三次域上的理想计数函数

光滑三次曲面上有理点的计数

Counting rational points on smooth cubic surfaces

本文证明了定义在任意数域上的光滑三次曲面在小次扩张后可能满足Manin猜想所预言的下界。

三次超曲面上有理点的计数

Counting rational points on cubic hypersurfaces

设X是定义在有理数上的几何整的射影三次超曲面，维数为D，奇异轨迹维数至多为D-4。对任意ε>0，我们证明了X包含O（B^{D+ε}）个高度至多为B的有理点.这个估计中隐含的常数取决于ε的选择和定义X的三次型的系数。

Counting Ideals in $\mathbb{Z}[t]/(f)$

In this paper we study the growth of ideals in $\mathbb{Z}[t]/(f)$ for a monic cubic polynomial $f$. We also compute the ideal zeta function of $\mathbb{Z}[t]/(t^n)$ for any $n \in \mathbb{N}$.

多项式环中理想的计数

Counting ideals in polynomial rings

研究了多项式环及其子环的zeta函数的性质，推广和推广了数域上戴德金ζ函数的一些经典结果.通过应用Delange的Ikehara Tauberian定理，我们可以确定理想计数函数在这类环中的渐近阶.结果，我们得到了有界行列式理想格的计数估计，以及$\mathbb Z^d$的所有子格中任意理想格的密度估计。最后，我们提出了一些更一般的猜测和悬而未决的问题。

在阿贝尔数域中计数理想

Counting ideals in abelian number fields

本文在阿贝尔数域中改进了计数整数理想的方法，特别是在范数受限的情况下，提升了对互质理想对计数的结果。

光滑三次曲线上有理点的计数

Counting rational points on smooth cubic curves

我们使用一个全球版本的Heath-Brown的$p-$ adic行列式方法Salberger开发的高度最$B$上定义的非奇异三次曲线上的$\mathbb{Q}$的有理点的数量的上界。的界限是一致的，在这个意义上，他们只依赖于相应的雅可比矩阵的秩。

纯三次域中的约化理想

Reduced Ideals in Pure Cubic Fields

约化理想是在二次数域上的整数环中定义的，它们与连分数算法紧密相关。这类理想的概念自然地延伸到更高次的数域。在由整数的立方根生成的纯立方域的情况下，一个方便的整基提供了一种识别这些域中的约化理想的方法。我们定义的整数序列的条款是在符合这些理想，建议推广的连分数。

Chebotarev密度定理理想的显式计数和Brun-Titchmarsh不等式

Explicit counting of ideals and a Brun-Titchmarsh inequality for the Chebotarev Density Theorem

我们证明了在给定的域扩张中具有给定分裂行为的素数个数的一个界。这个界推广了等差数列中素数的Brun-Titchmarsh界。这个证明是塞尔伯格筛法在数域上的一个应用。主要的新成分是一个明确的计数结果估计的整元的数量与某些属性乘单位。作为这个结果的结果，我们推导出一个明确的估计数的理想的范数高达$x$。

循环三次和四次域的良圆理想格

Well-Rounded ideal lattices of cyclic cubic and quartic fields

本文研究了循环三次和四次域具有良圆理想格的判据，证明了循环三次域必含良圆理想，构造了循环四次域的良圆理想族，并给出了特定素理想为良圆的充要条件及奇素数分解。

奇异三次曲面上数域上有理点的计数

Counting rational points over number fields on a singular cubic surface

Manin的一个猜想预言了定义在数域K上的某些代数簇上的K-有理点的分布。近年来，一种利用万有扭矢的方法已成功地应用于有理数域Q上Manin猜想的几个困难特例。结合这种方法和Schanuel的技巧，我们给出了关于奇异三次曲面S的任意数域上Manin猜想的一个证明.

计算具有正根的多项式

Counting polynomials with positive roots

本文研究所有根均为正实数的首一整系数多项式的计数问题，通过估计满足麦克劳林不等式的整数序列建立固定迹的渐近公式，并对三次多项式给出更精确结果，还证明正比例的三次多项式具有无平方因子判别式。

Counting ideals in ray classes

Let $\mathbf{K}$ be a number field and $\mathfrak{q}$ an integral ideal in $\mathcal{O}_{\mathbf{K}}$. A result of Tatuzawa from 1973, computes the asymptotic (with an error term) for the number of ideals with norm at most $x$ in a class of the narrow ray class group of $\mathbf{K}$ modulo $\mathfrak{q}$. This result bounds the error term with a constant whose dependence on $\mathfrak{q}$ is explicit but dependence on $\mathbf{K}$ is not explicit. The aim of this paper is to prove this asymptotic with a fully explicit bound for the error term.

三次孪生素多项式用模形式计数

Cubic twin prime polynomials are counted by a modular form

我们提出了几何躺在后面计数孪生素数多项式在$\mathbb{F}_q[T]$一般。我们计算上同调和明确计数点的扭曲Lefschetz迹公式适用于这些参数化品种的三次孪生素多项式。椭圆曲线$X^3 = Y(Y-1)$出现在几何中，因此计数三次孪生素数多项式涉及相关的模形式。在理论上，这种方法可以扩展到更高次的孪生素数，但计算变得更加困难。我们在度$3$中得到的公式与Hardy-Littlewood启发式平均相容，与$q \equiv 2 \pmod 3$的预测一致，但对$q \equiv 1 \pmod 3$显示出异常。

最简单四次域上的指数、素理想分解及其判别式的计数

Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants

考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。

Ennola三次域中的指定理想类与椭圆点

Ideal Classes of Order $2^n$ in a Family of Totally Real Cubic Fields and Rational Points on Associated Elliptic Curves

本文构造了具有指定理想类阶的Ennola三次域，并通过椭圆曲线和Pell方程获得多个独立有理点及高秩纤维。

整数环中除数计数公式：除数函数d₀(n)的推广

A formula of counting divisors in integers rings: a generalization of the divisor function $d_0(n)$

本文通过建立整数环中理想结构与加性组合学理论之间的联系，证明了在具有循环类群的整数环中，每个非零理想均可分解为一个最大主因子和一个总长度受达文波特常数限制的理想乘积。通过这种分解，找到了理想I=(α, β)生成元的除数。本文的核心成果是利用有限阿贝尔群上的特征理论，推导出一个闭合公式，用于精确计数给定序列的零和子序列数目。该公式在建立主理想与零和序列之间的对应关系下，提供了对任意给定理想主理想除数的精确计数，从而计数理想I=(α, β)生成元的公共除数。这一结果构成了从唯一分解环到具有有限类群的任何迪克因环的除数函数d₀(n)的自然推广。最后，本文基于这些零和子序列的计数，对O_K中的不可约元进行了特征化。

计算具有规定数量有理交点的有限域上的平面三次曲线

Counting Plane Cubic Curves over Finite Fields with a Prescribed Number of Rational Intersection Points

研究有限域上无公共分量且有规定数量有理交点的平面三次曲线数量，通过设置为射影里德 - 穆勒码的重量枚举器问题，利用计算有公共分量曲线对等方法及麦克威廉姆斯定理变体来求解。

正特征下互质w-的S-整数和S-整理想的计数

Counting w-coprime S-integers and S-integral ideals in positive characteristic

本文结合解析方法、Riemann-Roch定理和Weil定理，在正特征函数域中计数互质w-的S-整数和S-整理想。

关于3阶域的类群、窄类群和理想群中2-扭元的平均个数

On the mean number of 2-torsion elements in the class groups, narrow class groups, and ideal groups of cubic orders and fields

给定任意一族由局部条件定义的三次域，当按其绝对判别式排序时，我们确定了该类域的类群和窄类群中2-扭元的平均个数.对于三次域中的一个阶$\cal O$，我们研究了三个群：$\rm Cl_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的理想类群; $\rm Cl^+_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的窄理想类群;以及${\cal I}_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的理想群。我们证明了差异的平均值$|\rm Cl_2({\cal O})|-\frac14|{\cal I}_2(\cal O)|$总是等于$1$，无论是平均超过最大的订单在真正的三次领域，在所有订单在真正的三次领域，或确实超过任何家庭的真正的三次订单定义的当地条件。对于窄类群，我们证明了对于任何这样的族，差的平均值$|\rm Cl^+_2({\cal O})|-|{\cal I}_2(\cal O)|$等于$1$。对于由局部条件定义的任何复三阶数族，我们同样证明了差的平均值$|\rm Cl_2(\mathcal O)|-\frac12|{\cal I}_2(\cal O)|$总是等于$1$，与族无关。这些平均数的确定使我们能够证明一些进一步的结果作为副产品。与二次域的情形形成鲜明对比的是，我们证明了：1）正比例的三次域具有奇数类数; 2）正比例的实三次域在类群和窄类群中具有同构的2-挠率; 3）正比例的实…

数域中任意次数的理想显式计数

Explicit counting of ideals in number fields of arbitrary degree

本文利用数论几何方法，研究数域中积分理想数量的显式估计，通过最小化次数对误差项的影响，避免高阶项，并利用刘维尔空间中的基本域理论和施密特的分拆技巧改进误差估计。

关于二元三次型的高斯复合的一个证明

An Analogue of Gauss Composition for Binary Cubic Forms

200多年前，高斯发现了本原二元二次型的$SL_2({\mathbb Z})$ -等价类上的复合律。从那时起，双射类的二元形式已被发现与理想类群的二次环。本文使用一个这样的双射Bhargava，有关类的投影二元三次型的$3$ -扭转的理想类群，找到一个明确的形式为一个三次模拟高斯组成。

三次序的理想类幺半群

Ideal class monoids of cubic orders

研究数域三次扩张中戈伦斯坦序\(R\)的理想类幺半群，给出其属集基数的封闭欧拉乘积公式，通过局部三次扩张序分类确定局部因子，还应用于相关轨道等价类数量计算。

二元三次型空间的轨道L函数

Orbital L-functions for the space of binary cubic forms

本文在二元三次型空间中引入轨道L函数的概念，并研究其解析性质。详细研究了它们的函数方程和留数公式。除了本质上的兴趣，本文的结果被用来证明在三次域的计数函数中的次级项的存在性。这在一篇配套论文（arXiv：1102.2914）中得到了解决。

理想类计数函数的矩

Moments of ideal class counting functions

本文针对d次数域中给定理想类的理想计数函数（对应GL(d)上非Hecke特征、非尖点的自守形式傅里叶系数），计算了其矩并研究了对应尖点投影的矩。

高效存储的超椭圆曲线点计数

Memory efficient hyperelliptic curve point counting

在最近的算法中，使用变形，以计算在有限域上的品种的点数，某些微分方程的矩阵在p-adic域出现。我们提出了一种新的策略来解决这类方程的内存有效的方式。其主要应用是一个需要拟三次时间和参数n的二次记忆的算法，它解决了以下问题：对于扩张度为n且特征小的有限域上亏格为g的超椭圆曲线E，计算其zeta函数.这大大提高了Kedlaya的结果，具有相同的准立方时间渐近，但也需要立方内存大小。

二次、三次和四次剩余矩阵的特征

Characterizations of quadratic, cubic, and quartic residue matrices

我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，与$\mathbb{Q}$的二次扩展的复合中的素理想的分裂行为相关联，并证明了一个简单的准则表征这样的矩阵。我们还研究了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。

最简三次域与连续双二次域中的大Pólya群

Large Pólya groups in simplest cubic fields and consecutive bi-qaudratic fields

本文将数域的连续性概念推广到循环三次域和双二次域的参数族，证明存在无穷多个具有大Pólya群的连续域，推广了全实双二次域的已有结果。

A Cubic analogue of the Friedlander-Iwaniec spin over primes

In 1998 Friedlander and Iwaniec proved that there are infinitely many primes of the form $a^2+b^4$. To show this they defined the spin of Gaussian integers by the Jacobi symbol, and one of the key ingredients in the proof was to show that the spin becomes equidistributed along Gaussian primes. To generalize this we define the cubic spin of ideals of $\mathbb{Z}[ζ_{12}]=\mathbb{Z}[ζ_3,i]$ by using the cubic residue character on the Eisenstein integers $\mathbb{Z}[ζ_3]$. Our main theorem says that the cubic spin is equidistributed along prime ideals of $\mathbb{Z}[ζ_{12}]$. The proof of this fol…

三次代数II判别式的分布

Distributions of discriminants of cubic algebras II

设$k$为数域，$O$为整数环。在文献[T06]中，我们研究了$O$的三次代数的狄利克雷级数计数判别式，并利用预齐次向量空间的zeta函数理论，得到了判别式分布的几个密度定理.在本文中，我们认为这些对象在非阿基米德的地方施加有限数量的分裂条件。特别是给出了在此条件下$s=1$和5/6残基的显式表达式。

Omega results for cubic field counts via lower-order terms in the one-level density

In this paper we obtain a precise formula for the $1$-level density of $L$-functions attached to non-Galois cubic Dedekind zeta functions. We find a secondary term which is unique to this context, in the sense that no lower-order term of this shape has appeared in previously studied families. The presence of this new term allows us to deduce an omega result for cubic field counting functions, under the assumption of the Generalized Riemann Hypothesis. We also investigate the associated $L$-functions Ratios Conjecture, and find that it does not predict this new lower-order term. Taking into acc…

循环三次域中整数环的良舍入扭曲

Well-Rounded Twists of the Ring of Integers in Cyclic Cubic Fields

针对循环三次域中整数环的良舍入扭曲问题，提出检测理想基良舍入扭曲的新算法，证明特定条件下良舍入扭曲存在性等价于主良舍入理想存在性，并显式计算三类族的扭曲，证明Shanks族无限域有正交良舍入扭曲。

最简单的立方数域

Simplest Cubic Number Fields

在本文中，我们打算表明，某些整数不出现作为规范的主理想在一个家庭的三次域研究的科恩，尚克斯，和恩诺拉。这些结果将简化这类域的某些非分歧二次扩张的构造。

理想类群的 5-秩至少为 2 的虚二次域的计数

Counting Imaginary Quadratic Fields with an Ideal Class Group of 5-rank at least 2

本文利用 Howe、Leprévost 和 Poonen 的方法构造亏格 2 曲线，将理想类群 5-秩至少为 2 的虚二次域的计数下界从 $X^{1/4}$ 改进至 $X^{1/3}/(\log X)^2$。

二次单位与三次域

Quadratic units and cubic fields

本文研究了 Eisenstein 判别式及其与实三次域的联系，通过在 GPU 上使用改进的基础设施方法计算了高达 $10^{11}$ 的判别式，发现其计数函数支持 Stevenhagen 猜想并揭示了一个与实三次域相似的次要项。

数值半群中理想个数的计数

Counting Ideals in Numerical Semigroups

本文研究数值半群中按余维数和导子计数的理想个数，计算了嵌入维数为2及特定三类生成元情形的生成函数，并证明导子计数序列最终平稳且给出相应平稳项。

特征为三的三次函数域的计算

Computations in Cubic Function Fields of Characteristic Three

本文讨论了特征为三的任意三次函数域.定义了任意三次曲线的标准式，并考虑了它的函数域。通过考虑这些函数域的极大序模的整基，我们能够计算域判别式和亏格。我们还描述了任意位置的分裂行为，并给出了理想类群中算术的合成和归约算法。

将挠线丛拉回到理想类

Pulling back torsion line bundles to ideal classes

我们证明结果有关的挠线丛上的各种$V$定义在$\mathbb{Q}$理想类的数域。这为构造和计数具有大类群的数域提供了一种新的通用技术。

Landau素数理想定理的一个新的初等证明及相关结果

A New Elementary Proof of Landau's Prime Ideal Theorem, and Associated Results

本文给出Landau素数理想定理的新初等证明，推广了Richter的素数定理证明，并包含素数理想计数函数等分布的相关结果。

计算相对三次域的一个算法

An algorithm to compute relative cubic fields

设k是虚二次数域（类数为1）。我们描述了一个新的，基本上是线性时间算法，列出所有同构类的三次扩展L/k到一个限制X上的规范的相对判别理想。主要工具是谷口的推广达文波特-海尔布隆参数化的三次扩张，约化理论的二元三次型超过虚二次域。最后，我们给出了k=Q（i）的数值结果，并将我们的结果与基于Roberts猜想的推广的束类域算法的结果和渐近渐近估计进行了比较。

Parameterizing roots of polynomial congruences

We use the arithmetic of ideals in orders to parameterize the roots $μ\pmod m$ of the polynomial congruence $F(μ) \equiv 0 \pmod m$, $F(X) \in \mathbb{Z}[X]$ monic, irreducible and degree $d$. Our parameterization generalizes Gauss's classic parameterization of the roots of quadratic congruences using binary quadratic forms, which had previously only been extended to the cubic polynomial $F(X) = X^3 - 2$. We show that only a special class of ideals are needed to parameterize the roots $μ\pmod m$, and that in the cubic setting, $d = 3$, general ideals correspond to pairs of roots $μ_1 \pmod{m_1…

一些双二次Pólya域及最简三次与五次域复合域的大Pólya群

Some bi-quadratic Pólya fields and large Pólya groups of compositum of simplest cubic and quintic fields

本文提供了三个双二次Pólya域族，并证明了Shank三次域与Lehmer五次域复合域存在无限多个大Pólya群指数为1的域。

Galois模、理想类群与立方结构

Galois modules, ideal class groups and cubic structures

建立了分圆理想类群理论与“几何”Galois模理论之间的联系，得到了Z上簇的Galois覆盖的凝聚上同调群的Galois模结构的结果.特别是，我们表明，一个不变量，措施的障碍，存在一个虚拟的正常整基的相干上同调，这样的覆盖被消灭的产品，某些伯努利数的订单，甚至K-群Z。我们还表明，这样一个正常的整基的存在性是密切相关的真理的Kummer-Vandiver猜想的素除子的覆盖度。我们的主要工具是一个理论的“超立方结构”的线丛组计划。

二元Laurent多项式代数给定余维数理想的计数

Counting the ideals of given codimension of the algebra of Laurent polynomials in two variables

建立了有限基数域$q$上二元Laurent多项式代数${\mathbb F}_q[x,y,x^{-1}, y^{-1}]$的余维$n$的理想个数$C_n(q)$的显式表达式.此数是$q$中次数为$2n$的回文多项式。此外，$C_n(q) = (q-1)^2 P_n(q)$，其中$P_n(q)$是另一个回文多项式;后者是$q$ -$n$的约数之和的类似物，其恰好是指数$n$的${\mathbb Z}^2$的子群的数目。

四次域计数函数中的次要项 II

Secondary terms in the counting functions of quartic fields II

本文确定了满足局部条件的判别式有界 $S_4$-四次域的平滑计数，表示为两个主项之和并带有幂次节省误差项，并证明了四次环的类似结果及 Shintani zeta 函数的极点性质。

关于阿贝尔三次域的迹一生成元

On trace-one generators of abelian cubic fields

该研究针对驯分歧阿贝尔三次数域，证明了特定首一整系数迹一多项式的数量与对应二次域中特定范数的理想数量相等，为数域生成元相关问题提供了数论结论。

具有正规阿贝尔子群的可解域类群的无限矩

Infinite Moments of Class Groups for Solvable Fields with a Normal Abelian Subgroup

利用类域论和Minkowski界，在Galois群可解且满足适当条件时，估计受限分歧解的数量，从而证明特定域计数问题的上界及类群的无限矩。

Hilbert's Irreducibility Theorem and Ideal Class Groups of Quadratic Fields

We prove a version of Hilbert's Irreducibility Theorem in the quadratic case, giving a quantitative improvement to a result of Bilu-Gillibert in this restricted setting. As an application, we give improvements to several quantitative results counting quadratic fields with certain types of ideal class groups. The proof of the main theorem is based on a result of Stewart and Top on values of binary forms modulo squares.

数域的排序与类群的分布

Ordering of number fields and distribution of class groups

本文研究数域排序与类群分布的关系，提出带参数的数域不变量并分析参数变化下的数域计数问题，揭示了 Abel 域和三次数域计数结果对不同排序的依赖性。

推广Ohno-Nakagawa关系的域扩张的恒等式

Identities for field extensions generalizing the Ohno-Nakagawa relations

在以前的工作中，大野阐明，中川证明，关系之间的计数函数的某些立方领域。这些关系可以被看作是Scholz反射原理的补充，Ohno和Nakagawa将它们推导为“额外的函数方程”的结果，该方程涉及与二元三次型的预齐次向量空间相关的Shintani zeta函数。本文推广了他们的结果，证明了对任意奇素数l，一定度l域分别与伽罗瓦群D_l和F_l有关的一个类似恒等式，特别地，我们给出了Ohno-Nakagawa关系的另一个证明，而不诉诸于二元三次型.

二元n-ic型参数化的环和理想

Rings and ideals parametrized by binary n-ic forms

代数对象与形式的联系在数论中有许多重要的应用。高斯在两个多世纪以前研究了二次环和与二元二次型相关的理想，发现二次环的理想类可以被整数二元二次型的等价类精确参数化。Delone和Faddeev在1940年证明了三次环是由积分二元三次型的等价类参数化的。Birch、Merriman、Nakagawa、Corso、Dvornicich和Simon都研究过与任意n阶的二元形式相关的环，但以前不知道哪些环，以及有什么额外的结构，与二元形式相关。在本文中，我们确切地显示了什么代数结构参数化的二元n-ic形式，对所有的n。与整数二进制n-ic形式相关联的代数数据包括作为$\mathbb{Z}$ -模同构于$\mathbb{Z}^n$的环、该环的理想类以及环上的条件和自然来自几何的理想类。事实上，我们证明了这些参数化时，任何基计划取代的整数，并表明，形式和代数数据之间的对应关系是函的基计划。我们给出了环和理想的参数化形式的尺规作图法，并给出了适当的环和理想的参数化形式的简单构造。

$GF(p^r)$，$p$奇环上三次特征标的高斯和

Gauss sums of cubic characters over $GF(p^r)$, $p$ odd

本文给出了一种不使用Davenport-Hasse定理而导出三次特征的$\mathbb F_{p^r}$，$p$奇数上的高斯和值的初等方法。不同域扩张上的高斯和之间的新联系被显示在高斯和本身的因子分解方面，然后在素理想分解方面被rivisited。有趣的是，这些结果之一给出了表示素数$p$的形式$6k+1$的二元二次型的整数的一个子域的分圆域的$p$次根的单位。

高阶素理想之间的双射

Higher Order Dualities between Prime Ideals

本文提出了一种数环中素理想之间的高阶双射理论，并利用其推导出Chebotarev密度的新公式及相关求和估计。

具有自同构群$C_3$的有界判别式的三阶数及相关问题

On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems

对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。

The Average Size of Ramanujan Sums over Cubic Number Fields

Let K be a cubic number field. In this paper, we study the Ramanujan sums c_{J}(I), where I and J are integral ideals in O_{K}. The asymptotic behaviour of sums of c_{J}(I) over both I and J is investigated.