Cubic hypersurfaces and a version of the circle method for number fields
Tim Browning, Pankaj Vishe
对数域K/Q发展了Hardy-Littlewood圆方法的一个版本，并证明了当K上的非奇异射影三次超曲面的维数至少为8时，它们总有一个K-有理点.
A version of the Hardy-Littlewood circle method is developed for number fields K/Q and is used to show that non-singular projective cubic hypersurfaces over K always have a K-rational point when they have dimension at least 8.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Weak Approximation for Cubic Hypersurfaces of Large Dimension
研究了数域上一般三次超曲面的弱逼近问题。特别地，弱逼近建立的光滑轨迹的投影，几何整的，非圆锥立方超曲面，至少有17个维度。证明利用哈代-利特尔伍德循环方法和纤维化方法。
Manin's conjecture for a class of singular cubic hypersurfaces
令$n$是$4$的正倍数。本文建立了由$$ x^3=(y_1^2 + \cdots + y_n^2)z . $$定义的奇异三次超曲面$S_n$上有界高有理点个数的渐近公式。这个结果有两个方面的新内容：首先，它可以看作是Davenport或Heath-Brown经典定理中未涉及的奇异三次超曲面上有理点稠密性研究的一个小小的开端;其次，证明了关于上述奇异三次超曲面$S_n$的Manin猜想.
Rational points on cubic hypersurfaces over $\mathbb{F}_q(t)$
对特征大于3的任意有限域k，建立了函数域k（t）上非奇异三次超曲面X的Hasse原理和弱逼近，条件是X的维数至少为6.
Arithmetic purity of strong approximation for complete intersections of large dimension
该研究对数域上光滑几何整的三次超曲面，建立了强逼近的算术纯性，给出了一般情况与有理数域下不同的维度阈值。
Rational curves on cubic hypersurfaces over finite fields
给定特征大于3的有限域上的光滑三次超曲面$X$和$X$上的两个泛点，利用Hardy-Littlewood圆方法的函数域模拟，得到了$X$上通过这两个点的次数$d$有理曲线个数的渐近公式.我们用它来推导的尺寸和不可约的模空间参数化的曲线，足够大的$d$。
Rational points on cubic hypersurfaces that split off two forms
我们证明了，如果$X\subseteq \mathbb{P}^{n-1}$，定义在$\mathbb{Q}$的三次型，分裂出两个形式，与$n\geq 11$，那么$X(\mathbb{Q})$是非空的。这同样适用于具有$m_1\geq 4$和$m_2\geq 5$的$(m_1,m_2)$ -形式。
Rational lines on cubic hypersurfaces II
本文研究了三次超曲面上的有理直线问题，通过引入二次型线性空间和虚二次数域上的三次型结果，将三次超曲面的有理直线存在下界从33降低至29。
Rational lines on cubic hypersurfaces
证明了有理数上维数至少为$29$的光滑射影三次超曲面包含一条有理线。我们的方法的一个变化提供了一个类似的结果在p-adic领域。在这两种情况下，由于第二作者和Wooley，我们改进了以前的结果。我们包括一个附录中，我们强调了一些轻微的修改，最近的结果Papanikolopoulos和Siksek。由此可见，维数至少为29的光滑射影三次超曲面上的有理点集是由单点通过割线和切线构造生成的。
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces, II
本文通过改进小弧均值估计并利用两个维度上的变量平移技巧，建立了18个或更多变量对角三次超曲面上有理线数量的预期渐近公式。
How often does a cubic hypersurface have a rational point?
本文借助三次超曲面平均满足 Hasse 原理的新结果，按三次型高度计算 $n\geq4$ 时含有理点的超曲面比例，并给出 $n=3$ 三次曲面的精确猜想。
Complete intersections of cubic and quadric hypersurfaces over $\mathbb{F}_q(t)$
本文用二维 delta 方法证明 $\mathbb{F}_q(t)$ 上高维非奇异三次与二次超曲面完全交的有界高度有理点渐近公式，并验证弱逼近。
The distribution of semi-integral points on a class of singular cubic hypersurfaces
本文研究了某一类奇异立方超曲面上半整点的计数函数渐进行为，并证明该渐进行为与Manin猜想在a-不变量和b-不变量上的预测一致。
Manin's conjecture for singular cubic hypersurfaces
设SQ表示x3 = Q（y1，. ..其中Q是m个整数系数的本原正定二次型。当Q变化时，这个S Q的值域在一类奇异三次超曲面上.对于S_Q，我们证明了（i）Manin猜想成立，如果Q是局部确定的，且2| m和m 4;（ii）一般来说，Manin猜想在一个前导常数下成立，如果2| m和m 6。
Rational lines on diagonal hypersurfaces and subconvexity via the circle method
本文通过圆法，在$s\ge k(k+1)$条件下证明了对角超曲面上整数坐标直线的Hasse原理，突破了平方根抵消的凸性障碍。
On a conjecture of Wooley and lower bounds for cubic hypersurfaces
本文研究高维非退化有理三次超曲面上有界高度有理点的计数下界，在变量数至少为39时证明 $N(X,B)\gg B^{n-9}$，证实 Wooley 关于足够大维数非锥形三次超曲面的猜想。
Rational points on intersections of cubic and quadric hypersurfaces
本文研究了定义在有理数上的二次和三次超曲面的完全相交的Hasse原理。
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces
本文通过多维变量移位和剪枝论证，结合Parsell-Vinogradov系统的最新进展，证明了当s≥19时，对角三次超曲面∑_{i=1}^s c_i x_i^3=0上有理线的渐近估计，改进了此前s≥21的界限。
Terminal singularities of the moduli space of curves on low degree hypersurfaces and the circle method
本文利用圆法研究低阶超曲面上曲线模空间的奇点，证明了当映射阶数 $e$ 相对亏格 $g$ 足够大时，该模空间至多具有终端奇点。
Rational approximation on cubic hypersurfaces
针对数域上存在k-有理直线的光滑三次超曲面，研究其有理点的逼近常数计算问题，完成了对应常数的推导并验证了Coba猜想，为相关代数几何与数论研究提供了支撑。
Free rational curves on low degree hypersurfaces and the circle method
本文利用 Hardy–Littlewood 圆法的函数域版本分析低次数光滑射影超曲面上的自由有理曲线，从而界定有理曲线模空间奇异轨迹维数，并解释 Peyre 对 Batyrev–Manin 猜想的斜率化表述。
Counting rational points on cubic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的几何整的射影三次超曲面，维数为D，奇异轨迹维数至多为D-4。对任意ε>0，我们证明了X包含O（B^{D+ε}）个高度至多为B的有理点.这个估计中隐含的常数取决于ε的选择和定义X的三次型的系数。
Rational curves on smooth cubic hypersurfaces over finite fields
设k是特征超过3的有限域。本文证明了k上任意维数至少为11的光滑三次超曲面上的固定次数的有理曲线空间是不可约的，且具有期望维数。
Looking for rational curves on cubic hypersurfaces
这些都是大大扩大笔记讲座的JK在暑期学校“高维几何有限域“在哥廷根，2007年6月。第一部分概述了这些方法。主要的新结果是有限域上光滑三次超曲面上通过给定点集的有理曲线的构造。
Rational points on cubic hypersurfaces that split off a form
设X是定义在有理数上的11维或更高维的射影三次超曲面。本文证明了X包含有理点，条件是定义X的三次型可以写成两个无公共变量的三次型之和。--本文的特点是附录“Groupe de Brauer non ramifié des hypersurfaces cubiques singulières（d 'après P. Salberger）"，由J. L.科里奥-泰涅
Integral points on cubic hypersurfaces
设g是一个整数系数的三次多项式，n>9个变量，并假设同余式g=0模p^k对所有素数幂p^k都是可解的。证明了当方程g=0的立方部分定义一个射影超曲面且其奇异轨迹的维数小于n-10时，方程g=0有无穷多个整数解.证明基于Hardy-Littlewood圆方法。
Weak Approximation for Cubic Hypersurfaces and Degree 4 del Pezzo Surfaces
本文证明了以下关于整体域上光滑三次超曲面和四次del Pezzo曲面的弱逼近定理。(1)对于定义在整体函数域上的三次超曲面，如果存在一个有理点，则弱逼近在剩余域至少有11个元素的好约化的地方成立。(2)对于定义在整体函数域上的4次del Pezzo曲面，如果存在一个有理点，则弱逼近在剩余域至少有13个元素的好约化点处成立. (3)弱逼近对于定义在特征不等于2，3，5的整体函数域或纯虚数域上的维数至少为10的三次超曲面成立。
Counting rational points on biquadratic hypersurfaces
建立了充分多变量的任意光滑双二次超曲面的某个Zebrski开子集上有界反正则高的有理点个数的渐近公式.证明使用Hardy-Littlewood圆方法。
Hypergeometric series and Hodge cycles of four dimensional cubic hypersurfaces
本文研究了四维三次超曲面的高斯超几何函数的值与Hodge圈向量空间维数之间的关系。由于霍奇猜想是众所周知的，这些品种，我们计算的值的超几何级数的某些$CM$点。我们的方法是基于计算的Picard-Fuchs方程在更高的维度，减少他们的高斯方程，然后应用阿贝尔子群定理相应的超几何阿贝尔簇。
Equidistribution of values of linear forms on a cubic hypersurface
令$C$是在$n$变量中具有有理系数的三次形式，并且令$h$是$C$的$h$ -不变量。设$L_1, \ldots, L_r$是具有实系数的线性型，使得如果$\boldsymbolα \in \mathbb{R}^r \setminus \{ \boldsymbol{0} \}$，则$\boldsymbolα \cdot \mathbf{L}$不是有理型。假设$h > 16 + 8 r$ .设$\boldsymbolτ \in \mathbb{R}^r$和$η$为正实数。我们证明了系统$C(\mathbf{x}) = 0, \: |\mathbf{L}(\mathbf{x}) - \boldsymbolτ| < η$的整数解加权数$\mathbf{x} \in [-P,P]^n$的一个渐近公式。如果线性型的系数在有理数上代数无关，则我们可以用假设$n > 16 + 9 r$代替$h$不变条件，证明系统有整数解.最后，我们表明，$\mathbf{L}$在整数零的$C$的值是均匀分布的模1在$\mathbb{R}^r$，只需要$h > 16$。
A Mordell-Weil theorem for cubic hypersurfaces of high dimension
设$X$是有理数上维数为$n \ge 1$的光滑三次超曲面.众所周知，新的有理点可以通过割线和切线构造从旧的有理点获得。鉴于$n=1$的Mordell-Weil定理，Manin（1968）问是否存在一个有限集$S$，从这个有限集可以得到所有其他的有理点。我们对$n \ge 48$给出了肯定的回答，事实上我们可以把生成集$S$取为仅由一个点组成.我们的证明利用了Skinner的一个弱逼近定理，Browning，Dietmann和Heath-Brown关于高维二次曲面和三次曲面的交线上有理点的存在性定理，以及微分几何，代数几何和数值分析中的一些基本思想.
On the number of linear spaces on hypersurfaces with a prescribed discriminant
对于一个给定的形式$F\in \mathbb Z[x_1,\dots,x_s]$，我们应用圆方法，给出了在超曲面$F(\mathbf x) = 0$上具有$\det ( (\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m)^t \, (\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m)) = b$性质的线性空间上的$m$ -元组$\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m$的个数的渐近估计.这使得我们在某种程度上可以计算超曲面上的有理线性空间，这些超曲面的基础整数格是本原的。
Manin's conjecture for certain biprojective hypersurfaces
使用圆的方法，我们计数整数点的完全相交的双射影空间中的不同边长的盒子，提供的变量的数量是足够大的程度上的定义方程和某些轨迹有关的奇异轨迹。建立了这些渐近性，我们推导出渐近公式的有理点对这些品种的反正则高度函数。特别地，我们建立了一个猜想Manin某些光滑超曲面在双射影空间的足够大的维数。
A motivic circle method
本文在簇的Grothendieck环背景下实现了圆法，直接逼近超曲面上有理曲线模空间的类，无需依赖点计数，深化了对其几何性质的理解。
Beyond the square-root barrier: cubic forms of Perazzo type
通过圆法研究特定立方四次型上的有理点，突破平方根障碍。
Free rational points on smooth hypersurfaces
受Peyre最近提出的一个问题的启发，我们应用Hardy-Littlewood圆方法来计算定义在有理数上的任意光滑低次射影超曲面上的有界高度的“充分自由”有理点.
A geometric version of the circle method
我们开发了一个几何版本的圆的方法，并使用它来计算空间的有理曲线通过一个点的光滑仿射超曲面上的足够低的次数的紧支撑的上同调。
On the saturation number for singular cubic surfaces
本文利用万有挠子、圆法和素数线性方程的结果，研究了奇异三次曲面上坐标具有较少素因子的有理点分布问题。
A higher genus circle method and an application to geometric Manin's conjecture
该研究从几何角度重新解释Hardy-Littlewood圆法并推广至高亏格光滑射影曲线，证明Davenport收缩引理的高亏格变体，还应用结果证明低次光滑超曲面真子簇的Fujita不变量小于1。
Zeta functions of nondegenerate hypersurfaces in toric varieties via controlled reduction in $p$-adic cohomology
我们给出了一个中期报告的Abbott-Kedlaya-Roe方法的一些改进和推广计算zeta函数的非退化的丰富的超曲面在一个投影正常的复曲面品种在$\mathbb{F}_p$在线性时间在$p$。这些都说明了一些例子，包括K3表面，卡-丘三倍，和一个立方四倍。后一个例子是出现在模空间上的Ranestad-Voisin共面因子中的一个非特殊的三次四重因子;这证明了共面因子不是Hassett意义下的Noether-Lefschetz因子。
Canonical singularities on moduli spaces of rational curves via the circle method
本文发展了圆法版本，证明了在维度相对于次数足够大时，光滑超曲面上的有理曲线空间仅含典范奇点。
The saturation number for Cayley's cubic surface
本文研究了Cayley三次曲面上的有理点在其坐标中素因子较少的情况下的稠密性。使用的关键工具是圆方法和通用torsors。
On the saturation number for cubic surfaces
本文研究了Fermat三次曲面和Cayley三次曲面上的有理点的稠密性。所使用的关键工具是加权筛，圆法和通用torsors。
Hasse principle for three classes of varieties over global function fields
本文给出了Hasse原理对以下定义在整体函数域上的超曲面的几何证明：具有奇特征的光滑二次超曲面，具有至少$4$特征的光滑三次超曲面，具有至少$7$特征的光滑三次超曲面，以及具有至少$3$特征的两个二次曲面的光滑完全交.在附录A中，我们解释了如何修改作者以前的论点，证明弱逼近的三次超曲面定义在函数域的曲线在代数闭域的特征至少$7$。在附录B中，我们证明了Kollár关于可分有理连通簇的基本群的结果的一些推论。
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