On the Sign Changes of a Weighted Divisor Problem
设$S\big(x; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)=\mathop{{\sum}'}_{mn\leq x} \cos\big(2πm\frac{a_1}{q_1}\big)\sin\big(2πn\frac{a_2}{q_2}\big)$与$x\geq q_1q_2, 1\leq a_i\leq q_i$，和$(a_i, q_i)=1$（$i=1, 2$）。我们研究了$S\big(x; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)$的符号变化，证明了对于足够大的常数$C$，对于任意大的$T$，$S\big(x; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)$在区间$[T,T+C\sqrt{T}]$内改变符号.同时，我们证明了对于一个小常数$c'$，存在无穷多个长度为$c'\sqrt{T}\log^{-7}T$的子区间$[T,2T]$，其中$\pm S\big(t; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)> c_5 (q_1q_2)^\frac{3}{4}t^\frac{1}{4}$总是成立。
2016-11-23 math.NT
Linear recurrences and rational Lambert series
Temple University（天普大学）；Dimension Reducers, LLC（维度缩减者有限责任公司）
研究线性递推序列与有理拉伯特级数的关系，证明若序列最终线性递推且拉伯特级数有理，则序列有限支撑。
2026-04-28 math.NT
On the Riemann Zeta Function and the fractional part of rational powers
使用初等方法，我们发现令人惊讶的连接之间的值的黎曼ζ函数的整数和有理数的幂的小数部分，和之间的连接黎曼ζ函数和总理Zeta函数。
2018-09-15 math.NT
Relations between the random variable $w_x$ and the Dirichlet divisor problem
我们已经开发了一个启发式表明，在狄利克雷除数问题的几乎所有$n \in \mathbb{N}^{+}$：$$ R(n) \leq O(ψ(n)n^{\frac{1}{4}}) $$其中$$ R(n) = \Big\lvert \sum_{x=1}^{n}\Big\lfloor\frac{n}{x}\Big\rfloor - n\log{n} - (2γ-1)n \Big\rvert $$和$ ψ(n) $ -任何正函数，增加无限的$ n \to \infty $。该结果是在以下假设下实现的：$$ \Big \{\frac{n}{x} \Big \} \sim w_x $$其中$ w_x $均匀分布在$ [0,1) $随机变量上，具有值集合$ \{0, \frac {1} {x}, \ldots, \frac{x-1}{x} \} $和值接受概率$ p = \frac{1}{x} $。本文最后用一个数字论证支持假设是真的。结果表明，对于所有$n < 10^{5}$，期望值：$$μ_{1} \Big[\sum_{x=1}^{n}\Big(\frac{n}{x} - \frac{x-1}{2x}\Big) \Big]= (2n+1)H_{\lfloor\sqrt{n}\rfloor} - \lfloor\sqrt{n}\rfloor^{2} - \lfloor\sqrt{n}\rfloo…
2021-10-01 math.NT
A variant of the prime number theorem
设$Λ(n)$为von Mangoldt函数，$[t]$为实数$t$的整数部分。本文证明了对任何$\varepsilon>0$，渐近公式$$ \sum_{n\le x} Λ\Big(\Big[\frac{x}{n}\Big]\Big) = x\sum_{d\ge 1} \frac{Λ(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}\big(x^{9/19+\varepsilon}\big) \qquad (x\to\infty)$$成立.这改进了Bordellès最近的结果，该结果需要$\frac{97}{203}$代替$\frac{9}{19}$。
2021-05-23 math.NT
Integral Representation for Riemann-Siegel $Z(t)$ function
本文应用带形Poisson公式给出Riemann-Siegel $Z(t)$ 函数的积分表示，推导出其包含 $H(t)$ 的渐近估计，并说明该研究有助于获取临界线上 zeta 函数零点的信息。
2024-06-27 math.NT
Partial quotients and representation of rational numbers
证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意有理$\frac bq\in]0, 1[, (b, q)=1$，都有一个表示为有限和$\frac bq=\sum_α\frac {b_α}{q_α}$，其中$\sum_α\sum_ia_i(\frac {b_α}{q_α})<C\log q$和$\{a_i(x)\}$表示$x$的部分子序列.
2012-08-16 math.NT
Quartic residues and sums involving $\binom{4k}{2k}$
令$p$是奇素数，令$m\not\equiv 0\pmod p$是有理p-adic整数。本文揭示了四次剩余与和$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}$之间的关系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$q$是一个素数，其形式为$4k+1$，因此$q=a^2+b^2$与$a,b\in\Bbb Z$。当$p\nmid ab(a^2-b^2)q$时，我们证明了对于$r=0,1,2,3$，$p^{\frac{q-1}4}\equiv (\frac ab)^r\pmod q$当且仅当$$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\Big(\frac{a^2}{16q}\Big)^k\equiv (-1)^{\frac{p^2-1}8a+\frac{p-1}2\cdot \frac{q-1}4}\Big(\frac pq\Big) \Big(\frac ab\Big)^r\pmod p,$$，其中$(\frac pq)$是Legendre符号。我们还建立了$m=17,18,20,32,52,80,272$病例中$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}\pmod p$的全等性。
2013-12-02 math.NT
Approximating reals by sums of rationals
本文研究了用$n$有理数$\frac{a_1}{q_1} + \frac{a_2}{q_2} + ... + \frac{a_n}{q_n}$与消去子$1 \leq q_1, q_2, ..., q_n \leq N$之和逼近任意实数$α$的问题.这导致了一个查询近似实数的有理数与规定数量的素因子的分母。
2007-04-20 math.NT
Improved estimate for the prime counting function $π(x)$
利用一些简单的组合论证，我们建立了素计数函数及其类函数的一些新的估计。特别是，我们表明，\begin{align}π(x)=Θ(x)+O\bigg(\frac{1}{\log x}\bigg), \nonumber \end{align}，其中\begin{align}Θ(x)=\frac{θ(x)}{\log x}+\frac{x}{2\log x}-\frac{1}{4}-\frac{\log 2}{\log x}\sum \limits_{\substack{n\leq x\\Ω(n)=k\\k\geq 2\\2\not| n}} \frac{\log (\frac{x}{n})}{\log 2}.\nonumber \end{align}这是一个改进的估计\begin{align}π(x)=\frac{θ(x)}{\log x}+O\bigg(\frac{x}{\log^2 x}\bigg)\nonumber \end{align}在文献中发现。
2018-08-30 math.NT
On the Uniform Distribution (mod 1) of the Farey Sequence, quadratic Farey and Riemann sums with a remark on local integrals of $ζ(s)$
对于$1$ -周期函数$f$在$]0,1[$的有理点处只满足弱Dini型局部正则性假设，我们研究了Farey和$$F_n(f)= \sum_{\frac{\k}ł\in \F_n} f\big(\frac{\k}ł\big),\qq F_{n,\s}(f)= \sum_{\frac{\k}ł\in \F_n} \frac{1}{\k^\sł^\s}f\big(\frac{\k}ł\big),\qq 1/2\le \s<1 , $$，其中$\F_n$是$n\ge 1$阶的Farey级数.对于所有的$0< \s\le1$，我们得到了$F_{n,\s}(f)$的精确估计。我们证明了类似的结果，相应的黎曼二次和$$ S_{n,\s}(f) \ =\ \sum_{1\le k\le \ell \le n}\frac{1}{(k\ell)^{\s }}\, f\big( \frac{k}{\ell}\big). $$这些款项涉及到局部积分的黎曼zeta函数在有界区间$I$，这是考虑在最后一部分的文件。
2019-06-18 math.NT
Intrinsic approximation for fractals defined by rational iterated function systems - Mahler's research suggestion
继K。Mahler关于Cantor三元集上内在逼近的进一步研究的建议，得到了有理迭代函数系极限集的一个Dirichlet型定理。我们进一步研究了这些近似函数在随机平移下的行为。我们连接的信息有关的分布在系统中编码的极限集的分布的理性的减少形式证明一个欣钦型定理。最后，利用S. Ramanujan，我们证明了一个定理，激发了一个猜想，关于分布的理性在减少形式的康托三元集。
2014-07-26 math.NT
Galois groups of Mori trinomials and hyperelliptic curves with big monodromy
本文计算了S. S. S引入的有理数域上一类多项式的伽罗瓦群。Mori和研究相应的超椭圆雅可比算子的单值性。
2015-04-15 math.AG math.NT
Rational approximations of the exponential function at rational points
通过研究$e^{s/t}$的广义连分数展开，给出了量$|e^{s/t}-M/N|$的显式渐近下界.在情形$|s|\geq 3$中，我们通过从该广义连分数的收敛性的分子和子中提取一个大的公共因子来改进已有的结果.
2016-09-22 math.NT
On the height of some generators of galois extensions with big galois group
本文研究了以交错群为Galois群的有理数Galois扩张生成元的高度，证明特定经典构造的生成元高度随群阶增大趋于无穷，推广了Amoroso针对对称群的结果。
2024-11-17 math.NT
Linear Combinations of Logarithms of $L$-functions over Function Fields at Microscopic Shifts and Beyond
University of New South Wales（新南威尔士大学）；York University（约克大学）
研究L-函数在微观位移及其他情况下的对数线性组合分布，证明中心极限定理并恢复先前结果。
2025-12-18 math.NT
On some mean value results for the zeta-function and a divisor problem
令$Δ(x)$表示经典狄利克雷除数问题中的误差项，并令除数问题中的修改误差项为$Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - \frac{1}{2}Δ(4x)$。我们表明，$$ \int_T^{T+H}Δ^*\bigl(\frac{t}{2π}\bigr)|ζ(1/2+it)|^2dt \;\ll\; HT^{1/6}\log^{7/2}T \quad(T^{2/3+\varepsilon} \le H = H(T) \le T), $$ $$ \int_0^TΔ(t)|ζ(1/2+it)|^2dt \;\ll\; T^{9/8}(\log T)^{5/2},$$和获得渐近公式$$ \int_0^T{\Bigl(Δ^*\bigl(\frac{t}{2π}\bigr)\Bigr)}^2 |ζ(1/2+it)|^2dt,\quad \int_0^T{\Bigl(Δ^*\bigl(\frac{t}{2π}\bigr)\Bigr)}^3|ζ(1/2+it)|^2dt. $$的$Δ^*$ -功能的重要性来自于这样一个事实，即它是模拟的$E(T)$，误差项均方公式$|ζ(1/2+it)|^2$。我们还表明，如果$E^*(T) := E(T) - 2πΔ^*(T/(2π))$，$$ \int_0^T E^*(t)E^j(t)|ζ(1/2+it)|^2dt \; \ll_{j,\vareps…
2014-06-03 math.NT
Faithful Decomposition of Rationals
本文研究了有理数的忠实分解，证明了当 $2\le t\le\frac mn<t+1$ 时分解长度至少为 $t+2$，并给出了除一项外均为单位分数的忠实分解及 $\frac 4n$ 的三项忠实分解。
2025-02-26 math.NT
Rational approximations to the zeta function II
本文介绍作者最近发现的zeta函数的有理逼近的连分数表示。人们很容易想到，这些连分数可以用一个加强版的沃皮茨基论证来分析，以便为近似值产生无零区域。
2018-10-19 math.NT
Congruences concerning Legendre polynomials III
设$p>3$为素数，$R_p$为分母与$p$互质的有理数集合。令$\{P_n(x)\}$为勒让德多项式。本文主要证明了对于具有$m\not\e 0\pmod p$的$m,n,t\in R_p$，有$$\align &P_{[\frac p6]}(t) \e -\Big(\frac 3p\Big)\sum_{x=0}^{p-1}\Big(\frac{x^3-3x+2t}p\Big)\pmod p, &\Big(\sum_{x=0}^{p-1}\Big(\frac{x^3+mx+n}p\Big)\Big)^2\equiv \Big(\frac{-3m}p\Big) \sum_{k=0}^{[p/6]}\binom{2k}k\binom{3k}k\binom{6k}{3k} \Big(\frac{4m^3+27n^2}{12^3\cdot 4m^3}\Big)^k\pmod p,$$，其中$(\frac ap)$是Legendre符号，$[x]$是最大整数函数.作为应用，我们解决了Z.W. Sun和作者关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\binom{3k}k\binom{6k}{3k}/m^k\pmod {p^2}$，其中$m$是不能被$p$整除的整数。
2012-10-25 math.CO math.NT
Faltings heights of big CM cycles and derivatives of L-functions
本文给出了签名为（2d，2）的有理二次空间的Shimura簇的极大环面上的特殊有理0-圈（大CM点）上的自守格林函数值的一个公式.我们的方法依赖于这样一个事实，即所讨论的格林函数被构造为调和弱质量形式的正则化θ提升，它涉及Siegel-Weil公式和非相干Eisenstein级数的中心导数的全实场。在弱全纯形式的情况下，该公式是从非相干艾森斯坦级数的中心导数的傅里叶系数获得的量的显式组合。在一般调和弱马斯形式的情况下，存在由Rankin-Selberg型卷积的中心导数给出的附加项。
2010-08-10 math.AG math.NT
Diagonal genus 5 curves, elliptic curves over $\mathbb Q(t)$, and rational diophantine quintuples
寻找一个给定的有理丢番图四元组到一个有理丢番图五元组的所有可能扩张的问题等价于确定亏格为5的某条曲线上的有理点集，该曲线可以写成$\mathbb P^4$中三个对角二次曲面的交集。我们讨论如何可以（尝试）确定这样的曲线上的有理点的集合。我们在几种情况下将我们的方法应用于原始问题。特别是，我们表明，费马的丢番图四元组（1，3，8，120）可以扩展到一个合理的丢番图五元组只有一种方式，即由777480/8288641。然后，我们讨论了一种方法，使我们能够找到的Mordell-Weil群的椭圆曲线$E$定义在有理函数域$\mathbb Q(t)$时，$E$有充分的$\mathbb Q(t)$ -有理2-挠。这是基于Dujella、Gusić和Tadić最近的结果。我们给出了几个具体的例子，这种方法可以应用。这些结果之一意味着，只有一个扩大的丢番图四重$\bigl(t-1,t+1,4t,4t(4t^2-1)\bigr)$在$\mathbb Q(t)$。
2019-08-17 math.AG math.NT
Extremal sequences related to the Jacobi symbol
对于权重集$A\subseteq \mathbb Z_n$，$A$加权零和常数$C_A(n)$被定义为最小自然数$k$，使得$\mathbb Z_n$中的$k$元素的任何序列具有连续项的$A$加权零和子序列。$\mathbb Z_n$中长度为$C_A(n)-1$的序列，如果不具有任何连续项的$A$加权零和子序列，则称为$A$的$C$极值序列。令$\big(\frac{x}{n}\big)$表示$x\in\mathbb Z_n$的雅可比符号。我们刻画了权集$S(n)=\big\{\,x\in U(n):\big(\frac{x}{n}\big)=1\,\big\}$和权集$L(n;p)=\big\{\,x\in U(n):\big(\frac{x}{n}\big)=\big(\frac{x}{p}\big)\,\big\}$的$C$ -极值序列，其中$p$是$n$的素因子.我们可以用类似于$C$-极值序列的定义的方式为这些权重集定义$D$-极值序列。我们还描述了这些序列。
2022-12-12 math.CO math.NT
The Number of Rational Points On Genus 4 Hyperelliptic Supersingular Curves in Characteristic 2
有限域上曲线领域的一个大问题是关于点的个数的分布：在亏格为$g$的曲线上，哪些数是点的个数？同样的问题也可以问到曲线的各种子类。本文对$2^n$，$n$奇阶有限域上亏格为4的超奇异超椭圆曲线上点数的可能性进行了分类.
2010-12-01 math.AG math.NT
Combinatorial identities derived from explicit formulas of Gauss hypergeometric functions
School of Mathematics and Physics, Hulunbuir University（呼伦贝尔大学数学与计算机学院）
该研究借助法阿·迪·布鲁诺公式等建立高斯超几何函数显式公式，进而导出两个组合恒等式，推广了已有组合恒等式，核心方法是公式推导，主要贡献为新的组合恒等式及其推广。
2026-11-02 math.CO math.NT
Membership in random ratio sets
令$\mathcal{A}$是通过以概率$α\in (0, 1)$独立地拾取$\{1, \dots, n\}$的每个元素而构造的随机集。给出了有理数$q$属于随机比集$\mathcal{A} /\! \mathcal{A} := \{a / b : a,b \in \mathcal{A}\}$的概率公式。这推广了Cilleruelo和Guijarro-Ordóñez的一个结果。此外，我们还对事件$\bigvee_{i=1}^k\!\big(q_i \in \mathcal{A} /\! \mathcal{A}\big)$（其中$q_1, \dots, q_k$是有理数）的概率公式作了一些考虑，表明它们与某些图的连通分支的研究有关。特别地，我们给出了概率公式，$q^e \in \mathcal{A} /\! \mathcal{A}$为某些$e \in \mathcal{E}$，其中$\mathcal{E}$是一个有限或上有限的正整数集与$1 \in \mathcal{E}$。
2021-06-04 math.NT math.PR
On a tree of rational functions related to continued fractions
Mathematics, Computer & Information Science, SUNY Old Westbury（纽约州立大学老韦斯特伯里分校数学、计算机与信息科学学院）
本文提出了一棵基于连分数的有理函数树，研究其结构特性及在正有理数范围内的唯一性。
2025-12-12 math.DS math.NT
Rational points in Cantor sets and spectral eigenvalue problem for self-similar spectral measures
本文证明了当 $\gcd(p,q)=1$ 时，有限 $p$ 进制有理数与 Cantor 集 $K(q,A)$ 的交集有限当且仅当该集维数小于 1，并据此为自相似谱测度构造了在 $[0,+\infty)$ 稠密的谱特征值类，其对应特征子空间均为无限维。
2025-03-29 math.CA math.FA math.NT
