Bounds for the Cubic Weyl Sum
D. R. Heath-Brown
证明了在abc-猜想下，对任意$ε>0$和任意二次无理数$α$，都有\[\sum_{n\le N}\exp(2πiαn^3)\ll_{ε,α}N^{5/7+ε}\].
It is shown, subject to the abc-conjecture, that \[\sum_{n\le N}\exp(2πiαn^3)\ll_{ε,α}N^{5/7+ε}\] for any $ε>0$ and any quadratic irrational $α$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the cubic Weyl sum
我们得到一个估计的三次Weyl和，提高了从Weyl差分短范围的总和得到的界。特别是，我们表明，对于任何$\varepsilon>0$存在一些$δ>0$，使任何互质整数$a,q$和实数$γ$，我们有\begin{align*} \sum_{1\le n \le N}e\left(\frac{an^3}{q}+γn\right)\ll (qN)^{1/4} q^{-δ}, \end{align*}提供$q^{1/3+\varepsilon}\le N \le q^{1/2-\varepsilon}$。我们的论点建立在Enflo的一些想法。
Mean value estimates for odd cubic Weyl sums
我们建立了一个本质上最优的估计的九阶矩的指数和有论点$αx^3+βx$。这是60多年来在这一主题上的第一个实质性进展，这导致了Heath-Brown的Weyl不等式变体的改进，以及丢番图类型的其他应用。
The Weyl bound for triple product L-functions in the cubic level
本文在三次层面方面研究三重积 L-函数的强次凸性界，通过结合 Petersson 迹公式、Voronoi 求和、Jutila 圆法、Kuznetsov 迹公式和谱大筛不等式等工具证明了 Weyl 型界。
The Kronecker-Weyl equidistribution theorem and geodesics in 3-manifolds
给定任意矩形多面体3-流形$P$，用单位立方体拼接，我们找到无穷多个与三次代数数相关的显式方向，使得在这些方向上的所有半无限测地线均匀分布在$P$中.
Bounds for the Quartic Weyl Sum
本文改进二次无理数参数的四次指数和的Weyl估计，将指数从7/8+ε降至5/6+ε，并证明van der Corput的AB步骤足以处理四次情形，无需三次情形所需的BAAB过程。
$L^p$ maximal estimates for quadratic Weyl sums
令$S(x,t)$表示具有关联多项式$xn + tn^2$的Weyl和。假设对于给定的$x$，$|S(x,t)|$在$t = t(x)$达到其最大值。我们给出了$S(x,t(x))$的$L^p$范数的相同数量级的下界。
Bounds on the Norms of Maximal Operators on Weyl Sums
我们得到了应用于Weyl和的极大算子的新估计。我们还考虑二次的情况下（即高斯和）在更详细的。在很宽的参数范围内，我们的估计是最优的，并符合下界。我们的方法是基于Baker（2021）和Chen and Shparlinski（2020）的想法。
A Twisted Motohashi Formula and Weyl-Subconvexity for $L$-functions of Weight Two Cusp Forms
我们推导出一个Motohashi型公式的$L$ -函数的水平$q$尖点形式扭曲的导体$q$，以前研究的二次字符的中心值的三次矩的康瑞和Iwaniec和杨。这个公式的推论包括加权为2的尖点形式的$L$ -函数被二次特征扭曲的Weyl-次凸界，以及加权为3/2的尖点形式的傅里叶系数的Ramanujan-Petersson猜想的估计.
Beyond the Weyl barrier for $\mathrm{GL}(2)$ exponential sums
在本文中，我们使用的贝塞尔$δ$ -方法，以及新的变种的范德Corput方法在两个维度，证明非平凡界的$\mathrm{GL}(2)$指数和超越Weyl障碍。更明确地，对于由$e(f(n))$扭曲的$\mathrm{GL}(2)$傅里叶系数的和，其中长度为$N$，相位为$f(n)=N^β \log n / 2π$或$a n^β$，为$ β< 1.63651... $建立了非平凡界限，其超出了$β= 3/2$处的Weyl势垒。
On the 3-adic Valuation of a Cubic Binomial Sum
本文证明了关于立方二项式和的3-进制估值的猜想，提供了该领域的新的数学结果。
Weyl sums over integers with digital restrictions
本文给出了二进制数和固定或受某种同余条件限制的整数上的Weyl和的估计。在我们的证明中，我们使用的思想可以追溯到Banks，Conflitti和第一作者（2002）的一篇论文。此外，我们应用了Bourgain，Demeter和Guth（2016）以及Wooley（2016，2019）建立的Vinogradov中值定理的“主要猜想”。我们使用我们的结果给出的点集的差异，定义的多项式的值在参数有二进制数字的总和以不同的方式限制的估计。
Mean value estimates for Weyl sums in two dimensions
我们使用解耦理论来估计二维二次和三次Parsell-Vinogradov系统的解的个数。
Sub-Weyl strength bounds for twisted $GL(2)$ short character sums
设$$S(N) = \sum_{n \sim N}^{\text{smooth}} \, λ_{f}(n) \, χ(n),$$，其中$λ_{f}(n)$是Hecke-eigenform的傅立叶系数，$χ$是导体$p^{r}$的本征。本文证明了$S(N)$的次Weyl强度界。事实上，我们得到了$$S(N) \ll \, N^{\frac{5}{9}} \ p^{\frac{13r}{45}},$$，条件是$ p^{13r/20} \leq N \leq p^{4r/5}$。请注意，如果$N\geq \left(p^{r}\right)^{\frac{2}{3}-\frac{1}{60}}$，则$S(N)$的上述界限是非平凡的。
$L^p$ maximal estimates for Weyl sums with $k\ge3$ on $\mathbb{T}$
本文研究了 $\mathbb{T}$ 上 $k\ge3$ 的 Weyl 和的 $L^p$ 极大估计，通过有理逼近和指数和精细估计分析大值集合结构，获得了正负面结果，且 $k=3$ 时结果在端点处精确。
Gauss Sums of the Cubic Character over $GF(2^m)$: an elementary derivation
本文给出了一种不使用Davenport-Hasse定理（即，如果$s$是奇数，则高斯和为-1;如果$s$是偶数，则高斯和为$-(-2)^{s/2}$）而导出有限域$\mathbb F_{2^s}$上的三次特征的高斯和值的初等方法.
A generalized cubic moment and the Petersson formula for newforms
利用三次矩，我们证明了一个Weyl型的二次扭曲的平方自由水平，平凡neutralypus，和任意偶重量的全纯新形式的次凸性界。这推广了Conrey和Iwaniec的工作，即被扭曲的新形式可以具有任意的无平方能级，并且二次特征可以具有偶导体。本文发展的新工具之一是一个更一般的Petersson公式，用于新形式的无平方能级。
Weyl-type bounds for twisted $GL(2)$ short character sums
设f是具有Fourier系数$λ_{f}(n)$的$SL(2,\mathbb{Z})$的Hecke-Maass或全纯本原尖点形式.设$χ$是模为p的本原Dirichlet特征标，其中p是素数.在这篇文章中，我们证明了以下Weyl型界：对于任何$ε>0$，$$\sum_{|n| \ll N}λ_{f}(n)χ(n) \ll_{f,ε}N^{3/4 }p^{1/6}(pN)^ε.$$我们可以看到范围$N > p^{3/4}$到范围$N > p^{2/3}$的改进，我们得到了$S_{f,χ}(N)$的界，而不需要进入$L$ -函数。
Bounds for discrete moments of Weyl sums and applications
我们证明了Weyl和的离散矩的两个界。第一个可以使用标准方法获得。第二个是观察如何改进这种方法，从而在某些范围内得到更清晰的界限。证明都建立在最近证明的主要猜想维诺格拉多夫的中值定理。我们提出了两个选定的应用程序：首先，我们证明了一个新的$k$次导数测试的整数点接近曲线的指数和的方法。这产生了比现有的结果通过几何方法得到的更强的界，但它只适用于特定的功能。作为第二个应用，我们证明了一元$k \geq 4$次多项式的多项式大筛不等式的一个新的改进。
Some evaluation of cubic Euler sums
P. Flajolet和B. Salvy \cite{FS1998}证明了著名的定理：当权$i_1+i_2+\cdots+i_r+q$和阶$r$具有相同的奇偶性时，非线性欧拉和$S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$可化为低阶和的组合.在这篇文章中，我们开发了一种方法来评估三次和$S_{1^2m,p}$和$S_{1l_1l_2,l_3}$。利用这种方法，我们建立了三次、二次和线性欧拉和的一些关系。特别地，我们证明了三次和$S_{1^2m,m}$和$S_{1(2l+1)^2,2l+1}$可约化为zeta值、二次和线性和.此外，我们证明，涉及深度四\[\sum\limits_{\left\{ {i,j} \right\} \in \left\{ {1,2} \right\},i \ne j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} \right)}\quad {\rm and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} \right\} \in \left\{ {1,2,3} \right\},i \ne j \ne k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} \right)} \]的多个zeta值的两个组合和可以表示在深度$\leq 3$的多个zeta值，这里$2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$。最…
Gauss sums of cubic characters over $GF(p^r)$, $p$ odd
本文给出了一种不使用Davenport-Hasse定理而导出三次特征的$\mathbb F_{p^r}$，$p$奇数上的高斯和值的初等方法。不同域扩张上的高斯和之间的新联系被显示在高斯和本身的因子分解方面，然后在素理想分解方面被rivisited。有趣的是，这些结果之一给出了表示素数$p$的形式$6k+1$的二元二次型的整数的一个子域的分圆域的$p$次根的单位。
Metric theory of Weyl sums
证明了存在正常数$C$和$c$，使得对任意整数$d \ge 2$，对无穷多个自然数$N$，满足$$ cN^{1/2}\le \left|\sum^N_{n=1}\exp\left (2 πi \left (x_1n+\ldots+x_d n^d\right)\right) \right|\le C N^{1/2}$$的${\mathbf x}\in [0,1)^d$的集合是满Lebesque测度.这大大改善了以前的结果，其中类似的集已被测量的豪斯多夫维数。当$d\neq 4$时，我们也得到了类似的指数和与单项式$xn^d$的界.最后，我们得到了一般指数多项式的大值的豪斯多夫维数的下界.
Local mean value estimates for Weyl sums
我们得到新的估计-上界和下界-的平均值的外尔和内的一个小盒子的单位环面。特别地，我们改进了C. Demeter和B. Langowski（2022），并改进了他们的一些结果。
Binary Cubic Forms and Rational Cube Sum Problem
本文利用整二元三次型研究有理数立方和问题，无条件证明了在特定剩余类中存在无穷多个素数可表示为两个有理数的立方和。
On the distribution of the maximum of cubic exponential sums
本文研究了一类三次指数和的部分和的最大值的分布。我们的主要定理给出了这个最大值的大值分布的上界和下界（几乎相同的数量级），它们在很宽的均匀范围内成立。这改进了Kowalski和Sawin最近的一个结果。证明混合使用概率方法，调和分析技术，和代数几何的深层工具。所得结果也可推广到其它类型的$\ell$ -adic迹函数。特别地，我们的结果的下界也适用于Kloosterman和的部分和。作为应用，我们证明了存在$x\in [1, p]$和$a\in \mathbb{F}_p^{\times}$使得$|\sum_{n\leq x} \exp(2πi (n^3+an)/p)|\ge (2/π+o(1)) \sqrt{p}\log\log p$ .我们的结果的一致性表明，这个界限是最佳的，常数的值。
Optimal mean value estimates for the quadratic Weyl sums in two dimensions
我们利用解耦理论证明了二维情形下Vinogradov中值定理的一个精确估计（直到$N^ε$损失）
The cubic moment of $L$-functions for specified local component families
本文研究了 $L$-函数中心值的立方矩在特定局部分量家族上的 Lindelöf 平均上界，通过新发展的 Petersson/Bruggeman-Kuznetsov 公式，推导了 Weyl 强子凸界，尤其在平方满和深度方面。
Subconvex $L^p$-sets, Weyl's inequality, and equidistribution
本文研究满足次凸$L^p$界的自然数集，证明其上指数和满足类Weyl不等式且强度常与经典界相当，还探讨了相关多项式模1等分布及在特征和、算术函数平均值中的应用。
The ideal counting function in cubic fields
对于$\mathbb{Q}$的三次代数扩张$K$，本文研究了理想计数函数的性质.设$a_{K}(n)$是域$K$的模为$n$的整理想的个数。给出了和$$ \sum\limits_{n_{1}^2+n_{2}^2\leq x}a_{K}(n_{1}^2+n_{2}^2). $$的一个渐近公式
Bias in cubic Gauss sums: Patterson's conjecture
本研究在广义黎曼假设下证明了关于三次高斯和的渐近公式，证实了Patterson1978年的猜想，解释了Kummer观测到的数值偏差，还得到显式Voronoi求和公式，证明三次大筛法是紧的。
On the p-parts of quadratic Weyl group multiple Dirichlet series
设φ是秩为r的约化根系。φ的外尔群重狄利克雷级数是r个复变数s_1，.中的狄利克雷级数，s_r，当Re（s_i）足够大时初始收敛，它具有C^r的亚纯延拓，并且在C^r的变换下满足函数方程，对应于φ的外尔群.这种级数有两种构造，一种是基于n阶高斯和的乘积求和，另一种是基于对外尔群上的某个群作用求平均。本文研究了这两种结构及其相互关系，证明了当n=2，Phi=A_r时，它们产生相同的重狄利克雷级数.
Large Weyl sums and Hausdorff dimension
我们得到了高斯和的系数集的豪斯多夫维数的精确值，对于给定的$α\in (1/2,1)$，对于无穷多个和长$N$，它至少达到$N^α$的阶。对于具有$d\ge 3$次数多项式的Weyl和，我们得到了与Weyl和的大值对应的多项式系数集的豪斯多夫维数的一个新的上界.我们的方法也适用于单项和，匹配以前已知的下界，只是给出了确切的值为相应的豪斯多夫维数时，$α$接近$1$。我们还得到了一个几乎紧界在类似的问题与任意整数序列的多项式增长。
Hausdorff dimension of the large values of Weyl sums
作者最近得到了一个下界的豪斯多夫维数的集合向量$(x_1, \ldots, x_d)\in [0,1)^d$与大Weyl和，即向量的$$ \left| \sum_{n=1}^{N}\exp(2πi (x_1 n+\ldots +x_d n^{d})) \right| \ge N^α $$的无穷多个整数$N \ge 1$。在这里，我们得到了这些例外集的豪斯多夫维数的上界。
An $L^4$ maximal estimate for quadratic Weyl sums
证明了$$\bigg\|\sup_{0 < t < 1} \big|\sum_{n=1}^{N} e^{2πi (n(\cdot) + n^2 t)}\big| \bigg\|_{L^{4}([0,1])} \leq C_ε N^{3/4 + ε}$$，并讨论了它在Weyl和的大值理论中的应用.对于二次Weyl和，直到损失$N^ε$，该估计是尖锐的。
Representation of Squares by Nonsingular Cubic Forms
本文证明了六元以上非奇异三次型表示平方数的一个渐近公式。证明的主要成分是希斯-布朗的形式的圆法和各种指数和的结果。深度的指数和的结果是可比的Hooley的工作三次型在9个变量，特别是我们证明了一个类似的Katz'绑定。
Zeta-functions of root systems and Poincaré polynomials of Weyl groups
考虑根系的ζ函数的线性组合$S(\mathbf{s},\mathbf{y};I;Δ)$，其中$Δ$是秩为$r$和$I\subset\{1,2,\ldots,r\}$的根系.给出了$S(\mathbf{s},\mathbf{y};I;Δ)$的两种不同的表达式，发现根系的ζ函数的有符号和等于根系的Bernoulli函数的有符号和。这个恒等式给出了根系的ζ-函数之间的非平凡函数关系，如果符号和不一致为零。这是作者以前在\cite{KMTLondon}中证明的结果的推广，当$I=\emptyset$ .我们提出了几个明确的例子，这样的功能关系。给出了伴随外尔群的Poincar{é}多项式的符号和不为零的一个判据.此外，我们证明了一定的逆定理，这意味着情况$I=\emptyset$的生成函数本质上知道所有的信息生成函数的一般$I$。
Small values of Weyl sums
证明了$(x_1, \ldots, x_d)\in [0,1)^d$的集合，使得$$ \underline{\lim}_{N\to \infty}\left| \sum_{n=1}^N\exp(2 πi (x_1n+\ldots + x_dn^d)) \right| =0, $$包含$[0,1)^d$中的稠密$\mathcal{G}_δ$，并且有正的豪斯多夫维数.对于广义高斯和$$ \sum_{n=1}^N\exp(2πi x n^d), \qquad x \in [0,1). $$也建立了类似的陈述
New bounds of Weyl sums
我们通过一些新的想法和一系列结果来扩充Wooley（2015）的方法，改进了他关于Weyl和的度量界以及具有部分指定系数的实多项式的分数部分的差异。我们还扩展这些结果和想法，主要是新的和非常一般的设置的任意正交投影的系数$(u_1, \ldots , u_d)$的向量到一个较低的维子空间。这种新的观点有一个额外的优势，产生一个上界的豪斯多夫维数的集合大Weyl和。在其他技术创新中，我们还引入了一种“自我改进”的方法，它导致了一个单调递减的界的无穷级数，收敛到我们的最终结果。
Bilinear forms in Weyl sums for modular square roots and applications
令$q$是素数$P \geq 1$，并令$N_q(P)$表示在虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$中分裂的有理素数$p \leq P$的数目。本文的第一部分对任何固定的$\varepsilon>0$，建立了$N_q(P)$在$q^{1/4+\varepsilon} \leq P \leq q$范围内的各种无条件和有条件（在Siegel零点存在的情况下）下界。这改进了Pollack和Benli-Pollack的工作所暗示的内容。本文的第二部分致力于证明模平方根的Weyl和（等价于Salié和）的双线性型的一个估计。我们的估计在所谓的P{ó}lya-Vinogradov范围内具有功率节省，并且我们的方法涉及研究来自$\mathbb{F}_q$中的二次剩余的加性能量。这种双线性形式的灵感来自最近的自守动机：第一和第四作者最近计算了附加到Kohnen newforms的扭曲$L$ -函数的二阶矩。因此，本文的第三部分将这两个方向联系起来，并概述了这种双线性形式的算术应用。这些包括素数的二次根的等分布，素数的乘积，以及Erdos-Odlyzko-Sarkozy猜想的松弛。
Equidistribution of nilflows and bounds on Weyl sums
该研究证明了丝状幂零流的有效等分布结果，推导了高次多项式Weyl和的界，其幂节省量与Vinogradov主猜想证明中的已知最优结果相当，论证结合了动力系统思想与非阿贝尔调和分析。
Hybrid bounds on two-parametric family Weyl sums along smooth curves
我们得到了次数为$k\ge 2$的多项式为$(τx+c) ω(n)+xn$，$n=1, 2, \ldots$，固定$ω(T) \in \mathbb{Z}[T]$和$τ\in \mathbb{R}$的Weyl和的一个新的上界，它对几乎所有的$c\in [0,1)$和所有的$x\in [0,1)$都成立.本文改进和推广了M.~ B.~ Erdogan和G.~ Shakan（2019），他的工作也表明了这个问题与一些经典偏微分方程之间的联系。我们扩展到更一般的设置家庭的多项式$xn+y ω(n)$的所有$(x,y)\in [0,1)^2$与$f(x,y)=z$的一组$z \in [0,1)$的充分勒贝格措施，提供$f$是一些Hölder功能。
Metric theory of lower bounds on Weyl sums
我们证明了集合$\mathbf{x}\in [0,1)^d$的Hausdorff维数，使得$$ \left|\sum_{n=1}^N \exp\left(2 πi\left(x_1n+\ldots+x_d n^d\right)\right) \right|\ge c N^{1/2} $$对无穷多个自然数$N$成立，对于$d \ge 3$至少为$d-1/2d$，对于$d=2$至少为$3/2$，其中$c$是只依赖于$d$的常数。这改进了先前第一和第三作者对于$d\ge 3$的下界。我们也得到了类似的Hausdorff维数的集合的大项$xn^d$。
Quadratic Weyl Sums, Automorphic Functions, and Invariance Principles
Hardy和Littlewood关于二次Weyl和（θ和）的近似函数方程，通过迭代应用，为这种和的渐近分析提供了强有力的工具。另一方面，经典的Jacobi θ函数满足一个精确的函数方程，并扩展到Jacobi群上的一个自守函数。在本研究中，我们构建了一个相关的，几乎处处不可微的自守函数，它近似二次外尔总结了一阶的错误，一致的总和范围。这不仅意味着近似的函数方程，但允许我们取代Hardy和Littlewood的重整化方法，由一定的均匀流的动力学。这种构造的最大优点是近似是全局的，即，不需要跟踪在迭代过程中累积的误差项。我们的主要应用是一个新的功能极限定理，或不变原理，θ总和。这里有趣的观察是，极限过程的路径与布朗运动共享许多关键特征（尺度不变性，时间反演下的不变性，不可微性），尽管时间增量不是独立的，并且每个固定时间的值分布与正态分布明显不同。
Cubic congruences and sums involving $\binom{3k}k$
令$p$是大于$3$的素数，令$a$是有理p-adic整数。本文试图确定$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k\pmod p$，并实现三次同余与和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k$之间的联系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$a_1,a_2,a_3$是有理p-adic整数，$P=-2a_1^3+9a_1a_2-27a_3$，$Q=(a_1^2-3a_2)^3$和$PQ(P^2-Q)(P^2-3Q)(P^2-4Q)\not\equiv 0\pmod p$ .本文证明了同余$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv 0\pmod p$的解的个数只依赖于$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{4Q-P^2}{27Q})^k\pmod p$ .设$q$是一个素数，其形式为$3k+1$，因此$4q=L^2+27M^2$与$L,M\in\Bbb Z$。当$p\not=q$和$p\nmid L$时，我们建立了$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{M^2}q)^k$和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{L^2}{27q})^k$模p的同余关系，从而证明了$x^3-qx-qM\equiv 0\pmod p$有三个…
Sum of Three Squares and Particle in a Cubic Box - Degeneracies
针对立方盒中量子粒子的能量简并度问题，即正整数表示为三平方和的方式数，我们通过分析前五百万个数的简并度列表，提出了闭式精确解，并给出可验证的示例。
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