On spectrum of irrationality exponents of Mahler numbers
我们考虑解函数方程$f(z) = \frac{A(z)}{B(z)} f(z^d)$的Mahler函数$f(z)$，其中$\frac{A(z)}{B(z)}\in \mathbb{Q}(z)$和$d\ge 2$是整数。我们证明了对任意整数$b$，若有$|b|\ge 2$，则要么$f(b)$是有理数，要么它的无理性指数是有理数.我们还计算$f(b)$的无理性指数的精确值，只要相应的马勒函数的连分数是已知的。这改进了Bugeaud，Han，Wei和Yao的结果，其中只提供了无理性指数的上界。
2018-06-08 math.NT
Density formulas for $p$-adically bounded primes for hypergeometric series with rational and quadratic irrational parameters
本文研究超几何级数的 $p$-进有界素数密度，将有理参数情形推广至 $_nF_{n-1}$ 并给出精确公式，同时为二次无理参数情形建立下界及条件性精确公式。
2024-12-03 math.NT
Irrationality exponents of generalized Hone series
我们计算的某些系列的有理数，首先研究了在一个特殊的情况下，由Hone，通过将它们转化为合适的连分数的确切无理性指数。
2020-03-02 math.NT
How to approximate irrational numbers nicely?
在文献中，我们有各种方法证明一个实数的无理数。在这篇综述性文章中，我们将强调证明非理性的一个特殊标准。这被称为用一系列有理数对一个数的精确逼近。这个非理性的标准很容易证明，而且非常重要。利用它，证明了一大类数的无理数。我们将用这种方法证明代数、指数和三角无理数的无理数。大多数情况下，显式构造是由有理数的好序列完成的。使用的参数是基本的，如二项式定理和函数的最大值和最小值。因此，这篇调查文章是本科生可以访问的，对任何寻找娱乐数学的人都有广泛的吸引力。这篇文章在没有使用任何重量级机器的情况下提出了经典的美丽数学。
2022-06-25 math.NT
Proving the uncountability of the number of irrational powers of irrational numbers evaluated as rationals and solutions approximation for x^x=y and x^{x^x}=y
数字通常用于定义更复杂的数字。例如，两个整数用于定义一个有理数，两个实数用于定义一个复数。可以预期，无理数的无理幂是无理数。尽管如此，无理数的无理幂实际上可能是有理数。对于许多代人来说，这是离散数学教科书和大学课程中逻辑矛盾的非建设性证明。80年代以来，一个构造性的证明在口头上流传，如$\sqrt{2}^{log_\sqrt{2} 3}$等于3。2008年，Lord出版了一份书面证明。本文的第一个贡献是证明了存在不可数个这样的无理数对使得一个对另一个的幂是有理数。Marshall和Tan回答了是否存在一个无理数$a$使得$a^a$是有理数的问题。他们证明了给定$I$ = $(\frac{1}{e})^{(\frac{1}{e},\infty)}$，那么$I$中的每一个有理数要么是无理$a$的形式$a^a$，要么是在非常薄的集合$\{1,4,27,256,...,n^n,...\}$中。对于任何真实的$y$，解析求解方程$x^x=y$似乎是一项具有挑战性的任务。据我们所知，没有从给定的PDMATHAMT中找到$x$的工作。我们证明了$ln((ln(y))<x$对于$y>e$和$x<ln(y)$对于$y> e^e$。因此，本文的第二个贡献是估计真正的$x$，使方程$x^x=y$或$x^{x^x}=y$之一成立，对于一个给定的$y$。
2015-10-17 math.HO math.NT
On the rational approximations to the real numbers corresponding to the differences of the Fibonacci sequence
基于Fibonacci数列的结构，给出了Fibonacci实数的无理指数的一个新的证明。此外，我们还得到了Fibonacci数列的差所对应的所有实数的无理指数。
2016-01-30 math.NT
The Irrationality Exponents of Computable Numbers
证明了大于或等于2的实数a是某个可计算实数的无理指数当且仅当a是可计算有理数序列的上极限。因此，存在可计算的实数，其无理性指数不可计算。
2014-10-04 math.NT
Generalized Rédei rational functions and rational approximations over conics
本文从商域出发，研究了一类一般的二次曲线。我们给出了这些二次曲线的群结构，推广了Pell双曲线群的构造。此外，我们推广了Rédei有理函数的定义，以便使用它们来计算这些二次曲线上的点的幂。最后，我们研究了二次曲线上无理数的有理逼近，得到了二次无理数逼近的一个新结果。
2012-09-04 math.NT
Best approximation vectors for completely irrational subspaces
本文研究完全无理子空间的最佳丢番图逼近，给出了其生成子空间维数的一个简单且最优的上界。
2023-04-17 math.NT
On the classificaction of irrational numbers
本文比较了无理数的算术性质和它们在高斯映射下的动力学性质。我们展示了不同分类的无理数，如丢番图类和数字承认近似的有理数在给定的“速度”之间的一些等价性。我们还证明了高斯映射的上李雅普诺夫指数有限的无理数满足丢番图条件。
2017-11-25 math.NT
Irrationality exponents of logarithms of positive rational numbers
Wuhan University（武汉大学）；Wuhan Institute for Math & AI, Wuhan University（武汉大学数学与人工智能研究院）；Peking University（北京大学）
本文通过分离权重行列式论证，证明任意正有理数 r≠1 的对数的无理性指数 μ(log r)=2，并给出完整参数选择与估计，附带几何推广及有限度界。
2026-11-06 math.NT
Effective Irrationality Measures and Approximation by Algebraic Conjugates
本文给出了利用代数共轭构成代数数的逼近序列的一个结果，并由此得到了相关代数数的有效无理性测度.从这个结果，我们能够推广图厄的基本定理。
2010-09-30 math.NT
Rational approximations of irrational numbers
给定量$Δ_1,Δ_2,\dots\geqslant 0$，丢番图逼近中的一个基本问题是理解哪些无理数$x$具有无穷多个约化的有理逼近$a/q$，使得$|x-a/q|<Δ_q$。根据对$Δ_q$和$x$的选择，这个问题可能很难回答。然而，达芬和谢弗在1941年approached，如果我们假设一个“度量”的观点，这个问题是由一个简单的零-一法律：书面$φ$欧拉的totient功能，我们要么有$\sum_{q=1}^\infty φ(q)Δ_q=\infty$，然后几乎所有的无理数（在勒贝格意义上）是可逼近的，或$\sum_{q=1}^\inftyφ(q)Δ_q<\infty$，几乎没有无理数是可逼近的。我们提出的历史Duffin-Schaeffer猜想和背后的主要思想最近的工作Koukoulopoulos-梅纳德解决它。
2022-11-21 math.CO math.NT
A family of criteria for irrationality of Euler's constant
根据Sondow的早期结果，我们提出了欧拉常数$γ$的另一个无理性判据.它涉及对数$L\_{n,m}$的类似线性组合。要证明$γ$是无理数，只需证明对于某个固定的$m$，$d\_n L\_{n,m}$（$d\_n$是$n$第一个整数的最小公倍数）到整数集合$\mathbf{Z}$的距离不收敛到0。用有理数代替实数也可以得到类似的结果：它给出了一个只涉及有理数的充分条件。不幸的是，$d\_n$的混沌行为是验证这个充分条件的障碍。所有的证据使用在一个大的方式理论的Padé逼近。
2005-07-12 math.NT
Continued fractions and irrationality exponents for modified Engel and Pierce series
本文研究有理数与修正 Engel 或 Pierce 级数组合生成的超越数，利用二阶非线性递推确定其连分数展开，并给出无理性指数下界及可精确计算的无穷族。
2018-10-23 math.NT
Quadratic Irrationals, Generating Functions, and Lévy Constants
证明了二次无理数的最佳有理逼近的逼近子序列所对应的母函数是一个整系数的有理函数。因此，我们可以计算任何二次无理数的Lévy常数，显式地表示为它的有限个收敛数。
2018-05-01 math.CO math.DS math.NT
Optimal and typical $L^2$ discrepancy of 2-dimensional lattices
该研究针对二维有理及无理格点的$L^2$偏差，通过连分数偏商刻画最优偏差格点并算出已知连分数情形的精确渐近式，同时得到了几乎所有无理格点的偏差渐近性与随机格点的极限分布。
2021-12-03 math.NT
Rational approximations to algebraic Laurent series with coefficients in a finite field
本文给出了有限域上系数代数洛朗级数的无理性指数的一个一般上界。我们的证明是基于一种方法介绍了在不同的框架Adamczewski和Cassaigne。它利用自动机理论，并在我们的上下文中，一个经典的定理，由于克里斯托。然后，我们引入了一种新的方法，使我们能够在许多情况下大大提高这个一般的约束。作为一个例子，我们给出几个例子的代数洛朗级数，我们能够计算的精确值的无理性指数。
2011-02-28 math.NT
A devil's staircase from rotations and irrationality measures for Liouville numbers
从Sturmian和Christoffel词出发，我们导出了一个严格递增函数$Δ:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ .该函数在任意无理点处连续，在有理点处左连续但右不连续。此外，它假定有理数为代数整数，无理数为超越数。我们还看到，$Δ$的微分区分了实数的一些无理测度。
2007-09-11 math.CO math.DS math.NT
On the irrationality of certain $2$-adic zeta values
本文证明了 Kubota-Leopoldt $2$-adic zeta 函数在特定区间内存在无理数值，通过构造显式有理函数并利用 Volkenborn 积分结合二项式系数操作实现。
2023-04-03 math.NT
On the rational approximation to $p$-adic Thue--Morse numbers
设$p$是素数，$ξ$是无理$p$-adic数.它的乘性无理性指数${μ^{\times}} (ξ)$是实数${μ^{\times}}$的上确界，对于该上确界，不等式$$ |b ξ- a|_{p} \leq | a b |^{- {μ^{\times}} / 2} $$在非零整数$a, b$中有无穷多个解。我们表明，${μ^{\times}} (ξ)$可以表示在一个新的指数的逼近附加到一个序列的有理数定义的$ξ$。我们建立了${μ^{\times}} ({{ξ_{{\bf t}, p}}}) = 3$，其中${{ξ_{{\bf t}, p}}}$是$p$-adic数$1 - p - p^2 + p^3 - p^4 + \ldots$，其数字序列由$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列给出.
2021-10-05 math.NT
On approximation measures of $q$-exponential function
我们将给出与$q$ -指数函数有关的某些无穷乘积的有效逼近测度。有两个主要目标。首先证明$q$ -指数函数在有理点的值的一个显式的非理性度量结果。然后，如果我们将近似限制为形状$d^s/N$的有理数，我们可以用$2+\frac{1}{3+2\sqrt 3}=2.1547...$代替Bundschuh的无理性指数$7/3$。
2014-12-12 math.NT
Irrationality proof of certain Lambert series using little q-Jacobi polynomials
我们应用Pade技术来找到% \[h^{\pm}(q_1,q_2)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\q_1^k}{1\pm \q_2^k}, 0<q_1,q_2<1, q_1\in\mathbb{Q}, q_2=1/p_2, p_2\in\mathbb{N}\setminus\{1\}.\] %的有理逼近。一个单独的部分专门用于特殊情况$q_i=q^{r_i}, r_i\in\mathbb{N}, q=1/p, p\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$。在这种构造中，我们利用小$q$ -雅可比多项式。我们的有理逼近足以证明$h^{\pm}(q_1,q_2)$的非理性，并给出了一个上界的非理性措施。
2007-01-12 math.CA math.NT
On efficient approximation of quadratic irrationals, signed Chebyshev polynomials and Householder's method
La Trobe University（拉筹伯大学）；University of Kent（肯特大学）
本文提出高效计算二次无理数收敛的算法，证明在拉格朗日定理的伽罗瓦细化条件下，平方根的收敛序列的某些抽取是带符号的切比雪夫序列，并可通过Householder方法生成。
2026-09-07 math.NT
On rational approximations of algebraic numbers of higher orders and certain parametrization for generalized Pell's equations
引入了一个新的代数对象--递归分式，它是连分数的n维推广。它用于描述代数无理数的有理逼近的算法。构造了广义Pell方程的参数化。
2011-03-29 math.NT
Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik
在数学.NT/0307308中，我们定义了一个无理数的无理数基，并假设了一个比欧拉常数的无理数更强的假设，给出了它的无理数基的一个条件上界。本文利用连分数和Fibonacci数列给出了无理性指数和无理性基的一般理论，给出了它们的计算公式和界。Jarnik关于丢番图逼近的一个定理给出了具有规定的无理性测度的数。另一种方法是显式地构造具有给定无理性基的级数。列举了许多实例。
2004-06-15 math.NT
Deformation Quantization and Irrational Numbers
丢番图逼近是用有理数逼近实数的问题。我们提出了一个版本，其中的分子是近似相关的Laurent多项式的recruitors。我们的定义是由构造辛流形的严格变形量子化问题所激发的。我们表明，这种类型的近似存在于任何实数，也调查会发生什么，如果数量是合理的或二次无理。
2011-05-27 math-ph math.MP math.NT
The generalized strong recurrence for non-zero rational parameters
强常返性等价于黎曼假设。另一方面，广义强常返性对任何无理数都成立。本文证明了所有非零有理数的广义强常返性。此外，我们还证明了在绝对收敛区域内的广义强常返性对任何实数都成立。
2010-06-09 math.NT
An effective criterion for periodicity of l-adic continued fractions
针对Ruban的l进连分数，本文给出有理数与二次无理数展开周期性的显式判据，补充有理数情形的定性结果。
2018-11-12 math.NT
Shadows of rationals and irrationals: supersymmetric continued fractions and the super modular group
该研究将超几何工具应用于算术，在含两个奇变量的整数环中定义偶量的幂零“影子”，探究超对称连分数与正交辛模群的概念，为相关性质研究做了初步探索。
2022-09-21 math-ph math.CO math.MP
On the possible exceptions for the transcendence of the log-gamma function at rational entries
在最近的工作[JNT \textbf{129}，2154（2009）]中，Gun和同事声称数$\,\log{Γ(x)} + \log{Γ(1-x)}\,$，$x$是介于$0$和$1$之间的有理数，是超越的，至多有\emph{one}可能的例外，但在该工作中给出的证明是\emph{incorrect}。在本文中，我指出了他们犯的错误，并提出了一个定理，该定理建立了这些数的超越性，最多有\emph{two}可能的例外。因此，我利用这个函数的反射性质建立了一个超越$\,\logπ$的准则，这个数的非理性还没有得到证明。这对乘积$\,π\cdot e$的超越性有一个有趣的结果，这是另一个其不合理性尚未被证明的数。
2014-02-05 math.NT
A Couple of Transcendental Prime-Representing Constants
众所周知，米尔斯素数常数的算术性质是不确定的：我们不知道米尔斯常数是有理数还是无理数。在其他素数代表常数的情况下，可以证明其不合理性，但不知道这些常数是代数数还是超越数。利用Liouville或Roth关于有理数逼近的定理，我们找到了几个可以证明为超越数的素表示常数。
2021-11-28 math.NT
Tweaking the Beukers Integrals In Search of More Miraculous Irrationality Proofs A La Apery
只有0次方的有理数，而有2次方的0次方的实数。因此，随机选择的实数是有理数的概率为0。然而，严格证明任何特定的、自然的、真实的常数是非理性的，通常是非常困难的，我们可以看到，仍然没有证据证明欧拉-马斯凯罗尼常数、加泰罗尼亚常数或泽塔常数是非理性的。受Frits Beukers对Aesthetan关于Zeta（2）和Zeta（3）的非理性的开创性证明的优雅演绎的启发，并大量使用算法证明论，我们系统地搜索了其他类似的积分，导致了非理性证明。我们发现了相当多的候选证明，包括Pi的平方根乘以Gamma（7/3）/Gamma（-1/6）和Gamma（19/6）/Gamma（8/3）除以Pi的平方根。
2021-01-20 math.CO math.NT
Mellin transforms, transfinite diameter and rational approximations of integrals
University of Oxford（牛津大学）
本文提出一个高维无理性准则，用于证明由Mellin积分表示的周期的无理性，通过超越直径上界分析多变量Vandermonde矩阵。
2026-04-22 math.NT
A note on the number of irrational odd zeta values
证明了对所有奇数$s \geqslant s_0(\varepsilon)$，在下列奇zeta值中至少存在$\big( c_0 - \varepsilon \big) \frac{s^{1/2}}{(\log s)^{1/2}} $多个无理数：$ζ(3),ζ(5),ζ(7),\cdots,ζ(s)$ .常数$c_0 = 1.192507\ldots$可以用封闭形式表示。本文在Fischler，Sprang和Zudilin [FSZ 19]的工作基础上，改进了其中的下界$2^{(1-\varepsilon)\frac{\log s}{\log\log s}}$。主要的新成分是辅助有理函数零点的最优设计，它涉及到欧拉函数的逆。
2020-01-16 math.NT
Rational approximations to values of $E$-functions
本文解决了Siegel $E$-函数理论中的长期问题，通过推广Shidlovskii引理移除代数独立性假设，证明了具有有理Taylor系数的$E$-函数在有理点取的无理值的无理性指数等于2。
2025-07-10 math.NT
Hypergeometry inspired by irrationality questions
我们报告新的超几何结构的有理逼近Catalan的常数，$\log2$，和$π^2$，他们的连接与已知的，和潜在的“置换群“的结构。我们的主要算术成果是黎曼zeta函数在奇数处的值的一个新的部分无理数结果。
2018-08-05 math.CA math.CO math.NT
On $q$-deformed Farey sum and a homological interpretation of $q$-deformed real quadratic irrational numbers
本文研究负连分数下的左 $q$-形变有理数，建立其 $q$-形变 Farey 和计算公式，并据此给出其与有理纽结 Jones 多项式关系的组合证明及同调解释。
2024-07-03 math.CO math.NT math.RT
Criteria for Irrationality of Euler's Constant
通过修改Beukers对Awesley定理zeta（3）是无理数的证明，我们得到了欧拉常数gamma的无理数的判据。对n > 0，定义了一个二重积分I（n）和一个正整数S（n），证明了若d（n）= LCM（1，.，n），则logS（n）的分数部分由{logS（n）} = d（2n）I（n）给出，对于所有充分大的n，当且仅当γ是有理数。一个推论是，如果{logS（n）} > 1/2^n无限频繁，那么伽玛是无理数。事实上，如果不等式对给定的n成立（我们给出了0 < n < 2500和n = 10000的数值证据），并且伽马是有理数，那么它的分母不能除以乘积d（2n）Binomial（2n，n）。证明了一个新的组合恒等式，从而证明了方程组中的某个线性型实际上是logS（n）.一个副产品是一个快速收敛的伽马渐近公式，由P. Sebah使用来计算它正确到18063位小数。
2002-10-04 math.CO math.NT
Hankel determinants, Padé approximations, and irrationality exponents
无理数$ξ$的无理数指数是衡量$ξ$被有理数逼近的速度的指标，一般来说，它很难显式计算，除非我们知道$ξ$的连分数展开式。迄今为止取得的成果相当零碎，而且往往是个案处理。在这项工作中，我们将统一所有已知的结果，在这个问题上，通过显示的无理性指数的大类自动数和马勒数（这是超越）是完全等于$2$。我们的类包括Thue-Morse-Mahler数、费马数的倒数之和、正规的折纸数，这些数以前分别由Bugeaud、Coons、Guo、Wu和Wen考虑过，但也包括Stern数等新的类。
2015-09-01 math.CO math.NT
$ζ(5)$ is irrational
利用Dirichlet逼近定理和素数定理给出了$ζ(5)$的无理性的初等证明.
2011-05-10 math.CA math.NT
Modular Forms and Numerical Explorations of Rational Approximations to $ζ(3)$
IMPA, Brazil（巴西高等纯数学研究所）；UFRGS, Brazil（巴西南里奥格兰德联邦大学）
通过辅助权重二模形式重新审视Beukers对ζ(3)无理性的证明，展示其属于一个参数仿射族，并应用于其他零亏格Fricke群。
2026-05-01 cs.NA math.NA math.NT
Sequences and dynamical systems associated with canonical approximation by rationals
研究了由无理数的连分数构成的有理逼近序列的各种连续性的度量性质。我们的方法建立在Bosma，Jager和Wiedijk的证明的Doblin-Lenstra猜想，以及Jager的后续治疗的序列的近似对。
2011-02-22 math.DS math.NT
Two-Dimensional Analogs of the Minkowski ?(x) Function
闵可夫斯基定理的两个推广？(x)函数给出。作为？(x)映射二次无理数的有理数，它表明，这两个推广发送自然类对立方无理数在同一立方数领域的有理数对。它还表明，这些功能满足模拟的事实，即？(x)，虽然连续且递增，但几乎处处具有导数零。两者都是Beaver-Garrity在Farey-Bary映射上的早期工作的扩展。
2004-05-24 math.CA math.NT
Hypergeometric rational approximations to $ζ(4)$
本文在Bailey的${}_9F_8$超几何积分的基础上，吸收了2003年提出的$ζ(4)$的超几何构造，给出了$ζ(4)$的有理逼近的一种新的超几何构造.有了新的成分，我们能够得到一个更好的控制算法，并产生一个记录的非理性措施$ζ(4)$。
2019-05-29 math.CA math.NT
Extravagance, irrationality and Diophantine approximation
该研究探讨高斯映射下测度与丢番图逼近的关系，证明部分商对数不可积的连分数混合测度下几乎所有数为刘维尔数，构造任意无理性指数的高斯不变遍历测度，并给出弱Renyi测度下的辛钦型二分法。
2025-09-04 math.DS math.NT math.PR
On radiuses of convergence of q-metallic numbers and related q-rational numbers
q-有理数和q-无理数是S. Morier-Genoud和V. Ovsienko。本文研究了q-实二次无理数，特别是q-金属数和收敛于q-金属数的q-有理数序列，并在q为复数的条件下，讨论了它们的收敛半径.我们构造了两个由递推公式给出的序列，作为S. Morier-Genoud和V. Ovsienko。给出了它们的收敛半径的估计，并解决了L. Leclere，S. Morier-Genoud，V. Ovsienko，and A. Veselov关于金属数及其收敛有理序列。此外，我们还得到了[n，n，…，n，.]_ q和[n，n，…，在n=3和n=4的情况下，n]_q。
2021-10-27 math.CO math.NT math.QA
