A Fibonacci type sequence with Prouhet-Thue-Morse coefficients
设$t_n = (-1)^{s_2(n)}$，其中$s_2(n)$是二进制数和函数。序列$(t_n)_{n\in \mathbb N}$是众所周知的Prouhet-Thue-Morse序列。在本说明中，我们开始研究的序列$(h_n)_{n\in \mathbb N}$，其中$h_0 = 0, h_1 = $ 1和$n \ge 2$，我们定义$h_n$递归如下：$ h_n = t_n h_{n-1} + h_{n-2}$。我们证明了序列$(h_n )_{n\in \mathbb N}$的算术性质的几个结果。特别是，我们证明了$h_n$的$n \ge 5$，自动性的序列$(h_n \pmod m)_{n\in \mathbb N}$为每个m，和其他结果的非零。
2021-09-30 cs.FL math.NT
On correspondence between solutions of a family of cubic Thue equations and isomorphism classes of the simplest cubic fields
令$m\geq -1$为整数。给出了三次Thue方程\[ X^3-mX^2Y-(m+3)XY^2-Y^3=λ\]的参数族整数解与最简单三次域的同构类之间的对应关系，其中$λ>0$是$m^2+3m+9$的因子.通过通信和R. Okazaki的结果，我们确定了Thue方程对于$m^2+3m+9$的正因子$λ$的66个非平凡解。作为结果，我们得到冈崎定理的另一个证明，该定理断言最简单的三次域是不同构的，除了$m=-1,0,1,2,3,5,12,54,66,1259,2389$。
2011-07-13 math.NT
A note on the field isomorphism problem of X^3+sX+s and related cubic Thue equations
通过三次Thue方程族$x^3-2mx^2y-9mxy^2-m(2m+27)y^3=λ$的原始解，研究了有理数域上三次一般多项式$s$的域同构问题，其中$λ^2$是$m^3(4m+27)^5$的一个因子.
2009-07-14 math.NT
On families of cubic split Thue equations parametrised by linear recurrence sequences
令$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}, (B_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$是两个线性递归序列，满足优势根条件和一些技术要求。证明了当参数$n$大于某个可有效计算的常数时，分裂的Thue方程族\[ |X(X-A_n Y)(X-B_n Y) - Y^3| = 1 \]只有平凡解$\pm\{ (0,1), (1,0), (A_n,1), (B_n,1) \}$.
2022-06-01 math.NT
Simplest quartic and simplest sextic Thue equations over imaginary quadratic fields
最简三次、最简四次和最简六次域的族以及相关的图厄方程是众所周知的。在虚二次域上，最简单的三次图厄方程族已经在相对情形下得到了研究。本文给出了虚二次域上最简四次和最简六次Thue方程的类似推广。我们明确地给出了任意虚二次域上这些无穷参数Thue方程族的解。
2018-10-19 math.NT
A family of Thue equations involving powers of units of the simplest cubic fields
E.托马斯是第一个解决一个无限家庭的图埃方程，当他认为形式$F_n(X, Y )= X^3 -(n-1)X^2Y -(n+2)XY^2 -Y^3$和家庭的方程$F_n(X, Y )=\pm 1$，$n\in {\mathbf N}$。这个族与D的最简单三次域族${\mathbf Q}(λ)$相关联。柄，$λ$是$F_n(X,1)$的根。我们在这个家庭中引入第二个参数，通过用根的$a$次幂替换$λ$的极小多项式$F_n(X, 1) $的根，并且我们有效地解决了我们获得的Thue方程族，该方程族现在取决于两个参数$n$和$a$。
2015-05-25 math.NT
A positive proportion of Thue equations fail the integral Hasse principle
对于任何非零的$h\in\mathbb{Z}$，我们证明了正比例的积分二元三次型$F$局部处处表示$h$，但不表示$h$的全局，也就是说，正比例的三次图厄方程$F(x,y)=h$失败的积分哈塞原则。在这里，我们命令所有类的积分二元三次型$F$的绝对判别式。对于任意固定次数$n \geq 3$的Thue方程$G(x,y)=h$，只要这些整数二元$n$ -ic形式$G$按其系数的绝对值的最大值排序，我们证明了同样的结果.
2019-02-17 math.NT
Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture
在第一部分中，我们构造算法，我们应用于解决S-单位，Mordell，三次Thue，三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程。作为一个副产品，我们获得替代的各种经典丢番图问题的实际方法，包括找到所有椭圆曲线在Q的基本问题，好约化以外的一个给定的有限集的合理素数。为了说明我们的算法的效用，我们确定了大类方程的解决方案，包含许多感兴趣的例子，这是已知的方法无法达到的。此外，我们还利用所得的数据激发了各种猜想和问题，包括Baker的显式abc-猜想和关于Q上任何双曲亏格为1的曲线的S-整点的一个新猜想。在第二部分中，我们对与Mordell方程相关的某些老丢番图问题（例如平方和立方的差）建立了新的结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为一个副产品，我们在这里获得了另一种证明经典定理的贝克，科茨和Vinogradov-Sprindzuk。事实上，我们得到了他们的定理的改进版本，这在许多基本情况下改进了实际的最佳结果。我们的结果和算法最终都依赖于Faltings（Arakelov，Parshin，Szpiro）方法和Shimura-Taniyama猜想，并且它们都不使用（椭圆）方程中线性型的下界.在第三部分中，我们解决了在给定E（Q）的Mordell-Weil基的条件下，Q上任意椭圆曲线E上有界…
2016-05-19 math.NT
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers
这是第一次在一系列的文件，使我们结合了经典的方法，指数丢番图方程（线性型的矩阵，图厄方程等）。基于费马大定理的一些证明思想的模块化方法。本文给出了三种图中线性型的新的改进的界。我们还将经典技术与模块化方法相结合，证明了Fibonacci序列中唯一的完美幂是0，1，8，144，Lucas序列中唯一的完美幂是1，4。
2004-03-02 math.NT
Some Weighted Generalized Fibonacci Number Summation Identities, Part 2
本文的第一部分利用Fibonacci数是有理函数的剩余这一事实，得到了几个线性加权广义Fibonacci数求和恒等式。在这一部分中，用同样的方法，导出了一些二次和三次加权广义Fibonacci数和式，包括一些无穷级数和生成函数。此外，还得到了一些带二项式系数的二次和三次加权广义Fibonacci数求和恒等式，以及三次和四次加权广义Fibonacci数和Lucas数求和恒等式.
2021-07-13 math.NT
A modular approach to Thue-Mahler equations
设$h(x,y)$是具有整系数的非退化二元三次型，$S$是任意有限的素数集.根据Mahler的一个经典定理，只有1000对互素整数$x,y$使得$h(x,y)$是一个$S$ -单位.在本文中，我们扭转了一个众所周知的论点，这似乎可以追溯到Shafarevich，并使用$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的模给出这样的Thue-Mahler方程的解的数量的上界。此外，我们的方法给出了一个有效的方法来确定所有的解决方案，我们使用克雷莫纳的椭圆曲线数据库给出了广泛的数值例子。
2015-01-26 math.NT
Complete Resolution Of A Family Of Twisted Thue Equations
University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文求解了Lévesque与Waldschmidt提出的一类扭曲Thue方程，找出其所有整数解，解答了相关公开问题。
2026-08-24 math.NT
On the intersections of Fibonacci, Pell, and Lucas numbers
我们描述了如何计算形式为$\{U_n(P,\pm 1) \}_{n=0}^{\infty}$或$\{V_n(P,\pm 1) \}_{n=0}^{\infty}$的两个Lucas序列与包含Fibonacci、Pell、Lucas和Lucas-Pell数序列的$P\in\mathbb{Z}$的交集。证明了除了$U_n(1,-1)$和$U_n(3,1)$以及两个$V$ -序列的判别式的乘积是完满平方的情况外，这种交是有限的.此外，在这些情况下的交集也形成卢卡斯序列。我们的方法依赖于求解齐次二次丢番图方程和图埃方程。特别是，我们证明了0，1，2和5是唯一的数字，都是斐波那契和佩尔，并列出类似的结果，许多其他对卢卡斯序列。我们进一步推广我们的结果与任意初始项的卢卡斯序列。
2010-11-05 cs.DM cs.DS math.NT
Power-saving bounds for Thue--Mahler and Mordell equations
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
该研究针对三次Thue--Mahler方程证明了对regulator具节能依赖的有效界，将Mordell方程整数解的Stark界指数降至1/2+ε，改进了相关分离下界并在Frey高度猜想的导体方面取得节能进展。
2026-09-09 math.NT
Quartic Index Form Equations and Monogenizations of Quartic Orders
通过考虑某些经典的丢番图方程，即四次数域上的指数型方程，以及三次和四次Thue方程，建立了四次单齐化数的上界.
2022-07-29 math.NT
Mordell's equation : a classical approach
我们用$|k| \leq 10^7$对所有非零整数$k$求解丢番图方程$Y^2=X^3+k$。我们的方法使用这些方程和立方图厄方程之间的经典连接。后者可以通过与格基约简相结合的矩阵中的线性型的下界在算法上进行处理。
2013-11-27 math.NT
The proportion of monogenic orders of prime power indices of the pure cubic field
本文证明纯三次域中指标为固定素数（非2或3）幂的序中单生成序的比例为零，通过计数满秩子模并利用Thue-Mahler方程本原解有限性得到上界。
2023-06-23 math.NT
On integral points on biquadratic curves and near-multiples of squares in Lucas sequences
我们描述了一个算法减少搜索曲线y^2 = ax^4 + bx^2 + c与非零ac（b^2-4ac）的整数点，以解决有限个图厄方程。虽然存在这样的减少预计从参数的代数数论，我们的算法是基本的，据我们所知，是第一个公布的算法这种。结合其他方法并由现有的软件Thue方程求解器提供动力，它允许人们有效地计算双二次曲线上的积分点。我们说明了这种方法与一个特定的应用程序，找到近倍的平方卢卡斯序列。作为一个例子，我们证明了斐波那契数中只有2和34是2m^2+2的形式，只有1、13和1597是m^2-3的形式，以此类推，作为一个辅助结果，我们还给出了求解整数m、n、k中的丢番图方程k^2 = f（m，n）/g（m，n）的算法，其中f和g是齐次二次多项式。
2014-05-20 cs.DM math.NT
Chords of an ellipse, Lucas polynomials, and cubic equations
托马斯·普莱斯的一个美丽的定理将斐波那契数和卢卡斯多项式与椭圆的平面几何联系起来，推广了一个关于圆的经典问题。我们给一个简短的历史的圆问题，一个帐户的价格的椭圆证明，并重组证明，与一些新的想法，旨在证明结果在一个密集的网络连接到经典数学。它的灵感来自卡尔达诺的解决方案的三次方程和牛顿定理的权力和，并产生的解释广义卢卡斯多项式的理论方面的对称多项式。我们还开发了沿途出现的其他连接;例如，本文给出了广义Fibonacci多项式的一种并行解释，并证明了可以用Cardano方法写出Lucas多项式的根。
2021-10-08 math.HO math.NT
Continuous approximation to the reciprocal sum of the cubes of Fibonacci numbers
Jeonbuk National University（全北国立大学）；Kyung Hee University（庆熙大学）；Jeju National University（济州国立大学）
本文针对Fibonacci数立方倒数和尾部，构造显式闭式序列$g_n$，建立其与倒数和的误差极限及上下界，从而完全确定$s=3$时取整函数的精确值。
2026-09-17 math.NT
