Rational points on cubic hypersurfaces over $\mathbb{F}_q(t)$
Tim Browning, Pankaj Vishe
对特征大于3的任意有限域k，建立了函数域k（t）上非奇异三次超曲面X的Hasse原理和弱逼近，条件是X的维数至少为6.
For any finite field k of characteristic exceeding 3, the Hasse principle and weak approximation is established for non-singular cubic hypersurfaces X over the function field k(t), provided that X has dimension at least 6.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Weak Approximation for Cubic Hypersurfaces of Large Dimension
研究了数域上一般三次超曲面的弱逼近问题。特别地，弱逼近建立的光滑轨迹的投影，几何整的，非圆锥立方超曲面，至少有17个维度。证明利用哈代-利特尔伍德循环方法和纤维化方法。
Manin's conjecture for a class of singular cubic hypersurfaces
令$n$是$4$的正倍数。本文建立了由$$ x^3=(y_1^2 + \cdots + y_n^2)z . $$定义的奇异三次超曲面$S_n$上有界高有理点个数的渐近公式。这个结果有两个方面的新内容：首先，它可以看作是Davenport或Heath-Brown经典定理中未涉及的奇异三次超曲面上有理点稠密性研究的一个小小的开端;其次，证明了关于上述奇异三次超曲面$S_n$的Manin猜想.
Cubic hypersurfaces and a version of the circle method for number fields
对数域K/Q发展了Hardy-Littlewood圆方法的一个版本，并证明了当K上的非奇异射影三次超曲面的维数至少为8时，它们总有一个K-有理点.
Arithmetic purity of strong approximation for complete intersections of large dimension
该研究对数域上光滑几何整的三次超曲面，建立了强逼近的算术纯性，给出了一般情况与有理数域下不同的维度阈值。
Rational curves on cubic hypersurfaces over finite fields
给定特征大于3的有限域上的光滑三次超曲面$X$和$X$上的两个泛点，利用Hardy-Littlewood圆方法的函数域模拟，得到了$X$上通过这两个点的次数$d$有理曲线个数的渐近公式.我们用它来推导的尺寸和不可约的模空间参数化的曲线，足够大的$d$。
Rational points on cubic hypersurfaces that split off two forms
我们证明了，如果$X\subseteq \mathbb{P}^{n-1}$，定义在$\mathbb{Q}$的三次型，分裂出两个形式，与$n\geq 11$，那么$X(\mathbb{Q})$是非空的。这同样适用于具有$m_1\geq 4$和$m_2\geq 5$的$(m_1,m_2)$ -形式。
Rational lines on cubic hypersurfaces II
本文研究了三次超曲面上的有理直线问题，通过引入二次型线性空间和虚二次数域上的三次型结果，将三次超曲面的有理直线存在下界从33降低至29。
Rational lines on cubic hypersurfaces
证明了有理数上维数至少为$29$的光滑射影三次超曲面包含一条有理线。我们的方法的一个变化提供了一个类似的结果在p-adic领域。在这两种情况下，由于第二作者和Wooley，我们改进了以前的结果。我们包括一个附录中，我们强调了一些轻微的修改，最近的结果Papanikolopoulos和Siksek。由此可见，维数至少为29的光滑射影三次超曲面上的有理点集是由单点通过割线和切线构造生成的。
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces, II
本文通过改进小弧均值估计并利用两个维度上的变量平移技巧，建立了18个或更多变量对角三次超曲面上有理线数量的预期渐近公式。
How often does a cubic hypersurface have a rational point?
本文借助三次超曲面平均满足 Hasse 原理的新结果，按三次型高度计算 $n\geq4$ 时含有理点的超曲面比例，并给出 $n=3$ 三次曲面的精确猜想。
Complete intersections of cubic and quadric hypersurfaces over $\mathbb{F}_q(t)$
本文用二维 delta 方法证明 $\mathbb{F}_q(t)$ 上高维非奇异三次与二次超曲面完全交的有界高度有理点渐近公式，并验证弱逼近。
The distribution of semi-integral points on a class of singular cubic hypersurfaces
本文研究了某一类奇异立方超曲面上半整点的计数函数渐进行为，并证明该渐进行为与Manin猜想在a-不变量和b-不变量上的预测一致。
Manin's conjecture for singular cubic hypersurfaces
设SQ表示x3 = Q（y1，. ..其中Q是m个整数系数的本原正定二次型。当Q变化时，这个S Q的值域在一类奇异三次超曲面上.对于S_Q，我们证明了（i）Manin猜想成立，如果Q是局部确定的，且2| m和m 4;（ii）一般来说，Manin猜想在一个前导常数下成立，如果2| m和m 6。
Height of rational points on random Fano hypersurfaces
本文用统计的方法研究了有理数域上Fano超曲面上有理点的最小高度。一路上，我们建立了一个平均版本的Manin猜想的数量的有理点的有限高度的Fano品种的完整家庭的Fano超曲面的固定程度和尺寸。
On a conjecture of Wooley and lower bounds for cubic hypersurfaces
本文研究高维非退化有理三次超曲面上有界高度有理点的计数下界，在变量数至少为39时证明 $N(X,B)\gg B^{n-9}$，证实 Wooley 关于足够大维数非锥形三次超曲面的猜想。
Counting rational points on biquadratic hypersurfaces
建立了充分多变量的任意光滑双二次超曲面的某个Zebrski开子集上有界反正则高的有理点个数的渐近公式.证明使用Hardy-Littlewood圆方法。
The density of fibres with a rational point for a fibration over hypersurfaces of low degree
证明了锥束纤维化中具有有理点的纤维比例的渐近性。纤维化的基是一般的低次超曲面。
Rational points on intersections of cubic and quadric hypersurfaces
本文研究了定义在有理数上的二次和三次超曲面的完全相交的Hasse原理。
Counting rational points on hypersurfaces
设$F(x_1,...,x_n)$是次数$d\geq 2$的一种形式，它在$\mathbb{P}^{n-1}$中产生一个几何不可约超曲面。本文研究了F=0上高度至多为$B$的有理点的个数.无论何时$n<6$，或者无论何时超曲面不是直线的并集，我们都得到了本质上是最好的估计，并且在$d$和$n$中是一致的。
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces
本文通过多维变量移位和剪枝论证，结合Parsell-Vinogradov系统的最新进展，证明了当s≥19时，对角三次超曲面∑_{i=1}^s c_i x_i^3=0上有理线的渐近估计，改进了此前s≥21的界限。
Rational approximation on cubic hypersurfaces
针对数域上存在k-有理直线的光滑三次超曲面，研究其有理点的逼近常数计算问题，完成了对应常数的推导并验证了Coba猜想，为相关代数几何与数论研究提供了支撑。
Counting rational points on cubic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的几何整的射影三次超曲面，维数为D，奇异轨迹维数至多为D-4。对任意ε>0，我们证明了X包含O（B^{D+ε}）个高度至多为B的有理点.这个估计中隐含的常数取决于ε的选择和定义X的三次型的系数。
Rational curves on smooth cubic hypersurfaces over finite fields
设k是特征超过3的有限域。本文证明了k上任意维数至少为11的光滑三次超曲面上的固定次数的有理曲线空间是不可约的，且具有期望维数。
Looking for rational curves on cubic hypersurfaces
这些都是大大扩大笔记讲座的JK在暑期学校“高维几何有限域“在哥廷根，2007年6月。第一部分概述了这些方法。主要的新结果是有限域上光滑三次超曲面上通过给定点集的有理曲线的构造。
Rational points on cubic hypersurfaces that split off a form
设X是定义在有理数上的11维或更高维的射影三次超曲面。本文证明了X包含有理点，条件是定义X的三次型可以写成两个无公共变量的三次型之和。--本文的特点是附录“Groupe de Brauer non ramifié des hypersurfaces cubiques singulières（d 'après P. Salberger）"，由J. L.科里奥-泰涅
Integral points on cubic hypersurfaces
设g是一个整数系数的三次多项式，n>9个变量，并假设同余式g=0模p^k对所有素数幂p^k都是可解的。证明了当方程g=0的立方部分定义一个射影超曲面且其奇异轨迹的维数小于n-10时，方程g=0有无穷多个整数解.证明基于Hardy-Littlewood圆方法。
Rational points on certain quintic hypersurfaces
设$f(x)=x^5+ax^3+bx^2+cx \in \Z[x]$，考虑由方程\cal{V}_{f}：f（p）+f（q）=f（r）+f（s）给出的五次超曲面。在$b\neq 0$假设下，证明了存在包含在$\cal{V}_{f}$中的$\Q$ -单有理椭圆曲面.如果$b=0, a<0$和$-a\not\equiv 2,18,34 \pmod {48}$，则存在包含在$\cal{V}_{f}$中的$\Q$ -有理曲面.证明了对于每个五次$f$，存在包含在$\cal{V}_{f}$中的$\Q(i)$ -有理曲面.
Density of rational points on manifolds and Diophantine approximation on hypersurfaces
在这篇文章中，我们建立了一个类似的维数增长猜想，这是关于$\mathbb{R}^n$的紧致子流形的射影簇上的有理点的密度，具有非零曲率。我们还建立了一般超曲面上同时$ψ$ -可逼近点集的收敛理论，从而解决了一般超曲面同时设置下的广义Baker-Schmidt问题.这些结果得到的最佳上界的密度的有理点附近的形式$\{ (\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) \in \mathbb{R}^{d+1}: \mathbf{x} \in B_ν(\mathbf{x}_0) \}$的流形的$f$在$\mathbf{x}_0$和$ν> 0$足够小的非零黑塞矩阵的最佳上限的后果。
Weak Approximation for Cubic Hypersurfaces and Degree 4 del Pezzo Surfaces
本文证明了以下关于整体域上光滑三次超曲面和四次del Pezzo曲面的弱逼近定理。(1)对于定义在整体函数域上的三次超曲面，如果存在一个有理点，则弱逼近在剩余域至少有11个元素的好约化的地方成立。(2)对于定义在整体函数域上的4次del Pezzo曲面，如果存在一个有理点，则弱逼近在剩余域至少有13个元素的好约化点处成立. (3)弱逼近对于定义在特征不等于2，3，5的整体函数域或纯虚数域上的维数至少为10的三次超曲面成立。
The density of rational lines on hypersurfaces: A bihomogeneous perspective
令$F$是$n$变量的$d$次非奇异齐次多项式。本文给出了$(\mathbf x, \mathbf y)$与$|\mathbf x| \le X$和$|\mathbf y| \le Y$构成的整数点对的渐近公式，这些点对生成一条位于由$F$定义的超曲面中的直线，条件是$n > 2^{d-1}d^4(d+1)(d+2)$ .特别地，通过限制到Zakowski开子集，我们能够避免对$X$和$Y$的相对大小施加任何条件。
Counting rational points on smooth hypersurfaces with high degree
本文研究有理数域上光滑高次超曲面的有界高度有理点计数，给出新上界，并在维数与次数条件下改进维数增长猜想界，同时推广到射影闭包光滑的仿射情形。
Cubic forms over imaginary quadratic number fields and pairs of rational cubic forms
该研究拓展Heath-Brown的有理三次型成果，证明14变量以上虚二次数域三次型非平凡表示零，推导得s≥627时有理三次型对有非平凡解，还证明33变量以上有理三次超曲面含有理直线、对应三次型有殆素数解。
How to calculate the proportion of everywhere locally soluble diagonal hypersurfaces
本文建立了一种计算固定次数$\mathbb{P}^{n}$的处处局部可解对角超曲面的比例的策略。我们的战略基于Bright、Browning和Loughran建立的产品配方。他们的公式将问题简化为计算所有位置$v$的$\mathbb{Q}_{v}$ -可解对角超曲面的比例。作为工作的例子，我们执行我们的策略的情况下，二次和三次超曲面。因此，我们证明了对角立方$4$ -褶皱的$99.99\%$周围有$\mathbb{Q}$ -有理点的Brauer-Manin阻塞的假设下。
Hypergeometric series and Hodge cycles of four dimensional cubic hypersurfaces
本文研究了四维三次超曲面的高斯超几何函数的值与Hodge圈向量空间维数之间的关系。由于霍奇猜想是众所周知的，这些品种，我们计算的值的超几何级数的某些$CM$点。我们的方法是基于计算的Picard-Fuchs方程在更高的维度，减少他们的高斯方程，然后应用阿贝尔子群定理相应的超几何阿贝尔簇。
Counting rational points on affine hypersurfaces
该研究通过量化Hilbert不可约定理，给出了不可约仿射超曲面上有理点有界高度数目的上界，为数论中的点计数问题提供了新的理论工具。
Equidistribution of values of linear forms on a cubic hypersurface
令$C$是在$n$变量中具有有理系数的三次形式，并且令$h$是$C$的$h$ -不变量。设$L_1, \ldots, L_r$是具有实系数的线性型，使得如果$\boldsymbolα \in \mathbb{R}^r \setminus \{ \boldsymbol{0} \}$，则$\boldsymbolα \cdot \mathbf{L}$不是有理型。假设$h > 16 + 8 r$ .设$\boldsymbolτ \in \mathbb{R}^r$和$η$为正实数。我们证明了系统$C(\mathbf{x}) = 0, \: |\mathbf{L}(\mathbf{x}) - \boldsymbolτ| < η$的整数解加权数$\mathbf{x} \in [-P,P]^n$的一个渐近公式。如果线性型的系数在有理数上代数无关，则我们可以用假设$n > 16 + 9 r$代替$h$不变条件，证明系统有整数解.最后，我们表明，$\mathbf{L}$在整数零的$C$的值是均匀分布的模1在$\mathbb{R}^r$，只需要$h > 16$。
Free rational points on smooth hypersurfaces
受Peyre最近提出的一个问题的启发，我们应用Hardy-Littlewood圆方法来计算定义在有理数上的任意光滑低次射影超曲面上的有界高度的“充分自由”有理点.
Many cubic surfaces contain rational points
最近的工作的Bhargava-Elkies-Schnidman和Kriz-李的基础上，我们产生无穷多个光滑的三次曲面定义在该领域的有理数包含有理点。
Rational curves on smooth hypersurfaces of low degree
利用解析数论的工具研究了任意低次光滑超曲面上的有理曲线族。
Counting rational points on the Cayley ruled cubic
我们计数有理点的有界高度的凯莱规则的三次曲面和解释的背景下，由于Batyrev和Tschinkel的一般结构的结果。
Cubic surfaces with one rational line over finite fields
设Fq是一个有限域，q=8或q至少为16。设S是定义在Fq上的光滑三次曲面，至少包含一条有理线。我们利用鸽子洞原理证明了S上的所有有理点都是从一个点通过切线和割线运算生成的。
Rational points on quartic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的4次非奇异射影超曲面。假设X的维数为39或更大，并且X包含一个实点和对每个素数p的p-adic点，则X包含无穷多个有理点。
Rational surfaces on low degree hypersurfaces
该研究借助函数域解析数论，明确了从射影平面到足够低次光滑超曲面的固定次态射模空间的不可约性与维数。
The density of rational points on non-singular hypersurfaces, II
本文建立了一个猜想：对于任意的$ε>0$，一个不等于线性空间的维数为$r$的非奇异射影超曲面包含高度至多为$B$的$O(B^{r+ε})$有理点.这个估计中的隐含常数最多取决于$ε, r$和超曲面的次数。
Distribution of rational points on random Fano hypersurfaces
本文证明了随机 Fano 超曲面上有理点平均数量的渐近公式，以及容许 adelic 点的超曲面数量的渐近公式。
A Mordell-Weil theorem for cubic hypersurfaces of high dimension
设$X$是有理数上维数为$n \ge 1$的光滑三次超曲面.众所周知，新的有理点可以通过割线和切线构造从旧的有理点获得。鉴于$n=1$的Mordell-Weil定理，Manin（1968）问是否存在一个有限集$S$，从这个有限集可以得到所有其他的有理点。我们对$n \ge 48$给出了肯定的回答，事实上我们可以把生成集$S$取为仅由一个点组成.我们的证明利用了Skinner的一个弱逼近定理，Browning，Dietmann和Heath-Brown关于高维二次曲面和三次曲面的交线上有理点的存在性定理，以及微分几何，代数几何和数值分析中的一些基本思想.
Rational points on complete symmetric hypersurfaces over finite fields
对于由$k\geq 3$元的有限域$\mathbb{F}_{q}$上的$k\geq 3$变量的次数$m$的完全对称多项式定义的任何仿射超曲面，我们定理的一个特殊情况是，如果$1\leq m \leq q-3$和$q$是奇数，则该超曲面在$\mathbb{F}_{q}$上至少有$6q^{k-3}$有理点。在我们的证明的一个关键因素是塞格雷的经典定理椭圆在有限的射影平面。
On the computation of rational points of a hypersurface over a finite field
设计并分析了一种基于“垂直条”搜索的有限域上超曲面的有理点的算法，即在给定方向上的平行线上搜索。我们的研究结果表明，平均而言，小于两个搜索就足以获得一个有理点。我们还分析了输出的概率分布，使用香农熵的概念，并证明该算法是有点接近任何“理想”的均匀分布的算法。
The density of rational points near hypersurfaces
我们建立了一个清晰的渐近公式的有理点的数量，直到一个给定的高度和一个给定的距离内的超曲面。我们的主要创新是一个自助方法，依赖于泊松求和，投影对偶和固定相位的稳定相位法的合成。这有令人惊讶的应用计数有理点躺在流形上，事实上，我们能够证明一个类似的塞尔的尺寸增长猜想（最初规定的投影品种）在这个一般的设置。作为我们主要计数结果的另一个结果，我们得到了超曲面上同时逼近的最优Jarník型定理。
Free rational curves on low degree hypersurfaces and the circle method
本文利用 Hardy–Littlewood 圆法的函数域版本分析低次数光滑射影超曲面上的自由有理曲线，从而界定有理曲线模空间奇异轨迹维数，并解释 Peyre 对 Batyrev–Manin 猜想的斜率化表述。
Lattice points in thickened parabolas and rational points near hypersurfaces
研究厚化抛物线中有理点的分布，利用动力学方法和Ratner定理，改进了超曲面附近有理点逼近的下界结果。
Quartic and Quintic hypersurfaces with dense rational points
设$X_4\subset\mathbb{P}^{n+1}$是无限域$k$上维数为$n\geq 4$的四次超曲面.我们证明了如果$X_4$包含一个线性子空间$Λ$的尺寸$h\geq \max\{2,\dim(Λ\cap \text{Sing}(X_4))-2\}$或有双点沿线性子空间的尺寸$h\geq 3$，一个光滑的$k$有理点，否则一般，那么$X_4$是unirational在$k$。这改进了A. Predonzan和J. Harris，B.马祖尔河四次曲线的Pandharipande。给出了数域上具有二重平面的四次$3$ -折叠的$k$ -有理点的密度结果，以及$C_r$域上五次超曲面的单有理性结果.
The density of rational points on non-singular hypersurfaces, I
设$X \subset \mathbb{P}^n$是$d>1$次的非奇异超曲面，设$ε>0$.本文讨论了$X$上存在高度至多为$B$的$O(B^{n-1+ε})$有理点的猜想，其中隐含常数只允许依赖于$d, ε$和$n$.特别是这一猜想被证明持有尽快$d>4$。利用证明中的主要思想得到了一类丢番图方程的新的贫量估计。
Slope-determinant method, complex cellular structures and hypersurface coverings of regular rational points
本文结合 Bombieri-Pila/Heath-Brown 行列式方法、Chen 的 Arakelov 斜率重构与 Binyamini-Novikov 复细胞结构，将正则有理点超曲面覆盖计数中的次多项式因子改进为多对数因子。
On the rationality problem for low degree hypersurfaces
本文研究了低次超曲面的有理性问题，证明了在特定条件下超曲面不具有对角分解，并改进了之前的相关结论。
Rational Points on the Fermat Cubic Surface
证明了费马三次曲面上有界高的有理点个数的下界与Manin的预言一致。作为应用，我们提供了一个简单的反例Manin的猜想在有理数。
Low degree hypersurfaces of projective toric varieties defined over a $C_1$ field have a rational point
拟代数闭域，或称$C_1$域，是根据一个低次条件定义的。也就是说，域$K$是$C_1$，如果射影空间$\mathbb{P}_K^n$的每一次$d$超曲面只要$d\leq n$就包含一个$K$ -点。在这篇文章中，我们定义了低复曲面度的概念，将这个条件推广到单射影分裂复曲面簇的超曲面。这使我们能够证明Kollár，Lang和Manin的$C_1$猜想的一个特殊情况：任何可以嵌入为$C_1$域上的超曲面的光滑可分离有理连通簇都有一个有理点。我们的结果是基于这样一个事实，即周围的环面品种是森梦空间：他们自然被赋予齐次坐标和他们的最小模型程序的作品在所有情况下。
Intrinsic Diophantine approximation on quadric hypersurfaces
本文研究了二次超曲面$M\subset\mathbb R^d$中的点如何能被$\mathbb Q^d\cap M$的有理点逼近的问题。这与$\mathbb Q^d$中所有有理点逼近流形中的点的更常见的设置形成对比。我们提供完整的答案，主要问题的丢番图逼近在这方面。特别感兴趣的是真正的和合理的定义二次型，数量的作用，在丢番图逼近的排名的影响从来没有以前阐明。我们的方法包括有理二次超曲面上的内在丢番图逼近理论与保持该超曲面的射影变换组的动力学之间的对应关系，类似于Dani（'86）和Kleinbock-Margulis（' 99）在非内在设置中的早期结果。
On cubic surfaces with a rational line
我们报告我们的项目，构建非奇异三次曲面上的$\bbQ$与合理的线。我们的方法是从对角形式的4度Del Pezzo曲面开始。对于这些，我们开发了一个明确的版本的伽罗瓦下降。
Counting rational points on smooth cubic surfaces
本文证明了定义在任意数域上的光滑三次曲面在小次扩张后可能满足Manin猜想所预言的下界。
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