The Euclidean Algorithm in Cubic Number Fields
Stefania Cavallar, Franz Lemmermeyer
在本文中，我们提出了计算立方数域的欧氏极小值的算法;特别地，我们能够找到所有判别式为-999 < d < 10000的范数欧氏立方数域。
In this note we present algorithms for computing Euclidean minima of cubic number fields; in particular, we were able to find all norm-Euclidean cubic number fields with discriminants -999 < d < 10000.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on Euclidean cyclic cubic fields
设$K$是循环三次域，$\mathcal{O}_K$是它的整数环.本文证明了导体在区间$ [73, 11971]$内且类数为1的循环立方数域都是欧氏的.
The determination of norm-Euclidean cyclic cubic fields
该研究针对范数欧几里得循环三次域的确定问题，在广义黎曼假设下已知其数量为13，通过建立三次非剩余显式界、改进计算技术，成功完全刻画了所有范数欧几里得循环三次域。
The Euclidean algorithm in quintic and septic cyclic fields
在广义黎曼猜想（GRH）的基础上，我们证明了：（1）$5$度循环数域是范数欧几里德当且仅当$Δ=11^4,31^4,41^4$：（2）$7$度循环数域是范数欧几里德当且仅当$Δ=29^6,43^6$ ;（3）不存在次数为$19$、$31$、$37$、$43$、$47$、$59$、$67$、$71$、$73$的范数-欧几里德循环数域，$79$，$97$。我们的证明包含一个大的计算组件，包括计算的欧几里德最小值在某些情况下，这些计算的正确性并不取决于GRH。最后，我们改进了什么是已知的无条件在立方的情况下，任何范数欧几里德循环立方领域必须有导体$f\leq 157$除了可能当$f\in(2\cdot 10^{14}, 10^{50})$。
Statistics of genus numbers of cubic fields
证明了判别式排序的三次域的近似$96.23\%$具有亏格数1，并计算了具有给定亏格数的三次域的精确比例。我们还计算了平均亏格数。最后，我们证明了亏格数为1的全实三次域的正比例不能是范数欧几里德域。
Low degree extensions with Cyclic class group
本文证明了阿贝尔四次域及某些类数为2的双二次域中存在欧几里得理想类，并探讨了特定三次和二次扩张中的相关性质。
Norm-Euclidean Galois fields and the Generalized Riemann Hypothesis
在广义黎曼假设（GRH）的假设下，证明了范数欧几里德伽罗瓦三次域正是具有判别式$Δ=7^2,9^2,13^2,19^2,31^2,37^2,43^2,61^2,67^2,103^2,109^2,127^2,157^2$的伽罗瓦三次域.证明的很大一部分是在建立以下更一般的结果：设$K$是奇素数度$\ell$和导体$f$的伽罗瓦数域。假设$ζ_K(s)$的GRH。如果是$38(\ell-1)^2(\log f)^6\log\log f<f$，则$K$不是范数欧几里德。
An algorithm to compute relative cubic fields
设k是虚二次数域（类数为1）。我们描述了一个新的，基本上是线性时间算法，列出所有同构类的三次扩展L/k到一个限制X上的规范的相对判别理想。主要工具是谷口的推广达文波特-海尔布隆参数化的三次扩张，约化理论的二元三次型超过虚二次域。最后，我们给出了k=Q（i）的数值结果，并将我们的结果与基于Roberts猜想的推广的束类域算法的结果和渐近渐近估计进行了比较。
In 1848 Ch.~Hermite asked if there exists some way to write cubic irrationalities periodically. A little later in order to approach the problem C.G.J.~Jacobi and O.~Perron generalized the classical continued fraction algorithm to the three-dimensional case, this algorithm is called now the Jacobi-Perron algorithm. This algorithm is known to provide periodicity only for some cubic irrationalities. In this paper we introduce two new algorithms in the spirit of Jacobi-Perron algorithm: the heuristic algebraic periodicity detecting algorithm and the $\sin^2$-algorithm. The heuristic algebraic peri…
Division algorithms for norm-Euclidean imaginary quadratic fields
本文为范数欧几里得虚二次数域提供除法算法，确保余数距离小于数域的欧几里得最小值。
We prove that all imaginary biquadratic fields and cyclic quartic fields of class number $1$ are Euclidean.
The remainders of the Euclidean algorithm with symmetric quotients
当欧几里德算法产生一个对称序列的双元，我们给出明确的公式，允许分析的两个家庭的二次型的双元。
New algorithms for modular inversion and representation by binary quadratic forms arising from structure in the Euclidean algorithm
我们观察到的结构中的序列的concurents和concurderers的欧几里德算法与两个家庭的输入。通过对这些算法的分析，我们得到了用二元二次型$x^2 + 3xy + y^2$计算模逆和表示素数的新算法。欧几里德算法以来自族之一的输入开始，并且小于预定大小的第一余数小于产生模逆或表示。
Cubic Irrationals and Periodicity via a Family of Multi-dimensional Continued Fraction Algorithms
我们构造了一个可数的多维连分数算法族，它由五个特定的多维连分数组成，并找到了一个广泛的三次无理数实数a，使得（a，a^2）或（a，a-a^2）关于族中的元素是纯周期的。这些三次无理数似乎是很自然的，因为我们证明，对于每一个立方数域，存在一个对（u，u '），其中u是立方数域中的单位（或者可能是立方数域通过判别式的平方根的二次扩展），使得（u，u '）在由初始五个映射生成的族中的一个映射下具有周期性多维连分数扩展。因此，这些结果是建立在对立方数域中的某些单位和我们的多维连分数族的仔细技术分析上的。然后，我们重铸的链接的三次无理数与周期性的链接的三次无理数与建设的矩阵与非负整数的条目，其中至少有一行最终是周期性的。
A Division Algorithm for the Gaussian Integers' Minimal Euclidean Function
本文提出首个针对高斯整数环相对于其最小欧几里得函数的除法算法，使读者能据此执行欧几里得算法。
On Euclidean Algorithms for oriented linear Grassmanians
本文针对有向线性格拉斯曼流形提出两种欧几里得算法（最大与最小元素消去），分别适用于不同维度，并讨论其性质及开放问题。
Tabulation of cubic function fields via polynomial binary cubic forms
提出了一种对$\mathbb{F}_q(t)$上所有三次函数场进行制表的方法，其判别式$D$具有奇数次或偶数次，并且$-3D$的首项系数在$\mathbb{F}_{q}^*$中是非平方的，直到$D$的次数上的给定界$B$。我们的方法是基于Belabas的方法制表立方数域的推广。主要的理论成分是一个推广的达文波特和海尔布隆定理的三次函数领域，随着减少理论的二元三次型，提供了一个有效的方法来计算等价类的二元三次型。该算法要求$O(B^4 q^B)$现场操作为$B \rightarrow \infty$。文中给出了$q=5,7,11,13$的算法、算例和数值结果。
An analogue of the Euclidean algorithm for square matrices of size 2 with integral non-negative entries and strictly positive determinant $n$ defines a finite set $\mathcal{R}(n)$ of Euclid-reduced matrices corresponding to elements of $\{(a, b, c, d) \in \mathbb{N}^4 | n = ab - cd,\ 0 \le c, d < a, b\}$. With Popeye's help[2] on the use of sails of lattices we show that $\mathcal{R}(n)$ contains $\sum{d|n, d^2 \ge n} (d + 1 - n/d)$ elements.
Division algorithms for norm-Euclidean real quadratic fields -- part I
本文为特定实二次域设计了基于欧几里得最小值的除法算法，并通过双曲线覆盖和精确计算实现证明的可重复性。
Continued fractions in 2-stage euclidean quadratic fields
讨论了类数为1的实二次数域上的连分数.如果域具有2阶欧几里德的性质，则可以使用欧几里德算法的推广来计算这些连分数。虽然已经证明了所有类数为1的实二次域都是2-阶欧氏域，但这一性质只在少数几个实二次域上得到了证明。本文的主要结果是一个算法，给定类数为1的实二次域，验证了这一猜想，并产生足够的数据作为副产品，以有效地计算连分数展开。如果域不是2阶欧几里德，则算法不会终止。作为应用，我们扩大了已知的二级欧氏域的列表，证明了所有小于8000且判别式类数为1的实二次域都是二级欧氏域.
An algorithm to obtain linear determinantal representations of smooth plane cubics over finite fields
本文简要地报告了我们对有限域上光滑平面三次函数的线性行列式表示的计算。在回顾了线性行列式表示作为雅可比簇的仿射部分上的有理点的经典解释之后，我们给出了一个算法来获得所有的线性行列式表示直到等价。我们还报告了我们最近的研究计算的线性行列式表示的扭曲费马三次定义在有理数的领域。本文是作者在2016年3月JSIAM JANT算法数论研讨会上的发言总结。细节将出现在其他地方。
Explicit Euclidean division algorithms for some degree 8 number rings
本文提出了一种用于某些八次数环的显式欧几里得除法算法，基于Lenstra的证明和最近向量计算，并在SageMath中实现。
A modified form of Euclid's algorithm has gained popularity among musical composers following Toussaint's 2005 survey of so-called Euclidean rhythms in world music. We offer a method to easily calculate Euclid's algorithm by hand as a modification of Bresenham's line-drawing algorithm. Notably, this modified algorithm is a non-recursive matrix construction, using only modular arithmetic and combinatorics. This construction does not outperform the traditional divide-with-remainder method; it is presented for combinatorial interest and ease of hand computation.
We introduce a generalization of the Euclidean algorithm for rings equipped with an involution, and completely enumerate all isomorphism classes of orders over definite, rational quaternion algebras equipped with an orthogonal involution that admit such an algorithm. We give two applications: first, any order that admits such an algorithm has class number 1; second, we show how the existence of such an algorithm relates to the problem of constructing explicit Dirichlet domains for Kleinian subgroups of the isometry group of hyperbolic 4-space.
We extend the Fourier expansion of automorphic functions of Piateski-Shapiro and Shalika in a way that the Euclidean algorithm appears nontrivially. Then, we discuss a potential application in the Rankin-Selberg method.
Euclidean algorithms are Gaussian over imaginary quadratic fields
该研究将欧几里得算法的分布分析推广到虚二次域，通过研究最近整数复连分数映射的动力学和传递算子，证明了除法步骤数的极限高斯分布及剩余等分布。
A short proof that the number of division steps in the Euclidean algorithm is normally distributed
D.汉斯莱在1994年表明，采取的步骤数欧几里德算法找到最大公因数的两个自然数小于或等于n遵循正态分布的限制，因为n趋于无穷大。V.Baladi和B. Vallée随后给出了一个替代证明的经典欧几里德算法和它的几个密切的变种，基于一个详细的调查的频谱性质的转移算子相关的高斯映射，建立在深入的结果D。多尔戈皮亚特在这篇文章中，我们给出了一个更短的，虽然不太定量，证明这个结果只使用基本的谱性质的转移算子的矩量法和Tauberian定理由于H。德朗热
In this paper, we continue our previous work on the reduction of algebraic lattices over imaginary quadratic fields for the special case when the lattice is spanned over a two dimensional basis. In particular, we show that the algebraicvariant of Gauss algorithm returns a basis that corresponds to the successive minima of the lattice in polynomial time if the chosen ring is Euclidean.
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