On correspondence between solutions of a family of cubic Thue equations and isomorphism classes of the simplest cubic fields
令$m\geq -1$为整数。给出了三次Thue方程\[ X^3-mX^2Y-(m+3)XY^2-Y^3=λ\]的参数族整数解与最简单三次域的同构类之间的对应关系，其中$λ>0$是$m^2+3m+9$的因子.通过通信和R. Okazaki的结果，我们确定了Thue方程对于$m^2+3m+9$的正因子$λ$的66个非平凡解。作为结果，我们得到冈崎定理的另一个证明，该定理断言最简单的三次域是不同构的，除了$m=-1,0,1,2,3,5,12,54,66,1259,2389$。
2011-07-13 math.NT
On a cubic Family of Thue Equations involving Fibonacci Numbers and Powers of Two
在本文中，我们完全解决了家庭的参数化图厄方程\[ X(X-F_n Y)(X-2^n Y)-Y^3=\pm 1, \]，其中$F_n$是$n$ -th Fibonacci数。特别地，对于任何整数$n\geq 3$，图厄方程只有平凡解$(\pm 1,0), (0,\mp 1), \mp(F_n,1), \mp(2^n,1)$。
2021-07-07 math.NT
On families of cubic split Thue equations parametrised by linear recurrence sequences
令$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}, (B_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$是两个线性递归序列，满足优势根条件和一些技术要求。证明了当参数$n$大于某个可有效计算的常数时，分裂的Thue方程族\[ |X(X-A_n Y)(X-B_n Y) - Y^3| = 1 \]只有平凡解$\pm\{ (0,1), (1,0), (A_n,1), (B_n,1) \}$.
2022-06-01 math.NT
Simplest quartic and simplest sextic Thue equations over imaginary quadratic fields
最简三次、最简四次和最简六次域的族以及相关的图厄方程是众所周知的。在虚二次域上，最简单的三次图厄方程族已经在相对情形下得到了研究。本文给出了虚二次域上最简四次和最简六次Thue方程的类似推广。我们明确地给出了任意虚二次域上这些无穷参数Thue方程族的解。
2018-10-19 math.NT
A family of Thue equations involving powers of units of the simplest cubic fields
E.托马斯是第一个解决一个无限家庭的图埃方程，当他认为形式$F_n(X, Y )= X^3 -(n-1)X^2Y -(n+2)XY^2 -Y^3$和家庭的方程$F_n(X, Y )=\pm 1$，$n\in {\mathbf N}$。这个族与D的最简单三次域族${\mathbf Q}(λ)$相关联。柄，$λ$是$F_n(X,1)$的根。我们在这个家庭中引入第二个参数，通过用根的$a$次幂替换$λ$的极小多项式$F_n(X, 1) $的根，并且我们有效地解决了我们获得的Thue方程族，该方程族现在取决于两个参数$n$和$a$。
2015-05-25 math.NT
A positive proportion of Thue equations fail the integral Hasse principle
对于任何非零的$h\in\mathbb{Z}$，我们证明了正比例的积分二元三次型$F$局部处处表示$h$，但不表示$h$的全局，也就是说，正比例的三次图厄方程$F(x,y)=h$失败的积分哈塞原则。在这里，我们命令所有类的积分二元三次型$F$的绝对判别式。对于任意固定次数$n \geq 3$的Thue方程$G(x,y)=h$，只要这些整数二元$n$ -ic形式$G$按其系数的绝对值的最大值排序，我们证明了同样的结果.
2019-02-17 math.NT
Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture
在第一部分中，我们构造算法，我们应用于解决S-单位，Mordell，三次Thue，三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程。作为一个副产品，我们获得替代的各种经典丢番图问题的实际方法，包括找到所有椭圆曲线在Q的基本问题，好约化以外的一个给定的有限集的合理素数。为了说明我们的算法的效用，我们确定了大类方程的解决方案，包含许多感兴趣的例子，这是已知的方法无法达到的。此外，我们还利用所得的数据激发了各种猜想和问题，包括Baker的显式abc-猜想和关于Q上任何双曲亏格为1的曲线的S-整点的一个新猜想。在第二部分中，我们对与Mordell方程相关的某些老丢番图问题（例如平方和立方的差）建立了新的结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为一个副产品，我们在这里获得了另一种证明经典定理的贝克，科茨和Vinogradov-Sprindzuk。事实上，我们得到了他们的定理的改进版本，这在许多基本情况下改进了实际的最佳结果。我们的结果和算法最终都依赖于Faltings（Arakelov，Parshin，Szpiro）方法和Shimura-Taniyama猜想，并且它们都不使用（椭圆）方程中线性型的下界.在第三部分中，我们解决了在给定E（Q）的Mordell-Weil基的条件下，Q上任意椭圆曲线E上有界…
2016-05-19 math.NT
On the simplest quartic fields and related Thue equations
令$K$为字符$K\neq 2$的字段。对于$a\in K$，作为多预解式多项式的域交问题的特殊情况，我们给出了$K$上最简四次多项式$X^4-aX^3-6X^2+aX+1$的域同构问题的一个显式解答.从这个结果，在一个无限域$K$上，我们看到，对于$K$的无穷多个值$a$，多项式给出了$K$上的相同分裂域。我们还看到西格尔定理亏格为零的曲线，只有许多代数整数$a\in\mathcal{O}_K$在数域$K$可能会给相同的分裂域。通过应用有理数域$\mathbb{Q}$上的结果，我们建立了四次Thue方程\[ X^4-mX^3Y-6X^2Y^2+mXY^3+Y^4=c, \]的参数族的原始解与最简单四次域的同构类之间的对应关系，其中$m\in\mathbb{Z}$是有理数，$c$是$4(m^2+16)$的除数.
2010-04-18 math.NT
A modular approach to Thue-Mahler equations
设$h(x,y)$是具有整系数的非退化二元三次型，$S$是任意有限的素数集.根据Mahler的一个经典定理，只有1000对互素整数$x,y$使得$h(x,y)$是一个$S$ -单位.在本文中，我们扭转了一个众所周知的论点，这似乎可以追溯到Shafarevich，并使用$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的模给出这样的Thue-Mahler方程的解的数量的上界。此外，我们的方法给出了一个有效的方法来确定所有的解决方案，我们使用克雷莫纳的椭圆曲线数据库给出了广泛的数值例子。
2015-01-26 math.NT
Complete Resolution Of A Family Of Twisted Thue Equations
University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文求解了Lévesque与Waldschmidt提出的一类扭曲Thue方程，找出其所有整数解，解答了相关公开问题。
2026-08-24 math.NT
Power-saving bounds for Thue--Mahler and Mordell equations
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
该研究针对三次Thue--Mahler方程证明了对regulator具节能依赖的有效界，将Mordell方程整数解的Stark界指数降至1/2+ε，改进了相关分离下界并在Frey高度猜想的导体方面取得节能进展。
2026-09-09 math.NT
Quartic Index Form Equations and Monogenizations of Quartic Orders
通过考虑某些经典的丢番图方程，即四次数域上的指数型方程，以及三次和四次Thue方程，建立了四次单齐化数的上界.
2022-07-29 math.NT
Thue--Morse along the sequence of cubes
本文证明了满足 $t(n^3)=0$ 的自然数集合的渐近密度为 $1/2$，将 Thue--Morse 序列沿多项式的渐近等价性推广至三次多项式，推进了第三个 Gelfond 问题的解决。
2023-09-08 math.NT
The proportion of monogenic orders of prime power indices of the pure cubic field
本文证明纯三次域中指标为固定素数（非2或3）幂的序中单生成序的比例为零，通过计数满秩子模并利用Thue-Mahler方程本原解有限性得到上界。
2023-06-23 math.NT
Cubic function fields with prescribed ramification
本文描述了具有指定分支的三次函数域$L/K$，其中$K$是一个有理函数域.我们给出了一般方程的扩展，一个明确的程序，以获得一个定义方程时，纯立方封闭$K'/K$的$L/K$是亏格为零，和描述的扭曲的$L/K$同构的$K$。对于亏格至多为1的三次函数域，我们还描述了当允许$K$上的莫比乌斯变换时得到的扭曲和同构类。文章的结论是研究更一般的情况下，覆盖的椭圆和超椭圆曲线，分歧以上正是一个点。
2021-10-08 math.NT
Torsion subgroups of rational elliptic curves over the compositum of all cubic fields
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，$\mathbb{Q}(3^\infty)$是$\mathbb{Q}$的所有三次扩张的合成。在这篇文章中，我们表明，扭转子群的$E(\mathbb{Q}(3^\infty))$是有限的，并确定其结构的20种可能性，以及一个完整的描述$\overline{\mathbb{Q}}$ -同构类的椭圆曲线，属于每种情况下。我们提供合理的参数化的16扭转结构，发生在无限多个$\overline{\mathbb{Q}}$ -同构类的椭圆曲线，和一个完整的列表的$j$ -不变量的4个不。
2018-01-26 math.NT
Cubic Fields: A Primer
我们通过一个包含三种基本类型的三次型的明确构造，对任意特征的任何域的所有三次扩张进行分类，直到同构。我们推导出域的任何伽罗瓦三次扩张的分类。完全确定了整体函数域的可分三次扩张中的位的分裂与分歧，并给出了精确的Riemann-Hurwitz公式。在这样做时，我们确定了任何三次多项式在有限域上的分解。
2017-06-17 math.NT
An algorithm to compute relative cubic fields
设k是虚二次数域（类数为1）。我们描述了一个新的，基本上是线性时间算法，列出所有同构类的三次扩展L/k到一个限制X上的规范的相对判别理想。主要工具是谷口的推广达文波特-海尔布隆参数化的三次扩张，约化理论的二元三次型超过虚二次域。最后，我们给出了k=Q（i）的数值结果，并将我们的结果与基于Roberts猜想的推广的束类域算法的结果和渐近渐近估计进行了比较。
2011-08-26 math.NT
Counting Cubic Extensions with given Quadratic Resolvent
给定数域$k$和二次扩张$K_2$，我们给出了以$K_2$为二次子扩张的Galois闭包的$k$的三次扩张的同构类的个数的显式渐近公式，这些同构类按它们的判别理想的范数排序.主要工具是库默尔理论。我们还详细研究了渐近的误差项，并表明它是$O(X^α)$，一个明确的$α<1$。
2010-03-09 math.NT
A space of weight one modular forms attached to totally real cubic number fields
设$d$是正的基本判别式，$\mathcal{C}_{d}$是判别式$d$的立方数域的同构类的集合.对于每个$K \in \mathcal{C}_{d}$，我们构造了一个权重为1的模块形式$f_{K}$与水平$3^{\pm 1}d$和nephropus $\left( \frac{-3^{\pm 1}d}{\cdot} \right)$。我们表明，形式$f_{K}$完全确定字段$K$。证明了$\{f_{K} : K \in \mathcal{C}_{d}\}$是一个线性无关集.
2013-11-28 math.NT
Dirichlet series associated to quartic fields with given resolvent
设$k$为三次域。本文给出了狄利克雷级数$\sum_K|\Disc(K)|^{-s}$的一个显式公式，这里的和是在所有三次预解式域同构于$k$的四次域的同构类上.我们的工作是Cohen、Diaz y Diaz和Olivier未发表预印本的续集，我们包含了他们结果的完整证明，以免依赖未发表的工作。这是一个同伴以前的文件，我们计算的狄利克雷级数相关的立方领域有一个给定的二次预解式。
2013-02-22 math.NT
Integral trace forms associated to cubic extensions
给定一个非零整数$d$，由Hermite定理可知，判别式$d$的立方数域只存在1/2个.然而，可能发生的是，两个非同构的立方域具有相同的判别式。因此很自然地要问，是否存在判别式的自然精化，它完全决定了立方域的同构类。这里我们考虑迹形式$q_K:\text{tr}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)|_{O^{0}_{K}}$作为这样的细化。对于基本判别式$d$的三次域，我们证明了Bhargava类群$\Cl(\mathbb{Z}^{2}\otimes\mathbb{Z}^{2}\otimes\mathbb{Z}^{2}; -3d)$中元素$T_K$的存在性，使得$q_K$完全由$T_K$决定.利用Bhargava的一个复合律，证明了当$K$是全实的且具有基本判别式时，$q_K$是完全不变量
2011-04-24 math.NT
Linear determinantal representations of smooth plane cubics over finite fields
本文研究了有限域上光滑平面三次函数的线性行列式表示。给出了对应于有理点的线性行列式表示的一个显式公式。利用Schoof公式，计算了有限域上光滑平面三次体的射影等价类的个数，其中线性行列式表示的等价类的个数为给定个数.作为应用，我们确定了有限域上光滑平面三次体的线性行列式表示等价类为0、1或2的同构类。
2016-04-20 math.AG math.NT
A census of cubic fourfolds over $\mathbb{F}_2$
本研究完成了有限域$\u211d_2$上三次四折形的完整同构类计算，统计了其各类不变量，改进了轨道枚举方法以提升计算效率，并关联了K3曲面zeta函数实现问题与判别式补渐近框架。
2023-06-16 math.AG math.NT
On the cubic Shimura lift to $PGL(3)$: Hecke correspondences
本文为 Hecke 对应建立新基本引理，证明 $PGL_3(F)$ 与 $SL_3(F)$ 三次覆盖的球 Hecke 代数同构并匹配分布，为新的整体 Shimura 提升及周期刻画奠定关键基础。
2025-07-09 math.NT math.RT
Counting Models of Genus One Curves
设C是Henselian离散赋值域上的可解光滑亏格单曲线.存在唯一的极小Weierstrass方程定义C直到同构。在本文中，我们认为属一个方程的度n定义C，即（广义）二元四次当n = 2，三元三次当n = 3，和一对四元二次当n = 4。一般来说，极小亏格1的n次方程在同构下不是唯一的。我们解释了最小亏格为1的n次方程的数目如何根据C的雅可比矩阵的Kodaira符号而变化。然后，我们把这些方程计算到在类数为1的数域上的同构。
2010-02-02 math.AG math.NT
A geometric framework for the subfield problem of generic polynomials via Tschirnhausen transformation
设$k$为任意字段。研究了利用Tschirnhausen变换求解$k$上对称群一般多项式子域问题的一般方法。在前一部分的一般结果的基础上，我们给出了$k$上的$\frak{S}_3$和$C_3$的域同构问题和三次一般多项式的子域问题的显式解.作为三次情形的应用，我们还给出了$k$上的六次一般多项式.
2008-10-15 math.AG math.NT
The mean number of $2$-torsion elements in the class groups of cubic orders
本文确定了三次序类群中2-挠元的平均个数，并将其推广到任意奇数维情形，给出了可约SL_N(Z)-轨道的渐近计数公式。
2024-08-31 math.NT
Arboreal Galois groups for cubic polynomials with colliding critical points
本文研究三次多项式两个有限临界点在迭代中碰撞时的树状 Galois 群，构造其必嵌入的显式子群 $Q_{\ell,\infty}$，并给出嵌入为同构的充分条件。
2024-04-05 math.DS math.NT
An efficient and secure RSA--like cryptosystem exploiting Rédei rational functions over conics
我们定义了一个同构之间的一组点的二次曲线和一组整数模素数配备了一个非标准的产品。这个乘积可以通过使用Rédei有理函数来有效地计算。然后，我们利用同构构造一个新的RSA的计划。我们比较我们的计划与经典的RSA和RSA类计划的基础上的三次或圆锥方程。该方案的解密操作比RSA快两倍，并且相对于其他基于曲线的RSA类方案，所涉及的模逆次数最少。我们的解决方案在一对一通信中提供与RSA相同的安全性，在广播应用中提供更高的安全性。
2016-01-27 cs.CR cs.IT math.IT
Exceptional elliptic curves over quartic fields
研究了具有给定挠群$T$的固定四次域$K$上直到同构的椭圆曲线的个数.令$T=\Z/m\Z \oplus \Z/n\Z$，其中$m|n$是挠群，使得模曲线$X_1(m,n)$是椭圆曲线。设$K$是一个数域，使得存在正的有限个数的$K$上的椭圆曲线$E_T$，其子群为$K$.我们称这种对为$(E_T, K)$ \emph{exceptional}。已知当$K$在所有二次或三次域上变化时，只有100多个例外对。证明了当$K$在所有四次域上变化时，当$T=\Z/14\Z$或$\Z/15\Z$时存在无穷多个例外对，否则存在无穷多个例外对.
2012-05-29 math.AG math.NT
Explicit transformation of an intersection of two quadrics to an elliptic curve in Weierstrass form
本文以丢番图分析中求两个二次曲面交线上的有理点问题为出发点，给出了射影空间中两个二次曲面的有理光滑交线与Weierstrass型椭圆曲线之间的有理同构（双正则映射）的显式构造.通常通过将拐点映射到无穷远处的无穷远点来将光滑平面三次曲线变换为维尔斯特拉斯形式的曲线的方法在我们的设置中不适用，因为在有理数上可能没有定义拐点。这一困难被一个可以追溯到Nagell的建筑所克服。结果举例说明在两种情况下的数论兴趣：欧拉的问题的一致形式和发生的四个合理的平方等差数列。
2020-03-24 math.AG math.NT
