Simplest Cubic Number Fields
Franz Lemmermeyer, Attila Pethö
在本文中，我们打算表明，某些整数不出现作为规范的主理想在一个家庭的三次域研究的科恩，尚克斯，和恩诺拉。这些结果将简化这类域的某些非分歧二次扩张的构造。
In this paper we intend to show that certain integers do not occur as the norms of principal ideals in a family of cubic fields studied by Cohn, Shanks, and Ennola. These results will simplify the construction of certain unramified quadratic extensions of such fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On correspondence between solutions of a family of cubic Thue equations and isomorphism classes of the simplest cubic fields
令$m\geq -1$为整数。给出了三次Thue方程\[ X^3-mX^2Y-(m+3)XY^2-Y^3=λ\]的参数族整数解与最简单三次域的同构类之间的对应关系，其中$λ>0$是$m^2+3m+9$的因子.通过通信和R. Okazaki的结果，我们确定了Thue方程对于$m^2+3m+9$的正因子$λ$的66个非平凡解。作为结果，我们得到冈崎定理的另一个证明，该定理断言最简单的三次域是不同构的，除了$m=-1,0,1,2,3,5,12,54,66,1259,2389$。
Normal integral bases and Gaussian periods in the simplest cubic fields
本文给出了由Shanks三次多项式的根生成的最简三次域$L_n$的所有正规整基，当这些正规整基存在时，即$L_n/\mathbb Q$是光滑分歧的.进一步，作为结果的应用，我们给出了$L_n/\mathbb Q$是光滑分歧的情形下，$L_n$的Gauss周期与Shanks三次多项式的根之间的显式关系，这是Lehmer，Châtelet和Lazarus在$L_n$的导体等于$n^2+3n+9$的情形下的工作的推广.
Additively indecomposable quadratic forms over biquadratic and simplest cubic fields
本文研究了双二次和最简三次域上加法不可分解二次型的性质，证明了存在经典二元二次型，并给出了其数量的下界。
On a family of unit equations over simplest cubic fields
设$a\in \mathbb{Z}$和$ρ$是$f_a(x)=x^3-ax^2-(a+3)x-1$的根，则数域$K_a=\mathbb{Q}(ρ)$称为最简三次数域.本文考虑单位方程族$u_1+u_2=n$，其中$u_1,u_2\in \mathbb{Z}[ρ]^*$和$n\in \mathbb{Z}$ .在$|n|\leq \max\{1,|a|^{1/3}\}$约束下，完全求解了单位方程.
Counting principal ideals of small norm in the simplest cubic fields
该研究针对最简单三次域族，估计范数不超过x的主理想数量，所得结果对任意x≥1均能给出正确数量级，揭示了小范数主理想数量远超预期的现象。
On the Pythagoras number of the simplest cubic fields
本文研究由特定三次多项式生成的最简三次域，证明当参数 a≥3 时，其整数序环的毕达哥拉斯数恰好为 6。
Simplest quartic and simplest sextic Thue equations over imaginary quadratic fields
最简三次、最简四次和最简六次域的族以及相关的图厄方程是众所周知的。在虚二次域上，最简单的三次图厄方程族已经在相对情形下得到了研究。本文给出了虚二次域上最简四次和最简六次Thue方程的类似推广。我们明确地给出了任意虚二次域上这些无穷参数Thue方程族的解。
Additive structure of non-monogenic simplest cubic fields
本文研究指数为3的非单基因 Shanks 最简三次域，完整刻画其加性不可分解元，并由此给出泛二次型秩的良好上界，证明其整数环的 Pythagoras 数为6。
Cyclic polytope of the simplest cubic fields
本文研究了顶点由最简立方域的生成元定义的循环多面体的膨胀问题。特别是，对于一个特定的值域，我们给出了一个精确的数量所包含的晶格点。
Large Pólya groups in simplest cubic fields and consecutive bi-qaudratic fields
本文将数域的连续性概念推广到循环三次域和双二次域的参数族，证明存在无穷多个具有大Pólya群的连续域，推广了全实双二次域的已有结果。
A family of Thue equations involving powers of units of the simplest cubic fields
E.托马斯是第一个解决一个无限家庭的图埃方程，当他认为形式$F_n(X, Y )= X^3 -(n-1)X^2Y -(n+2)XY^2 -Y^3$和家庭的方程$F_n(X, Y )=\pm 1$，$n\in {\mathbf N}$。这个族与D的最简单三次域族${\mathbf Q}(λ)$相关联。柄，$λ$是$F_n(X,1)$的根。我们在这个家庭中引入第二个参数，通过用根的$a$次幂替换$λ$的极小多项式$F_n(X, 1) $的根，并且我们有效地解决了我们获得的Thue方程族，该方程族现在取决于两个参数$n$和$a$。
Simplest Cubic Fields
设$Q(α)$是最简单的三次域，已知$Q(α)$可以通过邻接不可约方程$x^{3}-kx^{2}+(k-3)x+1=0$的根来生成，其中$k$属于$Q$。本文建立了$α$、$α'$和$k,k'$之间的关系，其中$α$是方程$x^{3}-kx^{2}+(k-3)x+1=0$的根，$α'$是同一方程的根，用$k'$和$Q(α)=Q(α')$代替$k$。
Galois module structure of algebraic integers of the simplest cubic field
本文研究最简三次域整数环在其相伴阶上的 Galois 模结构，利用 Shanks 三次多项式的根显式构造模生成元，并说明驯分歧情形退化为群环上的正规整基。
Some bi-quadratic Pólya fields and large Pólya groups of compositum of simplest cubic and quintic fields
本文提供了三个双二次Pólya域族，并证明了Shank三次域与Lehmer五次域复合域存在无限多个大Pólya群指数为1的域。
Trace and norm of indecomposable integers in cubic orders
本文研究了全实三次域族中的余差和加法不可分解整数的结构。我们证明了在这些领域的三次订单，不可分解的整数乘上的共差的完全正的元素的最小迹可以是任意大的。这是非常令人惊讶的，因为在迄今为止研究的二次和最简单的三次域的例子中，这个最小值是1和2。进一步给出了不可分解整数族的范数的精确上界。
Prescribed Abscissae on Congruent-Number Curves over Simplest Cubic Fields
本文在秩为零的同余数曲线上分类了最简三次域中给定横坐标的点，通过群迹排除和四次方程得到有限参数对，并构造了无穷多个域上的点。
Simplest cubic fields with small class number
本文通过PARI/GP验证了最简三次域的类数与模的关系，发现当模满足特定条件时，存在大量整数使得类数不超过1000，并进一步确定了在特定范围内类数较小的整数数量。
The characterization of cyclic cubic fields with power integral bases
本文给出了任意循环三次域的整数环是单真的一个等价条件。证明了如果一个循环三次域是单演的，则它是一个最简单的三次域$K_t$，它是一个Shanks三次多项式$f_t(x):=x^3-tx^2-(t + 3)x-1$的分裂域，其中有$t \in \mathbb Z$ .此外，我们给出了当$K_t$是单演时的一个等价条件，该条件被明确地表示为$t$。
Arithmetic of cubic number fields: Jacobi-Perron, Pythagoras, and indecomposables
本文建立 Jacobi–Perron 等多维连分数与全实三次数域加法不可分解整数的联系，刻画 Ennola 族不可分解元与 Pythagoras 数，并计算比较 Shanks 族中的周期 JPA 展开。
Simple cubic function fields and class number computations
本文在函数域的背景下研究了单三次域，并将例外单位集的概念推广到三次函数域，即$k$ -例外单位的概念.本文给出了伽罗瓦单三次函数域是Shanks最简三次数域的直接类比的一个简单证明。除了计算的不变量，包括一个公式的调节器，我们计算类数的伽罗瓦简单的三次函数字段在$\mathbb{F}_{5}$和$\mathbb{F}_{7}$使用截断欧拉产品。最后，作为一个额外的应用，我们确定所有的伽罗瓦单三次函数域的类数1，受到一个温和的限制。
HT90 and "simplest" number fields
标准公式（1）导致HT 90的证明，但是需要证明$θ$的存在，使得$α\ne 0$，使得$β=α/σ(α)$。相反，我们强加条件（M），即取$θ=1$得到$α=0$。利用$n=3$，我们恢复了Shanks最简单的三次场。“最简单”的3至6度数域、华盛顿的循环四次域和$\Q(\cos(π/4m))$的某类全实循环扩张都有定义多项式，其零点满足\eqref{e:M}。进一步研究$n=4$的（M），得到了具有“一般”伽罗瓦群$_{8}T_{11}$的二参数八次多项式族的初等代数构造.强加一个额外的代数条件，这些octics产生一个新的家庭循环四次扩张。这个族包括“最简单的”四次域和华盛顿的循环四次域作为特例。当参数为数域中的代数整数时，我们得到了更详细的结果。特别是，我们确定了一些特殊的单位，包括例外序列的3个单位，并给出了他们的一些性质。
A generalization of simplest number fields and their integral basis
$\mathbb{Q}$上3、4、6阶最简单数域的一个整基是众所周知的，并得到了广泛的研究.我们推广到任何程度的最简单的数域，并表明这些字段的整基是周期性重复。
Integral bases and monogenity of composite fields
考虑由二次域与纯三次、纯四次、纯六次域以及所谓的最简三次、最简四次域构成的高次数域的无限参数族。我们明确地描述了复合场的一个整基。我们构造了指数形式，描述了它们的因子，并证明了复合域的单调性意味着所涉及的参数具有一定的整除性条件。这些条件通常不成立，这就意味着域的非单调性。我们考虑的域是更高度数的数域，度数为6到12。数域的非单调性经常被认为是指数型方程解的不存在性的结果。据我们所知，在这些高次域上求解指数形式方程是完全不可行的，特别是不能用参数形式。另一方面，我们的方法直接意味着在几乎所有的情况下的非单一性。我们得到我们的结果在一个参数的形式，表征这些无限参数族的复合领域。
On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems
对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
Class numbers of orders in cubic fields
本文给出了立方数域中各阶类数的一个渐近公式。
Statistics of genus numbers of cubic fields
证明了判别式排序的三次域的近似$96.23\%$具有亏格数1，并计算了具有给定亏格数的三次域的精确比例。我们还计算了平均亏格数。最后，我们证明了亏格数为1的全实三次域的正比例不能是范数欧几里德域。
On abelian cubic fields with large class number
本文研究阿贝尔三次域类数的大值，证明存在任意长的接近域序列使其类数尽可能大，并初步给出类数极值的显式下界。
The Euclidean Algorithm in Cubic Number Fields
在本文中，我们提出了计算立方数域的欧氏极小值的算法;特别地，我们能够找到所有判别式为-999 < d < 10000的范数欧氏立方数域。
On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields (III)
本文是讨论立方数域上椭圆曲线的循环扭子群的系列论文的第三部分。对于$N=39$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
On the Divisibility of Class Numbers of Cubic Number Fields with Discriminants in a Prescribed Rational Quadratic Class
设n是奇数，F是具有奇判别式的虚二次域.证明了存在无穷多个三次域K，使得K的类数可被n整除，且K的Galois闭包包含F.
Cubic forms over imaginary quadratic number fields and pairs of rational cubic forms
该研究拓展Heath-Brown的有理三次型成果，证明14变量以上虚二次数域三次型非平凡表示零，推导得s≥627时有理三次型对有非平凡解，还证明33变量以上有理三次超曲面含有理直线、对应三次型有殆素数解。
Cubic alternating harmonic number sums
A. Sofo证明了二次交错调和数与倒数二项式系数乘积和的一些结果。本文将他的结果推广到三次交错调和数和，并给出了三次交错调和数和与倒数二项式系数和的新的封闭形式表示.还考虑了一些新的或已知的特殊情况以及主要结果的直接后果。
Class number one criterion for some non-normal totally real cubic fields
设${\{K_m\}_{m\geq 4}}$是由不可约三次多项式$f_m(x)=x^3-mx^2-(m+1)x-1$定义的非正规全实三次数域族，其中$m$是具有$m\geq 4$的整数。本文给出了$K_m$的一个类数判定准则。
There are consecutive cubic fields with large class numbers, when ordered by discriminant
研究显示，按判别式排序的三次域中可存在任意长的序列，其中所有域的类数均超过给定界限。
Binomial Squares in Pure Cubic Number Fields
设K = Q（ω），ω^3 = m是一个纯立方数域.证明了平方为a - ω的元素α \in K^ \times构成一个同构于椭圆曲线E_m：y^2= x^3 - m上的有理点群的群.我们还展示了如何将这些结果应用于纯立方数域的非分歧二次扩张的构造。
The number of cubic partitions modulo powers of 5
三次分划的概念是由Hei-Chi Chan引入的，并由Byungchan Kim与Ramanujan的三次连分数有关而命名。Chan证明了三次分拆函数具有模$3$幂的Ramanujan型同余.在最近的一篇论文中，William Y.C. Chen和Bernard L.S. Lin研究了三次分拆函数模$5$的同余性质。本文给出了$5$的模幂三次分拆函数的Ramanujan型同余.
Arithmetics in number systems with cubic base
本文主要讨论贪婪展开式，一种可能的数字表示，以及用它们进行算术运算。执行加法或乘法时，可能会出现一些额外的数字。我们研究了这些数字的数量上的界限，假设所考虑的总和或产品的扩展的有限性，特别是对于立方皮索单位的情况下。
The mean number of 2-torsion elements in the class groups of $n$-monogenized cubic fields
我们证明，平均而言，三次场的单原性或$n$ -单原性对其类群中2-挠的行为具有改变的影响。
On a family of cubic Thue Equations involving Fibonacci and Lucas numbers
令$F_n$表示第$n$个Fibonacci数，$L_n$表示第$n$个Lucas数。我们完全解决了家庭的三次Thue方程$${(X-F_nY)(X-L_nY)X-Y^3=\pm1}$$，并表明，有没有非平凡的解决方案，$n\neq 1,3$。
Secondary terms in the distribution of genus numbers of cubic fields
本文研究了三次域的亏元数分布，证明了其渐进行式中存在阶为X^{5/6}的二次项，并改进了相关误差估计。
On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
令$E$是在数字字段$K$上定义的椭圆。则其Mordell-Weil群$E(K)$被逆生成：$E(K)\cong E(K)_{tor}\times\mathbb{Z}^r$。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=169,143,91,65,77$或$55$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
On the small cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
Merel关于强一致有界性猜想的结果使得对定义在固定次数数域$d$上的所有椭圆曲线的Mordell-Weil群的扭部分进行分类变得有意义。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=49,40,25$或$22$，证明了对于立方数域$K$上的任意椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群.
The asymptotic number of integral cubic polynomials with bounded heights and discriminants
本文部分地解决了三次整多项式判别式的分布问题。证明了具有有界高度和有界判别式的整三次多项式个数的渐近公式。所得到的公式的主项是最好的可能的多项式判别值的考虑范围。
The Hasse principle for systems of quadratic and cubic diagonal equations
利用Brüdern和Wooley的新的复化方法，当三次方程的个数至少是二次型个数的两倍时，我们建立了r_3三次和r_2二次对角型方程组解的个数的渐近Hasse原理.所需的变量的数量是低于在早期的工作。特别是，我们实现了一个二次和任意多个三次方程的系统基本上平方根取消。
On relations among Dirichlet series whose coefficients are class numbers of binary cubic forms
研究了整二元三次型的类数。对于每个$SL_2(Z)$不变格$L$，Shintani引入了以$L$中二元三次型的类数为系数的狄利克雷级数.我们对不变格进行了分类，并研究了与这些格相关的狄利克雷级数之间的显式关系。我们还研究了狄利克雷级数的解析性质，并利用显式关系将函数方程改写为自对偶形式。
One Level Density for Cubic Galois Number Fields
Katz和Sarnak预测，一个$L$ -函数族的零点的一级密度将落入五个类别之一。本文证明了三次Galois数域上的$L$ -函数的一级密度属于与酉矩阵有关的范畴。
Cubic hypersurfaces and a version of the circle method for number fields
对数域K/Q发展了Hardy-Littlewood圆方法的一个版本，并证明了当K上的非奇异射影三次超曲面的维数至少为8时，它们总有一个K-有理点.
On the saturation number for singular cubic surfaces
本文利用万有挠子、圆法和素数线性方程的结果，研究了奇异三次曲面上坐标具有较少素因子的有理点分布问题。
Minimal Mahler Measure in Cubic Number Fields
数域$K$的极小积分Mahler测度，$M(\mathcal{O}_K)$，是$\mathcal{O}_K$的非挠本原元的极小Mahler测度。取决于判别式的上界和下界是已知的。我们表明，对于三次，下界是尖锐的，其增长作为一个函数的判别。我们构造了一个算法来计算$M(\mathcal{O}_K)$的判别式的绝对值由$N$界定的所有三次。
Bias of Root Numbers for Hilbert Newforms of Cubic Level
给出了三次Hilbert模新形式根数偏差的一般公式。给出了基域为$\mathbb{Q}, \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$，层为某些有理整数立方时的显式计算。这补充了第二作者以前的结果，并将偏差现象扩展到数域。我们的方法是基于Jacquet-Zagier的迹公式，显式计算一般适用于所有窄类数为1的实二次域和有理三次水平。
Relations among Dirichlet series whose coefficients are class numbers of binary cubic forms II
作为作者和Wakatsuki的前一篇文章[5]的继续，我们研究了系数为二元三次型类数的狄利克雷级数之间的关系.证明了对于二元三次型空间的任意积分模型，其相应的狄利克雷级数与其对偶的狄利克雷级数满足一个简单的显式关系，而不是通常的函数方程.作为应用，我们将这些狄利克雷级数的函数方程写成自对偶形式.
A cubic ring of integers with the smallest Pythagoras number
证明了分圆域$\mathbb{Q}(ζ_7)$的全实三次子域$K^{(49)}$中的整数环的毕达哥拉斯数等于$4$.这是奇数次全实数域的最小可能值。此外，我们确定哪些数字是在这个领域的整数平方和，并使用这些知识来构建一个对角通用的二次型在五个变量。
Calculating all elements of minimal index in the infinite parametric family of simplest quartic fields
判定一个数域是否是单齐的，即它是否允许幂整基，是代数数论中的一个经典问题。在无限参数数域中考虑这个问题特别有趣。本文考虑由多项式$P_t(x)=x^4-tx^3-6x^2+tx+1$的根$ξ$生成的最简四次域$K$的无限参变量族，假定$t>0$，$t\neq 3$和$t^2+16$没有奇平方因子.除了幂整基的生成元外，我们还计算了这个族中所有域的最小指数和最小指数的所有元素。
An explicit family of cubic number fields with large $2$-rank of the class group
我们展示了如何构建显式确定的三次数域的无限家庭，其类群有一个子群同构于$(\mathbb{Z}/2)^8$使用度$1$德尔Pezzo表面。我们说明了这种方法，并提供了这样一个家庭的一个例子。
The equidistribution of lattice shapes of rings of integers in cubic, quartic, and quintic number fields
对于$n=3$、4和5，我们证明了当$n$度的$S_n$ -数域按它们的绝对判别式排序时，这些域中整数环的格形在格空间中成为等分布的.
A note on Euclidean cyclic cubic fields
设$K$是循环三次域，$\mathcal{O}_K$是它的整数环.本文证明了导体在区间$ [73, 11971]$内且类数为1的循环立方数域都是欧氏的.
Cubic Irrationals and Periodicity via a Family of Multi-dimensional Continued Fraction Algorithms
我们构造了一个可数的多维连分数算法族，它由五个特定的多维连分数组成，并找到了一个广泛的三次无理数实数a，使得（a，a^2）或（a，a-a^2）关于族中的元素是纯周期的。这些三次无理数似乎是很自然的，因为我们证明，对于每一个立方数域，存在一个对（u，u '），其中u是立方数域中的单位（或者可能是立方数域通过判别式的平方根的二次扩展），使得（u，u '）在由初始五个映射生成的族中的一个映射下具有周期性多维连分数扩展。因此，这些结果是建立在对立方数域中的某些单位和我们的多维连分数族的仔细技术分析上的。然后，我们重铸的链接的三次无理数与周期性的链接的三次无理数与建设的矩阵与非负整数的条目，其中至少有一行最终是周期性的。
A space of weight one modular forms attached to totally real cubic number fields
设$d$是正的基本判别式，$\mathcal{C}_{d}$是判别式$d$的立方数域的同构类的集合.对于每个$K \in \mathcal{C}_{d}$，我们构造了一个权重为1的模块形式$f_{K}$与水平$3^{\pm 1}d$和nephropus $\left( \frac{-3^{\pm 1}d}{\cdot} \right)$。我们表明，形式$f_{K}$完全确定字段$K$。证明了$\{f_{K} : K \in \mathcal{C}_{d}\}$是一个线性无关集.
Class number and regulator computation in cubic function fields
给出了大基域上三次函数域的除子类数和调节子的计算结果。基本的方法是基于近似的欧拉积表示的zeta函数的这样一个字段。我们给出的签名$(3,1)$和$(1, 1; 1, 2)$，操作在理想类群和基础设施的功能领域，分别为纯立方函数字段的实现细节。我们的实现提供了数值证据，该算法的计算效率。除了特殊情况（例如由超椭圆曲线定义的纯三次函数域）之外，提供的示例是针对大素域上的三次函数域计算的最大约数类数和调节器。类数算法优化的基本思想可以反过来用于分析函数域的zeta函数的零点分布。我们提供了各种数据的除数类数的一定的分布，验证Katz和Sarnak的zeta函数的零点的分布上的统计学。
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