)^d$上的Weyl和的行为.对于某些测度空间$(\mathcal{X}, μ)$，我们得到了Weyl和均值的非平凡界，并且对于$μ$ -几乎$\mathcal{X}$的所有点，Weyl和满足平方根消去律.此外，我们还利用豪斯多夫维数讨论了例外集的大小.最后，我们得到的维诺格拉多夫中值定理的变种测度空间$(\mathcal{X}, μ)$。我们得到了一般的结果，我们改进了一些特殊的空间$\mathcal{X}$，如球，矩曲线和线段。
2020-02-02 math.CA math.NT
Large Weyl sums and Hausdorff dimension
我们得到了高斯和的系数集的豪斯多夫维数的精确值，对于给定的$α\in (1/2,1)$，对于无穷多个和长$N$，它至少达到$N^α$的阶。对于具有$d\ge 3$次数多项式的Weyl和，我们得到了与Weyl和的大值对应的多项式系数集的豪斯多夫维数的一个新的上界.我们的方法也适用于单项和，匹配以前已知的下界，只是给出了确切的值为相应的豪斯多夫维数时，$α$接近$1$。我们还得到了一个几乎紧界在类似的问题与任意整数序列的多项式增长。
2021-08-23 math.CA math.NT
Cubic Polynomials and Sums of Two Squares
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究三次不可约monic多项式作为两个平方和的表达频率下界，提出量化回答Grechuk关于此类值无限性的疑问，利用二维单位论和六次数域算术证明主要结论。
2026-05-16 math.NT
An $L^4$ maximal estimate for quadratic Weyl sums
证明了$$\bigg\|\sup_{0 < t < 1} \big|\sum_{n=1}^{N} e^{2πi (n(\cdot) + n^2 t)}\big| \bigg\|_{L^{4}([0,1])} \leq C_ε N^{3/4 + ε}$$，并讨论了它在Weyl和的大值理论中的应用.对于二次Weyl和，直到损失$N^ε$，该估计是尖锐的。
2021-06-17 math.AP math.CA math.NT
Representation of Squares by Nonsingular Cubic Forms
本文证明了六元以上非奇异三次型表示平方数的一个渐近公式。证明的主要成分是希斯-布朗的形式的圆法和各种指数和的结果。深度的指数和的结果是可比的Hooley的工作三次型在9个变量，特别是我们证明了一个类似的Katz'绑定。
2022-04-20 math.NT
Zeta-functions of root systems and Poincaré polynomials of Weyl groups
考虑根系的ζ函数的线性组合$S(\mathbf{s},\mathbf{y};I;Δ)$，其中$Δ$是秩为$r$和$I\subset\{1,2,\ldots,r\}$的根系.给出了$S(\mathbf{s},\mathbf{y};I;Δ)$的两种不同的表达式，发现根系的ζ函数的有符号和等于根系的Bernoulli函数的有符号和。这个恒等式给出了根系的ζ-函数之间的非平凡函数关系，如果符号和不一致为零。这是作者以前在\cite{KMTLondon}中证明的结果的推广，当$I=\emptyset$ .我们提出了几个明确的例子，这样的功能关系。给出了伴随外尔群的Poincar{é}多项式的符号和不为零的一个判据.此外，我们证明了一定的逆定理，这意味着情况$I=\emptyset$的生成函数本质上知道所有的信息生成函数的一般$I$。
2017-07-31 math.NT
Small values of Weyl sums
证明了$(x_1, \ldots, x_d)\in [0,1)^d$的集合，使得$$ \underline{\lim}_{N\to \infty}\left| \sum_{n=1}^N\exp(2 πi (x_1n+\ldots + x_dn^d)) \right| =0, $$包含$[0,1)^d$中的稠密$\mathcal{G}_δ$，并且有正的豪斯多夫维数.对于广义高斯和$$ \sum_{n=1}^N\exp(2πi x n^d), \qquad x \in [0,1). $$也建立了类似的陈述
2019-08-01 math.CA math.NT
Intermediate-Range Estimates for Short Weyl Sums and Waring's Problem with Almost Proportional Summands
Tajik State University of Finance and Economics（塔吉克斯坦国立财经大学）
本文针对$n\geq3$的短Weyl和在特定中间有理逼近范围得到一致点态估计，推导几乎成比例求和项的华林问题表示数的渐近公式，改进了$H$的容许下界。
2026-09-03 math.NT
Hybrid bounds on two-parametric family Weyl sums along smooth curves
我们得到了次数为$k\ge 2$的多项式为$(τx+c) ω(n)+xn$，$n=1, 2, \ldots$，固定$ω(T) \in \mathbb{Z}[T]$和$τ\in \mathbb{R}$的Weyl和的一个新的上界，它对几乎所有的$c\in [0,1)$和所有的$x\in [0,1)$都成立.本文改进和推广了M.~ B.~ Erdogan和G.~ Shakan（2019），他的工作也表明了这个问题与一些经典偏微分方程之间的联系。我们扩展到更一般的设置家庭的多项式$xn+y ω(n)$的所有$(x,y)\in [0,1)^2$与$f(x,y)=z$的一组$z \in [0,1)$的充分勒贝格措施，提供$f$是一些Hölder功能。
2020-03-05 math.CA math.NT
Maximal estimates for the Weyl sums on $\mathbb{T}^{d}$ (with an appendix by Alex Barron)
本文研究 $d\geq 2$ 维环面上 Weyl 和的极大估计，给出除端点外尖锐的结果，并推广到有理直线与一般环面，同时用于 Hausdorff 维数上界及带对数损失的 Strichartz 型估计。
2023-04-27 math.AP math.NT
Cubic congruences and sums involving $\binom{3k}k$
令$p$是大于$3$的素数，令$a$是有理p-adic整数。本文试图确定$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k\pmod p$，并实现三次同余与和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k$之间的联系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$a_1,a_2,a_3$是有理p-adic整数，$P=-2a_1^3+9a_1a_2-27a_3$，$Q=(a_1^2-3a_2)^3$和$PQ(P^2-Q)(P^2-3Q)(P^2-4Q)\not\equiv 0\pmod p$ .本文证明了同余$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv 0\pmod p$的解的个数只依赖于$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{4Q-P^2}{27Q})^k\pmod p$ .设$q$是一个素数，其形式为$3k+1$，因此$4q=L^2+27M^2$与$L,M\in\Bbb Z$。当$p\not=q$和$p\nmid L$时，我们建立了$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{M^2}q)^k$和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{L^2}{27q})^k$模p的同余关系，从而证明了$x^3-qx-qM\equiv 0\pmod p$有三个…
2013-11-20 math.CO math.NT
Sum of Three Squares and Particle in a Cubic Box - Degeneracies
Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院哈格普尔分校）
针对立方盒中量子粒子的能量简并度问题，即正整数表示为三平方和的方式数，我们通过分析前五百万个数的简并度列表，提出了闭式精确解，并给出可验证的示例。
2026-09-22 math-ph math.MP math.NT
