三次域的阶的类数
Class numbers of orders in cubic fields
摘要：
本文给出了立方数域中各阶类数的一个渐近公式。
英文摘要：
We give an asymptotic formula for class numbers of orders in cubic number fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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三次域亏格数的统计
Statistics of genus numbers of cubic fields
证明了判别式排序的三次域的近似$96.23\%$具有亏格数1，并计算了具有给定亏格数的三次域的精确比例。我们还计算了平均亏格数。最后，我们证明了亏格数为1的全实三次域的正比例不能是范数欧几里德域。
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关于具有大类数的阿贝尔三次域
On abelian cubic fields with large class number
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立方数域上的Euclidean Algorithm
The Euclidean Algorithm in Cubic Number Fields
在本文中，我们提出了计算立方数域的欧氏极小值的算法;特别地，我们能够找到所有判别式为-999 < d < 10000的范数欧氏立方数域。
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关于三次数域上椭圆曲线的循环扭（III）
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本文是讨论立方数域上椭圆曲线的循环扭子群的系列论文的第三部分。对于$N=39$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
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判别式在有理二次类中的立方数域的类数的整除性
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设n是奇数，F是具有奇判别式的虚二次域.证明了存在无穷多个三次域K，使得K的类数可被n整除，且K的Galois闭包包含F.
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虚二次数域上的三次型与有理三次型对
Cubic forms over imaginary quadratic number fields and pairs of rational cubic forms
该研究拓展Heath-Brown的有理三次型成果，证明14变量以上虚二次数域三次型非平凡表示零，推导得s≥627时有理三次型对有非平凡解，还证明33变量以上有理三次超曲面含有理直线、对应三次型有殆素数解。
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三次交错调和数和
Cubic alternating harmonic number sums
A. Sofo证明了二次交错调和数与倒数二项式系数乘积和的一些结果。本文将他的结果推广到三次交错调和数和，并给出了三次交错调和数和与倒数二项式系数和的新的封闭形式表示.还考虑了一些新的或已知的特殊情况以及主要结果的直接后果。
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一类非正规全实三次域的类数一判据
Class number one criterion for some non-normal totally real cubic fields
设${\{K_m\}_{m\geq 4}}$是由不可约三次多项式$f_m(x)=x^3-mx^2-(m+1)x-1$定义的非正规全实三次数域族，其中$m$是具有$m\geq 4$的整数。本文给出了$K_m$的一个类数判定准则。
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存在按判别式排序的连续三次域具有大类数
There are consecutive cubic fields with large class numbers, when ordered by discriminant
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics, Department of Algebra（查理大学数学物理学院代数系）
研究显示，按判别式排序的三次域中可存在任意长的序列，其中所有域的类数均超过给定界限。
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纯立方数域上的二项式平方
Binomial Squares in Pure Cubic Number Fields
设K = Q（ω），ω^3 = m是一个纯立方数域.证明了平方为a - ω的元素α \in K^ \times构成一个同构于椭圆曲线E_m：y^2= x^3 - m上的有理点群的群.我们还展示了如何将这些结果应用于纯立方数域的非分歧二次扩张的构造。
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模为5的幂的三次分拆的个数
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三次分划的概念是由Hei-Chi Chan引入的，并由Byungchan Kim与Ramanujan的三次连分数有关而命名。Chan证明了三次分拆函数具有模$3$幂的Ramanujan型同余.在最近的一篇论文中，William Y.C. Chen和Bernard L.S. Lin研究了三次分拆函数模$5$的同余性质。本文给出了$5$的模幂三次分拆函数的Ramanujan型同余.
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具有立方基的数制中的算术
Arithmetics in number systems with cubic base
本文主要讨论贪婪展开式，一种可能的数字表示，以及用它们进行算术运算。执行加法或乘法时，可能会出现一些额外的数字。我们研究了这些数字的数量上的界限，假设所考虑的总和或产品的扩展的有限性，特别是对于立方皮索单位的情况下。
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单三次函数域与类数计算
Simple cubic function fields and class number computations
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$n$ -单齐化三次域类群中2-扭元的平均数
The mean number of 2-torsion elements in the class groups of $n$-monogenized cubic fields
我们证明，平均而言，三次场的单原性或$n$ -单原性对其类群中2-挠的行为具有改变的影响。
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关于一类包含Fibonacci和Lucas数的三次Thue方程
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令$F_n$表示第$n$个Fibonacci数，$L_n$表示第$n$个Lucas数。我们完全解决了家庭的三次Thue方程$${(X-F_nY)(X-L_nY)X-Y^3=\pm1}$$，并表明，有没有非平凡的解决方案，$n\neq 1,3$。
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三次域的亏元数分布中的二次项
Secondary terms in the distribution of genus numbers of cubic fields
本文研究了三次域的亏元数分布，证明了其渐进行式中存在阶为X^{5/6}的二次项，并改进了相关误差估计。
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关于立方数域上椭圆曲线的循环挠
On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
令$E$是在数字字段$K$上定义的椭圆。则其Mordell-Weil群$E(K)$被逆生成：$E(K)\cong E(K)_{tor}\times\mathbb{Z}^r$。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=169,143,91,65,77$或$55$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
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关于立方数域上椭圆曲线的小循环挠率
On the small cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
Merel关于强一致有界性猜想的结果使得对定义在固定次数数域$d$上的所有椭圆曲线的Mordell-Weil群的扭部分进行分类变得有意义。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=49,40,25$或$22$，证明了对于立方数域$K$上的任意椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群.
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高有界的整三次多项式的渐近数及判别式
The asymptotic number of integral cubic polynomials with bounded heights and discriminants
本文部分地解决了三次整多项式判别式的分布问题。证明了具有有界高度和有界判别式的整三次多项式个数的渐近公式。所得到的公式的主项是最好的可能的多项式判别值的考虑范围。
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二次和三次对角方程组的Hasse原理
The Hasse principle for systems of quadratic and cubic diagonal equations
利用Brüdern和Wooley的新的复化方法，当三次方程的个数至少是二次型个数的两倍时，我们建立了r_3三次和r_2二次对角型方程组解的个数的渐近Hasse原理.所需的变量的数量是低于在早期的工作。特别是，我们实现了一个二次和任意多个三次方程的系统基本上平方根取消。
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系数为二元三次型类数的狄利克雷级数之间的关系
On relations among Dirichlet series whose coefficients are class numbers of binary cubic forms
研究了整二元三次型的类数。对于每个$SL_2(Z)$不变格$L$，Shintani引入了以$L$中二元三次型的类数为系数的狄利克雷级数.我们对不变格进行了分类，并研究了与这些格相关的狄利克雷级数之间的显式关系。我们还研究了狄利克雷级数的解析性质，并利用显式关系将函数方程改写为自对偶形式。
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最简单的立方数域
Simplest Cubic Number Fields
在本文中，我们打算表明，某些整数不出现作为规范的主理想在一个家庭的三次域研究的科恩，尚克斯，和恩诺拉。这些结果将简化这类域的某些非分歧二次扩张的构造。
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三次Galois数域的一阶密度
One Level Density for Cubic Galois Number Fields
Katz和Sarnak预测，一个$L$ -函数族的零点的一级密度将落入五个类别之一。本文证明了三次Galois数域上的$L$ -函数的一级密度属于与酉矩阵有关的范畴。
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数域的三次超曲面和圆方法
Cubic hypersurfaces and a version of the circle method for number fields
对数域K/Q发展了Hardy-Littlewood圆方法的一个版本，并证明了当K上的非奇异射影三次超曲面的维数至少为8时，它们总有一个K-有理点.
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关于奇异三次曲面的饱和数
On the saturation number for singular cubic surfaces
本文利用万有挠子、圆法和素数线性方程的结果，研究了奇异三次曲面上坐标具有较少素因子的有理点分布问题。
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立方数域上的极小Mahler测度
Minimal Mahler Measure in Cubic Number Fields
数域$K$的极小积分Mahler测度，$M(\mathcal{O}_K)$，是$\mathcal{O}_K$的非挠本原元的极小Mahler测度。取决于判别式的上界和下界是已知的。我们表明，对于三次，下界是尖锐的，其增长作为一个函数的判别。我们构造了一个算法来计算$M(\mathcal{O}_K)$的判别式的绝对值由$N$界定的所有三次。
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三次Hilbert新形式根数的偏差
Bias of Root Numbers for Hilbert Newforms of Cubic Level
给出了三次Hilbert模新形式根数偏差的一般公式。给出了基域为$\mathbb{Q}, \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$，层为某些有理整数立方时的显式计算。这补充了第二作者以前的结果，并将偏差现象扩展到数域。我们的方法是基于Jacquet-Zagier的迹公式，显式计算一般适用于所有窄类数为1的实二次域和有理三次水平。
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系数为二元三次型类数的狄利克雷级数之间的关系II
Relations among Dirichlet series whose coefficients are class numbers of binary cubic forms II
作为作者和Wakatsuki的前一篇文章[5]的继续，我们研究了系数为二元三次型类数的狄利克雷级数之间的关系.证明了对于二元三次型空间的任意积分模型，其相应的狄利克雷级数与其对偶的狄利克雷级数满足一个简单的显式关系，而不是通常的函数方程.作为应用，我们将这些狄利克雷级数的函数方程写成自对偶形式.
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三次数域的算术：Jacobi-Perron、Pythagoras 与不可分解元
Arithmetic of cubic number fields: Jacobi-Perron, Pythagoras, and indecomposables
本文建立 Jacobi–Perron 等多维连分数与全实三次数域加法不可分解整数的联系，刻画 Ennola 族不可分解元与 Pythagoras 数，并计算比较 Shanks 族中的周期 JPA 展开。
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具有最小毕达哥拉斯数的三次整数环
A cubic ring of integers with the smallest Pythagoras number
证明了分圆域$\mathbb{Q}(ζ_7)$的全实三次子域$K^{(49)}$中的整数环的毕达哥拉斯数等于$4$.这是奇数次全实数域的最小可能值。此外，我们确定哪些数字是在这个领域的整数平方和，并使用这些知识来构建一个对角通用的二次型在五个变量。
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类群具有大$2$秩的一类显式立方数域
An explicit family of cubic number fields with large $2$-rank of the class group
我们展示了如何构建显式确定的三次数域的无限家庭，其类群有一个子群同构于$(\mathbb{Z}/2)^8$使用度$1$德尔Pezzo表面。我们说明了这种方法，并提供了这样一个家庭的一个例子。
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三次、四次和五次数域中整数环格形的等分布
The equidistribution of lattice shapes of rings of integers in cubic, quartic, and quintic number fields
对于$n=3$、4和5，我们证明了当$n$度的$S_n$ -数域按它们的绝对判别式排序时，这些域中整数环的格形在格空间中成为等分布的.
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关于欧氏循环三次域的一个注记
A note on Euclidean cyclic cubic fields
设$K$是循环三次域，$\mathcal{O}_K$是它的整数环.本文证明了导体在区间$ [73, 11971]$内且类数为1的循环立方数域都是欧氏的.
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多维连分数算法族中的三次无理数和周期性
Cubic Irrationals and Periodicity via a Family of Multi-dimensional Continued Fraction Algorithms
我们构造了一个可数的多维连分数算法族，它由五个特定的多维连分数组成，并找到了一个广泛的三次无理数实数a，使得（a，a^2）或（a，a-a^2）关于族中的元素是纯周期的。这些三次无理数似乎是很自然的，因为我们证明，对于每一个立方数域，存在一个对（u，u '），其中u是立方数域中的单位（或者可能是立方数域通过判别式的平方根的二次扩展），使得（u，u '）在由初始五个映射生成的族中的一个映射下具有周期性多维连分数扩展。因此，这些结果是建立在对立方数域中的某些单位和我们的多维连分数族的仔细技术分析上的。然后，我们重铸的链接的三次无理数与周期性的链接的三次无理数与建设的矩阵与非负整数的条目，其中至少有一行最终是周期性的。
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附于全实立方数域的权为1的模形式空间
A space of weight one modular forms attached to totally real cubic number fields
设$d$是正的基本判别式，$\mathcal{C}_{d}$是判别式$d$的立方数域的同构类的集合.对于每个$K \in \mathcal{C}_{d}$，我们构造了一个权重为1的模块形式$f_{K}$与水平$3^{\pm 1}d$和nephropus $\left( \frac{-3^{\pm 1}d}{\cdot} \right)$。我们表明，形式$f_{K}$完全确定字段$K$。证明了$\{f_{K} : K \in \mathcal{C}_{d}\}$是一个线性无关集.
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三次函数域上的类数与调节器计算
Class number and regulator computation in cubic function fields
给出了大基域上三次函数域的除子类数和调节子的计算结果。基本的方法是基于近似的欧拉积表示的zeta函数的这样一个字段。我们给出的签名$(3,1)$和$(1, 1; 1, 2)$，操作在理想类群和基础设施的功能领域，分别为纯立方函数字段的实现细节。我们的实现提供了数值证据，该算法的计算效率。除了特殊情况（例如由超椭圆曲线定义的纯三次函数域）之外，提供的示例是针对大素域上的三次函数域计算的最大约数类数和调节器。类数算法优化的基本思想可以反过来用于分析函数域的zeta函数的零点分布。我们提供了各种数据的除数类数的一定的分布，验证Katz和Sarnak的zeta函数的零点的分布上的统计学。
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关于最简三次域的毕达哥拉斯数
On the Pythagoras number of the simplest cubic fields
本文研究由特定三次多项式生成的最简三次域，证明当参数 a≥3 时，其整数序环的毕达哥拉斯数恰好为 6。
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关于某些三次数域的Ennola猜想的一个弱形式
On a weak form of Ennola's conjecture about certain cubic number fields
本文通过证明Louboutin关于有理数上Laurent多项式的两个假设，建立了Ennola猜想的一个弱形式，适用于某些三次数域。
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具有自同构群$C_3$的有界判别式的三阶数及相关问题
On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems
对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。
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关于含斐波那契数和2的幂的三次Thue方程族
On a cubic Family of Thue Equations involving Fibonacci Numbers and Powers of Two
在本文中，我们完全解决了家庭的参数化图厄方程\[ X(X-F_n Y)(X-2^n Y)-Y^3=\pm 1, \]，其中$F_n$是$n$ -th Fibonacci数。特别地，对于任何整数$n\geq 3$，图厄方程只有平凡解$(\pm 1,0), (0,\mp 1), \mp(F_n,1), \mp(2^n,1)$。
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循环三次数域的群论
Group theory of cyclic cubic number fields
本文通过四类三次剩余图研究共享同一导子的循环三次数域四元组和八元组，揭示了其3-类群结构及阶为6561的闭Andozhskii-Tsvetkov群，并利用阿贝尔型不变量进行识别。
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三次模新形式根数的偏差
Bias of Root Numbers for Modular Newforms of Cubic Level
令$H^{\pm}_{2k} (N^3)$表示三次水平$N^3$、权重$2 k$和根数$\pm 1$的模新形式的集合。对于$N > 1$无平方和$k>1$，我们使用一种解析方法来建立一个简洁而明确的公式，该公式表示差值$|H^{+}_{2k} (N^3)| - |H^{-}_{2k} (N^3)|$是$φ(N)$和$\mathbb{Q}(\sqrt{- N})$的类数乘积的倍数。特别地，公式表现出对根号$+1$的严格偏差。我们的主要工具是一个根数加权简单的彼得森公式，这样的新形式。
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关于三次和四次数字段的p-理性性
On $ p-$Rationality of Cubic and Quartic Number Fields
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本文提出新的判据，通过三次递推序列的p-可除性判断某些复三次数字段的p-理性性，并探讨广义abc猜想与p-理性性的关系，获得满足Greenberg广义猜想的显式数域。
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具有导体序单演三次预解式的四次$D_4$ -域的个数
The number of quartic $D_4$-fields with monogenic cubic resolvent ordered by conductor
本文通过Birch和Merriman的构造，研究了由整数二元四次形式产生的极大和不可约四次阶，其分式域是四次$D_4$ -域.利用M. Wood，这样的四次阶可以看作是四次$D_4$ -域，其整数环有一个单演的三次预解式。我们将给出这种对象按导体排序时的渐近数，以及估计这种对象按判别式排序时的渐近数。
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关于3阶域的类群、窄类群和理想群中2-扭元的平均个数
On the mean number of 2-torsion elements in the class groups, narrow class groups, and ideal groups of cubic orders and fields
给定任意一族由局部条件定义的三次域，当按其绝对判别式排序时，我们确定了该类域的类群和窄类群中2-扭元的平均个数.对于三次域中的一个阶$\cal O$，我们研究了三个群：$\rm Cl_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的理想类群; $\rm Cl^+_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的窄理想类群;以及${\cal I}_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的理想群。我们证明了差异的平均值$|\rm Cl_2({\cal O})|-\frac14|{\cal I}_2(\cal O)|$总是等于$1$，无论是平均超过最大的订单在真正的三次领域，在所有订单在真正的三次领域，或确实超过任何家庭的真正的三次订单定义的当地条件。对于窄类群，我们证明了对于任何这样的族，差的平均值$|\rm Cl^+_2({\cal O})|-|{\cal I}_2(\cal O)|$等于$1$。对于由局部条件定义的任何复三阶数族，我们同样证明了差的平均值$|\rm Cl_2(\mathcal O)|-\frac12|{\cal I}_2(\cal O)|$总是等于$1$，与族无关。这些平均数的确定使我们能够证明一些进一步的结果作为副产品。与二次域的情形形成鲜明对比的是，我们证明了：1）正比例的三次域具有奇数类数; 2）正比例的实三次域在类群和窄类群中具有同构的2-挠率; 3）正比例的实…
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三次域上等差数列中的平方
Squares in arithmetic progression over cubic fields
欧拉证明了在等差数列中不能有超过三个整数平方。在二次数域中，Xarles证明了可以有五个平方的等差数列，但不能有六个平方的等差数列。本文证明了在等差数列中不存在含有五个平方的立方数域。
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不可约三次型的宇称问题
The parity problem for irreducible cubic forms
设f \in \mathbb{Z} [x，y]是一个不可约的3次齐次多项式.我们证明了f（x，y）有偶数个素因子的次数与有奇数个素因子的次数一样多。
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不可约二元三次代数与数域上的广义超椭圆方程
Irreducible binary cubics and the generalized superelliptic equation over number fields
对于一类不可约二元三次型$F(x,y) \in \mathbb Z[x,y]$，Bennett和Dahmen证明了广义超椭圆方程$F(x,y)=z^l$在$x,y \in \mathbb Z$互质、$z \in \mathbb Z$和指数$l \in \mathbb Z_{\geq 4} $中至多有1/2个解.他们的证明使用了某些mod $l$伽罗瓦表示的模块性和Ribet的水平降低定理。本文的目的是处理同样的问题，二元三次系数在$\mathcal O_K$，一个任意数域$K$的整数环，使用到现在为止，有据可查的模块性结构。
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存在无限多个类数群恰好为2-秩1的三次域
The existence of infinitely many cubic fields with class group of exact 2-rank 1
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Toronto（多伦多大学）；Tsinghua University（清华大学）；Harvard University（哈佛大学）
本文证明了存在无限多个三次域，其类群的2-秩恰好为1。
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关于三次环类数的一个显著恒等式
A remarkable identity in class numbers of cubic rings
1997年，Y. Ohno凭经验偶然发现了一个惊人的简单恒等式，它将给定判别式$D$的三次环数$h(D)$在整数上与判别式$-27D$的三次环数$h'(D)$联系起来，其中每个元素的迹都能被3整除：如果$D < 0$，则为$h'(D) = h(D)$;如果$D > 0$，则为$h'(D) = 3h(D)$，在每种情况下，环都由它们的自同构数的倒数加权。这使得控制Shintani zeta函数解析延拓的函数方程（由$h$和$h'$的值构建的狄利克雷级数）可以以自反射形式存在。1998年，J. Nakagawa验证了Ohno的猜想。我们提出了一个新的证明的身份，使用的主要成分中川的证明（二进制三次形式，递归和类场理论），以及Bhargava的著名的高等组成法律之一，同时旨在保持真实的身份的鲜明优雅。
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全实三次数域上泛二次型的提升问题
Lifting problem for universal quadratic forms over totally real cubic number fields
本文研究泛二次型的提升问题，证明全实三次域中仅$\boldsymbol{\rm Q}(\u03b6_7+\u03b6_7^{-1})$满足条件，且不存在满足条件的双二次域，推进了代数数域上泛二次型的分类研究。
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$P^{3}_{1}$ -集与正三角数的意外相遇
An unexpected meeting between the $P^{3}_{1}$-set and the cubic-triangular numbers
一个$m$正整数集$\{x_{1},\ldots,x_{m}\}$称为大小为$m$的$P^{3}_{1}$ -集，如果集合中任意三个元素的乘积加1是立方整数。如果存在一个整数$y\not\in S$使得$S\cup\{y\}$仍然是一个$P^{3}_{1}$ -集，则称$P^{3}_{1}$ -集$S$是可扩展的.现在，让我们考虑丢番图方程$u(u+1)/2=v^{3}$，它的整数解产生我们所说的三角形数。本文的目的是同时证明$P^{3}_{1}$ -集$\{1,2,13\}$是不可扩张的，$n=1$是唯一的正三角数，通过证明这两个问题在我们用$p$-adic分析求解的丢番图方程$2x^{3}-y^{3}=1$上相遇.
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单位秩二的P3函数域的类数与调节器计算
Class Number and Regulator Computation in Purely Cubic Function Fields of Unit Rank Two
我们描述并给出了计算单位秩为2的大多数纯三次函数域的除数类数和调节器的过程的计算结果。我们的实现是一个改进波拉德的袋鼠方法的基础设施，使用分布结果的类数以及信息的同余类的除数类数，和适应，有效地导航这些环面形的基础设施。此外，这是第一次将高效的“平方根”算法应用于单位秩2的全局域的基础设施。除了某些函数定义的皮卡德曲线，我们的例子是已知的最大的除数类数和监管机构以往任何时候都计算的亏格3的函数字段。
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利用椭圆曲线确定纯三次数域的单源性
Determining monogenity of pure cubic number fields using elliptic curves
该研究利用椭圆曲线的 3-同源 Selmer 群刻画纯三次数域单源性，提出排除判据并给出单源域数量界，且在 GRH 下判定多个具体域。
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三次函数及某些类似分拆函数的奇数差的同余
Congruences for the difference of even and odd number of parts of the cubic and some analogous partition functions
其中偶数部分以两种不同颜色出现的分区称为立方分区。最近，梅尔卡介绍和研究的功能$A(n)$，这是定义为之间的差异的数量立方分区的$n$到一个偶数的部分和数量立方分区的$n$到一个奇数的部分。特别是，使用斯穆特的\textsf{RaduRK} Mathematica软件包，梅尔卡证明了以下同余找到确切的生成函数的各自职能。对于所有的$n\ge0$，\begin{align*}A(9n+5)\equiv 0\pmod 3,\\ A(27n+26)\equiv 0\pmod 3. \end{align*}，da Silva和Sellers利用生成函数的操作和剖分，证明了这些同余和由这些同余产生的模3的两个无穷族同余.本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，给出了生成函数的简化公式，由此可以很自然地证明Merca的同余式以及da Silva和Sellers的同余式.我们还研究了类似的分拆函数，其中多个$k$出现在两种不同的颜色，其中$k\in\{3,5,7,23\}$。
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可约三次型的宇称问题
The parity problem for reducible cubic forms
设Z[x，y]中的f是3次可约齐次多项式.我们证明了f（x，y）有偶数个素因子的次数与有奇数个素因子的次数一样多。
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关于阿贝尔三次域的迹一生成元
On trace-one generators of abelian cubic fields
该研究针对驯分歧阿贝尔三次数域，证明了特定首一整系数迹一多项式的数量与对应二次域中特定范数的理想数量相等，为数域生成元相关问题提供了数论结论。
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一类三次Thue方程的解与最简三次域的同构类的对应
On correspondence between solutions of a family of cubic Thue equations and isomorphism classes of the simplest cubic fields
令$m\geq -1$为整数。给出了三次Thue方程\[ X^3-mX^2Y-(m+3)XY^2-Y^3=λ\]的参数族整数解与最简单三次域的同构类之间的对应关系，其中$λ>0$是$m^2+3m+9$的因子.通过通信和R. Okazaki的结果，我们确定了Thue方程对于$m^2+3m+9$的正因子$λ$的66个非平凡解。作为结果，我们得到冈崎定理的另一个证明，该定理断言最简单的三次域是不同构的，除了$m=-1,0,1,2,3,5,12,54,66,1259,2389$。
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计算相对三次域的一个算法
An algorithm to compute relative cubic fields
设k是虚二次数域（类数为1）。我们描述了一个新的，基本上是线性时间算法，列出所有同构类的三次扩展L/k到一个限制X上的规范的相对判别理想。主要工具是谷口的推广达文波特-海尔布隆参数化的三次扩张，约化理论的二元三次型超过虚二次域。最后，我们给出了k=Q（i）的数值结果，并将我们的结果与基于Roberts猜想的推广的束类域算法的结果和渐近渐近估计进行了比较。
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用三次代数整数II逼近实数
Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II
对于任意整数n \ge 2，任意实数ε>0和任意超越实数ε n，存在无穷多个次数至多为n的代数整数α，其性质为|β-α| < H（α）^{-n+ε}，其中H（α）表示α的高度。虽然这是真的n=2，我们在这里表明，对于n=3，最佳的近似指数不是3，但（3+ \sqrt{5}）/2 = 2.618.
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