Many cubic surfaces contain rational points
T. D. Browning
最近的工作的Bhargava-Elkies-Schnidman和Kriz-李的基础上，我们产生无穷多个光滑的三次曲面定义在该领域的有理数包含有理点。
Building on recent work of Bhargava--Elkies--Schnidman and Kriz--Li, we produce infinitely many smooth cubic surfaces defined over the field of rational numbers that contain rational points.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cubic forms over imaginary quadratic number fields and pairs of rational cubic forms
该研究拓展Heath-Brown的有理三次型成果，证明14变量以上虚二次数域三次型非平凡表示零，推导得s≥627时有理三次型对有非平凡解，还证明33变量以上有理三次超曲面含有理直线、对应三次型有殆素数解。
Counting rational points on the Cayley ruled cubic
我们计数有理点的有界高度的凯莱规则的三次曲面和解释的背景下，由于Batyrev和Tschinkel的一般结构的结果。
Cubic surfaces with one rational line over finite fields
设Fq是一个有限域，q=8或q至少为16。设S是定义在Fq上的光滑三次曲面，至少包含一条有理线。我们利用鸽子洞原理证明了S上的所有有理点都是从一个点通过切线和割线运算生成的。
Counting Rational Points on Cubic Curves
我们证明了有理数上定义的非奇异三次曲线上的有理点个数的上界。边界在曲线中是一致的，并且涉及相应雅可比矩阵的秩。证明中使用的方法是“行列式方法”与曲线上的m-下降的组合。
Torsion of rational elliptic curves over cubic fields and sporadic points on $X_1(n)$
对三次域上有理椭圆曲线的可能挠结构进行了分类。在此过程中，我们发现了一个先前未知的扭转结构，在一个三次域，$\Z /21 \Z$，它对应于一个零星的点$X_1(21)$的程度为3，这是一个零星的点上的最低程度的一个模曲线$X_1(n)$。
Using essentially only algebra, we give a proof that a cubic rational function over $\mathbb{C}$ with real critical points is equivalent to a real rational function. We also show that the natural generalization to $\mathbb{Q}_p$ fails for all $p$.
Rational lines on cubic hypersurfaces II
本文研究了三次超曲面上的有理直线问题，通过引入二次型线性空间和虚二次数域上的三次型结果，将三次超曲面的有理直线存在下界从33降低至29。
The density of rational points on Cayley's cubic surface
凯莱三次曲面由方程sum_{i=1} ^4 X_i^{-1}=0给出。我们证明了大小至多为B的非平凡本原整数点的个数是B（log B）^[6]的正序，正如马宁猜想所预言的那样。
Rational points on cubic hypersurfaces over $\mathbb{F}_q(t)$
对特征大于3的任意有限域k，建立了函数域k（t）上非奇异三次超曲面X的Hasse原理和弱逼近，条件是X的维数至少为6.
Torsion of rational elliptic curves over different types of cubic fields
设$E$是定义在$\Q$上的椭圆曲线，$G$是某个不出现在$\Q$上的三次域$K$的扭群$E(K)_{tors}$.本文确定了在哪些类型的立方数域（循环立方、非Galois全实立方、复立方和纯立方）上$G$可能出现，如果可能，它是否可能无限频繁地出现.此外，如果它发生，我们提供椭圆曲线$E/\Q$与三次域$K$，使$G= E(K)_{tors}$。
Rational points on cubic hypersurfaces that split off two forms
我们证明了，如果$X\subseteq \mathbb{P}^{n-1}$，定义在$\mathbb{Q}$的三次型，分裂出两个形式，与$n\geq 11$，那么$X(\mathbb{Q})$是非空的。这同样适用于具有$m_1\geq 4$和$m_2\geq 5$的$(m_1,m_2)$ -形式。
On the Divisibility of Class Numbers of Cubic Number Fields with Discriminants in a Prescribed Rational Quadratic Class
设n是奇数，F是具有奇判别式的虚二次域.证明了存在无穷多个三次域K，使得K的类数可被n整除，且K的Galois闭包包含F.
Rational curves on cubic hypersurfaces over finite fields
给定特征大于3的有限域上的光滑三次超曲面$X$和$X$上的两个泛点，利用Hardy-Littlewood圆方法的函数域模拟，得到了$X$上通过这两个点的次数$d$有理曲线个数的渐近公式.我们用它来推导的尺寸和不可约的模空间参数化的曲线，足够大的$d$。
Rational lines on cubic hypersurfaces
证明了有理数上维数至少为$29$的光滑射影三次超曲面包含一条有理线。我们的方法的一个变化提供了一个类似的结果在p-adic领域。在这两种情况下，由于第二作者和Wooley，我们改进了以前的结果。我们包括一个附录中，我们强调了一些轻微的修改，最近的结果Papanikolopoulos和Siksek。由此可见，维数至少为29的光滑射影三次超曲面上的有理点集是由单点通过割线和切线构造生成的。
On a pair of cubic equations associated with perfect cuboids
完美长方体是具有整数边和整数面对角线的矩形平行六面体，其空间对角线也是整数。这种长方体的存在既没有被证明，也没有被证伪。有理完全长方体是与完全长方体绝对等价的完全长方体的自然伙伴。它的边和面对角线是有理数，而它的空间对角线等于1。最近，基于对称约化，证明了有理完美长方体的边是某个有理系数依赖于两个有理参数的三次方程的根。这个长方体的面对角线是另一个三次方程的根，该方程的系数是取决于相同的两个有理参数的有理数。本文研究这两个三次方程的约化问题。找到了它们在有理数域上约简的六种特殊情形。
The proportion of plane cubic curves over ${\mathbb Q}$ that everywhere locally have a point
我们证明了在${\mathbb Q}_p$上具有${\mathbb Q}_p$ -有理点的平面三次曲线的比例是$p$中的有理函数，其中有理函数与$p$无关，并且我们明确地确定了这个有理函数。因此，我们得到了${\mathbb Q}$上局部处处有点的平面三次曲线的密度;数值上，这个密度被证明是$\approx 97.3\%$。
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces, II
本文通过改进小弧均值估计并利用两个维度上的变量平移技巧，建立了18个或更多变量对角三次超曲面上有理线数量的预期渐近公式。
Rational Points on Diagonal Cubic Surfaces
本文在假设椭圆曲线的Tate-Shafarevich群有限的前提下，证明了特定对角三次曲面存在有理点。
A Clean Approach to Rational Cubic Residues
1958年E.莱默发现了一个明确的描述这些素数p的一个给定的素数q是一个三次剩余。在本文中，我们证明了一个类似的结果，可以得到三次非剩余，产生一个三次字符固定p，提供了一个有效的手段，以确定是否一个任意整数c是一个三次剩余模p。作为这种技术的说明，我们确定是否1982是一个三次剩余模131位素数p=（3^19+5^82）/4，这个问题基本上不可能用Lehmer的原始标准来回答。
How often does a cubic hypersurface have a rational point?
本文借助三次超曲面平均满足 Hasse 原理的新结果，按三次型高度计算 $n\geq4$ 时含有理点的超曲面比例，并给出 $n=3$ 三次曲面的精确猜想。
The Uniform Primality Conjecture for the Twisted Fermat Cubic
在扭曲的费马三次函数上，一个椭圆整除序列作为单个有理点的倍数的乘子序列而出现。我们证明了序列中素项的个数是一致有界的。当一个有理点是另一个有理点在某个3-不等式下的像时，所有超过第一个的项都不是素数。
On the Hermite problem for cubic irrationalities
在本文中，埃尔米特问题已接近找到一个周期表示（通过周期有理或整数序列）的任何立方无理性。换句话说，把三次无理数写成有理数或整数的周期序列的问题已经解决了。特别地，利用三次无理数和线性递归序列的代数性质，证明了周期多维连分数（前周期为2，周期为3）收敛于给定的三次无理数.这个多维的连分数是从Jacobi算法的修改，这是周期性的，当且仅当输入是三次无理数。此外，这种表示提供了三次无理数的同时有理逼近。
Binary Cubic Forms and Rational Cube Sum Problem
本文利用整二元三次型研究有理数立方和问题，无条件证明了在特定剩余类中存在无穷多个素数可表示为两个有理数的立方和。
Rational Points on the Fermat Cubic Surface
证明了费马三次曲面上有界高的有理点个数的下界与Manin的预言一致。作为应用，我们提供了一个简单的反例Manin的猜想在有理数。
Rational solutions of pairs of diagonal equations, one cubic and one quadratic
本文通过获得指数和 $αx^3+βx^2$ 的 32/3 阶矩的最优估计，在局部可解性假设下证明变量数超过 10 时一对三次和二次对角方程存在非平凡整数解。
Rational points on intersections of cubic and quadric hypersurfaces
本文研究了定义在有理数上的二次和三次超曲面的完全相交的Hasse原理。
Ideal Classes of Order $2^n$ in a Family of Totally Real Cubic Fields and Rational Points on Associated Elliptic Curves
本文构造了具有指定理想类阶的Ennola三次域，并通过椭圆曲线和Pell方程获得多个独立有理点及高秩纤维。
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces
本文通过多维变量移位和剪枝论证，结合Parsell-Vinogradov系统的最新进展，证明了当s≥19时，对角三次超曲面∑_{i=1}^s c_i x_i^3=0上有理线的渐近估计，改进了此前s≥21的界限。
Rational approximation on cubic hypersurfaces
针对数域上存在k-有理直线的光滑三次超曲面，研究其有理点的逼近常数计算问题，完成了对应常数的推导并验证了Coba猜想，为相关代数几何与数论研究提供了支撑。
Counting rational points on cubic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的几何整的射影三次超曲面，维数为D，奇异轨迹维数至多为D-4。对任意ε>0，我们证明了X包含O（B^{D+ε}）个高度至多为B的有理点.这个估计中隐含的常数取决于ε的选择和定义X的三次型的系数。
On cubic surfaces with a rational line
我们报告我们的项目，构建非奇异三次曲面上的$\bbQ$与合理的线。我们的方法是从对角形式的4度Del Pezzo曲面开始。对于这些，我们开发了一个明确的版本的伽罗瓦下降。
Torsion subgroups of rational elliptic curves over the compositum of all cubic fields
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，$\mathbb{Q}(3^\infty)$是$\mathbb{Q}$的所有三次扩张的合成。在这篇文章中，我们表明，扭转子群的$E(\mathbb{Q}(3^\infty))$是有限的，并确定其结构的20种可能性，以及一个完整的描述$\overline{\mathbb{Q}}$ -同构类的椭圆曲线，属于每种情况下。我们提供合理的参数化的16扭转结构，发生在无限多个$\overline{\mathbb{Q}}$ -同构类的椭圆曲线，和一个完整的列表的$j$ -不变量的4个不。
Counting rational points on smooth cubic surfaces
本文证明了定义在任意数域上的光滑三次曲面在小次扩张后可能满足Manin猜想所预言的下界。
Quadratic congruences on average and rational points on cubic surfaces
研究了一类二次同余方程的平均解数。作为应用，我们建立了奇性类型为A_5+A_1的三次曲面的Manin猜想。
Rational curves on smooth cubic hypersurfaces over finite fields
设k是特征超过3的有限域。本文证明了k上任意维数至少为11的光滑三次超曲面上的固定次数的有理曲线空间是不可约的，且具有期望维数。
The density of rational points on a certain singular cubic surface
我们证明了位于$x_1x_2x_3=x_4(x_1+x_2+x_3)^2$的三次曲面上的最多$B$上的高度的非平凡有理点的数目具有数量级$B(\log B)^6$。这与Manin猜想一致。
Looking for rational curves on cubic hypersurfaces
这些都是大大扩大笔记讲座的JK在暑期学校“高维几何有限域“在哥廷根，2007年6月。第一部分概述了这些方法。主要的新结果是有限域上光滑三次超曲面上通过给定点集的有理曲线的构造。
Rational points on cubic hypersurfaces that split off a form
设X是定义在有理数上的11维或更高维的射影三次超曲面。本文证明了X包含有理点，条件是定义X的三次型可以写成两个无公共变量的三次型之和。--本文的特点是附录“Groupe de Brauer non ramifié des hypersurfaces cubiques singulières（d 'après P. Salberger）"，由J. L.科里奥-泰涅
On the rational points in conics of a cubic surface
本文通过推广的全局行列式方法，研究了三次曲面中圆锥提供的有理点的有界高度上界问题。
Inhomogeneous cubic congruences and rational points on del Pezzo surfaces
对于给定的非零整数a，b，q，我们研究了二元三次同余ax^2+by^3=0（mod q）的整数解（x，y）的密度.我们用它来建立Manin猜想的奇异del Pezzo曲面的度2定义的有理数和检查分布的椭圆曲线的平方免费的判别。
Distance between cubics and rationals
本文基于三次无理数与有理数的距离问题，利用abc猜想和Hall猜想，探讨了三次多项式根分离问题，并在函数域中给出了D_{3,1}的完整描述。
A note on the field isomorphism problem of X^3+sX+s and related cubic Thue equations
通过三次Thue方程族$x^3-2mx^2y-9mxy^2-m(2m+27)y^3=λ$的原始解，研究了有理数域上三次一般多项式$s$的域同构问题，其中$λ^2$是$m^3(4m+27)^5$的一个因子.
Rational points on even dimensional Fermat cubics
本文利用低次多项式的显式有理参数化，证明偶数维 Fermat 三次超曲面在特征非三的任意域上有理，并导出数域有理点估计及一类二次—三次 Cremona 对应。
Counting rational points on smooth cubic curves
我们使用一个全球版本的Heath-Brown的$p-$ adic行列式方法Salberger开发的高度最$B$上定义的非奇异三次曲线上的$\mathbb{Q}$的有理点的数量的上界。的界限是一致的，在这个意义上，他们只依赖于相应的雅可比矩阵的秩。
Affine congruences and rational points on a certain cubic surface
我们建立了某些仿射同余的解的个数的估计。然后利用这些估计证明了Q上分裂的三次曲面的Manin猜想，其奇异性类型为D_4。这改善了布朗宁的结果，并回答了Tschinkel提出的问题。
Torsion of rational elliptic curves over cubic fields
设E是定义在Q上的椭圆曲线。研究了扭群E（Q）_tors与扭群E（K）_tors之间的关系，其中K是立方数域.特别地，我们研究了使得E（Q）_tors \neq E（K）_tors的立方数域K的个数.
Manin's conjecture for a class of singular cubic hypersurfaces
令$n$是$4$的正倍数。本文建立了由$$ x^3=(y_1^2 + \cdots + y_n^2)z . $$定义的奇异三次超曲面$S_n$上有界高有理点个数的渐近公式。这个结果有两个方面的新内容：首先，它可以看作是Davenport或Heath-Brown经典定理中未涉及的奇异三次超曲面上有理点稠密性研究的一个小小的开端;其次，证明了关于上述奇异三次超曲面$S_n$的Manin猜想.
We determine all modular curves $X_0^+(N)$ that admit infinitely many cubic points over the rational field $\mathbb{Q}$.
Torsion growth over cubic fields of rational elliptic curves with complex multiplication
本文是对椭圆曲线在基变换下的挠增长性分类的一个贡献。本文讨论有理数域上椭圆曲线的复乘情形。对于这种特殊的情况下，我们给出了一个描述的可能扭转增长的立方领域和一个完全明确的描述这种增长的一些不变量附加到一个给定的椭圆曲线。
Counting rational points over number fields on a singular cubic surface
Manin的一个猜想预言了定义在数域K上的某些代数簇上的K-有理点的分布。近年来，一种利用万有扭矢的方法已成功地应用于有理数域Q上Manin猜想的几个困难特例。结合这种方法和Schanuel的技巧，我们给出了关于奇异三次曲面S的任意数域上Manin猜想的一个证明.
Perfect powers generated by the twisted Fermat cubic
在扭曲的费马三次函数上，一个椭圆整除序列作为单个有理点的倍数的乘子序列而出现。证明了首项大于1的序列中存在n个完全幂。此外，如果第一项可被6整除，并且生成点是另一个有理点的三倍，则序列中不存在完全幂，除了可能在首项中存在某个l整除2阶的l的l次幂。
We study and partially classify cubic rational expressions $g(x)/h(x)$ over a finite field $\mathbb{F}_q$, up to pre- and post-composition with independent Möbius transformations. In particular, we obtain a full classification when $q$ is even, and prove an upper bound of $4q$ for the number of equivalence classes when $q$ is odd.
Gaussian rational points on a singular cubic surface
Manin猜想预言了代数簇上有界高的有理点个数的渐近行为。对于复曲面簇，Batyrev和Tschinkel通过高度zeta函数和泊松公式的应用证明了这一点。到目前为止，马宁猜想的另一种方法是通过通用torsors，主要用于有理数的域Q上。本文对由t^3=xyz定义的奇异复曲面三次曲面，证明了Gauss有理数Q（i）及类数为1的虚二次数域上的Manin猜想.
On two elliptic curves associated with perfect cuboids
一个有理完美长方体是一个长方体，它的边和面对角线由有理数给出，并且它的空间对角线等于1。找到这样一个长方体就等价于找到一个完美的长方体，它的所有边和对角线都是整数，这是一个古老的未解决的问题。最近，基于对称方法，证明了有理完美长方体的边和面对角线是两个系数依赖于两个有理参数的三次方程的根。已发现这些三次方程可约的六种特殊情况，本文又考虑了这些三次方程可约的两种可能情况。它们导致一对椭圆曲线。
Rational points on Cubic, Quartic and Sextic Curves over Finite Fields
令$\mathbb{F}_q$表示具有$q$元素的有限域。本文利用椭圆曲线上有理点的个数，给出$\mathbb{F}_q$上适当的低次曲线上有理点的个数。在$q$是素数的情况下，我们给出了计算这些数的方法。作为这些结果的结果，我们的特点给出的形式$ax^3+by^3+cz^3=0$和$ax^4+by^4+cz^4=0$方程的最大和最小曲线。
Beyond the square-root barrier: cubic forms of Perazzo type
通过圆法研究特定立方四次型上的有理点，突破平方根障碍。
Complete description of rational points of Diophantine equation x4+y4=z4+w4
本文考虑丢番图方程x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4（1）构造了一类三次曲线，证明了四次曲线x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4上的每个有理点都可以映射到这类曲线上的一个点。我们还证明了相反的情况：属于我们的曲线族的每个有理点都可以映射到Quartica上的一个有理点。(2)我们找到我们的家庭曲线对应的一个参数的解决方案伦纳德欧拉。我们构造了几个新的参数解决方案，我们Quartica，使用参数解决方案的伦纳德欧拉和代数运算的三次曲线。(3)We提出了一个算法，以找到所有的有理点在我们的Quartica。
Intermediate modular curves with infinitely many cubic points over $\mathbb{Q}$
本文确定了所有在有理数域$\mathbb{Q}$上具有无穷多个三次点的中间模曲线$X_Δ(N)$。
On singularities of the inverse problems associated with perfect cuboids
最近导出了关于有理完美长方体的棱线和面对角线的两个三次方程和三个辅助方程。它们构成了两个反问题的背景。三次方程的系数和辅助方程的右端是两个有理参数的有理函数，即：e.他们有冰箱。因此，反问题有奇点。本文对这些奇点进行了研究。
Equidistribution of values of linear forms on a cubic hypersurface
令$C$是在$n$变量中具有有理系数的三次形式，并且令$h$是$C$的$h$ -不变量。设$L_1, \ldots, L_r$是具有实系数的线性型，使得如果$\boldsymbolα \in \mathbb{R}^r \setminus \{ \boldsymbol{0} \}$，则$\boldsymbolα \cdot \mathbf{L}$不是有理型。假设$h > 16 + 8 r$ .设$\boldsymbolτ \in \mathbb{R}^r$和$η$为正实数。我们证明了系统$C(\mathbf{x}) = 0, \: |\mathbf{L}(\mathbf{x}) - \boldsymbolτ| < η$的整数解加权数$\mathbf{x} \in [-P,P]^n$的一个渐近公式。如果线性型的系数在有理数上代数无关，则我们可以用假设$n > 16 + 9 r$代替$h$不变条件，证明系统有整数解.最后，我们表明，$\mathbf{L}$在整数零的$C$的值是均匀分布的模1在$\mathbb{R}^r$，只需要$h > 16$。
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