On the small cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
Merel关于强一致有界性猜想的结果使得对定义在固定次数数域$d$上的所有椭圆曲线的Mordell-Weil群的扭部分进行分类变得有意义。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=49,40,25$或$22$，证明了对于立方数域$K$上的任意椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群.
2018-12-13 math.NT
On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields
令$E$是在数字字段$K$上定义的椭圆。则其Mordell-Weil群$E(K)$被逆生成：$E(K)\cong E(K)_{tor}\times\mathbb{Z}^r$。本文讨论了立方数域上椭圆曲线的循环扭子群。对于$N=169,143,91,65,77$或$55$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
2017-03-22 math.NT
On the average $2$-torsion in class groups and narrow class groups of cubic orders with prescribed shape
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究了具有指定形状的三次域和三次阶的类群和狭义类群中2- torsion的平均值，通过改进Bhargava和Varma的方法得出了实二次域和复二次域的类群2- torsion平均大小以及实三次域狭义类群2- torsion平均大小的结论。
2026-10-07 math.NT
An algorithm for determining torsion growth of elliptic curves
该算法确定椭圆曲线挠增长的所有数域，应用于大量曲线并发现最低次孤立点。
2020-06-21 math.NT
Sporadic Cubic Torsion
本文完成了三次数域上椭圆曲线扭转子群的分类，通过确定特定模曲线的三次点及相关雅可比簇的秩，并为广义扭转猜想提供了证明证据。
2024-06-03 math.AG math.NT
Torsion of elliptic curves over cyclic cubic fields
本研究明确了循环三次域、非循环全实三次域与复三次域上椭圆曲线的全部可能挠群，填补了相关数论研究的空白。
2018-04-18 math.AG math.NT
Torsion subgroups of rational elliptic curves over the compositum of all cubic fields
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，$\mathbb{Q}(3^\infty)$是$\mathbb{Q}$的所有三次扩张的合成。在这篇文章中，我们表明，扭转子群的$E(\mathbb{Q}(3^\infty))$是有限的，并确定其结构的20种可能性，以及一个完整的描述$\overline{\mathbb{Q}}$ -同构类的椭圆曲线，属于每种情况下。我们提供合理的参数化的16扭转结构，发生在无限多个$\overline{\mathbb{Q}}$ -同构类的椭圆曲线，和一个完整的列表的$j$ -不变量的4个不。
2018-01-26 math.NT
Torsion of rational elliptic curves over cubic fields
设E是定义在Q上的椭圆曲线。研究了扭群E（Q）_tors与扭群E（K）_tors之间的关系，其中K是立方数域.特别地，我们研究了使得E（Q）_tors \neq E（K）_tors的立方数域K的个数.
2015-04-07 math.AG math.NT
The average sizes of two-torsion subgroups in quotients of class groups of cubic fields
我们证明了Bhargava关于平均尺寸$\mathrm{Cl}(K)[2]$的结果的推广，因为$K$在三次域之间变化。对于一个固定的有理素数集$S$，当$K$在具有固定签名的三次域之间变化时，我们得到了$\mathrm{Cl}(K)/\langle S \rangle[2]$的平均大小的一个公式，其中$\langle S \rangle$是$S$中素数以上的$K$的素数类所生成的$\mathrm{Cl}(K)$的子群.因此，我们能够计算出$n > 0$和松弛Selmer群$\mathrm{Sel}_2^S(K)$的$K_{2n}(\mathcal{O}_K)[2]$的平均大小，因为$K$在这些相同的家族中变化。
2017-09-19 math.NT
On the level of modular curves that give rise to isolated $j$-invariants
我们说曲线$C$上的一个闭点$x$是散点的，如果$C$最多只有2/4个闭点的次数为$\operatorname{deg}(x)$，如果它不在由$\mathbb{P}^1$或正秩阿贝尔簇参数化的有效次数$d$因子族中，则$x$是孤立的（见第4节更精确的定义和散点是孤立的证明）。基于椭圆曲线有理挠率的分类问题，我们研究了模曲线$X_1(N)$上的零星点和孤立点。特别是，我们表明，任何非尖点非CM零星的，分别孤立的，点$x \in X_1(N)$映射到一个零星的，分别孤立的，点上的模块化曲线$X_1(d)$，其中$d$是有界的常数只取决于$j(x)$。同时，我们表明，$d$是有界的一个常数，只取决于程度的$\mathbb{Q}(j(x))$，所以特别是有界的程度，产生零星或孤立的点，只有100多个$j$ -不变量。
2019-09-18 math.NT
Torsion growth over cubic fields of rational elliptic curves with complex multiplication
本文是对椭圆曲线在基变换下的挠增长性分类的一个贡献。本文讨论有理数域上椭圆曲线的复乘情形。对于这种特殊的情况下，我们给出了一个描述的可能扭转增长的立方领域和一个完全明确的描述这种增长的一些不变量附加到一个给定的椭圆曲线。
2019-09-02 math.AG math.NT
A criterion to rule out torsion groups for elliptic curves over number fields
我们提出了一个准则，证明某些群的形式$\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z$不出现任何椭圆曲线的扭子群在适当的（家庭）数域。我们应用这个准则来消除某些群作为扭转群的椭圆曲线在三次和四次域。我们还利用这个准则给出了发生在特定三次域和特定四次域上的所有椭圆曲线的挠群的列表。
2015-05-07 math.NT
On the mean number of 2-torsion elements in the class groups, narrow class groups, and ideal groups of cubic orders and fields
给定任意一族由局部条件定义的三次域，当按其绝对判别式排序时，我们确定了该类域的类群和窄类群中2-扭元的平均个数.对于三次域中的一个阶$\cal O$，我们研究了三个群：$\rm Cl_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的理想类群; $\rm Cl^+_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的窄理想类群;以及${\cal I}_2(\cal O)$，2阶$\cal O$的理想群。我们证明了差异的平均值$|\rm Cl_2({\cal O})|-\frac14|{\cal I}_2(\cal O)|$总是等于$1$，无论是平均超过最大的订单在真正的三次领域，在所有订单在真正的三次领域，或确实超过任何家庭的真正的三次订单定义的当地条件。对于窄类群，我们证明了对于任何这样的族，差的平均值$|\rm Cl^+_2({\cal O})|-|{\cal I}_2(\cal O)|$等于$1$。对于由局部条件定义的任何复三阶数族，我们同样证明了差的平均值$|\rm Cl_2(\mathcal O)|-\frac12|{\cal I}_2(\cal O)|$总是等于$1$，与族无关。这些平均数的确定使我们能够证明一些进一步的结果作为副产品。与二次域的情形形成鲜明对比的是，我们证明了：1）正比例的三次域具有奇数类数; 2）正比例的实三次域在类群和窄类群中具有同构的2-挠率; 3）正比例的实…
2014-02-24 math.NT
Torsion of elliptic curves over cubic fields
虽然不知道哪些群可以出现为立方数域上的椭圆曲线的挠群，但已知哪些群可以出现为无穷多个非同构曲线。我们将这些群的集合表示为$S$。本文讨论了三次域上椭圆曲线的挠率的三个问题。首先，我们研究了判别式绝对值最小且具有伽罗瓦群$S_3$的域上和判别式绝对值最小且具有伽罗瓦群$\Z/3\Z$的域上的椭圆曲线的可能挠群.其次，对除两个群$G\in S$外的所有群，我们找到了具有最小判别式绝对值的域$K$，使得存在$G$为挠率的$K$上的椭圆曲线.最后，对每一个$G\in S$和每一个三次域$K$，我们确定是否存在无穷多个非同构的带挠$G$的椭圆曲线.
2011-08-18 math.AG math.NT
The mean number of $2$-torsion elements in the class groups of cubic orders
本文确定了三次序类群中2-挠元的平均个数，并将其推广到任意奇数维情形，给出了可约SL_N(Z)-轨道的渐近计数公式。
2024-08-31 math.NT
Tamagawa numbers of elliptic curves with prescribed torsion subgroup or isogeny
本文研究了三次域上具有挠率$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$的椭圆曲线和具有$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$在$\mathbb{Q}$上等距的椭圆曲线的Tamagawa数，其中对$n\in\{6,8,10,12,14,16,17,18,19,37,43,67,163\}$ . Bruin和Najman证明了三次域上每一条挠率为$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$的椭圆曲线都是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的基变换。我们发现定义在三次域上的带挠率$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的Tamagawa数总是能被$14^2$整除的，其中每个因子$14$来自一个具有$I_{14k},$型分裂乘法约化的有理素数，其中之一总是$p=2.$，唯一的例外是曲线1922.e2，定义在具有挠子群$c_E=c_2=14.$的三次域上的相同曲线证明具有可被$14^3$整除的玉川数。对于$n-$同构，具有$18-$同构的椭圆曲线的玉川数必须能被4整除，而对于来自所述集合…
2021-06-08 math.NT
Three-Torsion Subgroups and Wild Conductor Exponents of Plane Quartics
本文提出算法，通过三次曲线与方程组描述并计算平面四次曲线雅可比簇的3-挠子群，并利用其伽罗瓦结构计算局部野导子指数。
2025-10-10 math.NT
Minimal Mahler Measure in Cubic Number Fields
数域$K$的极小积分Mahler测度，$M(\mathcal{O}_K)$，是$\mathcal{O}_K$的非挠本原元的极小Mahler测度。取决于判别式的上界和下界是已知的。我们表明，对于三次，下界是尖锐的，其增长作为一个函数的判别。我们构造了一个算法来计算$M(\mathcal{O}_K)$的判别式的绝对值由$N$界定的所有三次。
2022-03-28 math.NT
A short remark on the $\ell$-torsion part of class groups
TU Graz（格拉茨工业大学）
本文改进了纯三次数域类群ℓ- torsion部分的界，并推广到任意奇数次纯数域，同时回答了Ellenberg关于小高度原始元数量的问题。
2026-03-09 math.NT
Elliptic Curves with Full 2-Torsion and Maximal Adelic Galois Representations
1972年，Serre证明了数域上非CM椭圆曲线的广义伽罗瓦表示在GL_2（\hat{Z}）中有开象.在格雷丘斯的论文中，他发展了必要和充分的标准来确定这种表示何时实际上是满射的，并展示了这样一个例子。然而，验证这些标准在实践中是困难的; Greicius描述了他们的测试，只适用于半稳定椭圆曲线在一个特定的一类立方数域。在本文中，我们扩展Greicius的方法在几个方向。首先，我们考虑具有完全2-挠率的椭圆曲线的类似问题。Greicius之后，我们获得了相关的adelic表示是最大的充要条件，并开发了一个电池的计算有效的测试，可以用来验证这些条件。我们能够使用我们的测试来构造Q（alpha）上具有最大像的无限曲线族，其中alpha是x^3 + x + 1的实根。接下来，我们将Greicius的测试扩展到更一般的设置，如任意立方数域上的非半稳定椭圆曲线。最后，我们对任意扭子群的这类问题进行了一般性的讨论。
2013-02-04 math.NT
A note on the Kenku's method
本文给出了Kenku证明二次域上椭圆曲线不存在27-挠率的方法的一个完整的修正版本，并说明了为什么这个方法不能应用于三次域上椭圆曲线的32-挠率和24-挠率的情形。
2018-12-14 math.NT
Torsion and Positive Rank in an Elliptic Family Arising from Cubic 2-Cycles
Prince of Songkla University（宋卡王子大学）；Khon Kaen University（孔敬大学）；Mahidol University International College（玛希隆大学国际学院）
通过椭圆曲线算术研究三次族 $f_{b,a}(x)=x^3+bx+a$ 的有理 2-循环，给出其与椭圆曲线 $E_a:Y^2=X^3+4X^2+16a^2$ 有理点之间的显式双有理关系，并证明对每个非零 $a$ 存在无穷多有理 $b$ 使 $f_{b,a}$ 具有有理 2-循环。
2026-09-09 math.NT
Secondary terms in counting functions for cubic fields
本文证明了三次域上Davenport-Heilbronn定理和二次域类群中3-挠定理中X^{5/6}阶次项的存在性。对于立方域，这证实了Datskovsky-Wright和Roberts的一个猜想。我们还证明了各种推广，包括等差数列，在那里我们发现了一个奇怪的偏见，在第二任期。罗伯茨猜想也被Bhargava、Shankar和Tsimerman独立证明。与他们的工作相反，我们的证明使用与二元三次型空间相关的zeta函数的分析理论，由Shintani和Datskovsky-Wright开发。
2011-02-14 math.NT
$\ell$-Torsion in Class Groups via Dirichlet $L$-functions
本文利用Dirichlet L-函数的性质，研究了判别式光滑的二次和三次数域类群中$\ell$-挠部分的上界。
2025-01-05 math.NT
Spacing and A Large Sieve Type Inequality for Roots of a Cubic Congruence
出于了解三次同余根的分布的愿望，我们重新推导了Hooley发现的$X^3 \equiv 2 \pmod m$的根$ν\pmod m$的参数化。虽然这种参数化并没有导致我们在这里证明任何对equidistribution的序列$\fracν{m} \pmod 1$，我们能够证明间距的结果，然后一个大筛型不等式，我们认为类似于大筛不等式根的二次同余发现Fouvry和Iwaniec在他们的证明，有无穷多个素数的形式$n^2 + p^2$。参数化产生近似值，这些近似值是点$\left( \fracν{m}, \frac{ν^2}{m} \right)$的$O\left(\frac{1}{m} \right)$内的$\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$中的$\asymp m^{2/3}$ -扭转点。在一个题外话，以表征这些扭转点具有统计预期的间距，我们证明了上述提到的间距属性：在最多有界数量的点$\left(\fracν{m}, \frac{ν^2}{m}\right)$与$m \asymp M$可以躺在任何圆盘半径$\frac{1}{M}$在$\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$。
2018-09-14 math.NT
Computing the Cassels-Tate pairing on 3-isogeny Selmer groups via cubic norm equations
本文介绍了一种计算椭圆曲线上3-等距Selmer群上的Cassels-Tate配对的方法。这将来自3-等距下降的椭圆曲线的秩的上界提高到来自全3-下降的秩的上界。我们的工作的一个组成部分是一个新的算法来解决三次范数方程，避免了任何S-单位计算的需要。作为应用，我们证明了Eroshkin所发现的扭子群阶为3且秩至少为13的椭圆曲线的秩正好为13。
2017-11-07 math.NT
Bounds on 2-torsion in class groups of number fields and integral points on elliptic curves
本文证明了三次及更高次数域$K$（Brauer-Siegel的平凡界是$O_ε(|{\rm Disc}(K)|^{1/2+ε})$）的子群的2-扭子群的大小的第一个已知的非平凡界.这就相应地改进了：1）Brumer和Kramer关于2-Selmer群的大小和椭圆曲线的秩的界，2）Helfgott和Venkatesh关于椭圆曲线上整点个数的界，3）2-Selmer群的大小和超椭圆曲线的Jacobian的秩的界，4）2-Selmer群的大小和Jacobian的秩的界，5）2-Selmer群的大小和Jacobian的秩的界。（4）有界判别式的$A_4$ -四次域的个数的Besides和Wong界。
2017-01-10 math.NT
Classification of torsion of elliptic curves over quartic fields
本文确定了四次域上椭圆曲线挠群的所有可能情况，证明不存在零散挠群，并利用秩0方法、Hecke筛法和全局方法等证明了相关模曲线无非尖点四次点。
2025-02-18 math.AG math.NT
A parametrization of $3$-class groups of quadratic rings over Dedekind domains
本文将 Bhargava 的二元三次形式参数化推广到特征不为 3 的 Dedekind 整环，通过构造 GL_2(K) 的算术子群刻画二次环类群中的 3-挠理想类。
2025-09-01 math.NT
Fields of definition of elliptic curves with prescribed torsion
证明了子群同构于$C_{16}$的二次域上的所有椭圆曲线，以及子群同构于$C_2\times C_{14}$的三次域上的所有椭圆曲线，都是定义在$\Q$上的椭圆曲线的基变换.这些结果是通过研究模曲线和模曲线之间映射的几何性质得到的，进而得到这些曲线和映射的模描述。
2020-11-13 math.AG math.NT
Growth of torsion groups of elliptic curves upon base change
研究数域上椭圆曲线的挠率如何随基的变化而增长，特别证明了挠率增长的各种必要条件。对于数域$F$，我们证明了对于一个数域$F$的大集合，如果其在$F$上的正规闭包的Galois群具有某些性质，则对于定义在$F$上的所有椭圆曲线$E$，$E(L)_{tors}=E(F)_{tors}$成立.我们的方法在研究可能的扭转群$E(K)_{tors}$中特别有用，其中$K$是一个数域，$E$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线的基变化。假设$E$是椭圆曲线在$\mathbb Q$上的基变化，用于抽象的其余部分。我们证明了$E(K)_{tors}=E(\mathbb Q)_{tors}$的所有椭圆曲线$E$定义在$\mathbb Q$和所有数域$K$度$d$，其中$d$是不能整除的一个总理$\leq 7$。利用这一事实，我们确定了素数度$p\geq 7$的数域$K$上所有可能的扭群$E(K)_{tors}$。我们确定所有可能的程度$[\mathbb Q(P):\mathbb Q]$，其中$P$是一个点的素数阶$p$的所有$p$，使$p\not\equiv 8 \pmod 9$或$\left( \frac{-D}{p}\right)=1$的任何$D\in \{1,2,7,11,19,43,67,163\}$ ;这是真实的一组密度$\frac{1535}{1536}$的所有素数，特别是所有$p…
2019-02-01 math.NT
Monogenicity and 2-torsion in the class group of number fields of odd degree
研究奇数次单生成域类群中的平均2-挠，证明其非平凡2-挠元素平均数量至多为Cohen--Lenstra--Martinet--Malle启发式预测值两倍，在特定条件下确定Bhargava--Hanke--Shankar发现的加倍现象在各奇数次和符号中均存在。
2026-07-09 math.NT
On $2$-Selmer groups and quadratic twists of elliptic curves
设$K$是数域，$E/K$是没有$2$ -扭点的椭圆曲线.本文利用$K$的某个三次扩张与$E$相连的窄类群的$2$ -挠，给出了$E$的$2$ -Selmer秩的上下上界.作为应用，我们证明了（在温和的假设下），正比例的素导体二次扭转的$E$具有相同的$2$ -Selmer群。
2020-09-17 math.NT
On the Davenport-Heilbronn theorems and second order terms
本文给出了Davenport-Heilbronn定理的简单证明，该定理为具有有界判别式的三次域的个数和具有有界判别式的二次域的类群中的3-扭元的个数的渐近性提供了主要条件。我们还建立了这些定理的第二主项，从而证明了Roberts的一个猜想。我们的论点提供了自然的解释，在这些定理中出现的各种常数的局部质量的立方环。
2012-06-20 math.NT
Classification of torsion of elliptic curves over quintic fields
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
本文确定了五次数域上椭圆曲线所有可能的挠群，除已知无限多出现的群外，恰好新增三个群，并改进了基于Hecke筛和尖点除子类算术的方法。
2026-10-05 math.AG math.NT
Heavenly Elliptic Curves over Cubic Number Fields
Wesleyan University（韦斯利安大学）
本文研究三次数域上的天椭圆曲线，引入完全平衡概念，证明其挠表示迹非满射，给出平衡性素数界，并与CM曲线比较。
2026-09-29 math.NT
$K_2$ of families of elliptic curves over non-Abelian cubic and quartic fields
本文给出了非阿贝尔三次和四次域上椭圆曲线族的两种构造，在驯顺符号核中分别获得三个和四个线性无关的“积分”元素，证明了不忽略挠元的新积分性判据，并对90余条曲线数值验证了 Beilinson 猜想。
2024-01-09 math.AG math.KT math.NT
Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields
研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。
2011-12-31 math.AG math.NT
Elliptic surfaces over $\mathbb{P}^1$ and large class groups of number fields
给定一个非等平凡椭圆曲线在$\mathbb{Q}(t)$与大Mordell-Weil秩，我们解释了如何可以建立，适当的小素数$p$，无限多个域的度$p^2-1$的理想类群有一个大的$p$ -扭子群。作为一个例子，我们证明了存在无穷多个三次域，其理想类群包含一个同构于$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{11}$的子群。
2019-05-17 math.NT
Cocycle Relations and Elliptic Gamma Values
本文利用平滑椭圆 Gamma 函数的上循环关系，证明了复三次域椭圆单位猜想解析表达式不依赖于挠点 $h$ 的选择，从而支持了显式类域论框架下的猜想。
2026-10-20 math.NT
The Klein-Vélu septic, 2-Division, and modular function fields of level 14
Kyushu University（九州大学）；Chuo University（中央大学）
该研究明确了Klein-Vélu七次式的2-除法与14级模函数域的关联，通过$X(7)$上的三次方程及theta函数，揭示了其分裂域对应$X(14)$的函数域。
2026-09-04 math.NT
A table of elliptic curves over the cubic field of discriminant -23
设F是判别式-23的三次域，O是其整数环.设Gamma是算术群GL_2（O），对任意n阶理想子集O，Gamma_0（n）是n阶同余子群.在以前的论文中，我们中的两个人（PG和DY）计算了各种Gamma_0（n）的上同调，以及Hecke算子的作用。那篇论文的目的是检验F上椭圆曲线的模性。在本文中，我们补充和扩展这一先前的工作在两个方面。首先，我们列出了更多的椭圆曲线比我们以前的工作中发现的使用不同的几何学（“旧的和新的”上同调类，爱森斯坦子空间的尺寸）来预测各种导体的椭圆曲线的存在，然后通过使用更复杂的搜索技术（例如，扭转子群，扭曲，和克雷莫纳-林厄姆算法）来找到它们。然后，我们计算这些曲线的进一步不变量，例如它们的秩和所有Islam类的代表。我们的枚举包括在该域上秩为1和2的第一条椭圆曲线，它们分别出现在范数719和9173的水平上。
2014-09-28 math.AG math.NT
Exceptional elliptic curves over quartic fields
研究了具有给定挠群$T$的固定四次域$K$上直到同构的椭圆曲线的个数.令$T=\Z/m\Z \oplus \Z/n\Z$，其中$m|n$是挠群，使得模曲线$X_1(m,n)$是椭圆曲线。设$K$是一个数域，使得存在正的有限个数的$K$上的椭圆曲线$E_T$，其子群为$K$.我们称这种对为$(E_T, K)$ \emph{exceptional}。已知当$K$在所有二次或三次域上变化时，只有100多个例外对。证明了当$K$在所有四次域上变化时，当$T=\Z/14\Z$或$\Z/15\Z$时存在无穷多个例外对，否则存在无穷多个例外对.
2012-05-29 math.AG math.NT
Odd degree number fields with odd class number
对每一个奇整数$n \geq 3$，证明了存在无穷多个度为$n$的数域和相应的类数为奇的Galois群$S_n$.要做到这一点，我们研究了家庭的数字领域的程度$n$的环的整数出现的坐标环的子计划的$\mathbb{P}^1$切出的积分二进制$n$ -IC形式的类群。通过得到这类域的类群中$2$ -扭元平均个数的上界，证明了正比例（$n$趋向于$\infty$时趋向于$1$）的这类域在其类群和窄类群中具有平凡的$2$ -扭子群.在尾估计的条件下，我们还证明了相应的下界，并得到了这些平均值的精确值，这与Cohen-Lenstra-Martinet-Malle和Dummit-Voight的估计是一致的.此外，对于由整数二元$n$ -ic形式$f$产生的任意阶$\mathcal{O}_f$，我们比较了$\mathcal{O}_f$中理想类的$2$ -扭子群$\mathrm{Cl}_2(\mathcal{O}_f)$和$\mathcal{O}_f$中理想的$2$-扭子群$\mathcal{I}_2(\mathcal{O}_f)$的大小.对于由整数二元$n$ -ic形式产生的包含在具有固定签名$(r_1,r_2)$的域中的阶族，我们证明了其差的平均值$|\mathrm{Cl}_2(\mathcal{O}_f)| - {2^{1-r_1-r_2}}|\mathcal{I}_2(\mathcal{…
2018-04-22 math.NT
Elliptic Curves x^3 + y^3 = k of High Rank
我们利用某些三次曲面的有理参数化和通过3-等距下降的显式公式构造了Q上秩为8，9，10和11的椭圆曲线E_k：x^3 + y^3 = k的第一个例子。作为一个推论，我们产生的例子椭圆曲线xy（x+y）=k在Q与一个合理的3-扭点和秩高达11。我们还讨论了在|k|和E_k的导体意义下求给定秩的极小曲线E_k的问题，并给出了这方面的一些新结果。我们包括相关算法和算法的描述，以及数值数据。
2004-03-06 math.NT
Rational Hyperbolic Triangles and a Quartic Model of Elliptic Curves
具有某个固定周长和面积的欧几里德三角形族可以用非奇异三次平面曲线上的点的子集来标识，即，椭圆曲线;而且，如果周长和面积的平方是有理数，则曲线具有有理数坐标，并且具有有理数边长的三角形对应于曲线上的有理点。我们首先回忆这种联系，然后我们开发双曲类似物。在椭圆曲线上的算术（秩和挠率）和生活在其上的三角形族之间存在着有趣的关系。在双曲设置中，类似的平面曲线是在无穷远处具有两个奇点的四次曲线，因此亏格仍然是1。我们可以通过将四次曲面实现为两个二次曲面的交点来几何地增加点。这使我们能够构造具有与给定的有理右双曲三角形相同的内径和周长的有理双曲三角形的非平凡例子。
2015-05-12 math.NT
Almost all quadratic twists of an elliptic curve have no integral points
本文证明了在短 Weierstrass 形式下，椭圆曲线的几乎所有二次扭曲都没有整点，在部分 2-挠群情况下条件依赖于 Hall-Lang 猜想的弱形式，核心方法是通过 Mordell 对应与二元四次型约化理论转化问题，并利用特征和估计的抵消性质完成证明。
2024-01-09 math.NT
Counting integral points on symmetric varieties with applications to arithmetic statistics
本文结合 Bhargava 几何数论与动力点计数方法，提出对称簇整点计数新技术，并应用于三次数域类群 2-挠子群和椭圆曲线 2-Selmer 群的薄族分布，揭示了小范数生成元对平均大小的增大效应。
2025-04-11 math.DS math.NT
The rational function analogue of a question of Schur and exceptionality of permutation representations
舒尔在1923年考虑了以下问题。设f（X）是一个整系数多项式，它对无穷多个素数p在剩余域Z/pZ上诱导一个双射。M. 1970年炸的。这里我们研究有理函数的类似问题，也允许基域是任意数域。结果，有更多的有理函数具有类似的性质。某些无穷级数来自于椭圆曲线的有理同构和形变。有几个零星的例子不适合我们得到的任何系列。首先将算术性质转化为有限置换群的问题，并对满足必要条件的群进行分类。证明依赖于有限单群的分类。然后，我们使用算术论证来排除许多情况，或者证明剩余的情况确实产生了例子。这一部分是基于Mazur关于模曲线X_0（p）和X_1（p）上有理点的经典结果、由Q的绝对Galois群作用于椭圆曲线p-扭点而得到的GL_2（p）中的Galois像的结果、复乘理论以及正则Galois反问题中的技巧。
2002-01-09 math.GR math.NT
