Counting principal ideals of small norm in the simplest cubic fields
该研究针对最简单三次域族，估计范数不超过x的主理想数量，所得结果对任意x≥1均能给出正确数量级，揭示了小范数主理想数量远超预期的现象。
2025-01-12 math.NT
On the counting function of cubic function fields
本文研究三次函数域的计数函数，推导出包含次级项和最优误差项的渐近公式，并利用数的几何方法得到轨道数精确公式，通过Artin L-函数密度证明精细计数误差项的无条件下界。
2025-06-24 math.NT
Counting rational points on smooth cubic surfaces
本文证明了定义在任意数域上的光滑三次曲面在小次扩张后可能满足Manin猜想所预言的下界。
2016-05-20 math.AG math.NT
Counting rational points on cubic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的几何整的射影三次超曲面，维数为D，奇异轨迹维数至多为D-4。对任意ε>0，我们证明了X包含O（B^{D+ε}）个高度至多为B的有理点.这个估计中隐含的常数取决于ε的选择和定义X的三次型的系数。
2008-04-16 math.AG math.NT
Secondary terms in the counting functions of quartic fields II
本文确定了满足局部条件的判别式有界 $S_4$-四次域的平滑计数，表示为两个主项之和并带有幂次节省误差项，并证明了四次环的类似结果及 Shintani zeta 函数的极点性质。
2025-08-11 math.NT
Counting rational points on smooth cubic curves
我们使用一个全球版本的Heath-Brown的$p-$ adic行列式方法Salberger开发的高度最$B$上定义的非奇异三次曲线上的$\mathbb{Q}$的有理点的数量的上界。的界限是一致的，在这个意义上，他们只依赖于相应的雅可比矩阵的秩。
2017-02-10 math.AG math.NT
Counting rational points over number fields on a singular cubic surface
Manin的一个猜想预言了定义在数域K上的某些代数簇上的K-有理点的分布。近年来，一种利用万有扭矢的方法已成功地应用于有理数域Q上Manin猜想的几个困难特例。结合这种方法和Schanuel的技巧，我们给出了关于奇异三次曲面S的任意数域上Manin猜想的一个证明.
2013-11-04 math.AG math.NT
Counting polynomials with positive roots
本文研究所有根均为正实数的首一整系数多项式的计数问题，通过估计满足麦克劳林不等式的整数序列建立固定迹的渐近公式，并对三次多项式给出更精确结果，还证明正比例的三次多项式具有无平方因子判别式。
2025-09-18 math.NT
Secondary terms in the first moment of $|{\rm Sel}_2(E)|$
针对高度有界于X的椭圆曲线E的2-Selmer群$|{\rm Sel}_2(E)|$计数函数，首次证明存在$X^{3/4}$阶次要项及幂节省误差项，改进了Bhargava--Shankar的$o(X^{5/6})$误差项结果。
2024-12-01 math.NT
Cubic twin prime polynomials are counted by a modular form
我们提出了几何躺在后面计数孪生素数多项式在$\mathbb{F}_q[T]$一般。我们计算上同调和明确计数点的扭曲Lefschetz迹公式适用于这些参数化品种的三次孪生素多项式。椭圆曲线$X^3 = Y(Y-1)$出现在几何中，因此计数三次孪生素数多项式涉及相关的模形式。在理论上，这种方法可以扩展到更高次的孪生素数，但计算变得更加困难。我们在度$3$中得到的公式与Hardy-Littlewood启发式平均相容，与$q \equiv 2 \pmod 3$的预测一致，但对$q \equiv 1 \pmod 3$显示出异常。
2017-11-22 math.NT
Counting Ideals in $\mathbb{Z}[t]/(f)$
本文研究了一元三次多项式$f$的$\mathbb{Z}[t]/(f)$中理想的增长性.我们还计算了理想zeta函数的$\mathbb{Z}[t]/(t^n)$的任何$n \in \mathbb{N}$。
2020-11-11 math.NT
Counting Plane Cubic Curves over Finite Fields with a Prescribed Number of Rational Intersection Points
University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究有限域上无公共分量且有规定数量有理交点的平面三次曲线数量，通过设置为射影里德 - 穆勒码的重量枚举器问题，利用计算有公共分量曲线对等方法及麦克威廉姆斯定理变体来求解。
2026-07-24 math.AG math.CO math.NT
Orbital L-functions for the space of binary cubic forms
本文在二元三次型空间中引入轨道L函数的概念，并研究其解析性质。详细研究了它们的函数方程和留数公式。除了本质上的兴趣，本文的结果被用来证明在三次域的计数函数中的次级项的存在性。这在一篇配套论文（arXiv：1102.2914）中得到了解决。
2011-12-21 math.NT
Memory efficient hyperelliptic curve point counting
在最近的算法中，使用变形，以计算在有限域上的品种的点数，某些微分方程的矩阵在p-adic域出现。我们提出了一种新的策略来解决这类方程的内存有效的方式。其主要应用是一个需要拟三次时间和参数n的二次记忆的算法，它解决了以下问题：对于扩张度为n且特征小的有限域上亏格为g的超椭圆曲线E，计算其zeta函数.这大大提高了Kedlaya的结果，具有相同的准立方时间渐近，但也需要立方内存大小。
2010-02-19 math.AG math.NT
Distributions of discriminants of cubic algebras II
设$k$为数域，$O$为整数环。在文献[T06]中，我们研究了$O$的三次代数的狄利克雷级数计数判别式，并利用预齐次向量空间的zeta函数理论，得到了判别式分布的几个密度定理.在本文中，我们认为这些对象在非阿基米德的地方施加有限数量的分裂条件。特别是给出了在此条件下$s=1$和5/6残基的显式表达式。
2006-08-26 math.NT
Omega results for cubic field counts via lower-order terms in the one-level density
本文得到了非Galois三次戴德金ζ函数上的$L$ -函数的$1$能级密度的精确公式。我们发现一个次要的长期这是唯一的这种情况下，在这个意义上说，没有低阶长期的这种形状已经出现在以前研究的家庭。这一新项的存在使我们能够推导出一个欧米茄结果的立方场计数函数，广义黎曼假设的假设下。我们还研究了相关的$L$函数比猜想，并发现它不预测这个新的低阶项。考虑到罗伯茨猜想中的第二项，我们将比率猜想改进为捕获这个新项的猜想。最后，我们表明，最近Bhargava-Taniguchi-Thorne三次场计数估计的误差项的指数的任何改进将意味着在改进的比率猜想中最好的可能的误差项是$O_\varepsilon(X^{-\frac 13+\varepsilon})$。这与所有先前研究的家族相反，其中$1$水平密度的比率猜想预测的预期误差是$O_\varepsilon(X^{-\frac 12+\varepsilon})$。
2022-03-07 math.NT
Four Perspectives on Secondary Terms in the Davenport-Heilbronn Theorems
本文是作者在2011年Integers会议上演讲的扩展版本。本文讨论了三次域上的Davenport-Heilbronn定理和二次域类群中的3-挠定理中的次项。这些次要条款已被Datskovsky-Wright和Roberts，这些或密切相关的次要条款的证明是由Bhargava，Shankar和Tsimerman独立获得的;霍夫;赵;和谷口和作者。在本文中，我们讨论了这个问题的历史，并强调了用于解决这个问题的各种方法。
2012-02-17 math.NT
The distribution of semi-integral points on a class of singular cubic hypersurfaces
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院理学研究科）
本文研究了某一类奇异立方超曲面上半整点的计数函数渐进行为，并证明该渐进行为与Manin猜想在a-不变量和b-不变量上的预测一致。
2026-10-22 math.NT
Quadratic units and cubic fields
本文研究了 Eisenstein 判别式及其与实三次域的联系，通过在 GPU 上使用改进的基础设施方法计算了高达 $10^{11}$ 的判别式，发现其计数函数支持 Stevenhagen 猜想并揭示了一个与实三次域相似的次要项。
2025-09-15 math.NT
Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0
本文证明了具有有界不变量的整三元三次型的${\rm SL}_3({\mathbb Z})$ -等价类个数的一个渐近公式。我们使用这个结果来表明，当按高度排序时，所有椭圆曲线的3-Selmer群的平均大小为4。这意味着当按高度排序时，所有椭圆曲线的平均秩小于1.17。结合我们的计数技术与Dokchitser和Dokchitser最近的结果，我们证明了所有的椭圆曲线的正比例具有秩0。假设Tate-Shafarevich群的有限性，我们还证明了正比例的椭圆曲线秩为1。最后，将我们的计数结果与Skinner和Urban最近的工作相结合，我们证明了正比例的椭圆曲线具有解析秩0;即，正比例的椭圆曲线在$s=1$处具有非零$L$ -函数。因此，所有椭圆曲线中有一部分满足BSD。
2013-12-24 math.NT
The geometry of secondary terms in arithmetic statistics
本文证明了函数域三次扩张计数中次级项的存在，利用几何参数化方法对光滑曲线计数，推广了有理数域上的结果。
2025-04-24 math.AG math.NT
Manin's conjecture for the chordal cubic fourfold
本文证明弦三次四重流形上Manin猜想的薄集版本，通过将其与射影平面的对称平方同构，归结为Schmidt的二次点结果。
2025-04-22 math.AG math.NT
Ordering of number fields and distribution of class groups
本文研究数域排序与类群分布的关系，提出带参数的数域不变量并分析参数变化下的数域计数问题，揭示了 Abel 域和三次数域计数结果对不同排序的依赖性。
2023-10-24 math.NT
Identities for field extensions generalizing the Ohno-Nakagawa relations
在以前的工作中，大野阐明，中川证明，关系之间的计数函数的某些立方领域。这些关系可以被看作是Scholz反射原理的补充，Ohno和Nakagawa将它们推导为“额外的函数方程”的结果，该方程涉及与二元三次型的预齐次向量空间相关的Shintani zeta函数。本文推广了他们的结果，证明了对任意奇素数l，一定度l域分别与伽罗瓦群D_l和F_l有关的一个类似恒等式，特别地，我们给出了Ohno-Nakagawa关系的另一个证明，而不诉诸于二元三次型.
2015-03-19 math.NT
On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems
对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。
2013-08-07 math.NT
Cubic AGM graphs and Hessian $3$-isogenies over finite fields $\mathbb{F}_q$ of odd characteristic with $q \equiv 2 \pmod3$
School of Science and Engineering, Tokyo Denki University（东京都立大学理工学部）；Institute of Mathematics for Industry (IMI), Kyushu University（九州大学产业数学研究院）；Cyber Physical Security Research Institute (CPSEC), National Institute of Advanced Industrial Science and Technology (AIST)（独立行政法人产业技术综合研究所网络物理安全研究所）
本文研究有限域上三次AGM图，证明其为有向环的并集，每条边对应Hessian曲线间的3-同源，并给出环数的下界。
2026-09-15 math.NT
Frobenius lifts and point counting for smooth curves
本文描述了一种计算有限域上一条适当的平滑曲线的zeta函数的算法，当曲线与一些辅助数据一起给出时。我们的方法是基于计算矩阵的作用的半线性Frobenius的第一个上同调群的曲线通过Serre对偶。所涉及的上积可以在局部计算，首先计算Frobenius的全局定义的提升的局部展开。由此产生的算法的复杂度是软立方的领域度，这也是与超椭圆情况下的Kedlaya的算法的情况。
2013-06-21 math.AG math.NT
Yun's zeta function and the overorder zeta function for Gorenstein cubic orders
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京数学科学与应用研究院）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文证明了Gorenstein三次序的Yun ζ函数与超序ζ函数的恒等式，给出了GL₃ Kloosterman狄利克雷级数的简短统一计算，替代了原有冗长的逐案枚举。
2026-08-25 math.NT
Secondary Term for the Mean Value of Maass Special $L$-values
本文发现Maass特殊L值均值的二次项，通过显式公式证明了L函数矩中的新实例。
2026-08-06 math.NT
The Batyrev-Tschinkel conjecture for a non-normal cubic surface and its symmetric square
通过对任意数域上由$t_0^2 t_2 = t_1^2 t_3$给出的三次曲面$W$上的点进行计数，完成了不可约非正规三次曲面上有界高点的研究.我们表明，增长的顺序同意由Batyrev和Manin的猜想和常数反映的几何形状的品种预测的猜想Batyrev和Tschinkel。然后，我们提供其对称正方形$\mathrm{Sym}^2 W$的点数。虽然我们可以解释计数函数的主项，但Batyrev-Manin猜想只有在去掉一个薄集后才能满足。最后利用这些猜想解释了Le Rudulier关于$\mathrm{Sym}^2(\mathbb P^2 \times \mathbb P^1)$的计数的主要项.
2020-11-29 math.AG math.NT
On the cubic Pell equation over finite fields
考虑$Z[\sqrt[3]{r}]$中范数为1的元素满足$x^3 + r y^3 + r^2 z^3 - 3 r x y z = 1$，经典的Pell方程可以推广到三次情形.三次Pell方程的解比经典的情况更难，实际上，仍然缺少将其作为丢番图方程求解的方法。本文研究了有限域上的三次Pell方程，推广了经典Pell方程的结果。特别是，我们提供了一种新的方法来计算在所有可能的情况下，取决于r的值的解决方案的数量。此外，我们还能够提供一种生成所有解决方案的方法。
2022-03-10 math.AC math.AG math.GR
Hecke $L$-functions Away From The Central Line
本文研究了三次Hecke L-函数在临界条带内s=1/3处的第一矩，揭示了相位转变现象，并改进了误差项和二次项，同时推测更高阶Hecke L-函数的行为。
2026-01-07 math.NT
Secondary terms in asymptotics for the number of zeros of quadratic forms
设$F$是有理数上$n$维向量空间$V$上的非退化二次型.粗略地说，人们感兴趣的是计算其坐标被限制在大小为$B$的平滑框中的二次型的零的数量。例如，希斯-布朗给出了以下形式的渐近：$c_1 B^{n-2} +O_{J,ε, ω}(B^{(n-1)/2+ε})$，对于任何$ε> 0$和dim $V \geq 5$，其中$c_1 \in \mathbb{C}$和$ω\in \mathcal{S}(V(\mathbb{R}))$是光滑函数。最近，Getz给出了形式的渐近：当$n$是偶数时，$c_1 B^{n-2} + c_2 B^{n/2}+O_{J,ε, ω}(B^{n/2+ε-1})$，其中$c_2 \in \mathbb{C}$有一个令人愉快的几何解释。我们考虑$n$是奇数的情况，并给出类似的渐近形式：$c_1 B^{n-2} +c_2B^{(n-1)/2}+O_{J,ε,ω}(B^{n/2+ε-1})$。值得注意的是，奇数度和偶数度情况下的渐近常数$c_2$的几何解释是惊人的不同。
2019-10-31 math.NT
Averages of Artin characters and their relation to the Davenport--Heilbronn theorem
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文通过Artin特征平均值改进了三次扩张计数函数的误差项界，在GRH下达到$X^{2/3-1/51+\epsilon}$，并证明至少75%的L-函数在中心点非零，且函数域结果无条件。
2026-10-26 math.NT
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
2013-12-23 math.NT
$M$-functions and screw functions originating from Goldbach's problem and zeros of the Riemann zeta function
本文公理化研究源于哥德巴赫问题的 $M$-函数与 screw 函数，并揭示其公式及关系可为 Riemann 假设提供充分与充要条件。
2025-10-20 math.NT
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
On the third moment of $L\big(\frac{1}{2}, χ_{d}\big)$ I: the rational function field case
本文证明了有理函数域上二次Dirichlet L-函数$q^{\scriptscriptstyle \frac{3}{4} D}.$的三次矩渐近公式中第二项的存在性。这一项与我们的联合工作arXiv：math/0110092 v1中相应的有理函数域上的渐近公式中的$x^{\scriptscriptstyle \frac{3}{4}}$项完全相似。
2018-01-01 math.NT
Improved error estimates for the Davenport-Heilbronn theorems
该研究通过Shintani zeta函数解析理论等两种方法，将Davenport-Heilbronn三次域计数定理的误差项改进至$O(X^{2/3 + ε})$，还给出带局部条件的版本，推动数论应用的定量提升。
2023-07-19 math.NT
A congruence family modulo powers of 5 for generalized cubic partitions via the localization method
本文利用 Banerjee-Smoot 局部化方法，在模曲线 X_0(10) 上证明了广义三次分拆函数 a_3(n) 模 5 幂的同余族，推广了 Watson-Atkin 方法。
2025-08-07 math.NT
